TUGAS 1MATA KULIAH GEOSTATISTIK (GL-5045)

Dosen : Dr.Prihadi S

TEORI REGIONAL VARIABLE

NAMA : Eri Sarmantua SitinjakNIM : 220 12 306

Program Studi Magister Teknik GeologiFakultas Ilmu Kebumian dan Teknologi Mineral

Institut Teknologi Bandung2014

Teori Variabel Regional adalah merupakan metode geostatistik yang digunakan untuk melakukan interpolasi di dalam ruang. Konsep dari teori ini adalah bahwa interpolasi dari titik-titik didalam ruang yang tidak akan didasarkan pada objek yang menerus secara merata. Interpolasi tersebut harus berdasarkan pada model stokastik yang menyertakan berbagai kecenderungan didalam kumpulan titik-titik asal tersebut. Teori ini menyatakan bahwa didalam berbagai kumpulan data, akan ditemukan hubungan-hubungan sebagai berikut :

a. Bagian struktur, yang juga disebut sebagai kecenderunganb. Variasi yang berkorelasic. Variasi yang tidak berkorelasi atau noise

Setelah menentukan ketiga hubungan tersebut, teori variable regional ini akan mengaplikasikan hukum pertama dalam ilmu geografi yaitu untuk memperkirakan harga yang tidak diketahui dari titik-titik, dimana setiap titik berhubungan satu dengan yang lain tetapi titik-titik yang berdekatan akan lebih berhubungan daripada titik yang berjauhan. Pada akhirnya aplikasi utama dari teori ini adalah metode kriging untuk interpolasi.

Geostatistik merupakan aplikasi dari dari teori variable regional yang digunakan untuk memperkirakan endapan mineral secara tidak langsung. Secara lebih umum, ketika suatu fenomena menyebar didalam ruang dan memiliki suatu struktur ruang tertentu, maka kita menyebutnya sebagai daerah atau wilayah (regionalized). Jika f(x) merupakan nilai pada titik x dari suatu karakteristik f dari fenomena tersebut, maka kita harus menyatakan bahwa f(x) adalah variable regional. Ini merupakan pengertian awal tetapi deskriptif dan secara khusus sebelum menginterpretasikan kemungkinan (probabilistik). Dalam kacamata matematika, ini merupakan fungsi yang sederhana dari f(x) di titik x, tetapi secara umum merupakan fungsi yang sangat tidak beraturan (irregular) contohnya adalah kadar dari sebuah endapan mineral.

Hal ini juga menunjukkan dua aspek yang bertentangan :- Sebuah aspek random (dicirikan oleh ketidakteraturan dan variasi yang tidak dapat

diprediksi dari suatu titik ke titik yang lain) atau komponen random dimana sebuah observasi dari sebuah variabel di sebuah titik Wi, didalam area yang lebih luas W, merupakan realisasi dari sebuah variable random Z(Wi) pada titik Wi

- Sebuah aspek terstruktur atau tidak random ( hal ini harus mencerminkan karakteristik luas dan stuktur dari fenomena di daerah atau wilayah tertentu) atau komponen tidak random dimana variabel-variabel random untuk dua lokasi Wi dan Wi+h (yang dipisahkan oleh jarak h) tidak dianggap independen secara ruang.

Ada dua tujuan dari teori regional variable yaitu :1. Dalam konteks teori, untuk memperlihatkan properti struktur dalam bentuk yang

memadai.2. Dalam konteks praktek, untuk menyelesaikan masalah perkiraan dari sebuah variable

regional dari data sampel yang terbagi-bagi (fragmented sampling).

Dua tujuan ini berhubungan untuk sampel-sample terhubung yang sama, error dari perkiraan tergantung pada karakteristik struktur, contohnya akan menjadi lebih besar ketika variable regional lebih tidak beraturan dan lebih tidak berhubungan dalam variasi ruangnya.

Konsep variable regional ini banyak diaplikasikan dalam ilmu geologi dimana nilai dari sebuah variable yang terukur pada dua lokasi yang berdekatan akan lebih mirip daripada nilai variable pada lokasi yang berjauhan. Pada tahapan tertentu didalam proses geostatistik membutuhkan variable regional mengikuti kondisi khusus, kondisi ini biasanya disebut sebagai “Hipotesa Intrinsik” atau “weak stationary”. Sebuah variable mengikuti hipotesa intrinsic jika :

1. Jika perbedaan yang diharapkan (didalam nilai variable) antara titik-titik tertentu di dalam data diatur sama dengan nol,

2. Varian pengaturan dari perbedaan didalam pasangan-pasangan nilai variable hanya merupakan fungsi dari jarak pemisahan h,

Walaupun pengukuran korelasi ruang dikenal sebagai semi-variogram membutuhkan pemenuhan hipotesa intrinsik, beberapa pengukuran korelasi ruang yang lain seperti korelogram membutuhkan nilai variable hadir dan konstan untuk semua lokasi W dan kovarian hadir yang merupakan fungsi dari jarak pemisahan h. Kehadiran tren didalam kumpulan data diindikasikan ketika perbedaan yang diharapkan tidak sama dengan nol. Tren ini dimodelkan secara terpisah sebelum disertakan dalam proses perkiraan. Dasar dari teori variable regional dan analisa korelasi ruang adalah untuk menghitung keberlanjutan properti sampel dalam jarak dan arah tertentu. Jadi dengan dasar ini kita bisa menyimpulkan bahwa dua well yang berdekatan akan memiliki properti reservoir yang cenderung sama dari pada dua well yang berjauhan. Tetapi sampai seberapa jauh jarak antara dua well akan memiliki property sampel yang sama harus melalui pengukuran statistic. Kita memerlukan pengukuran statistic yang baru karena statistic univariate atau bivariate klasik tidak dapat menangkap informasi korelasi ruang. Analisa korelasi ruang adalah tahapan yang penting dalam sebuah penelitian geostatistik reservoir.Beberapa kumpulan data dapat memiliki statistic univariate yang sama dengan kumpulan data yang lain, sebagian lagi bisa sangat berbeda.

Kita bisa melihat bahwa grafik 1a menunjukkan kemenerusan porosity dalam ruang, tetapi grafik 1b memiliki distribusi porositas yang acak. Tetapi walaupun begitu mean, variance dan histogram kedua kumpulan data porositas ini mirip.

Persamaan kedua grafik adalah mean yang sama (8.4%), standar deviasi yang sama ( 2.7%) dan frekuensi distribusi yang sama (histogram). Sedangkan perbedaannya adalah grafik 1a memiliki kemenerusan ruang (spatial continuity) sedang grafik 1b tidak atau acak.Sekuen 1a yang memiliki sebuah struktur atau komponen korelasi ruang disebut sebgai Regionalized variable, sedangkan sekuan 1b yang tidak menunjukkan kemenerusan ruang diklasifikasikan sebagai Random variable.

Spatial structure (struktur ruang) aakn mencerminkan hubungan nilai terukur disuatu titik dengan nilai di titik lain, jadi secara umum kegunaan spatial structure adalah :

1. Menjelaskan intensitas dari pola dan skala dimana pola tersebut terdapat atau tersingkap.2. Menginterpolasi untuk memperkirakan nilai pada titik-titik tidak terukur di sepanjang

domain (contohnya adalah kriging).3. Menilai ketidakbergantungan variable sebelum mengaplikasikan parameter pengukuran

dari significance.

Jadi variable (Z) yang diukur di lokasi I, dapat diuraikan menjadi tiga komponen melalui fungsi persamaan berikut :

f(i) = merupakan tren atau struktur berskala besar (yang umumnya bisa dihilangkan)s(i) = merupakan ketergantungan ruang local yang acak (yang akan dicari)ε = error dari varian (dianggap terdistribusi secara normal)

Beberapa hal penting didalam variable regional adalah :

A. AutocorrelationKorelasi merupakan suatu pernyataan dari penyebaran dimana dua kumpulan data cocok satu dengan lain. Correlation coefficient ditentukan melalui penyebaran dimana dua garis regresi menyimpang dari sumbu horizontal dan vertical. Didalam konsep struktur ruang (spatial structure) autocorrelation merupakan derajat korelasi ke nilai itu sendiri, sehingga spatial correlation adalah hubungan yang merupakan fungsi jarak. Ketika kumpulan data (misalnya kumpulan nilai porositas) diplot didalam grafik terhadap nilai porositas itu sendiri akan membentuk suatu tren dengan slope atau kemiringan sebesar 45 derajat, hal ini menunjukkan

korelasi yang semourna. Tetapi jika data kita terjemahkan dengan menggunakan interval sampling dan di plot terhadap data dengan interval sampling juga maka akan menunjukkan pengaruh dari spatial correlation atau kurangnya korelasi ruang. Kita bisa melihat dari dua data set berikut yang masing-masing di plot didalam h-scatterplot (h merupakan lag atau distance) :

Sekuen A

Sekuen B

Kita bisa melihat bahwa sekuen A mulai menunjukkan kurangnya spatial correlation setelah lag 4, sementara lag 1-3 di scatter plot masih menunjukkan spatial correlation. Sedangkan sekuen B dari lag 1 sudah menunjukkan kurangnya spatial correlation yang dicerminkan titik-titik nilai menyebar di dalam scatter plot.Sekuen A merupakan Regionalized variable yang menunjukkan kemenerusan spatial sampai lag 3. Sedangkan Sekuen B merupakan Random variable tanpa kemenerusan spatial

Atribut yang kompleks didalam reservoir merupakan fungsi yang acak, dimana merupakan kombinasi dari Regionalized variable dan Random variable. Fungsi acak ini memiliki dua komponen yaitu :

1. Structure component : terdri dari regionalized variable yang mengandung derajat spatial auto correlation.

2. Local random component : terdiri dari random variable (atau disebut sebgai nugget effect) yang menunjukkan sedikit atau tidak adanya korelasi.

Model dari fungsi acak ini menganggap bahwa :1. Pengukuran tersendiri pada lokasi z(xi) adalah satu hasil yang memungkinkan dari

sebuah variable acak pada lokasi di titik Z(xi).2. Kumpulan sampel yang didapat, z(xi), i=1,…n, dienal sebagai fungsi acak.

Dengan mempelajari ketergantungan ruang antara dua pengukuran suatu atribut yang sama pada z(xi) dan z(xi+h), dimana h merupakan jarak pengukuran, kita sebenarnya mempelajari korelasi ruang antara dua fungsi acak yang berhubungan z(xi) dan z(xi+h).

B. Spatial auto correlation analysisSpatial auto correlation adalah analisa spatial hanya pada satu variable (mis:porositas) yang menjelaskan hubungan antara variable regional yang diambil di tempat-tempat yang berbeda. Sampel yang auto-correlated tidak lepas atau bebas terhadap jarak. Ada dua pengukuran kemenerusan spatial uumnya yaitu variogram dan correlogram, yang mengizinkan kita menghitung kemenerusan, anisotropy dan property azimuthal dari kumpulan data kita.

VariogramVariable regional menggunakan konsep semivarian untuk memperlihatkan hubungan antara titik-titik yang berbeda di sebuah permukaan. Semivarian adalah sebagai berikut :

Semivarian dievaluasi dengan menghitung γ(h) untuk setiap pasangang data dan dipasangkan terhadap interval lag,h. jika kita memplotkan hasil semivariance terhadap jarak lag, maka akan dihasilkan variogram. (atau sering dikenal dengan semivariogram). Variogram mengukur ketidakmiripan atau peningkatan varian antara data-data sebagai fungsi jarak.Variogram menghasilkan cara pembelajaran dari pengaruh factor geologi lain yang mungkin mempengaruhi apakah korelasi spatial berubah hanya terhadap jarak (atau disebut kasus isotropic) atau berubah terhadap jarak dan arah (atau disebut kasus anisotropic). Variogram ini

disebut juga sebagai experimental variogram, yang didasarkan pada data yang ada dan dihitung sebagai tahapan awal dalam proses kriging.

Correlogram Merupakan pengukuran yang tergantung pada ruang, yang mengukur kemiripan atau korelasi terhadap jarak pemisahan.

Kita akan mendapatkan bahwa kovarian akan semakin kecil seiring dengan bertambahnya jarak. Sedangkan variogram akan menunjukkan peningkatan varian seiring bertambahnya jarak.

Pengukuran anisotropy dapat dilakukan dengan berdasarkan arah yang berbeda dari penyebaran data. Ada dua geometri anisotropy yang umum dihasilkan didalam variogram yaitu :

1. Anisotropy geometri : diindikasikan oleh variogram bidirectional yang memiliki sill yang sama tetapi berbeda range.

2. Anisotropy zona : dicirikan oleh variogram yang memiliki sill berbeda tetapi range yang sama.

Omnidirectional variogram Correlogram

R

R

C. Spatial cross correlation analysisMerupakan analisa yang bertujuan mempelajari hubungan spatial antara dua atau lebih variable. Model cross correlation berguna dlam melakukan co-krigging atau conditional cosimulation (seperti mencocokkan data sumur dengan data seismic). Cross correlogram atau cross variogram menjelaskan hubunga spatial dimana pasangan data yang mewakili variable-variabel yang berbeda. Sebagai contoh adalah misalnya kita akan memperkirakan porositas berdasarkan pengukuran impedansi akustik, maka penting untuk menghitung model auto-correlation untuk keua atribut dan menghitung model cross-corelation seperti gambar berikut :

Berikut rumus yang umum digunakan dalam analisa cross correlation :

(gambar 1a)

(gambar 1b)

(gambar 1c)

= atribut utama yang diukur di lokasi xi

= atribut utama yang diukur di lokasi xi+jarak pemisahan(lag), h

= atribut kedua yang diukur di lokasi xi

= atribut kedua yang diukur di lokasi xi+jarak pemisahan(lag), h

= jumlah data

D. Stationary didalam regionalized variable Hal ini terjadi bila nilai yang diharapkan dari perbedaan antara dua variable acak adalah nol. Stationary menjelaskan bahwa korelasi spatial dapat dimodelkan dengan fungsi positif tertentu dan menyatakan bahwa nilai yang diharapkan yang dianggap merupakan nilai rata-rata tidak tergantung pada jarak yangmemisahkan data-data tersebut.

Berikut adalah tiga parameter orde kedua yang penting dalam geostatistik :

Pada kondisi orde kedua inilah semivariogram dan covarian merupakan pengukuran alternative dari autocorrelation spatial.Untuk data yang non-stationary, masih banyak perdebatan, karena sebagian menganggap ini hanya masalah skala pengukuran. Pengaruh dari pengukuran non-stationary tergantung pada bagian dari skala sampel dalam hubungan dengan skala tren. Sayangnya, geoscientist jarang memiliki kewenangan dalam menentukan distribusi sampel. Jika regionalized variable adalah non-stationary, dapat berkenaan sebagai susunan dua bagian yaitu residual dan tren.

Dimana : Y(x) = memiliki variogram dasar (residual) m(x) = dapat diperkirakan oleh polynomial (tren)

Daftar Pustaka1. Matheron, G. (1971), The Theory of Regionalized Variables and Its Applications, Les

Cahiers du Centre de Morphologie Mathematique de Fontainebleau.2. Dowdall, M., O’Dea, J. (1999), Geostatistical analysis of monitoring data, Journal of

Environmental monitoring, vol II.3. Cressie, N. A. C. (1993), Statistics for Spatial Data, New York: John Wiley & Sons.4. Basic Geostatistics compiled by Jimba Olu

Orde pertama

5. http://en.wikipedia.org/wiki/Regionalized_variable_theory