TRANSFORMASI

Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi

Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Konsep Dasar

Matematika 2

Dosen :

Dr.Riyadi,M.Si

Oleh :

Ambar Febriyanti (K7112012)

2A

PRODI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR (PGSD) JURUSAN

ILMU PENDIDIKAN FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU

PENDIDIKAN UNIVERSITAS SEBELAS MARET

2013

M M

M MM’

s

TRANSFORMASI

Untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada bidang dapat dilakukan

dengan menggunakan transformasi. Transformasi gomertri adalah bagian dari geometri

yang membicarakan perubahan, baik perubahan letak maupun bentuk dan penyajiannya

didasarkan dengan gambar dan matriks. Transformas pada bidang ada empat macam,

yaitu

1. Translasi (pereseran)

2. Refleksi (pencerminan)

3. Rotasi (perputaran)

4. Dilatasi (perkalian)

Transformasi yang tidak mengubah ukuran dan bentuk bangun disebut

transformasi isometri, di antaranya translasi (pergeseran), releksi (pencerminan), dan

rotasi (putaran). Adapun transformasi yang tidak isometri adalah dilatasi (perkalian)

karena ukuran bayangan dapat diperbesar atau diperkecil.

A. Translasi (pergeseran)

Definisi :

Suatu translasi atau pergeseran yang ditentukan oleh suatu sinar s dan jarak tertentu

(kadang-kadang disebut vektor) adalah transformasi yang memetakan titik M ke titik M’

sedemikian hingga MM’ sejajar dan searah dengan sinar s dan MM’ sama dengan jarak

yang ditentukan.

Translasi atau pergeseran adalah bentuk transformasi untuk memindahkan suatu

obyek pada bidang datar dengan jarak dan arah tertentu. Panjang jarak dan arah pada

translasi dinyatakan oleh vektor A B atau pasangan berurutan (ab) dengan a merupakan

komponen translasi pada arah sumbu-x dan b merupakan komponen translasi pada arah

sumbu-y.

Suatu translasi dari R2 (ruang dimensi dua) ke R2 didefinisikan oleh pemetaan:

T : R 2→ R2

Titik P(x , y) , ditranslasikan oleh T = (ab) artinya titik P(x,y) ditranslasikan

sejauh a satuan sepanjang sumbu X dan y satuan sepanjang sumbu Y, diperoleh peta

Titik P’(x’,y’).sehingga berlaku hubungan:

x ꞌ =x+a

y ꞌ= y+b

Secara matematis, ditulis sebagai berikut.

P ( x , y ) T⃗1(ab ) P' ( x+a , y+b )

Hubungan ini mengandung pengertian:

1. Jika a > 0 maka arah pergeseran kekanan dan jika a < 0 arah pergeseran

kekiri.

2. Jika b > 0 maka arah pergeseran keatas dan jika b < 0 arah pergeseran

kebawah.

Secara geometri diperlihatkan pada Gambar baerikut :

Sekarang, translasikan lagi bayangan yang telah kalian peroleh denganT 2=(cd)

Didapat, P' ( x+a , y+b ) T⃗2(cd ) P'' ( x+a+c , y+b+d )

Perhatikan bahwa

P'' ( x+a+c , y+b+d )=P'' ( x+ (a+c ) , y+(b+d ))

Ini berarti P'' ( x+a+c , y+b+d ) diperoleh dengan mentranslasikan P ( x , y ) dengan

T=(a+cb+d)

Translasi T ini merupakan translasi T1 dilanjutkan dengan T2, yang ditulis

sebagai T 1∘T 2

Oleh karena T 1=(ab )

dan T 2=(cd)

maka T 1∘T 2=(a+c

b+d)Atau bisa ditulis

Karena jumlah bilangan bersifat komutatif, maka:

(T2 o T1) = (T1 o T2)

Catatan

( T2 o T1 ) artinya obyek ditranslasi oleh T1 dilanjutkan dengan T2

( T2 o T1 ) artinya obyek ditranslasi oleh T2 dilanjutkan dengan T1

Akibatnya, titik P ( x , y ) ditranslasikan dengan T1 dilanjutkan dengan translasi

T2 menghasilkan bayangan P'' sebagai berikut

P ( x , y )⃗ T1∘T2(a+cb +d) P'' ( x+a+c , y+b+d )

Sifat:

Dua buah translasi berturut-turut (ab )

diteruskan dengan(cd )

dapat digantikan

dengan translasi tunggal (a+cb+d )

Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.

Contoh 1 : Tentukan bayangan titik P (2 ,−5 ) dan Q(−3 , 1)oleh translasi T = (23)

Jawab.

Untuk titik P : P(2,-5) → P’(2+2,-5+3) = A’(4,-2)

Untuk titik Q : Q(-3,1) → Q’(-3+2,1+3) = B’(-1,4)

Contoh 2 : Tentukan hasil translasi dari persamaan parabola x = y2 oleh translasi T =

(−13 ). Gambarkan grafik sebelum dan sesudah translasi.

Jawab.

Persamaan translasi adalah:

Substitusikan persamaan translasi ke persamaan parabola didapat:

Grafik parabola asal dan hasil translasi diperlihatkan pada gambar berikut :

Contoh 3: Translasi T 1=( p

q )memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6)

a. Tentukan translasi tersebut !

b. Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2), B(3, 4), dan

C(5, 6) oleh translasi tersebut.

c. Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan lagi dengan

T 2=(−1−1)

Tentukan bayangannya!

d. Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2 ◦ T1. Samakah jawabannya

dengan jawaban c?

Jawab.

a.A (1,2 ) T⃗1( p

q ) A ' (1+ p , 2+q ) =A1 (4,6 )

Diperoleh 1+p = 4 sehingga p = 3

2+q = 6 sehingga q = 4

Jadi translasi tersebut adalah T 1=(34)

b. translasi T 1=(34)

artinya artinya memindahkan suatu titik 3 satuan ke kanan

dan 4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titiktitik A', B', dan C'dari

segitiga ABC dengan translasi T1, kalian memperoleh segitiga A'B'C' sebagai

berikut

A (1,2 ) T⃗1(34 ) A ' (1+3,2+4 )=A ' ( 4,6 )

B (3,4 ) T⃗1(34 ) B' (3+3,4+4 )=B ' (6,8 )

C (−5,6 ) T⃗1(34 )C ' (−5+3,6+4 )=C ' (−2 ,10 )

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(4,6),

B'(6,8), dan C'(-2,10)

c.A ' (4,6 ) T⃗ 2(−1

−1) A '' ( 4+(−1 ) , 6+(−1 ) )=A '' (3,5 )

A ' (6,8 ) T⃗2(−1−1) A '' (6+ (−1 ) ,8+ (−1 ) )=B '' (5,7 )

A ' (4,6 ) T⃗ 2(−1−1 ) A '' ( (−2 )+(−1 ) ,10+ (−1 ) )=A '' (−3,9 )

Jadi bayangan segitiga A'B'C' adalah segitiga A''B''C'' dengan titik A''(3,5),

B''(5,7) dan C''(-3,9)

d. translasi titik T 1∘T 2=(3+ (−1 )

4+(−1 ))=(23)A (1,2 )⃗(23) A ' (1+2,2+3 )=A ' (3,5 )

B (3,4 )⃗(23) B ' (3+2,4+3 )=B ' (5,7 )

C (−5,6 )⃗(23)C ' (−5+2,6+3 )=C ' (−3,9 )

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(3,5), B'(5,7)

dan C'(-3,9) Perhatikan bahwa segitiga yang kalian peroleh pada jawaban c sama

dengan segitiga yang kalian peroleh pada jawaban d.

Contoh 5 : Tentukan bayangan lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 jika ditranslasikan

T=(−52 )

!

Jawab .

Ambil sembarang titik P(a,b) pada lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 sehingga

diperoleh (a-3)2 + (b+1)2 = 4

Translasikan titik P dengan T=(−5

2 ) sehingga diperoleh

P (a , b )⃗(−52 ) P '' (a−5 , b+2 )

Jadi titik P'(a-5, b+2)

Perhatikan bahwa: a'= a - 5. Dari persamaan (*), didapat a = a' + 5.

b'= b + 2. Dari persamaan (*), didapat b = b' - 2.

Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan

Diperoleh (a'+ 5-3)2 + (b' - 2+1)2 = 4

P

R

P’ = bayangan P

Garis cermin

(a'+ 2)2 + (b' - 1)2 = 4

Jadi bayangan dari (a'+ 5-3)2 + (b' - 2+1)2 = 4 jika ditranslasikan dengan

T=(−52 )

adalah (a'+ 2)2 + (b' - 1)2 = 4

B. Refleksi (pencerminan)

Definisi :

Suatu Pencerminan atau refleksi terhadap suatu garis g adalah suatu transformasi

yang memetakan setiap titik P ke titip P’ pada pihak lain terhadap garis g sedemikian

hingga ruas garis PP’ tegak lurus pada garis g yang memotongnya di R dan PR = RP’

Refleksi (pencerminan) adalah bentuk transformasi geometri yang memindahkan

obyek menjadi bayangan seperti di depan cermin. Misal suatu segitiga dicerminkan

terhadap garis l, hasil dari pencerminan diperlihatkan pada Gambar berikut :

Pencerminan titik terhadap sumbu cermin, jarak titik asal ke sumbu cermin

sama dengan jarak titik bayangan ke sumbu cermin. Pada koordinat cartesius, titik

P(x,y), dicerminkan terhadap sumbu x dan sumbu y hasil dari pencerminan

diperlihatkan pada Gambar 8.5.6.

Titik P(x,y), dicerminkan terhadap sumbu x menghasikan P'(x,-y), bentuk

persamaan hasil pencerminan ini adalah:

Dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks:

Matriks (1 00 −1)disebut matriks pencerminan terhadap sumbu x. Dengan cara

yang sama dapat dicari bentuk-bentuk matriks pencerminan pada sumbu-sumbu cermin

yang lain, untuk memudahkan mempelajari pencerminan bentuk-bentuk matriks

pencerminan ditulis dalam tabel berikut :

Matriks Transforamasi Pencerminan

No Refleksi Rumus Matriks

1 Refleksi terhadap

sumbu- x

A ( x , y ) s⃗b . x A ' ( x ,− y ) (x 'y ')=(1 0

0 −1 )(xy)

2 Refleksi terhadap

sumbu- y

A ( x , y ) s⃗b . y A ' (−x , y ) (x 'y ')=(−1 0

0 1 )(xy)

3 Refleksi terhadap

garis y=x

A ( x , y ) y⃗=x A ' ( y , x ) (x 'y ')=(0 1

1 0 )( xy )

4 Refleksi terhadap

garis y=-x

A ( x , y ) y⃗=−x A ' ( y ,−x ) (x 'y ')=( 0 −1

−1 0 )(xy )

5 Refleksi terhadap

garis x=k

A ( x , y ) x⃗=k A ' (2 k−x , y )

6 Refleksi terhadap

garis y=k

A ( x , y ) y⃗=k A ' ( x , 2k− y )

7 Refleksi terhadap

titik (p,q)

A ( x , y ) (⃗ p ,q ) A ' (x ', y ' )Sama dengan rotasi pusat (p,q)

sejauh 180˚

(x '−py '−q )=(cos180 ° −sin 180 °

sin 180 ° cos180 ° )(x−py−q )

8 Refleksi terhadap

titik pusat (0,0)

A ( x , y ) (⃗ 0,0 ) A ' (−x ,− y ) (x 'y ')=(−1 0

0 −1 )(xy )

9 Refleksi terhadap

garis

y=mx,m=tan α

A ( x , y ) y⃗=mx A ' ( x ', y ' )dengan x '=xcos2 α + y sin2 α

y '=x sin 2 α− y cos2 α

(x 'y ')=(cos2α sin 2 α

sin2 α −cos2α )(xy )

10 Refleksi terhadap

garis y=x+k

A ( x , y ) y⃗=x+k A ' ( x ', y ' )dengan x '= y−k

y '=x+k

(x 'y ')=(0 1

1 0 )( xy−k )+(0k )

11 Refleksi terhadap

garis y=-x+k

A ( x , y )⃗ y=−x+k A ' ( x ', y ' )dengan x '=− y+k

y '=−x+k

(x 'y ')=( 0 −1

−1 0 )( xy−k )+(0k )

Pengembangan pencerminan dengan mengganti sumbu cerminnya. Hasil

pencerminan terhadap beberapa sumbu cermin adalah sebagai berikut:

Sumbu cermin garis x = h

P(x,y), hasil pencerminan (bayangan) adalah P’( 2h-x , y )

Sumbu cermin garis y = k

P(x,y), hasil pencerminan (bayangan) adalah: P'( x, 2k-y )

Sumbu cermin garis y = mx , bentuk matriks pencerminan:

SIFAT-SIFAT

a. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya

yang direfleksikan tidak berpindah.

b. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi

(pergeseran) dengan sifat:

Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu

pencerminan.

Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke

sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatif.

c. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus,

menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari

kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures

bersifat komutatif.

d. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan

menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:

Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.

Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu

pencerminan.

Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.

Contoh

Koordinat-koordinat titik sudut suatu segitiga ABC adalah A(4, 0), B(6, 3), dan C(1,4).

Tentukan bayangan dari titik-titik tersebut jika direfleksikan terhadap garis x = –2.

Jawab:

Diketahui garis x = h = –2

Bayangan ditentukan dengan persamaan releksigaris x = h berikut.

x' = 2h – x

y' = y

Pada titik A(4, 0), x = 4 dan y = 0 diperoleh

x' = 2h – x

= 2 (–2) – 4 = –8

y' = y = 0

Jadi, bayangan dari A(4, 0) adalah A'(–8, 0)

Pada titik B(6, 3), x = 6 dan y = 3, diperoleh

x' = 2h – x

= 2 (–2) – 6 = –10

y' = y = 3

Jadi, bayangan dari B(6, 3) adalah B'(–10, 3)

Pada titik C(1, 4), x = 1 dan y = 4, diperoleh

x' = 2h – x

= 2 (–2) – 1 = –5

y' = y = 4

Jadi, bayangan dari C(1, 4) adalah C'(–5, 4).

Segitiga ABC dan bayangan A', B', C' yang terbentuk tampak seperti

gambar berikut.

C. Rotasi (perputaran)

Rotasi adalah bentuk transformasi geometri untuk memindahkan obyek dengan

cara pemutaran. Untuk melakukan rotasi diperlukan titik pusat, besar sudut dan arah

sudut rotasi. Arah putaran sudut positif berlawanan dengan jarum jam, sebaliknya

untuk arah sudut yang negatif putaran searah dengan jarum jam. Gambar 8.5.3

memperlihatkan bangun segitiga dirotasikan dengan pusat titik O(0,0), sudut putar

sebesar q searah jarum jam.

Misalkan titik P(x,y), diputar dengan titik pusat O(0,0) dengan sudut putar

sebesar q radian berlawanan arah jarum jam, untuk mendapatkan titik hasil rotasi yaitu

titik P'(x ',y') perhatikan Gambar 8.5.4.

OP = OP’ = r, ∠XOP = α , ∠POPꞌ = θ

xꞌ = r cos , y = r sin α

xꞌ = r cos (α +θ ¿

=r ( cosα cosθ – sin α sinθ ¿

= r cosα cosθ – r sin α sinθ ¿

= x cosθ – y sin θ…………………………………......................... (1)

yꞌ = r sin (α +θ ¿

=r ( sinα cosθ+cos α sin θ ¿

= r sin α cosθ+r cos α sin θ ¿

= y cosθ+x sin θ

= x sinθ+ y cosθ…………………………………………………… (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

Dalam bentuk matriks persamaan diatas dapat dinyatakan sebagai berikut:

Jadi, diperoleh rumus:

Bila titik P(x,y) diputar dengan pusat O sebesar q radian akan menjadi titik P'(x ',y')

dimana:

Bentuk matriks:

MR=q = (cos θ −sin θsinθ cosθ ) adalah matriks rotasi dengan pusat O sebesar q radian.

Dengan cara yang sama akan diperoleh, jika titik P(x,y) diputar dengan pusat A(a,b)

sebesar q radian akan menjadi titik P'(x ',y') dengan

( x ꞌ−ay ꞌ−b)= (cos θ −sin θ

sinθ cosθ ) ( x−ay−b)

Rotasi Rumus Matriks

Rotasi

dengan pusat

(0,0) dan

sudut putar α

A ( x , y ) R⃗ (0 , α ) A ' (x ', y ' )dengan x '=xcos α− y sin α

y '=x sin α+ y cos α

(x 'y ')=(cosα −sin α

sin α cosα )(xy )

Rotasi

dengan pusat

P(a,b) dan

sudut putar α

A ( x , y ) R⃗ ( P , α ) A ' ( x ', y ' )dengan x '−a= (x−a ) cosα−( y−b ) sin α

y '−b=( x−a )sin α+( y−b ) cosα

(x 'y ')=(cosα −sin α

sin α cosα )(x−ay−b)+(ab )

Keterangan

α + : arah putaran berlawanan putaran jarum jam

α - : arah putaran searah putaran jarum jam

SIFAT-SIFAT

1. Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putardsama dengan

jumlah kedua sudut putar semula.

2. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.

Catatan:

Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran

(rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk

aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.

Contoh:

Tentukan bayangan dari persamaan parabola y = x2 diputar dengan sudut putar sebesar

90° berlawanan arah jarum jam, titik pusat (2,0)

Jawab.

Pusat rotasi (2,0) , besar sudut putar 90° berlawanan arah jarum jam,

persamaan rotasi:

Substitusikan ke persamaan parabola y = x2 didapat persamaan bayangan:

( 2 - xꞌ ) = ( yꞌ + 2 )2 atau xꞌ = - (yꞌ)2 - 4 yꞌ - 2

Jadi bayangan dari persamaan parabola y = x2 yang diputar dengan sudut putar

sebesar 90° berlawanan arah jarum jam, titik pusat (2,0) adalah x = - y2 – 4y – 2

D. Dilatasi (perkalian)

Dilatasi adalah bentuk transformasi geometri yang memperbesar atau

memperkecil obyek tanpa mengubah bentuk obyek tersebut. Untuk melakukan dilatasi

diperlukan pusat dilatasi dan faktor pengali atau skala. Faktor yang menyebabkan

diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor dilatasi. Faktor dilatasi ini

dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya k.

Jika k > 1 atau k < -1, maka hasil dilatasinya diperbesar

Jika -1 < k < 1, maka hasil dilatasinya diperkecil

Jika k = 1, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan

Perhatikan Gambar 8.5.7, suatu titik P(x,y), dilakukan dilatasi dengan pusat

O(0,0) dengan skala a.

Persamaan dilatasi dengan pusat O(0,0) dan k skala dinyatakan dalam

bentuk:

x ' = kx

y' = ky

Persamaan matriksnya adalah:

Matriks (k 00 k ) disebut matriks dilatasi D [ 0 , k ]

Untuk dilatasi dengan pusat P(a,b), dengan skala k dan ditulis D[P,k], bentuk

persamaannya adalah:

Persamaan dalam bentuk matriks adalah:

Dilatasi Rumus Matriks

Dilatasi dengan pusat (0,0)

dan faktor dilatasi k

A ( x , y ) [⃗0 , k ] A ' (kx , ky ) (x 'y ')=(k 0

0 k )(xy )

Dilatasi dengan pusat

P(a,b) dan faktor dilatasi k

A ( x , y ) [⃗ P , k ] A ' ( x ', y ' )dengan x '−a=k ( x−a )

y '−b=k ( y−b )(x '

y ')=(k 00 k )(x−a

y−b)+(ab)

Contoh:

Gambarlah bayangan segitiga ABC dengan titik-titik sudutnya A(5, 0), B(6, 2), dan C(3,

3) yang didilatasi terhadap titik pusat dilatasi P(1, 1) dengan faktor dilatasi –2.

Jawab:

Pertama tentukan terlebih dahulu bayangan dari titik-titik sudutnya. Diketahui

titik pusat dilatasi adalah P(1, 1) maka a = 1 dan b = 1. Faktor dilatasi = k = –2.

Bayangan ditentukan dengan menggunakan persamaan dilatasi terhadap titik

pusat P(a, b).

x' = a + k(x – a)

y' = b + k(y – b)

Untuk A(5, 0) maka x = 5 dan y = 0.

x' = 1 + (–2)(5 – 1) = 1 + (–8) = –7

y' = 1 + (–2)(0 – 1) = 1 + 2 = 3

Jadi, bayangan dari A(5, 0) adalah A'(–7, 3).

Untuk B(6, 2) maka x = 6 dan y = 2.

x' = 1 + (–2)(6 – 1) = 1 + –10 = –9

y' = 1 + (–2)(2 – 1) = 1 + (–2) = –1

Jadi, bayangan dari B(6, 2) adalah B'(–9, –1).

Untuk C(3, 3) maka x = 3 dan y = 3.

x' = 1 + (–2)(3 – 1) = 1 + (–4) = –3

y' = 1 + (–2)(3 – 1) = 1 + (–4) = –3

Jadi, bayangan dari C(3, 3) adalah C'(–3, –3).

Bangun datar yang terbentuk adalah sebagai berikut:

E. Komposisi Transformasi Dengan Matriks

Matriks yang bersesuaian dengan transformasi geometri

Transformasi Rumus Matriks

Identitas A ( x , y ) 1⃗ A ' ( x , y ) (x 'y ')=(1 0

0 1 )( xy )

Translasi A ( x , y )⃗( p

q ) A ' ( x+ p , y+q ) (x 'y ')=(x

y)+( pq )

Refleksi

terhadap

sumbu- x

A ( x , y ) s⃗b . x A ' ( x ,− y ) (x 'y ')=(1 0

0 −1 )(xy)

Refleksi

terhadap

sumbu- y

A ( x , y ) s⃗b . y A ' (−x , y ) (x 'y ')=(−1 0

0 1 )(xy)

Refleksi

terhadap garis

y=x

A ( x , y ) y⃗=x A ' ( y , x ) (x 'y ')=(0 1

1 0 )( xy )

Refleksi

terhadap garis

y=-x

A ( x , y ) y⃗=−x A ' ( y ,−x ) (x 'y ')=( 0 −1

−1 0 )(xy )

Refleksi

terhadap garis

x=k

A ( x , y ) x⃗=k A ' (2 k−x , y )

Refleksi

terhadap garis

A ( x , y ) y⃗=k A ' ( x , 2k− y )

y=k

Refleksi

terhadap titik

(p,q)

A ( x , y ) (⃗ p ,q ) A ' (x ', y ' )Sama dengan rotasi pusat (p,q)

sejauh 180˚

(x '−py '−q )=(cos180 ° −sin 180 °

sin 180 ° cos180 ° )(x−py−q )

Refleksi

terhadap titik

pusat (0,0)

A ( x , y ) (⃗ 0,0 ) A ' (−x ,− y ) (x 'y ')=(−1 0

0 −1 )(xy )

Refleksi

terhadap garis

y=mx,m=tan α

A ( x , y ) y⃗=mx A ' ( x ', y ' )dengan x '=xcos2 α + y sin2 α

y '=x sin 2 α− y cos2 α

(x 'y ')=(cos2α sin 2α

sin2 α −cos2 α )(xy )

Refleksi

terhadap garis

y=x+k

A ( x , y ) y⃗=x+k A ' ( x ', y ' )dengan x '= y−k

y '=x+k

(x 'y ')=(0 1

1 0 )( xy−k )+(0k )

Refleksi

terhadap garis

y=-x+k

A ( x , y )⃗ y=−x+k A ' ( x ', y ' )dengan x '=− y+k

y '=−x+k

(x 'y ')=( 0 −1

−1 0 )( xy−k )+(0k )

Rotasi dengan

pusat (0,0) dan

sudut putar α

A ( x , y ) R⃗ (0 , α ) A ' (x ', y ' )dengan x '=xcos α− y sin α

y '=x sin α+ y cos α

(x 'y ')=(cosα −sin α

sin α cosα )(xy )

Rotasi dengan

pusat P(a,b)

dan sudut putar

α

A ( x , y ) R⃗ ( P , α ) A ' ( x ', y ' )x '−a=( x−a ) cosα−( y−b ) sin αy '−b= (x−a ) sin α+ ( y−b )cos α

(x 'y ')=(cosα −sin α

sin α cosα )(x−ay−b)+(ab )

Dilatasi dengan

pusat (0,0) dan

factor dilatasi k

A ( x , y ) [⃗0 , k ] A ' (kx , ky ) (x 'y ')=(k 0

0 k )(xy )

Dilatasi dengan

pusat P(a,b)

dan faktor

dilatasi k

A ( x , y ) [⃗ P , k ] A ' ( x ', y ' )dengan x '−a=k ( x−a )

y '−b=k ( y−b )(x '

y ')=(k 00 k )(x−a

y−b)+(ab)

F. Komposisi transformasi

1. komposisi dua translasi berurutan

Diketahui dua translasi T 1=(ab )

dan T 2=(cd)

. Jika translasi T 1 dilanjutkan

translasi T 2 maka dinotasikan ”T 1∘T 2 ” dan translasi tunggalnya adalah

T=T1+T2=T2+T1(sifat komutatif).

2. komposisi dua refleksi berurutan

a. refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis x=b.

Maka bayangan akhir A adalah A ' ( x ', y ' ) yaitu:

x'=2(b-a)+x

y'=y

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y=a dilanjutkan terhadap garis y=b.

Maka bayangan akhir A adalah A ' ( x ', y ' ) yaitu:

x'=x

y'=2(b-a)+y

b. refleksi terhadap dua sumbu saling tegak lurus

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis y=b

(dua sumbu yang saling tegak lurus) maka bayangan akhir A adalah A ' ( x ', y ' ) sama dengan rotasi titik A(x,y) dengan pusat titik potong dua sumbu (garis) dan

sudut putar 180˚

c. refleksi terhadap dua sumbu yang saling berpotongan

Jika titik A(x,y) direleksikan terhadap garis g dilanjutkan terhadap garis h, maka

bayangan akhirnya adalah A ' ( x ', y ' ) dengan pusat perpotongan garis g dan h

dan sudut putar 2α(α sudut antara garis g dan h) serta arah putaran dari garis g ke

h.

Catatan

tan α=mk−ml

1+mk⋅ml

ml=gradien garis lmk=gradien garis k

d. sifat komposisi refleksi

Komposisi refleksi (refleksi berurutan) pada umumnya tidak komutatif kecuali

komposisi refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan terhadap sumbu y (dua sumbu

yang saling tegak lurus).

3. rotasi berurutan yang sepusat

a. Diketahui rotasi R1(P(a,b),α) dan R2(P(a,b),β), maka transformasi tunggal dari

komposisi transformasi rotasi R1 dilanjutkan R2 adalah rotasi R(P(a,b),α+β)

b. Rotasi R1 dilanjutkan R2 sama dengan rotasi R2 dilanjutkan R1

4. komposisi transformasi

Diketahui transformasi T 1=(a b

c d ) dan T 2=( p qr s )

maka transformasi tunggal

dari transformasi:

a. T1 dilanjutkan T2 (T2 ◦ T1) adalah T=T2 . T1

b. T2 dilanjutkan T1 (T1 ◦ T2) adalah T=T1 . T2

Catatan T1 . T2 = T2 . T1

5. bayangan suatu kurva/bangun oleh dua transformasi atau lebih

Contoh: Tentukan bayangan garis -4x+y=5 oleh pencerminan terhadap garis y=x

dilanjutkan translasi (32 )

!

Jawab: misal titik P(x,y) pada garis -4x+y=5

P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannya P'(y,x)

P'(y,x) ditranslasi (32 )

. Bayangannya P''(y+3, x+2)=P''(x'',y'')

Jadi x'' = y +3 → y = x''-3

y'' = x +2 → x = y'' -2

persamaan -4x+y=5 → -4(y'' -2) + (x'' - 3) = 5

-4y'' + 8 + x'' – 3 = 5

x'' - 4y''= 0

jadi bayangan akhirnya adalah x - 4y= 0

6. luas bangun hasil tranformasi

Jika suatu bangun (segitiga, lingkaran, dan lain-lain) ditransformasikan maka:

a. Luas bangun bayangan tetap untuk transformasi : translasi, refleksi, dan rotasi.

b. Luas bangun bayangan berubah untuk transformasi dilatasi, yaitu jika luas

bangun mula-mula L setelah didilatasi oleh [P(a,b),k], maka luas bangun

bayangannya adalah L'=k2 +L.

Daftar Pustaka

Soewito,dkk.1991.Pendidikan Matematika 1.Jakarta: Departemen Pendidikan dan

Kebudayaan.

Kuntarti,dkk.2012.Erlangga Fokus UN SMA 2012.Jakarta:Erlangga.

kbs.jogjakota.go.id/upload/transformasi-geometri.doc diakses pada tanggal 4 April 2013

siahaanfamz.files.wordpress.com/2012/ diakses pada tanggal 1 April 2013

www.tofi.or.id diakses pada tanggal 1 April 2013

http://black59.blogspot.com/2011/11/transformasi-geometri.html diakses pada tanggal 1

April 2013

http://www.idomaths.com/id/transformasi_linier.php diakses pada tanggal 1 April 2013

http://matematikaaq.blogspot.com/2012/10/dilatasi-dan-rotasi-matematika-sma.html

diakses pada tanggal 1 April 2013

http://putriristanti.blogspot.com/2012_10_01_archive.html diakses pada tanggal 1 April

2013

http://yongkibudis.blogspot.com/2011/12/transformasi-geometri.html diakses pada

tanggal 1 April 2013

empatmutiara.weebly.com diakses pada tanggal 1 April 2013

http://www.isaveme.web.id/2012/01/transformasi-geometri.html diakses pada tanggal 1

April 2013

http://karifin38.blogspot.com/2013/03/geometri-transformasi.html diakses pada tanggal

1 April 2013

matekok.files.wordpress.com/2010/12/transformasi.ppt diakses pada tanggal 1 April

2013