Teori Relativitas Khusus - · PDF fileTransformasi Lorentz Koordinat kereta dinyatakan dalam...

Teori Relativitas Khusus

Agus Suroso ([email protected])

Fisika Teoretik Energi Tinggi dan Instrumentasi, Institut Teknologi Bandungagussuroso102.wordpress.com

18 April 2017

Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 1 / 39

Materi

1 Relativitas, Galileo vs Einstein

2 Transformasi Lorentz

3 Relativitas dari Keserentakan

4 Relativitas Kecepatan

5 Kontraksi Panjang

6 Dilasi waktu

7 Momentum

8 Energi


Relativitas, Galileo vs Einstein





5 Kontraksi Panjang

6 Dilasi waktu

7 Momentum

8 Energi



Prinsip Relativitas Galileo

Prinsip relativitas Galileo:

”Hukum-hukum mekanik haruslah berbentuk sama menurut semuakerangka acuan inersial.”

Kerangka acuan inersial adalah kerangka acuan yang tidak dipercepat (diamatau bergerak dengan kecepatan konstan). Contoh: stasiun dan kereta yangbergerak dengan kecepatan konstan




Seseorang berdiri di dalam kereta yang bergerak dengan kecepatan konstan (v).

v

yk

xk

ys

xs

vtxs

xk

Stasiun (s) Kereta (k)

Posisi ruangwaktu orang menurut kedua kerangka adalah:

ts = tk , ys = yk , zs = zk , (1)

xs = xk + vt. (2)

(transformasi Galileo)Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 5 / 39



Jika kemudian orang berjalan dalam kereta dengan kecepatan uk relatif terhadapkereta,

Kecepatan orang menurut kedua kerangka adalah:

us =dxsdts

, uk =xkdtk

. (3)

Dari transformasi Galileo,us = uk + v . (4)




Bagaimana jika ada berkas cahaya yang merambat dalam kereta dengankecepatan c menurut kereta?

Kecepatan cahaya menurut stasiun menjadi:

cs = c + v . (5)

Kecepatan cahaya menurut kedua kerangka berbeda! Ini bertentangan dengan

teori Maxwell tentang gelombang elektromagnetik, bahwa c = 1√µ0ε0

(konstan).



Prinsip Relativitas Einstein

Einstein:1 Prinsip relativitas: hukum-hukum Fisika haruslah berbentuk sama di

semua kerangka acuan inersial.2 Laju cahaya konstan: Laju cahaya dalam vakum bernilai sama

c = 3.00× 108 m/s, bagi semua kerangka inersial, tidak bergantungpada kecepatan pengamat atau kecepatan sumber yang memancarkancahaya.


Transformasi Lorentz





5 Kontraksi Panjang

6 Dilasi waktu

7 Momentum

8 Energi



Kereta dan Stasiun (lagi)

Menurut Lorentz, hubungan antara koordinat menurut kereta dan stasiunseharusnya berbentuk

t = γ(t ′ + vx ′/c2

), (6)

x = γ (x ′ + vt ′) , (7)

y = y ′, z = z ′. (8)

dengan γ disebut faktor Lorentz.Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 10 / 39


Faktor Lorentz dan parameter kecepatan

Faktor Lorentz

γ =1√

1− β2, (9)

parameter kecepatan,

β =v

c. (10)

Untuk laju kerangka yang rendah, v << c :

β ≈ 0, (11)

γ ≈ 1. (12)



Koordinat kereta dinyatakan dalam koordinat stasiun

Tulis kembali pers.(6)t = γ

(t ′ + vx ′/c2.

)(13)

Bagi pers. (7) dengan v ,

x

v= γ

(x ′

v+ t ′

). (14)

Kurangkan dua persamaan terakhir,

t − x

v= γ

(vx ′/c2 − x ′

v

)=

x ′

vγ(v 2/c2 − 1

). (15)

Selesaikan untuk mendapatkan

x ′ = γ (x − vt) . (16)



Koordinat kereta dinyatakan dalam koordinat stasiun

Dengan cara yang mirip seperti sebelumnya, didapat

t ′ = γ(t − vx/c2

). (17)

F Jadi secara total:

t = γ(t ′ + vx ′/c2

),

x = γ(x ′ + vt ′

),

y = y ′, z = z ′.

t ′ = γ(t − vx/c2

),

x ′ = γ (x − vt) ,

y ′ = y , z ′ = z .

Untuk β = v/c kecil, persamaan tersebut akan kembali ke transformasiGalileo

t ′ = t, x = x ′ + vt. (18)


Relativitas dari Keserentakan





5 Kontraksi Panjang

6 Dilasi waktu

7 Momentum

8 Energi




Salah satu konsekuensi dari laju cahaya konstan adalah dua orang yang bergerakrelatif satu sama lain tidak akan sepakat apakah dua kejadian terjadi serentak(simultan) atau tidak.




Jika ada dua kejadian berurutan (misalnya dua petir yang terjadiberurutan), maka kerangka kereta dan stasiun masing-masing mengamatiselang waktu dua kejadian tersebut sebagai ∆t ′ dan ∆t. Hubungankeduanya mengikuti pers. (6):

∆t = γ(∆t ′ + v∆x ′/c2

). (19)

Jika seseorang di kereta mengamati kedua petir terjadi secara serentak,maka ∆t ′ = 0, dan menurut persamaan di atas, ∆t 6= 0. Demikian jugajika sebaliknya, ∆t = 0⇒ ∆t ′ 6= 0.

Jadi, serentak atau tidak itu relatif!


Relativitas Kecepatan





5 Kontraksi Panjang

6 Dilasi waktu

7 Momentum

8 Energi



Relativitas kecepatan

Dari pers.(6) dan (7), diperoleh

∆x = γ (∆x ′ + v∆t ′) , (20)

∆t = γ(∆t ′ + v∆x ′/c2

). (21)

Dengan sedikit aljabar, diperoleh

u =u′ + v

1 + u′v/c2⇔ u′ =

u − v

1− uv/c2. (22)




Jika lampu dalam kereta memancarkan cahaya, maka laju cahaya menurutorang di kereta adalah u′ = c dan menurut orang di stasiun

u =c + v

1 + cv/c2= c . (23)

Artinya, laju cahaya menurut pengamat di stasiun juga c .

Demikian juga sebaliknya, jika u = c maka

u′ =c − v

1− cv/c2= c . (24)

Jadi, c konstan bagi semua pengamat.




Jika lampu dalam kereta memancarkan cahaya, maka laju cahaya menurutorang di kereta adalah u′ = c dan menurut orang di stasiun

u =c + v

1 + cv/c2= c . (23)

Artinya, laju cahaya menurut pengamat di stasiun juga c .Demikian juga sebaliknya, jika u = c maka

u′ =c − v

1− cv/c2= c . (24)

Jadi, c konstan bagi semua pengamat.




1 Dua benda bergerak saling mendekat dengan kecepatanmasing-masing 0, 5c . Berapakah kecepatan relatif satu bendaterhadap lainnya? Bagaimana pula jika kecepatan kedua benda 0, 9c?

2 Sebuah mobil yang sedang bergerak dengan kecepatan v menyalakanlampu depan. Berapakah kecepatan cahaya menurut orang yang diamdi tepi jalan?

Apa kesimpulan Anda?


Kontraksi Panjang





5 Kontraksi Panjang

6 Dilasi waktu

7 Momentum

8 Energi


Kontraksi Panjang

Tinjau posisi jendela kereta

Ahmad berada di dalam kereta.Menurutnya, posisi kursi jendela ke-1dan ke-3 masing-masing x ′1 dan x ′3,dan jarak kedua jendela adalah

LA ≡ ∆x ′ = x ′1 − x ′3. (25)


Kontraksi Panjang

Tinjau posisi jendela kereta

Budi, yang berada di stasiun, mengukur jarak antarjendela denganmenentukan posisi kedua jendela saat t tertentu dan menghitungselisihnya.

Gunakan transformasi Lorentz,

∆t ′ = γ

(∆x − v ∆t︸︷︷︸

0

)⇒ LB = ∆x =

∆t ′

γ=

LA

γ. (26)

v

y'

x'

y

x

Stasiun (O) Kereta (O')

O O'x1 Lx2


Kontraksi Panjang

Kontraksi panjang

Panjang yang diukur oleh Ahmad adalah panjang proper, L0.

Benda sepanjang L0, jika bergerak dengan laju v akan mengalamikontraksi, hingga panjangnya berubah menjadi

L =L0

γ(27)

Karena γ ≥ 1, maka L ≤ L0.

Besaran L0 disebut sebagai panjang proper (proper length), yaitupanjang suatu benda yang diukur oleh pengamat yang ikut bergerakbersama benda.


Dilasi waktu





5 Kontraksi Panjang

6 Dilasi waktu

7 Momentum

8 Energi


Dilasi waktu

Dilasi waktu

Ahmad menyantap makan siangnya di dalam kereta selama waktu∆t ′.

Selama makan, Ahmad tetap duduk di kursinya (dengan demikianperubahan posisi Ahmad selama makan, menurut kerangka kereta,adalah ∆x ′ = 0).

Selang waktu Ahmad makan menurut Budi (yang berada di stasiun)adalah

∆t = γ

(∆t ′ − v ∆x ′︸︷︷︸

0

/c2

)= γ∆t ′. (28)


Dilasi waktu

Dilasi waktu

Jika ∆t0 adalah selang waktu dua kejadian yang terjadi di dalam kereta,diukur oleh pengamat di dalam kereta, maka selang waktu dua kejadiantersebut, diukur oleh orang di stasiun adalah

∆t = γ∆t0. (29)

Karena γ ≥ 1, maka ∆t ≥ ∆t0.Besaran ∆t0 disebut sebagai waktu proper (proper time), yaitu selangwaktu dua kejadian yang diukur oleh pengamat yang ikut bergerakbersama kejadian tersebut.


Dilasi waktu

Dilasi waktu: waktu hidup Muon


Momentum





5 Kontraksi Panjang

6 Dilasi waktu

7 Momentum

8 Energi


Momentum

Konsep-baru Momentum

(Mekanika klasik) Misal dalam suatu laboratorium terjadi peristiwatumbukan elastik dua benda. Peristiwa tsb diamati oleh pengamat Ayang diam di lab dan pengamat B yang bergerak dengan kecepatankonstan terhadap lab. Momentum yang diukur oleh A dan B akanberbeda, namun keduanya sepakat bahwa kekekalan momentumberlaku.

(Relativitas) Jika definisi momentum tetap p = m ∆x∆t , maka efek

relativitas menyebabkan kekekalan momentum pada peristiwatumbukan di atas tidak berlaku.

Solusi: definisikan momentum sebagai

p = m∆x

∆t0= m

∆x

∆t

∆t

∆t0= γmv ⇒ ~p = γm~v . (30)


Energi





5 Kontraksi Panjang

6 Dilasi waktu

7 Momentum

8 Energi


Energi

Energi relativistik

Tinjau suatu benda yang dipercepat dari keadaan diam hinggamemiliki kecepatan sebesar u. Usaha yang diperlukan untukmelakukan hal tsb adalah

W =

∫ x2

x1

Fdx =

∫ x2

x1

dp

dtdx . (31)

Dengan mengingat definisi momentum (30), diperoleh

dp

dt=

d

dt

mu√1− v 2/c2

=m

(1− v 2/c2)3/2

dv

dt. (32)

Ingat pula bahwa dx = vdt.


Energi

Energi relativistik

Akhirnya,

W =

∫ t

0

m

(1− v 2/c2)3/2

dv

dt(vdt)

= m

∫ u

0

v

(1− v 2/c2)3/2dv

=mc2√

1− v 2/c2−mc2

= γmc2︸︷︷︸Eakhir

−mc2︸︷︷︸Eawal

(33)


Energi

Energi relativistik

Hasil ini menunjukkan bahwabenda yang diam memilikienergi sebesar mc2, dan setelahmencapai laju v energi totalnyamenjadi γmc2.

Energi kinetik benda, didapatdari energi total dikurangienergi diam,

K = (γ − 1) mc2. (34)


Energi

Untuk kecepatan rendah, v << c

Ingat bahwa untuk nilai x → 0, berlaku

(1 + x)2 = 1 + 2x + x2 ≈ 1 + 2x ,

(1 + x)3 = 1 + 3x + 3x2 + x3 ≈ 1 + 3x ,

(1 + x)4 = 1 + 4x + 6x2 + 4x3 + x4 ≈ 1 + 4x ,

. . . dst.

Secara umum, untuk x → 0,

(1 + x)n ≈ 1 + nx . (35)

Sehingga

γ =

(1− v 2

c2

)− 12

≈ 1 +1

2

v 2

c2. (36)


Energi

Untuk kecepatan rendah, v << c

Sehingga,

(γ − 1) ≈ 1 +1

2

v 2

c2− 1 =

1

2

v 2

c2. (37)

Jadi,

K =1

2

v 2

c2×mc2 =

1

2mv 2, (38)

sama dengan energi kinetik pada fisika klasik.


Energi

Energi relativistik

Suku mc2 tidak bergantung pada kecepatan benda, disebut energidiam,

Ediam = mc2 (39)

Energi total adalah jumlah dari energi kinetik K dengan energi diamEdiam,

Etotal = K + Ediam = γmc2. (40)

Hubungan energi dan momentum,

E 2total = p2c2 + m2c4. (41)


Energi

Penutup

The relativity theory arose from necessity, from serious and deepcontradictions in the old theory from which there seemed no escape. The

strength of the new theory lies in the consistency and simplicity with whichit solves all these difficulties.1

1A. Einstein and L. Infield, The Evolution of Physics (New York: Simon andSchuster, 1961).


Energi

Ada pertanyaan?Kontak saya via: [email protected]


[email protected]

Teori Relativitas Khusus - · PDF fileTransformasi Lorentz Koordinat kereta dinyatakan dalam...

Documents

Transcript of Teori Relativitas Khusus - · PDF fileTransformasi Lorentz Koordinat kereta dinyatakan dalam...