Sistem Koordinat Polar

25
PEMBAHASAN A. SISTEM KOORDINAT POLAR Dua orang Perancis, yaitu Pierre de Fermat (1601- 1665) dan Rene Descrates (1596-1650), memperkenalkan apa yang kita sebut sistem kooordinat Cartesius atau persegi panjang. Dasar pemikiran mereka ialah untuk merinci setiap titik P di bidang dengan jalan memberikan dua bilangan (x,y), jarak berarah dari sepasang sumbu yang tegak lurus dengan sesamanya. Gagasan in sampai sekarang demikian umumnya sehingga kita menggunakannya hampir tanpa berpikir. Namun ini adalah gagasan mendasar dalam geometri analitis dan memungkinkan pengembangan kalkulus seperti yang kita capai hingga saat ini. Pemberian jarak berarah dari sepasang sumbu yang tegak lurus bukanlah satu-satunya jalan untuk merinci suatu titik. Cara lain untuk melakukan ini adalah dengan memberikan apa yang disebut koordinat polar. Koordinat polar dimulai dengan sebuah setengah garis tetap, disebut sumbu polar, memancar dari sebuah titik tetap O, disebut polar atau titik asal (lihat gambar 2). Sumbu polar dipilih horizontal dan mengarah ke Kalkulus Lanjut

Transcript of Sistem Koordinat Polar

PEMBAHASAN

A. SISTEM KOORDINAT POLAR

Dua orang Perancis, yaitu Pierre de Fermat (1601-1665) dan Rene

Descrates (1596-1650), memperkenalkan apa yang kita sebut sistem kooordinat

Cartesius atau persegi panjang. Dasar pemikiran mereka ialah untuk merinci

setiap titik P di bidang dengan jalan memberikan dua bilangan (x,y), jarak berarah

dari sepasang sumbu yang tegak lurus dengan sesamanya. Gagasan in sampai

sekarang demikian umumnya sehingga kita menggunakannya hampir tanpa

berpikir. Namun ini adalah gagasan mendasar dalam geometri analitis dan

memungkinkan pengembangan kalkulus seperti yang kita capai hingga saat ini.

Pemberian jarak berarah dari sepasang sumbu yang tegak lurus bukanlah

satu-satunya jalan untuk merinci suatu titik. Cara lain untuk melakukan ini adalah

dengan memberikan apa yang disebut koordinat polar.

Koordinat polar dimulai dengan sebuah setengah garis tetap, disebut

sumbu polar, memancar dari sebuah titik tetap O, disebut polar atau titik asal

(lihat gambar 2). Sumbu polar dipilih horizontal dan mengarah ke kanan dan oleh

sebab itu sumbu ini dapat disamakan dengan sumbu x-positif pada sebuah

koordinat siku – siku. Sebarang titik P (selain polar) adalah perpotongan anatar

sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di O dan sebuah sinar tunggal yang

memancar dari O. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan Ѳ adalah salah satu sudut

antara sinar dan sumbu polar, maka (r,Ѳ) adalah sepasang koordinat polar untuk

P.

Kalkulus Lanjut

Dalam koordinat polar, r negatif menyatakan bahwa sinar yang

berlawanan dari sisi akhir Ѳ dan |r| satuan dari titik asal. Contoh-contoh dari

persamaan polar adalah r = 8 sin Ѳ dan r = 2

1−cosѲ . Persamaan polar dapat

dibuat dalam bentuk grafik persamaan polar dimana grafik persamaan polar

adalah himpunan titik-titik, masing-masing mempunyai paling sedikit sepasang

koordinat polar yang memenuhi persamaan polar tersebut.

Cara yang paling mendasar untuk mensketsakan grafik ialah menyusun

tabel nilai – nilai, plot titik – titik yang berpadanan, kemudian menghubungkan

titik-titik ini dengan kurva mulus.

Hubungan Koordinat Cartesius Kita andaikan bahwa sumbu polar berimpit

dengan sumbu x-positif sistem Cartesius. Maka koordinat polar (r,Ѳ) sebuah titik

P dan koordinat Cartesius (x,y) titik yang sama itu dihubungkan oleh persamaan

Polar ke Cartesius Cartesius ke Polar

x = r cosѲ r2 = x2 + y2

y = r sin Ѳ tanѲ = yx

Contoh :

Carilah koordinat Cartesius yang berpadanan dengan (4,π6

) dan koordinat polar

yang berpadanan dengan (-3,√3) !

Penyelesaian :

Jika (r,Ѳ) = (4,π6

) maka :

Kalkulus Lanjut

x = 4 cosπ6

= 4. √32

= 2√3

y = 4 sinπ6

= 4. 12 = 2

Jika (x,y) = (-3,√3) maka :

r2 = (−3)2 + (√3)2 = 12

tanѲ = √3−3

Satu nilai (r,Ѳ) adalah (2√3, 5 ᴨ/6). Lainnya adalah (-2√3, -ᴨ/6).

Persamaan Polar untuk Garis, Lingkaran, dan Konik Jika sebuah garis

melalui polar, persamaannya adalah θ=θ0. Apabila garis tidak melalui polar,

maka garis

tersebut berjarak misalnya d dari kutub (d>0). Andaikan θ0sudut antara sumbu

polar dan garis tegaklurus dari polar pada garis itu (Figure 9). Apabila P(r , θ)

sebuah titik pada garis, maka cos ( θ−θ0 )=dr

,atau

Apabila sebuah lingkaran dengan jari-jari a berpusat di polar, persamaannya

adalah r = a. Apabila pusatnya di (r0 , θ0), persamaannya agak rumit, kecuali kalau

Kalkulus Lanjut

Garis : r= dcos (θ−θ0)

kita pilih r0=a (Figure 10). Maka menurut hukum kosinus,

a2=r2+a2−2ra cos(θ−θ0) yang dapat disederhanakan menjadi

Suatu hal yang menarik jika θ0=0 dan θ0=π /2. Yang pertama menghasilkan

persamaan r=2a cosθ; yang kedua menghasilkan r=2 a cos (θ− π2) atau

r=2a sinθ. Persamaan terakhir hendaknya dibandingkan dengan contoh 1.

Akhirnya kalau sebuah konik (elips, parabol, atau hiperbol) diletakkan sedemikian

hingga fokusnya berada di polar, garis arahnya berjaark d satuan dari kutub

(Figure 11), maka dengan menggunakan definisi konik, yaitu |PF|=e∨PL∨¿ kita

akan memperoleh

r=e [ d−r cos (θ−θ0 ) ]

Atau, secara analitik setara

Ada lagi kasus yang menarik, yaitu untuk θ0=0 dan θ0=π /2. Perhatikan

bahwa apabila e=1 dan θ0=0 kita memperoleh persamaan dalam contoh 2.

Kalkulus Lanjut

Lingkaran : r=2 acos (θ−θ0 )

Konik :r= ed1+e cos (θ−θ0)

Contoh

Contoh 1: Tentukan persamaan elips mendatar dengan keeksentrikan ½,

berfokus di polar dan dengan garis arah tegak yang jaraknya 10 satuan di

sebelah kanan polar.

Penyelesaian

r=

12

.10

1+12

cosθ=

102+cos θ

Kalkulus Lanjut

Contoh 2: Tentukan jenis konik dan gambarkan grafik yang persamaannya

r= 72+4 sin θ

Penyelesaian kita tulis persamaan itu dalam bentuk baku sebagai berikut.

r=7

2+4 sin θ=

7 /21+2sinθ

=2( 7

4)

1+2sin θ

Yang kita kenal sebagai koordinat polar

menggambarkan sebuah hiperbol dengan e =

2, berfokus di polar dan dengan garis arah

yang mendatar, sejauh 7/4 satuan di atas

sumbu polar ( Figure 12).

Kalkulus Lanjut

B. GRAFIK PERSAMAAN POLAR

Persamaan polar yang ditinjau dalam sebelumnya menuju ke grafik-grafik

yang dikenal, terutama garis, lingkaran, dan konik. Sekarang kita mengalihkan

perhatian kita pada grafik-grafik yang lebik eksotis – kardioida, limason,

lemniskat, mawar, dan spiral. Persamaan-persamaan Cartesius padanannya agak

rumit. Beberapa kurva memiliki persamaan sederhana dalam suatu system; kurva-

kurva ini mmiliki persamaan sederhana dalam system yang kedua. Sifat simetri

dapat membantu kita memahami sebuah grafik. Berikut beberapa uji yang cukup

untuk kesimetrian dalam koordinat polar. Diagram-diagram akan membantu Anda

mengembangkan validitas mereka.

1. Grafik persamaan polar simetri terhadap sumbu-x (sumbu polar) jiak

penggantian (r,θ) atau oleh ( - r, - θ ) memnghasilkan persamaan yang

ekuivalen.

2. Grafik persamaan polar simetri terhadap sumbu-y (gariθ s = /2) jika

penggantian (r, θ) oleh (-r, -θ) atau oleh ( r, - θ ) menghasilkan persamaan

ekuivalen.

Kalkulus Lanjut

3. Grafik persamaan polar simetris terhadap titik asal (polar), jika pengganti ( r, θ

) oleh (- r, θ) atau oleh ( r, + θ ) menghasilkan persamaan yang ekuivalen.

Karena pernyataan ganda titik-titik di dalam koordinat polar, maka mungkin

terdapat simetri-simetri yang tidak teridentifikasi oleh ketiga tes ini.

Kardioida dan Limason kita tinjau persamaan yang berbentuk

r = a ± b cos θ r = a ± b sin θ

dengan a dan b positif. Grafik mereka dinamakan limason, dengan khusus untuk

a = b disebut sebagai kardioda.

CONTOH 1

Analisis persamaan r = 2 + 4 cos θ untuk simetri dan sketsakan grafiknya.

PENYELESAIAN Karena kosinus adalah fungsi genap (cos(-θ) = cos θ), grafik

simetris terhadap sumbu-x. Pengujian simetri yang lain gagal.

Kalkulus Lanjut

Lemniskat Grafik dari

r2 = ± a cos 2θ r2 = ± a sin 2θ

berupa kurva berbentuk-angka-delapan dinamakan lemniskat.

CONTOH 2

Analisis persamaan r2 = 8 cos 2θ untuk simetri dan sketsakan grafiknya

PENYELESAIAN Karena cos(-2θ) = cos 2θ dan

cos [2 ( - θ) ] = cos (2 - 2θ) = cos(-2θ) = cos 2θ

maka grafik simetris terhadap kedua sumbu. Jelas, garfik simetri jga terdapat titik

asal.

Kalkulus Lanjut

Mawar Persamaan polar yang berbentuk

r = a cos nθ r = a sin nθ

menyatakan kurva-kurva berbentuk bunga yang dinamakan mawar. Mawar

memiliki n daun jika n gasal dan 2n daun jika n genap.

CONTOH 3

Analisis r = 4 sin 2θ untuk simetri dan sketsakan grafiknya.

PENYLESAIAN Anda dapat memeriksa bahwa r = s sian 2θ memenuhi ketiga

pengujan simetri. Sebagai contoh, dia memenuhi Uji 1 karena

sin 2( - θ) = sin (2-2θ) = - sin 2θ

sehingga penggantian (r,θ) oleh (-r, - θ) menghsilkah persamaan ekuivalen.

Tabel nilai yang agak lengkap untuk 0 ≤ θ≤ /2, dan yang agak ringkas

untuk /2 ≤ θ≤ 2.

Anak panah pada menunjukkan arah gerak titik P(r,θ) apabila θ bertambah

besar mulai dari 0 hingga 2.

Spiral Grafik r = aθ disebut spiral Archimedes; grafik r = aebθ dinamakan spiral

logaritma (logarithmic spiral).

Kalkulus Lanjut

CONTOH 4

Sketsakan grafik r = θ untuk θ ≥ 0.

PENYELESAIAN Kita abaikan tabel nilai, tetapi perhatikan bahwa grafik

memotong sumbu polar di (0,0), (2, 2), (4, 4), … dan memotong

perpanjangan yang ke kiri di (, ), (3, 3), (5, 5), … .

Perpotongan Kurva dalam Koordinat Polar Dalam koordinat polar sebuah titik

P memiliki banyak koordinat polar, dan satu pasangan dapat memenuhi

persamaan polar satu kurva dan pasangan yang lain dapat memenuhi kurva yang

lain. Misalnya, lingkaran r = 4 cos θ memotong garis θ = /3 di dua titik, yaitu

polar dan (2, /3), tetapi hanya pasangan terakhir yang merupakan penyelesaian

bersama kedua persamaan tersebut. Ini terjadi karena koordinat polar yang

memenuhi persamaan garis adalah (0, /3) dan yang memenuhi persamaan

lingkaran adalah (0, /2 + n).

Kesimpulannya untuk memperoleh semua perpotongan dua kurva yang

persamaan polarnya diberikan, selesaikanlah persamaan-persamaan secara

Kalkulus Lanjut

imulutan; kemugian Gambarkan garfik dua persamaan tersebut secara seksama

untuk menemukan titik potong lain yang masih mungkin.

CONTOH 5

Carilah titik potong dua kardioida r = 1 + cos θ dan r = 1 – sin θ.

PENYELESAIAN Jika kita hilangkan r dari dua persamaan tersebut, kita peroleh

1 + cosθ = 1 – sinθ. Jadi cosθ = - sinθ, atau tanθ = -1. Kita simpulkan bahwa θ =

34 atau θ =

74, yang menghasilkan dua titik potong (1 -

12√2,

34) dan (1+

12√2,

74).

Namun grafik diatas memperlihatkan bahwa kita telah melewatkan titik potong

yang ketiga, yaitu polar. Alasan kita terlewat adalah bahwa r = 0 dalam persamaan

r = 1 + cos θketika θ = , tetapi r = 0 dalam persamaan r = 1 – sin θ ketika θ=¿2.

Kalkulus Lanjut

C. KALKULUS DALAM KOORDINAT POLAR

Luas dalam Koordinat Polar Untuk memulai,misalkan r=f (θ) menentukan

sebuah kurva di bidang,dengan f fungsi kontinu, tak-negatif untuk ∝≤ θ ≤ βdan

β−α ≤2 π. Kurva-kurva r=f (θ ) , θ=α ,dan θ=β membatasi daerah R (yang

diperlihatkan di bagian kiri dalam Gambar 2).yang luasnya A(R) ingin kita

temukan.

Gambar 2

Partisikan interval [∝ ,∝ ¿ menjadi n interval bagian menggunakan sarana

bilangan-bilangan α=θ0<θ1<θ2<…<θn=β ,dengan demikian mengiris daerah R

menjadi n daerah berbentuk kue yang lebih kecil,yaitu R1 , R2 , … , Rn, seperti

diperlihatkan dalam paruhan kanan Gambar 2. Jelas

A ( R )=A ( R1 )+A ( R2 )+…+ A ( Rn ) .

Kita aproksimasi luas irisan ke-I, A ( R1 ); kenyataannya

kita melakukannya dalam dua cara. Pada interval ke-I [

θi−1 ,θ i¿,misalkan f mencapai nilai minimumnya dan nilai

maksimumnya,masing-masing di ui dan v i ( Gambar 3).

Jadi,jika ∆ θ i=θi−θ i−1 ,

Gambar 3

Kalkulus Lanjut

Sehingga

Anggota pertama dan ketiga pertidaksamaan ini adalah jumlah Riemann

untuk integral yang sama: ∫α

β12[ f (θ )]2 dθ . Ketika norma pastisi kita biarkan

menuju nol,kita peroleh (dengan menggunakan Teorema Apit) rumus luas

Contoh soal :

1. Carilah luas satu daun dari mawar berdaun-empat r=4sin 2θ

Jawaban :

Disini kita hanya memperlihatkan daun di kuadran pertama ( Gambar 3)

Daun ini panjangnya 4 satuan dan lebarnya rata-rata 1,5 satuan,

memberikan estimasi 6 untuk luasnya. Luas eksak A diberikan oleh

Kalkulus Lanjut

A=12∫0

π2

16 sin22 θ dθ=8∫0

π2

1−cos4 θ2

¿4∫0

π2

dθ−¿∫0

π2

cos4 θ .4 dθ ¿

¿ [4θ]0π2−[sin 4 θ ]0

π2

¿2 π

Garis Singgung dalam Koordinat Polar Dalam koordinat Cartesius,

kemiringan m dari garis singgung pada suatu kurva diberikan oleh m = dy /dx .

Dengan cepat kita menolak dy /dϴ sebagai rumus kemiringan yang berpadanan

dalam koordinat polar. Lebih baik. Jika r = f (ϴ) menentukan kurva , kita tuliskan

y = r sin ϴ = f (ϴ) sin ϴ

x = r cos ϴ= f (ϴ) cos ϴ

jadi,

dydx

= limΔx→ 0

ΔyΔx

= limΔx→ 0

Δy / ΔϴΔx / Δϴ

= dy /dϴdx /dϴ

Yakni,

m = f (ϴ ) cosϴ+f ' (ϴ ) sinϴ

−f (ϴ ) sin ϴ+ f ' (ϴ )cos ϴ

Rumus yang baru saja diturunkan menjadi sederhana jika grafik r = fθ ()

melalui polar. Sebagai contoh, andaikan untuk sudut α, r = f (α) = 0 dan f’ (α) ≠ 0.

Maka ( di polar tersebut ) rumus kita untuk m adalah

m = f ' (α )sin α

f ' (α )cos α = tan α

Kalkulus Lanjut

Karena garis = α juga memiliki kemiringan tan α, kita simpulkan bahwa

garis ini menyinggung kurva di polar. Kita memutuskan fakta yang berguna

bahwa garis – garis singgung di titik polar dapat dicari dengan menyelesaikan

persamaan f (θ) = 0. Kita ilustrasikan ini berikutnya

Contoh Soal.

Perhatikan persamaan polar r = 4 sin 3θ.(a)Carilah kemiringan garis singgung di θ = п /6 dan θ = п /4.(b)Carilah garis singgung di titik polar.(c)Sketsakan grafik.(d)Carilah luas satu daun.

Penyelesaian

a. m = f (ϴ ) cosϴ+f ' (ϴ ) sinϴ

−f (ϴ ) sin ϴ+ f ' (ϴ )cos ϴ =

4 sin 3 ϴ cosϴ+12 cos3 ϴ sinϴ−4 sin 3 ϴ sin ϴ+12cos 3ϴ cosϴ

Di θ = п /6

m = 4 . 1 . √32

+12. 0 .12

−4 . 1 .12+12. 0 . √3

2

= -√3

Di θ = п /4

m = 4 . √2

2. √2

2−12. √2

2. √2

2

−4 . √22

. √22

−12 . √22

. √22

= 2−6−2−6

=12

Kalkulus Lanjut

b. Kita tetapkan r = 4 sin 3θ = 0 dan selesaikan. Ini menghasilkan θ = 0, θ = п /3, θ = 2 п/3, θ = , п θ = 4 п/3, dan θ = 5 п/3.c. Setelah memperhatikan bahwa

sin 3 ( п - θ ) = sin ( 3п - 3θ ) = sin 3п cos 3θ - cos 3п sin 3θ = sin 3θ

yang mengaplikasikan simetris terhadap sumbu-y, kita dapatkan suatu

tabel nilai dan mensketsakan grafik , sebagai berikut

θ R

0 0

п /12 2,8

п /6 4

п /4 2,8

п /3 0

5 п/12 -2,8

п /2 -4

θ= 2 π3

θ=π3

θ=4 π3

θ=5 π3

d. A = 12∫0

п /3

¿¿¿ dϴ = 8 ∫0

п /3

sin23 ϴ dϴ

Kalkulus Lanjut

= 4 ∫0

п /3

¿¿ = 4 ∫0

п /3

dϴ - 46

∫0

п /3

cos 6 ϴ .6 dϴ

= [4ϴ−23

sin 6ϴ ]0

п /3

= 4 п3

KESIMPULAN

Sebarang titik P (selain polar) adalah perpotongan anatar sebuah lingkaran

tunggal yang berpusat di O dan sebuah sinar tunggal yang memancar dari

O. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan Ѳ adalah salah satu sudut antara

sinar dan sumbu polar, maka (r,Ѳ) adalah sepasang koordinat polar

untuk P.

Maka koordinat polar (r,Ѳ) sebuah titik P dan koordinat Cartesius (x,y)

titik yang sama itu dihubungkan oleh persamaan

Polar ke Cartesius Cartesius ke Polar

x = r cosѲ r2 = x2 + y2

y = r sin Ѳ tanѲ = yx

Grafik persamaan polar dibagi menjadi grafik kadiodida, limason,

lemniskat, mawar dan spiral.

Perpotongan kurva dalam koordinat polar diperoleh dengan menyelesaikan

persamaan polar secara simultan dan menggambarkan grafik dua

persamaan tersebut untuk kemungkinan titik potong yang lain.

Luas dalam koordinat polar, yaitu : A = 12

∫α

β

[ f (Ѳ)]2. dѲ

Garis singgung dalam koordinat polar dapat dicari melalui kemiringan

kurva polar tersebut.

Kalkulus Lanjut

DAFTAR PUSTAKA

Varberg,dkk.2011.Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid 2.Jakarta:Erlangga

Kalkulus Lanjut