SISTEM KOORDINAT SILINDER

24
1 Sistem Koordinat Sistem Koordinat Silinder Silinder SISTEM KOORDINAT SILINDER SISTEM KOORDINAT SILINDER Titik Titik dinyatakan dengan 3 buah dinyatakan dengan 3 buah koordinat koordinat , , dan z dan z P( P( , , , z) , z)

description

SISTEM KOORDINAT SILINDER. Titik  dinyatakan dengan 3 buah koordinat  ,  dan z  P(  ,  , z). Transformasi sistem koordinat. Contoh Soal 1.3 :. Diketahui titik-titik A(2, 3, - 1) dan B(4, - 50 o , 2). Hitung jarak dari A ke B. Jawab : - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of SISTEM KOORDINAT SILINDER

Page 1: SISTEM KOORDINAT SILINDER

11Sistem Koordinat SilinderSistem Koordinat Silinder

SISTEM KOORDINAT SILINDERSISTEM KOORDINAT SILINDER

TitikTitik dinyatakan dengan 3 buah dinyatakan dengan 3 buah koordinat koordinat , , dan z dan z P(P(, , , z) , z)

Page 2: SISTEM KOORDINAT SILINDER

22Sistem Koordinat SilinderSistem Koordinat Silinder

Transformasi sistem koordinatTransformasi sistem koordinat

zzzzx

ytgyy

yxx

SilinderKartesianKartesianSilinder

1

22

sin

cos

Page 3: SISTEM KOORDINAT SILINDER

33Sistem Koordinat SilinderSistem Koordinat Silinder

Contoh Soal 1.3 :Contoh Soal 1.3 :

Diketahui titik-titik A(2, 3, - 1) dan B(4, Diketahui titik-titik A(2, 3, - 1) dan B(4, - 50- 50oo, 2). Hitung jarak dari A ke B., 2). Hitung jarak dari A ke B.

Jawab :Untuk menentukan jarak dari A ke B atau RAB , titik B harus terlebih dahulu dinyatakan dengan sistem koordinat kartesian.

Page 4: SISTEM KOORDINAT SILINDER

44Sistem Koordinat SilinderSistem Koordinat Silinder

x = cos = 4 cos (–50o) = 2,571

y = sin = 4 sin (–50o) = - 3,064

z = z = 2

RAB = 0,571 ax – 6,064 ay + 3 az

79,63)064,6()571,0(R 222AB

Page 5: SISTEM KOORDINAT SILINDER

55Sistem Koordinat SilinderSistem Koordinat Silinder

VektorVektor dinyatakan dengan tiga dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan buah vektor satuan aa, , aa dan dan aazz

AA = A = A aa + A + A aa + A + Azz aazz

Vektor satuan Vektor satuan aa dan dan aa tergantung tergantung pada posisinya di dalam ruangpada posisinya di dalam ruang

Page 6: SISTEM KOORDINAT SILINDER

66Sistem Koordinat SilinderSistem Koordinat Silinder

Transformasi vektorTransformasi vektor

Silinder Kartesian

a a Az

ax . cos - sin 0

ay . sin cos 0

az . 0 0 1

Page 7: SISTEM KOORDINAT SILINDER

77Sistem Koordinat SilinderSistem Koordinat Silinder

Contoh Soal 1.4 :Contoh Soal 1.4 :Nyatakan vektor Nyatakan vektor RR = 4 = 4 aaxx – 2 – 2 aayy - 4 - 4 aazz

dalam sistem koordinat silinder di dalam sistem koordinat silinder di titik A(2, 3, 5).titik A(2, 3, 5).

Jawab :Jawab :

Terlebih dahulu dilakukan transformasi Terlebih dahulu dilakukan transformasi koordinat untuk menghitung sudut koordinat untuk menghitung sudut di titik A, yaitu :di titik A, yaitu :

Page 8: SISTEM KOORDINAT SILINDER

88

o11 3,562

3tg

x

ytg

a a az

ax . cos = 0,555 - sin = - 0,832 0

ay . sin = 0,832 cos = 0,555 0

az . 0 0 1•R = 4 (0,555 a - 0,832 a) – 2 (0,832 a + 0,555 a) – 4 az

= 0,556 a - 4,438 a - 4 az

Page 9: SISTEM KOORDINAT SILINDER

99

BidangBidang = konstan (permukaan silinder)= konstan (permukaan silinder) = konstan (bidang datar = konstan (bidang datar

melewati sumbu-z)melewati sumbu-z) z = konstan (bidang datar tegak z = konstan (bidang datar tegak

lurus sumbu-z)lurus sumbu-z)

Page 10: SISTEM KOORDINAT SILINDER

1010Sistem Koordinat SilinderSistem Koordinat Silinder

Elemen Luas (vektor)Elemen Luas (vektor)

dd dz dz aa d d d d aa d d d d

aazz

Elemen Volume (skalar)Elemen Volume (skalar)

dd d d dz dz

Page 11: SISTEM KOORDINAT SILINDER

1111

SISTEM KOORDINAT BOLASISTEM KOORDINAT BOLA

TitikTitik dinyatakan dengan tiga dinyatakan dengan tiga koordinat r, koordinat r, dan dan P(r, P(r, , , ) )

Page 12: SISTEM KOORDINAT SILINDER

1212Sistem Koordinat BolaSistem Koordinat Bola

Transformasi sistem koordinatTransformasi sistem koordinat

x

ytgcosrz

zyx

zcossinsinry

zyxrcossinrx

BolaKartesianKartesianBola

1

222

1

222

Page 13: SISTEM KOORDINAT SILINDER

1313Sistem Koordinat BolaSistem Koordinat Bola

Contoh Soal 1.5 :Contoh Soal 1.5 :

Nyatakan koordinat titik B(1, 3, 4) Nyatakan koordinat titik B(1, 3, 4) dalam sistem koordinat bola.dalam sistem koordinat bola.

Jawab :Jawab :

B(1, 3, 4)B(1, 3, 4) x = 1 x = 1 y = 3y = 3 z = 4 z = 4

Page 14: SISTEM KOORDINAT SILINDER

1414Sistem Koordinat BolaSistem Koordinat Bola

o11

o1

222

1

222222

6,711

3tg

x

ytg

3,38099,5

4cos

zyx

zcos

099,5431zyxr

r = 5,099r = 5,099 = 38,3 = 38,3oo = 71,6 = 71,6oo

B(5,009; 38,3B(5,009; 38,3oo; 71,6; 71,6oo))

Page 15: SISTEM KOORDINAT SILINDER

1515

Vektor Vektor dinyatakan dengan tiga dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan buah vektor satuan aarr, a, a dan dan aa

AA = A = Arr aarr + A + A aa + A + A aa

Vektor satuan Vektor satuan aarr, a, a dan dan aa

tergantung pada posisinya di dalam ruang tergantung pada posisinya di dalam ruang

Page 16: SISTEM KOORDINAT SILINDER

1616Sistem Koordinat BolaSistem Koordinat Bola

Transformasi vektor Transformasi vektor

Bola Bola Kartesian Kartesianar a a

ax . sin cos cos cos - sin

ay . sin sin cos sin cos

az . cos - sin 0

Horisontal :ax = cos a - sin a + 0 az

Vertikal : a = cos cos ax + cos sin ay - sin az

Page 17: SISTEM KOORDINAT SILINDER

1717Sistem Koordinat BolaSistem Koordinat Bola

Contoh Soal 1.6 :Contoh Soal 1.6 :

Sebuah vektor memanjang dari titik Sebuah vektor memanjang dari titik A(2, - 1, - 3) ke titik B(1, 3, 4). A(2, - 1, - 3) ke titik B(1, 3, 4). Nyatakan vektor tersebut dalam Nyatakan vektor tersebut dalam koordinat bola di titik B.koordinat bola di titik B.

Jawab :Jawab :

B(1, 3, 4)B(1, 3, 4) = 38,3 = 38,3o o = 71, 6 = 71, 6oo

Page 18: SISTEM KOORDINAT SILINDER

1818

ar a a

ax . sin cos sin 38,3o cos 71,6o

(0,620)(0,316) = 0,196

cos cos cos 38,3o cos

71,6o

(0,785)(0,316) = 0,248

- sin - sin 71,6o

- 0,949

ay . sin sin sin 38,3o

sin 71,6o

(0,620)(0,949) = 0,588

cos sin cos 38,3o sin 71,6o

(0,785)(0,949) = 0,745

cos cos 71,6o 0,316

az . cos cos 38,3o

0,785

- sin - sin 38,3o

- 0,620

0

Page 19: SISTEM KOORDINAT SILINDER

1919Sistem Koordinat BolaSistem Koordinat Bola

RAB = [(1 - 2)] ax + [3 - (-1)] ay + [4 - (- 3)] az

= - ax + 4 ax + 7 az

= [-0,196 + 4(0,588) + 7(0,785)] ar + [-0,248 + 4(0,745) + 7(- 0,620)] a + [-(- 0,949) + 4(0,316) + 7(0)] a

= 7,651 ar – 1,608 a + 2,213 a

Page 20: SISTEM KOORDINAT SILINDER

2020

Bidang Bidang

r = konstan (kulit bola)r = konstan (kulit bola)

= konstan (selubung kerucut)= konstan (selubung kerucut)

= konstan (bidang datar melewati = konstan (bidang datar melewati sumbu-z) sumbu-z)

Page 21: SISTEM KOORDINAT SILINDER

2121

Elemen Luas (vektor)Elemen Luas (vektor)

rr22 sin sin d ddd aarr r sin r sin drd drd aa

r drdr drd aa

Elemen Volume (skalar)Elemen Volume (skalar)

rr22 sin sin dr d dr d d d

Page 22: SISTEM KOORDINAT SILINDER

2222Operasi VektorOperasi Vektor

OPERASI VEKTOROPERASI VEKTOR

Divergensi vektor Divergensi vektor

D

sinr

1)sinD(

sinr

1

r

)Dr(

r

1DBola

z

DD1)D(1DSilinder

z

D

y

D

x

DDKartesian

r2

2

z

zyx

Page 23: SISTEM KOORDINAT SILINDER

2323Operasi VektorOperasi Vektor

OPERASI VEKTOROPERASI VEKTOR

Gradien skalarGradien skalar

aV

sinr

1a

V

r

1a

r

VVBola

az

Va

V1a

VVSilinder

az

Va

y

Va

x

VVKartesian

r

z

zyx

Page 24: SISTEM KOORDINAT SILINDER

2424Operasi VektorOperasi Vektor

OPERASI VEKTOROPERASI VEKTOR

Pusaran vektor Pusaran vektor

a)H

r

)rH((

r

1a]

r

)rH(H

sin

1[

r

1a]

H)sinH([

sinr

1HBola

a]H)H(

[1

a)H

z

H(a)

z

HH1(HSilinder

a)y

H

x

H(a)

x

H

z

H(a)

z

H

y

H(HKartesian

rzrr

zzz

zxy

yzx

xyz