Teori Permainan

TIA-310 Metode STokastik 1

TIA-310 Metode Stokastik

Teori Permainan

Universitas Andalas©2009

2TIA-310 Metode STokastik

Hasil Pembelajaran

• Umum– Mahasiswa mampu menerapkan model

matematik dan teknik Penelitian Operasional Probabilistik

• Khusus– Memahami konsep dan mampu menerapkan Teori

Permainan


Perumusan Permainan Dua-Orang Jumlah-Nol

• Teori permainan (Game Theory) adalah teori matematika yang mempelajari secara formal sifat-sifat dari situasi kompetisi.

• Permainan dua-orang jumlah-nol mencakup hanya dua pemain. Disebut permainan jumlah-nol karena pemain menang apabila pemain lainnya kalah, sehingga jumlah kemenangannya adalah nol.

Contoh 1: Permainan ganjil atau genap.• Permainan ini sangat sederhana, kedua pemain diharuskan menunjukkan

satu atau dua jari secara bersamaan. Jika jumlah jari yang ditunjukkan kedua pemain sama, maka jumlah jari kedua pemain adalah genap. Dalam hal ini pemain I dianggap menang, misalkan pemain II harus membayar Rp. 1.000 kepada pemain I. Jika jumlah jari yang ditunjukkan kedua pemain tidak sama, dalam hal ini jumlahnya ganjil, maka pemain II mendapat Rp. 1.000 dari pemain I. Jadi setiap pemain mempunyai 2 strategi yaitu menunjuk-kan 1 jari atau 2 jari. Hasil permainan ini ditunjukkan di Tabel.



• Secara umum permainan yang dilakukan oleh kedua orang ditentukan oleh1. Strategi Pemain I2. Strategi Pemain II3. Tabel Hasil

• Sebelum permainan dimulai, setiap pemain harus mengetahui strategi yang berlaku dan tabel “payoff”.

• Strategi merupakan aturan yang telah ditetapkan sebelumnya yang memberikan ciri secara lengkap tentang respons yang mungkin dari setiap tahap permainan.

II1 2

I 1 1 -12 -1 1



• Tabel “payoff” menunjukkan keuntungan (positif atau negatif) bagi pemain I yang merupakan hasil dari setiap kombinasi strategi kedua pemain.

• Nilai pada tabel “payoff” dapat berupa satuan sesuai yang diinginkan, asalkan mewakili secara akurat utilitas bagi pemain I sesuai dengan hasil permainan.

• Tujuan utama dari teori permainan adalah membangun kriteria yang rasional untuk memilih strategi. Ada 2 asumsi yang digunakan, yaitu:1. Kedua pemain rasional.2. Kedua pemain memilih strategi hanya untuk kepentingannya.

Contoh 2: Kampanye Caleg• Dua caleg bersaing untuk memperebutkan kursi untuk DPRD Padang. Rencana

kampanye harus disusun untuk 2 hari terakhir yang diperkirakan akan berat karena persaingan begitu ketat. Oleh sebab itu, kedua caleg ingin melakukan kampanye pada 2 hari terakhir ini di 2 Dapil utama, yaitu Dapil I dan Dapil II.


Perumusan Permainan Dua-Orang Jumlah-Nol• Agar kampanye tidak sia-sia, mereka merencanakan melakukan perjalanan

malam hari dan menghabiskan sehari penuh di setiap Dapil atau 2 hari penuh di salah satu Dapil. Tetapi rencana ini harus mempertimabangkan kampanyenya, juga kampanye lawan.

Perumusan• Kita harus mengidentifikasikan kedua pemain (yaitu kedua caleg), strategi

untuk setiap pemain, dan tabel “payoff”.• Setiap pemain mempunyai 3 strategi, yaitu:

– Strategi 1 = melakukan kampanye 1 hari di setiap Dapil– Strategi 2 = melakukan kampanye 2 hari di Dapil I– Strategi 3 = melakukan kampanye 2 hari di Dapil II

• Strategi akan lebih rumit jika setiap caleg mengetahui tempat lawan politiknya akan melakukan kampanye pada hari pertama, sebelum ia membuat rencana untuk hari kedua. Akan terdapat 8 strategi. (Apa saja?)


Perumusan Permainan Dua-Orang Jumlah-Nol• Setiap nilai pada tabel “payoff” untuk pemain 1 mewakili utilitas untuk

pemain I (atau negatif utilitas untuk pemain II) sesuai dengan hasil diperoleh dari strategi yang digunakan kedua pemain.

• Tujuan: memenangkan suara dan untuk setiap tambahan suara (sebelum mengetahui hasil pemilihan) bernilai sama.

• Karenannya, nilai yang sesuai untuk tabel “payoff” adalah total suara yang diperoleh dari lawan (yaitu jumlah perubahan suara bersih di dua Dapil) dalam 2 hari terakhir kampanye. Dirumuskan dalam Tabel berikut.

Jumlah pemilih yang dimenangkan oleh caleg I (dalam 1.000 pemilih)

Caleg IIStrat. I Strat. II Strat. III

Caleg IStrat. IStrat. IIStrat. III


Perumusan Permainan Dua-Orang Jumlah-Nol• Karena tujuan utama adalah memenangkan pemilihan, maka nilai pada tabel

adalah suatu bilangan positif (+1) jika caleg I menang dan -1 jika kalah. Jika peluang untuk menang pada setiap kombinasi strategi diketahui, maka nilai yang sesuai adalah peluang untuk menang dikurangi peluang kalah, karena biasanya data yang diperlukan untuk mengetahui peluang tersebut tidak tersedia.

• Diberikan 3 alternatif gugus data untuk memberikan gambaran.Variasi 1: Tabel di bawah

• Penyelesaian diperoleh dengan hanya menerapkan konsep strategi dominan untuk mengesampingkan strategi yang lemah sehingga tinggal 1 pilihan tersisa. Suatu strategi dieliminasi jika didominasi strategi yang lain, misalkan jika terdapat strategi lain yang selalu paling sedikit sebaik strategi lawan..

Caleg IIStrat. I Strat. II Strat. III

Caleg IStrat. I 1 2 4Strat. II 1 0 5Strat. III 0 1 -1


Perumusan Permainan Dua-Orang Jumlah-Nol• Untuk pemain 1, strategi 3 didominasi oleh strategi 1 karena strategi 1

mempunyai nilai yang lebih besar (1 ≥ 0, 2 ≥ 1, 4 ≥ -1) untuk setiap strategi yang dipilih pemain II. Hilangkan strategi 3 dari pertimbangan selanjutnya, sehingga diperoleh tabel nilai yang telah disederhanakan.

• Karena kedua pemain diasumsikan rasional maka pemain II juga dapat mengambil kesimpulan bahwa hanya strategi 1 dan 2 yang masih diper timbangkan pemain I.

• Sekarang pemain II memiliki strategi 3 yang didominasi strategi 1 dan 2 (strategi 1: -1 ≥ -4, -1 ≥ -5; strategi 2: -2 ≥ -4, 0 ≥ -5). Eliminasi strategi 3 diperoleh:

Strat. I Strat. II Strat. IIIStrat. I 1 2 4Strat. II 1 0 5

Strat. I Strat. IIStrat. I 1 2Strat. II 1 0


Perumusan Permainan Dua-Orang Jumlah-Nol• Pada tahap ini, strategi 2 untuk pemain I didominasi oleh strategi 1

(karena 1≤1, 0≤2). Hilangkan strategi 2, didapat:

• Strategi 2 untuk pemain II didominasi oleh strategi 1 (-1 ≥ -2). Akibatnya, kedua pemain harus memilih strategi 1. Pemain I akan menerima “payoff” 1 dari pemain II (caleg I akan mendapat keuntungan 1.000 suara dari caleg II).

• Secara umum, nilai yang diperoleh pemain I bila kedua pemain bermain secara optimal, disebut nilai dari permainan. Permainan yang mempunyai “payoff” nol disebut permainan seimbang (fair games).

Strat. I Strat. IIStrat. I 1 2



Variasi 2: Tidak memiliki strategi dominan. Lihat Tabel di bawah.

• Memilih strategi 2 adalah tindakan paling rasional dari pemain I dalam menghadapi pemain II.

• Pilihan yang paling tepat bagi pemain II adalah strategi 2.• Jadi, pemain I harus memilih strategi sehingga minimum “payoff”nya

terbesar, sedangan pemain II harus memilih strategi sehingga maksimum “payoff”nya terhadap pemain I terkecil.

• Ini adalah permainan seimbang.• Jika nilai minimaks dan maksimin sama, maka nilai tersebut disebut titik

sadel. Permainan ini disebut penyelesaian yang stabil.

Caleg IIStrat. I Strat. II Strat. III Minimum

Caleg IStrat. I -3 -2 6 -3Strat. II 2 0 2 0 ←nilai maksiminStrat. III 5 -2 -4 -4maksimum 5 0 6

↑Nilai minimaks


Perumusan Permainan Dua-Orang Jumlah-Nol• Variasi 3: Penyelesaian yang tidak stabil . Lihat Tabel di bawah.

• Di sini tidak ada titik sadel, karena itu disebut permainan dengan penyelesaian yang tidak stabil.

• Bila strategi seorang pemain dapat diperkirakan, maka lawan dapat menarik keuntungan yang cukup besar untuk meningkatkan posisinya.

• Hal paling mendasar dari rencana rasional untuk memainkan sebuah permainan seperti ini adalah kedua pemain tidak dapat mengetahui strategi mana yang akan digunakan pihak lawan.

Caleg IIStrat. I Strat. II Strat. III Minimum

Caleg IStrat. I 0 -2 2 -2 ←nilai maksiminStrat. II 5 4 -3 -3 Strat. III 2 3 -4 -4maksimum 5 4 2

↑Nilai minimaks


Permainan dengan Strategi Campuran• Bila suatu permainan tidak mempunyai titik sadel, maka teori permainan

menyarankan setiap pemain untuk menetapkan distribusi peluang dari strategi yang akan diterapkannya.

• Misalkan: xi = peluang pemain I menggunakan strategi i ( i = 1, 2, …, m)

yj = peluang pemain II menggunakan strategi j ( j = 1, 2, …, n)

dengan m dan n berturut-turut adalah banyaknya strategi yang mungkin.• Rencana (x1, x2, …, xm) dan (y1, y2, …, ym) biasa disebut strategi campuran

(mixed strategy) dan strategi awal disebut strategi murni (pure strategy).• Di sini, setiap pemain menggunakan strategi murni yang dipilih dengan

menggunakan suatu cara untuk memperoleh pengamatan acak dari distribusi peluang yang ditentukan oleh strategi campuran.

• Perhatikan kembali variasi 3 pada contoh caleg tadi. Misalkan pemain I dan pemain II memilih strategi campuran (x1, x2, x3) = (½,½,0) dan (y1, y2, y3) = (0 ,½,½).


Permainan dengan Strategi Campuran• Untuk menghitung strategi campuran sering digunakan harapan “payoff”,

dengan menerapkan definisi teori peluang, yaitu:

dengan pij adalah “payoff” jika pemain I menggunakan strategi i dan pemain II menggunakan strategi j.

• Menggunakan strategi campuran tadi dan variasi 3, maka didapat:Harapan payoff = (-2 + 2 + 4 – 3).(½) (½)=1/4.

• Ukuran ini tidak menunjukkan resiko yang terlibat dalam melakukan permainan, tetapi memberikan indikasi rata-rata “payoff” bila permainan dilakukan berulang kali.

• Kriteria minimaks bagi permainan yang tidak memiliki titik sadel: mengharuskan pemain memilih strategi campuran yang meminimumkan harapan kerugian maksimum.

m

i

n

jjiij yxppayoffHarapan

1 1


Permainan dengan Strategi Campuran• Sebagai contoh, jika kita memfokuskan pada “payoff” (pemain I) daripada

kekalahan (pemain II) maka kriteria ini setara dengan kriteria maksimin yang memaksimumkan harapan “payoff” minimum. Yang dimaksud dengan harapan”payoff” minimum adalah harapan “payoff” yang terkecil yang dapat dihasilkan oleh sembarang strategi campuran yang dapat ditangkis oleh lawan. Jadi, strategi campuran untuk pemain I yang optimal menurut kriteria ini adalah strategi yang menghasilkan jaminan (minimum harapan “payoff”) paling baik.

• Nilai dari jaminan terbaik , nilai maksimin, dinyatakan sebagai .• Dengan cara yang sama, strategi optmal untuk pemain II adalah strategi

yang memberikan jaminan terbaik, di mana yang terbaik adalah minimum dan jaminan adalah harapan kerugian maksimum.

• Jaminan terbaik adalah nilai minimaks, yang dinyatakan oleh .

v

v


Permainan dengan Strategi CampuranTeorema Minimaks: Jika strategi campuran diperbolehkan, maka

pasangan strategi campuran yang optimal berdasarkan kriteria minimaks menghasilkan penyelesaian stabil dengan = = ν (“payoff” permainan). Jadi kedua pemain tidak dapat berbuat lebih baik dengan mengubah strategi secara unilateral.

• Satu-satunya cara untuk menjamin memperoleh harapan”payoff” optimal ν adalah memilih secara acak strategi murni yang akan digunakan dari distribusi peluang untuk strategi campuran optimal.

• Ada 2 metode yang akan dipelajari untuk menentukan strategi campuran yang optimal untuk setiap pemain:

1. Metode grafik, jika salah satu pemain hanya memiliki dua strategi murni (tidak didominasi).2. Metode pemrograman linear, bila permainan besar terlibat.

v

_

v


Permainan dengan Strategi CampuranProsedur Penyelesaian Grafik• Pandang permainan dengan strategi campuran, setelah strategi

yang didominasi strategi lain dihilangkan, maka pemain tinggal memiliki 2 strategi murni. Misalkan pemain tersebut adalah pemain I. Karena strategi campurannya adalah (x1,x2) dan x2 = 1 – x1, maka perlu dicari penyelesaian optimal untuk x1. Membuat plot harapan “payoff” sebagai fungsi dari x1 untuk setiap strategi murni lawan sangat mudah. Grafik ini dapat digunakan untuk mengidentifikasi titik yang memaksimumkan harapan “payoff” minimum. Strategi campuran minimaks lawan juga dapat ditunjukkan oleh grafik tersebut.

Contoh: Lihat variasi 3 di contoh 2.• Hilangkan strategi 3 untuk Caleg 1 dieliminasi (karena didominasi

strategi 2). Didapat tabel berikut:


Permainan dengan Strategi Campuran

• Oleh sebab itu, untuk setiap strategi murni yang berlaku untuk pemain II, harapan “payoff” untuk pemain I menjadi:

• Gambar garis harapan “payoff” diberikan berikut ini. Untuk setiap nilai x1 diberikan dan (y1, y2, y3), harapan “payoff” akan sesuai dengan:

Harapan “payoff” = y1(5-5 x1) + y2 (4 - 6 x1) + y3 (-3 + 5 x1)

Probabilitas

IIy1 y2 y3

Probabilitas Strategi Murni 1 2 3

Ix1 1 0 -2 2

1 – x1 2 5 4 -3

(y1, y2, y3) Harapan “payoff”(1,0,0) 0x1 + 5(1- x1) = 5-5 x1

(0,1,0) -2 x1 + 4(1- x1) = 4 - 6 x1

(0,0,1) 2 x1 – 3(1- x1) = -3 + 5 x1



6

1/4 1/2 3/4 1

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

x1

Harapan “payoff”

Titik maksimin5 – 5x1

4 – 6x1

-3 + 5x1


Permainan dengan Strategi Campuran• Minimum harapan “payoff” ditunjukkan oleh titik pada garis terbawah.

Berdasarkan kriteria minimaks (atau maksimin), pemain I harus memilih nilai x1 yang memberikan harapan “payoff” minimum yang terbesar sehingga:

• Jadi nilai optimal untuk x1 adalah titik potong kedua garis (-3+5x1) dan (4-

6x1). Selesaikan persamaan:

-3 + 5x1 = 4 - 6x1

• Diperoleh x1 = 7/11 dan (x1, x2) = (7/11, 4/11) adalah strategi campuran optimal untuk pemain I, serta nilai dari permainan adalah:

= -3 + 5(7/11) = 2/11• Sekarang akan dicari strategi campuran optimal bagi pemain II.• Menurut definisi nilai minimaks dan teorema minimaks, harapan “payoff”

yang dihasilkan dari strategi optimal (y1,y2,y3) = (y1*,y2

*,y3*) akan memenuhi

kondisi

1110

64531

x,xminmaksvvx

v

_

v


Permainan dengan Strategi Campuran y1

*(5-5 x1) + y2*

(4 - 6 x1) + y3*

(-3 + 5 x1) ≤ = v = 2/11

• Untuk setiap nilai x1 (0 ≤ x1 ≤ 1). Bila pemain I bermain optimal (yaitu x1 = 7/11), pertaksamaan ini menjadi persamaan, sehingga

(20/11) y1* + (2/11) y2

* + (2/11) y3* = v = 2/11

• Karena (y1,y2,y3) adalah distribusi peluang, maka

y1* + y2

* + y3* = 1

• Akibatnya diperoleh y1* = 0, karena jika y1

* > 0 akan bertentangan dengan dua persamaan terakhir yaitu harapan “payoff” pada grafik di x1 = 7/11 ada di atas titik maksimin (Secara umum, sembarang garis yang tidak melalui titik maksimin harus diberikan bobot 0, untuk menghindari harapan “payoff” naik di atas titik tersebut).

• Jadi

_

v

11

7

11

2

1011

2

5364

1

1

1312

xuntuk,

xuntuk,xyxy **


Permainan dengan Strategi Campuran• Tetapi y2

* dan y3* adalah bilangan, sehingga ruas kiri adalah persamaan

garis lurus yang merupakan rata-rata tertimbang dengan bobot dari 2 garis terbawah dari grafik. Karena ordinat garis ini harus sama dengan 2/11 di x1 = 7/11 dan karena ordinat tidak boleh lebih dari 2/11, maka garis tersebut harus horizontal. (Kesimpulan ini selalu benar, kecuali nilai optimal untuk x1 adalah 0 atau 1, dalam hal ini pemain II juga harus menggunakan 1 strategi murni).

• Sehingga didapat:

• Untuk menyelesaikan y2* dan y3

*, pilih dua nilai x1 (misalkan 0 dan 1) dan selesaikan persamaan yang diperoleh

1011

25364 11312 xuntuk,xyxy **

11

222

11

234

32

32

**

**

yy

yy


Permainan dengan Strategi Campuran• Penyelesaiannya y3

* = 6/11 dan y2* = 5/11.

• Jadi, strategi campuran optimal untuk pemain II adalah (y1,y2,y3) = (0,5/11,6/11).

Catatan:• Jika pada masalah lain terdapat lebih dari 2 garis melalui titik maksimin,

maka terdapat lebih dari dua yi* yang lebih besar dari nol. Kondisi ini akan

mengakibatkan terdapat banyak nilai yang sama untuk strategi campuran optimal bagi pemain II. Salah satu strategi seperti itu dapat diidentifikasi dengan membuat semua nilai 0 kecuali untuk kedua ini yi

*, kemudian selesaikan persamaan yang diperoleh. Untuk kedua persamaan tersebut, garis yang bersesuaian harus mempunyai gradien positif dan garis lainnya bergradien negatif.


Permainan dengan Strategi CampuranPenyelesaian dengan Pemrograman Linear• Setiap permainan dengan strategi campuran dapat diselesaikan dengan

mengubah masalah menjadi masalah pemrograman linear.• Pertama, mencari strategi optimal untuk pemain I.

dan strategi (x1, x2, …, xm) optimal jika:

untuk setiap strategi lawan (y1, y2, …, yn).• Jadi pertaksamaan ini harus dipenuhi, sebagai contoh, untuk setiap

strategi murni pemain II, yaitu untuk setiap strategi (y1, y2, …, yn) di mana satu yj = 1 dan sisanya 0. Substitusi nilai ini ke pertaksamaan, diperoleh

m

i

n

jjiij yxppayoffHarapan

1 1

vvyxpm

i

n

jjiij

1 1



• Jadi dari satu pertaksamaan diperoleh n pertaksamaan. Selanjutnya n pertaksamaan ini mengakibatkan

karena

• Karena implikasi ini berlaku dua arah, maka menyelesaikan n pertaksamaan di atas ekivalen dengan menyelesaikan pertaksamaan baru yang berlaku untuk setiap strategi (y1, y2, …, yn). Tetapi n pertaksamaan ini merupakan kendala pemrograman linear seperti kendala tambahan

x1 + x2 + … + xm = 1

xi ≥ 0, untuk i = 1, 2, …, m

vxpm

iiij

1

vvyxpyn

jj

m

iiij

n

jj

111

11

n

jjy


Permainan dengan Strategi Campuran• Yang diperlukan untuk menjamin bahwa xi adalah peluang. Jadi setiap

penyelesaian (x1, x2, …, xm) yang memenuhi kendala pemrograman linear adalah strategi optimal yang diinginkan.

• Ada 2 hal yang masih perlu diperhatikan, yaitu:1. v tidak diketahui, dan2. Masalah pemrograman linear belum mempunyai fungsi tujuan• Dua hal ini dapat diselesaikan dengan menggantkan konstanta v yang tidak

diketahui dengan peubah xm+1, kemudian maksimumkan xm+1, sehingga xm+1 otomatis akan sama dengan v (menurut definisi) pada penyelesaian optimal untuk masalah emrograman linear.

• Dapat disimpulkan bahwa pemain I harus mencari strategi campuran optimal dengan menggunkan metode simpleks untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear berikut:


Permainan dengan Strategi CampuranMeminimumkan (- xm+1)

Dengan kendala:p11x1 + p21x2 + … + pm1xm - xm+1 ≥ 0

p12x1 + p22x2 + … + pm2xm - xm+1 ≥ 0

… p1nx1 + p2nx2 + … + pmnxm - xm+1 ≥ 0

-(x1 + x2 + … + xm) = -1

Dan xi ≥ 0 untuk i = 1, 2, …, m.

• Catatan: variabel xm+1 tidak dibatasi harus tak negatif padahal metode simpleks hanya dapat digunakan setelah semua peubah memiliki kendala tak negatif.

• Sekarang perhatikan pemain II. Ia dapat memperoleh strategi campuran optimal dengan menuliskan kembali tabel “payoff” sebagai “payoff” untuk dirinya, kemudian memrosesnya seperti yang sudah dijelaskan. Strategi campuran optimal untuk pemain II adalah penyelesaian optimal dari masalah pemrograman linear:


Permainan dengan Strategi CampuranMemaksimumkan (- yn+1)

Dengan kendala:p11y1 + p12y2 + … + p1nyn - yn+1 ≤ 0

p21y1 + p22y2 + … + p2nyn - yn+1 ≤ 0

… pm1y1 + pm2y2 + … + pmnym - ym+1 ≤ 0

-(y1 + y2 + … + ym) = -1

Dan yi ≥ 0 untuk i = 1, 2, …, n.• Perhatikan bahwa masalah pemrograman linear di atas adalah dual dengan

pemrograman linear untuk pemain I.• Fungsi tujuan dari kedua masalah pemrograman linear dituliskan dalam bentuk

meminimumkan (-xm+1) dan memaksimumkan (-yn+1) untuk menunjukkan bahwa kedua masalah dual satu sama lain. Mulai saat ini, fungsi tujuan akan dituliskan dalam bentuk ekivalen yaitu memaksimumkan xm+1 dan meminimumkan yn+1. Dengan alasan yang sama, tanda negatif sekarang dihilangkan dari kedua bagian setiap pertaksamaan.


Permainan dengan Strategi Campuran• Apa yang harus dilakukan untuk mengatasi xm+1 dan yn+1 yang tandanya

masih bebas?Jika v ≥ 0, maka tidak ada masalah karena nilai optimal xm+1 dan yn+1 tak

negatif.Jika v < 0, dapat dilakukan beberapa alternatif tindakan:1. Mengganti peubah yang tidak mempunyai kendala tak negatif dengan

selisih 2 peubah tak negatif.2. Menukar pemain I dan II, sehingga tabel “payoff” ditulis sebagai “payoff”

terhadap pemain II asal, yang akan membuat nilai v yang sesuai poitif.3. Menambah setiap entry dengan suatu kontanta yang cukup besar,

sehingga semua nilai yang baru dari permanan menjadi positif. (Sebagai contoh, pilih konstanta ini sama dengan nilai mutlak terbesar dari entry negatif). Nilai permainan akan bertambah disebabkan oleh penambahan konstanta, tetapi nilai ini dapat diesuaikan kembali setelah penyelesaian diperoleh.


Permainan dengan Strategi CampuranContoh: Perhatikan kembali variasi 3 masalah kampanye caleg setelah

menghilangkan strategi 3 untuk pemain I.• Karena terdapat beberapa entry negatif, belum dapat dipastikan apakah

nilai permainan v tak negatif atau negatif. • Asumsikan v ≥ 0, kemudian proses tanpa melakukan penyesuaian seperti

diterangkan subbab di atas.• Menggunakan fungsi yang memaksimumkan xm+1 sebagai pengganti fungsi

yang meminimumkan (-xm+1), dengan m = 2 dan n = 3, diperoleh model:

Memaksimumkan x3

dengan kendala 5x2-x3 ≥ 0

-2x1 + 4x2-x3 ≥ 0

2x1 - 3x2-x3 ≥ 0

x1 + x2 = 1

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0


Permainan dengan Strategi Campuran• Menggunakan metode simpleks diperoleh x1

* = 7/11, x2* = 4/11, x3

* = 2/11 sebagai penyelesaian optimal.

• Akhirnya, strategi campuran untuk pemain I berdasarkan kriteria minimaks adalah (x1, x2) = (7/11, 4/11), dan nilai permainan adalah v = x3

* = 2/11. Metode simpleks juga menghasilkan penyeleaian optimal bagi dualnya, y1

* = 0, y2

* = 5/11, y3* = 6/11, y4

* = 2/11. Jadi, strategi campuran untuk pemain II adalah (y1, y2, y3) = (0,5/11, 6/11).

• Masalah dual di atas adalah model pemrograman linear untuk pemain II (dengan peubah y1, y2,.., yn+1), yaitu

Meminimumkan y4

dengan kendala -2y2+ 2y3- y4 ≤ 0

5y1 + 4y2 - 3y3- y4 ≤ 0

y1 + y2 + y3 = 1

y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0, y4 ≥ 0


Permainan dengan Strategi Campuran• Menggunakan metode simplek untuk menyelesaikan model ini secara

langsung diperoleh penyelesaian optimal y1* = 0, y2

* = 5/11, y3* = 6/11, y4

* = 2/11 (seuai dengan penyelesaian dual optimal x1

* = 7/11, x2* = 4/11, x3

* = 2/11) . Jadi, strategi campuran untuk pemain II adalah (y1, y2, y3) = (0,5/11, 6/11), dan nilai permainan adalah v = y4

* = 2/11.

Catatan: 1. Karena strategi campuran optimal untuk pemain II dapat diperoleh

melalui model pertama, maka tidak perlu menyelesaikan model kedua secara langsung.

2. Kedua model pemrograman linear ini mengasumsikan v ≥ 0. Jika asumsi dilanggar, maka kedua model tidak akan mempunyai penyelesaian layak. Untk menghindari resiko ini, dapat ditambahkan konstanta positif, misal 3 (nilai mutlak terbear dari entry negatif).

Teori Permainan

Documents

Transcript of Teori Permainan