TEORI BILANGAN - darmapustaka.files.wordpress.com · Jadi fpb dari 30 dan 105 bisa kita tulis...
16
[email protected] TEORI BILANGAN Setelah mempelajari modul ini diharapakan kamu bisa : 1 Menggunakan algoritma Euclid untuk menyelesaikan masalah. 2 Menggunakan notasi kekongruenan. 3 Menggunakan teorema Fermat dan teorema Wilson. 4 Menggunakan teorema factor. 5 Menggunakan teorema sisa cina Masalah : 1 Tentukan factor persekutuan terbesar dari 247 dan 229. 2 Tentukan sisa pembagian 2 2005 ketika dibagi dengan 13. 3 Tentukan dua digit terakhir dari 3 1999 4 Tentukan bilangan x dimana ketika dibagi 5 menyisakan 2, ketika dibagi dengan 3 menyisakan 2 dan ketika dibagi dengan 11 menyisakan 3. 1. KETERBAGIAN Dedinisi 1 : bilangan bulat b membagi habis bilangan bulat a ditulis b I a, jika dan hanya jika ada bilangan bulat q sehingga a = b . q, jika b tidak membagi habis bilangan bulat a maka ditulis ∤. Catatan 1 : perlu dipahami bahwa arti membagi habis jika sisanya adalah 0.atau dikatakan tidak memiliki sisa kecuali nol. Contoh 1 : 4 I 36 karena 36 = 4 . 9. -3I 18 karena 18 = -3 . 6 3∤ 10 karena tidak ada q sedemikian sehingga 3 q = 10. Definisi 2 : semua bilangan bulat b habis dibagi oleh 0 atau bisa ditulis 0 membagi semua sembarang bilangan bulat b ditulis 0 I b, b sembarang bilangan bulat. Hal ini karena 0 = b. 0. Istilah lain yang memiliki arti sama dengan b I a adalah 1 b adalah factor dari a 2 b adalah pembagi a 3 a adalah kelipatan dari b teorema 1 : jika a I b dan b I c maka a I c. teorema 2 : jika a I b dan a I c maka a I (b + c) teorema 3 : jika a I b maka a I bq untuk q sembarang bilangan bulat. Teorema 4 : jika a I b dan a I c maka a I (bm +cm), sembarang bilangan bulat m
Transcript of TEORI BILANGAN - darmapustaka.files.wordpress.com · Jadi fpb dari 30 dan 105 bisa kita tulis...
TEORI BILANGAN Setelah mempelajari modul ini diharapakan kamu bisa : 1 Menggunakan algoritma Euclid untuk menyelesaikan masalah. 2 Menggunakan notasi kekongruenan. 3 Menggunakan teorema Fermat dan teorema Wilson. 4 Menggunakan teorema factor. 5 Menggunakan teorema sisa cina Masalah : 1 Tentukan factor persekutuan terbesar dari 247 dan 229. 2 Tentukan sisa pembagian 22005 ketika dibagi dengan 13. 3 Tentukan dua digit terakhir dari 31999 4 Tentukan bilangan x dimana ketika dibagi 5 menyisakan 2, ketika dibagi
dengan 3 menyisakan 2 dan ketika dibagi dengan 11 menyisakan 3.
1. KETERBAGIAN Dedinisi 1 : bilangan bulat b membagi habis bilangan bulat a ditulis b I a, jika dan hanya jika ada bilangan bulat q sehingga a = b . q, jika b tidak membagi habis bilangan bulat a maka ditulis 푏 ∤ 푎. Catatan 1 : perlu dipahami bahwa arti membagi habis jika sisanya adalah 0.atau dikatakan tidak memiliki sisa kecuali nol. Contoh 1 : 4 I 36 karena 36 = 4 . 9.
-3I 18 karena 18 = -3 . 6 3∤ 10 karena tidak ada q sedemikian sehingga 3 q = 10.
Definisi 2 : semua bilangan bulat b habis dibagi oleh 0 atau bisa ditulis 0 membagi semua sembarang bilangan bulat b ditulis 0 I b, b sembarang bilangan bulat. Hal ini karena 0 = b. 0. Istilah lain yang memiliki arti sama dengan b I a adalah 1 b adalah factor dari a 2 b adalah pembagi a 3 a adalah kelipatan dari b
teorema 1 : jika a I b dan b I c maka a I c. teorema 2 : jika a I b dan a I c maka a I (b + c) teorema 3 : jika a I b maka a I bq untuk q sembarang bilangan bulat. Teorema 4 : jika a I b dan a I c maka a I (bm +cm), sembarang bilangan bulat m
Teorema 5 : jika m> 0 maka a I b ⇔ ma I mb. Teorema 6 : jika a I b dan b I a maka a = b atau a = -b. Teorema 7 : jika a I b dengan a dan b positif, maka a ≤ b. Teorema 8 : jika a I b dan b ≠ 0 maka |푎| ≤ |푏| Contoh 2 : 3x +81y +6z +36 = w, dengan x, y, z dan w bilangan bulat, maka 3 I
w karena 3 membagi semua suku diruas kiri. (teorema 4) Tes keterbagian / cirri bilangan yang habis dibagi n digit.
Habis dibagi Ciri-ciri 2 3
4
5 6
7
8
9
11
12
25
125
Digit terakhirnya genap Jumlah digitnya habis dibagi dengan 3
Dua digit terakhirnya habis dibagi dengan 4
Digit terkhirnya 0 atau 5 Jumlah dari semua digit habis dibagi 3 dan digit satuannya genap
M habis dibagi 7, dimana M adalah bilangan yang lebih kecil yang berasal dari bilangan N yang ditambahkan dua kali pada digit terakhir dari bilangan yang dibentuk dari sisa digit.
Tiga digit terakhir habis dibagi dengan 8
Jumlah digitnya habis dibagi dengan 9
Selisih digit-digit pada tempat ganjil dan tempat genap adalah 0.
Bilangan yang dibentuk dua digit terkhir habis dibagi 4 dan jumlah digitnya habis dibagi 3
Bilangan yang dibentuk dengan 2 digit terkahir habis dibagi 25
Bilangan yang dibentuk dengan
3 digit terakhir habis dibagi 125.
Catatan : digit bisa diartikan banyak angka dasar dalam matematika yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2. FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR 1
Kita tahu dengan menggunakan pemfaktoran atau mendata factor dari 30 dan 105 kita bisa menemukan bahwa factor persekutuan terbesar dari 30 dan 105 adalah 15. Dalam modul ini kita buat kesepakatan factor persekutuan terbesar disebut juga dengan Greats Common Divisor (Pembagi Bersama Terbesar) dan selanjutnya disingkat gcd. Jadi fpb dari 30 dan 105 bisa kita tulis dengan gcd (30, 105 ) = 15. Dalam menentukan gcd bilangan 30 dan 105 sangatlah mudah, akan tetapi bagaimana menentukan gcd dari masalah 1? Akan kita pelajari bersama.
Definisi 2 : diberikan a, b ∈ 푍 yang keduanya tidak nol, maka gcd dari (a,b) adalah bilangan asli unik d sedemikian sehingga : 1) d I a dan d I b 2) jika ada c I a dan c I b , maka c I d.
Catatan 2: syarat 1) adalah syarat d sebagai factor persekutuan dari a dan b, sedangkan syarat 2) adalah syarat d sebagai factor persekutuan terbesar dari a dan b. Pemahaman 2 : factor-faktor dari 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 dan 30. Sedangkan factor-faktor dari 105 adalah = 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35 dan 105. Kita bisa liahat sarat pertama dipenuhi oleh 1, 3, 5, dan 15. Yang masing-masing membagi habis 30 dan 105. Maka syarat kedua mengsyaratkan pembagi bersama yang dipilih adalah 15 yang habis dibagi oleh c (1,3,5) yang tentu saja mudah dilihat kurang dari 15. Teorema 1 : jika gcd(a,b) = d maka gcd (a : d, b :d) =1 Teorema 2 : jika a = qa +r maka gcd (a,b) = gcd(b,r) 3. PEMBAGIAN BERSISA Teorem 3 : untuk setiap pasangan bilangan bulat a dan b dimana b> 0, selalu terdapat dengan tunggal pasangan bilangan bulat q dan r sehingga :
푎 = 푞푏 + 푟, 0 ≤ 푟 < 푏
Catatan 3 : Catatan 1.1. Bilangan bulat a adalah bilangan yang dibagi, b adalah pembagi, q disebut hasil bagi (quotient) dan r disebut sisa (remainder). Teorema ini dapat diungkapkan dalam bahasa sehari-hari: bilangan bulat a dibagi oleh bilangan bulat b > 0 maka ada bilangan bulat q sebagai hasil baginya dengan sisa r. Contoh 1. ketika 13 = 2. 6 +1. Maka 13 adalah bilangan yang dibagi (a), 2 adalah bilangan pembagi (b), 6 adalah hasil bagi / quotient (q) dan 1 adalah sisa / remainder. 4. ALGORITMA PEMBAGIAN (ALGORITMA EUCLID) Diberikan 0 < 푏 ≤ 푎 dengan algoritma Euclid, kita dapatkan :
a = q b + r , 0 ≤ r < 푏
jika r = 0 maka b I a jadi gcd (a,b) = b; if r ≠ 0 ambil b and r1 dalam pembagian algoritma kita dapatkan :
b = q r + r , 0 ≤ r < r
jika r2 =0, stop ; kita dapatkan gcd (a,b) = r1 ; jika tidak , lanjutka proses ini sampai mendapatkan sisa nol. Misalkan sisa nol diperoleh setelah n + 1 langkah, maka :
a = q b + r , 0 < r < 푏
b = q r + r , 0 < r < r
r = q r + r , 0 < r < r
........ … ………….
r = q r + r , 0 < r < r
r = q + r + 0.
Sekarang gcd (a,b) =r
Contoh 4 : tentukan gcd dari (178, 312)
Step 1 : 312 = 1 . 178 +134
Step 2 : 178 = 1 . 134 +44
Step 3 : 134 = 3. 44 + 2
Step 4 : 44 = 22. 2 + 0
Kita dapatkan gcd(178, 312) = 2.
Catatan 4: karena jika x I y maka –x I y. jadi gcd (178, 312) = gcd (-178, 312) = gcd (178, - 312) = gcd ( - 178 , -312 ).
Sekarang masalah pertama bisa anda kerjakan.
5. KPK
Definisi 5 : jika a,b adalah anggota bilangan bulat maka kpk (a, b) = ( , )
Dari bahasan 4 kita dapat dengan mudah dapatkan kpk dari (178, 312) yaitu . = 27768.
6. KEKONGRUENAN Definisi 6.a : misalkan a, b dan m adalah bilangan bulat dengan m> 0 maka dikatakan bahwa a kongruen dengan b modulo m jika m membagi habis (a – b) dan ditulis a ≡ b (mod m). Contoh 6 : 25 ≡ 1 (mod 4 ) karena (25 -1) habis dibagi 4, sedangkan 31 ≢ 5 (mod 6) karana (31 -5) tidak habis terbagi oleh 6. Catatan 6 : dari definisi a ≡ b (mod m) jika a –b habis terbagi oleh m atau kita bisa tulis m I (a-b) dibaca m membagi habis (a- b). berarti ada sembarang bilangan bulat c sehingga (a – b) = m.c atau ekuivalen dengan a = b + m.c dengan c sembarang bilangan bulat.
Pemahaman 6 : n ≡ 7 (mod 8) ini bisa kita artikan 8 membagi habis n – 7 kita tulis 8 I n – 7. Dapat diartikan bahwa n – 7 = 8.c dimana c sembarang bilangan bulat atau dapat kita tulis n = 7 +8c. dengan c sembarang bilangan bulat. Teorema 1 : Jika a ≡ b (mod m) maka untuk sembarang bilangan x ∈ 푍 berlaku
1 (a + x) ≡ (b + x)(mod m) 2 (a − x) ≡ (b − x)(mod m) 3 (ax) ≡ (bx)(mod m) 4 (a ) ≡ (b )(mod m),∀n ∈ N.
Teorema 2 : jika a ≡ b (mod m)and c ≡ d(mod m). maka
1 a + c ≡ (b + c)(mod m) 2 a − c ≡ (b − d)(mod m) 3 ac ≡ bd (mod m)
contoh 6 :Tentukanlah sisa , jika 20 dibagi 7? Pembahasan 20 ≡ −1 (푚표푑 7) 20 ≡ (−1) (푚표푑 7) 20 ≡ 1 (푚표푑 7) Jadi 20 ∶ 7 bersisa 1.
Catatan : usahakanlah untuk sisa adalah 1 atau – 1 karena akan mudah untuk di cari hasil perpangkatanya. Masalah 3 : hitung dua digit terakhir dari 32002. Kita tentu tak cukup kertas dan juga umur kita terbatas jika menghitung dengan mengenumerasi. Kita gunakan notasi kekongruenan. Kita gunakan modulo 100.
3 ≡ 81 (mod 100)dan 3 ≡ 9(mod 100) 3 ≡ 729 (mod 100) ≡ 29 (mod 100)
Dan 3 ≡ 261 (mod 100)atau 3 ≡ 61 (mod 100), kita lanjutkan perhitungan, 3 ≡ 61 x 9 (mod 100)
≡ 49 (mod 100) Dan
3 ≡ 49 (mod 100)
≡ 2401 (mod 100) ≡ 1 (mod 100)
Akhirnya diperoleh 3 = (3 ) . 3 ≡ 1. 3 (mod 100) ≡ 9 (mod 100) Jadi dua digit terakhir adalah 9. Catatan : untuk menghitung n digit terakhir gunakan 10n. 7. TEOREMA FERMAT Teorema 7 : jika a adalah bilangan prima dan n adalah relative prima dengan a atau gcd (n,p) = 1. Maka n ≡ 1 (mod p) dan juga n ≡ n (mod p) Catatan 7 : ini artinya n − 1 dan juga np-n adalah kelipatan dari p. Contoh 7 : missal kita ingin menghitung berapa sisa 542 ketika dibagai dengan 41 menrut teorema fermat karena 5 dan 41 saling prima atau gcd (5, 41 ) =1 maka kita dapatkan 5 ≡ 1 (mod 41) sehingga 5 ≡ 1 (mod 41) selanjutnya 540. 52≡ 1. 52(mod 41 ) sehingga didapat sisanya adalah 25. 8. TEOREMA WILSON Teorema 8 : jika p adalah bilangan prima, maka (p -1)! +1 ≡ 0 (mod p). Catatan 8 : ini berarti bahwa (p-1)! + 1 adalah sebuah kelipatan dari p. 9. TEOREMA FAKTOR Teorema : sembarang bilangan asli N dapat ditulis dalam suatu bentuk 푁 = 푝 푝 푝 … .푝 dimana 푝 ,푝 , … . . ,푝 adalah bilangan prima dan 푝 < 푝 < ⋯… . < 푝 . Dan 푧 , 푧 , 푧 ……..,푧 adalah suatu bilangan bulat positif. Contoh : N adalah bilangan asli sehingga N/5 adalah sebuah bilangan kuadrad dan N/2 adalah bilangan pangakat tiga, nilai terkecil dari N yang memenuhi N/ 33 adalah Solusi : misalkan N = 10. TEOREMA SISA CINA. Masalah : Pada abad pertama, seorang matematikawan China yang bernama Sun Tse mengajukan pertanyaan sebagai berikut: Tentukan sebuah bilangan bulat
yang bila dibagi dengan 5 menyisakan 3, bila dibagi 7 menyisakan 5, dan bila dibagi 11 menyisakan 7. Pertanyaan Sun Tse dapat dirumuskan kedalam system perkongruenan linier : x 3 (mod 5) kongruen linier x 5 (mod 7) x 7 (mod 11) teorema 9 : misalkan Misalkan m1, m2, …, mn adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga gcd(mi, mj) = 1 untuk i j. Maka sistem
x ak (mod mk) mempunyai sebuah solusi unik modulo m = m1 m2 … mn. Contoh 9. :Tentukan solusi dari pertanyaan Sun Tse di atas.
Penyelesaian 9.1 : Menurut persamaan (5.6), kongruen pertama, x 3 (mod 5), memberikan x = 3 + 5k1 untuk beberapa nilai k. Subtitusikan ini ke dalam kongruen kedua menjadi 3 + 5k1 5 (mod 7), dari sini kita peroleh k1 6 (mod 7), atau k1 = 6 + 7k2 untuk beberapa nilai k2. Jadi kita mendapatkan x = 3 + 5k1 = 3 + 5(6 + 7k2) = 33 + 35k2 yang mana memenuhi dua kongruen pertama. Jika x memenuhi kongruen yang ketiga, kita harus mempunyai 33 + 35k2 7 (mod 11), yang mengakibatkan k2 9 (mod 11) atau k2 = 9 + 11k3. Subtitusikan k2 ini ke dalam kongruen yang ketiga menghasilkan x = 33 + 35(9 + 11k3) 348 + 385k3 (mod 11). Dengan demikian, x 348 (mod 385) yang memenuhi ketiga konruen tersebut. Dengan kata lain, 348 adalah solusi unik modulo 385. Catatlah bahwa 385 = 5 7 11. Solusi unik ini mudah dibuktikan sebagai berikut. Solusi tersebut modulo m = m1 m2 m3 = 5 7 11 = 5 77 = 11 35. Karena 77 3 1 (mod 5), 55 6 1 (mod 7), dan 35 6 1 (mod 11), solusi unik dari sistem kongruen tersebut adalah x 3 77 3 + 5 55 6 + 7 35 6 (mod 385) 3813 (mod 385) 348 (mod 385) Penyelesaian 9.2 Sebenarnya kita bisa pikirkan bahwa sebenarnya ini juga bisa kita tulis dengan
3, 8, 13, 18,….., 3 + 5p 5, 12, 19,…., 5 +7q 7, 18, 29,…., 7 +11r Dengan menyelesaiakan persamaan kita bisa peroleh kelipatan persekutuan terkecil yaitu 348. Tetapi penyelesaian ini kurang praktis dan hanya digunakan untuk bilangan yang kecil dan persamaan yang sedikit. Maka kita butuh persamaan yang lebih umum, selain denngan 2 cara diatas. Penyelesaian 9.3 Teorema : misalkan kita ingin menemukan sebuah angka x yang menghasilkan :
Sisa 푟 ketika dibagi dengan d1 Sisa r2 ketika dibagi dengan d2
……….. …………… ………. Dan bersisa rn ketika dibagi dengan dn
Dimana tidak ada dua pembagi d1, d2,……,dn memiliki sembarang factor bersama.
Misalkan D = d1 d2…dn dan y1 = . sekarang jika kita ingin menemukan bilangan 푎
sedemikian sehingga : 푎 푦 ≡ 1 (푚표푑 푑 ), 1 ≤ 푖 < 푛
Maka solusinya adalah
푥 = 푎 푦 푟 + 푎 푦 푟 + … + 푎 푦 푟 = 푎 푦 푟
Dari soal diatas kita peroleh D = 푑 푑 푑 = 5.7.11 = 385 , dan dari y1 = , kita
peroleh
푦 =385
5= 77, 푦 =
3857
= 55,푦 =38511
= 35
Ini menyisakan mencari ai sehingga 77a1 -1 habis dibagi 5 kemudian a2 sehingga 55a2-1 habis dibagi dengan 7, kemudian a3 sehingga 35a3 -1 habis dibagi dengan 11. Sehingga mudah diperoleh bahwa 푎 = 3, 푎 = 6, 푎 =
푥 = 푎 푦 푟 = 푎 푦 푟 + 푎 푦 푟 + 푎 푦 푟
= (3)(77)(3) + (6)(55)(5)+(6)(35)(7) = 693 + 1650 +1470
=3813. Sekarang sembarang bilangan dengan bentuk 3813 ± 385k adalah sebuah penyelesaian, tetapi untuk mendapatkan penyelesaian terkecil yang mungkin kita
atur k = 9 sehingga diperoleh 3813 – 385(9) = 348. Atau bisa ditulis 3813 dibagi dengan 385 sehingga diperoleh x = 3813 (mod 385) artinya 385 I 3813- x sehingga x kongruen dengan 348. Sama dengan solusi pertama. Nah tentunya sekarang kamu bisa menyelesaiakan masalah pembuka. Sekarang terserah kamu menggunakan penyelesaian yang mana yang kamu anggap paling memahami. 1. FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR 2 Teorema 1 : jika gcd(a,b) = d maka ada bilangan bulat x dan y sehingga ax +by = d Contoh 1 : gcd dari 247 dan 299 adalah 13. Ini tentu kamu bisa gunakan algoritma Euclid yang kamu pelajari pada diktat di atas.
299 = 1 . 247 + 52 247 = 4. 52 + 39 52 = 1. 39 + 13 39 = 3. 13 + 0
Dari pembagian di atas diperoleh gcd(247, 229) = 13. Menurut teorema 1 maka ada bilangan-bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga 13 = 247x +299y. untuk menentukan nilai x dan y maka kita lihat kembali algoritma pembagian diatas.
13 = 52 – 39 . 1 = 52 – (247 – 52.4)
= 52 . 5 – 247 = (299 – 247)5 – 247 13 = 299 . 5 – 247 .6
Jadi nilai x = - 6 dan y = 5 agar 13 = 247 x +299 y. 2. PERKONGRUENAN LINIER/LANJAR Setelah kita mempelajari pengertian notasi kekongruenan dan kegunaanya. Berikut ini kita akan pelajari perkongruenan linier. Kalimat terbuka yang menggunakan relasi kekongruenan disebut perkongruenan. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum bisa ditentukan benar atau salahnya, biasanya memuat variable. Bentuk umum perkongruenan linier adalah
ax ≡ b (mod m), dengan a ≠ 0
definisi 1 : perkongruenan linier ax ≡ b (mod m) akan memiliki penyelesaian/solusi jika dan hanya jika ada bilangan bulat x dan k yang memenuhi persamaan ax ≡ b + km.
pemahaman 1 : perhatikan bentuk 3x ≡ 4 (mod 5). Jika x kita ganti dengan 3 akan memberikan 3.3 ≡ 4 (mod 5). Yaitu merupakan pernyataan yang benar. Begitu pula jika diganti dengan ….- 7, - 2, 8, 13, …..periksalah!. catatan : kita tahu bahwa ax ≡ b (mod m) berarti ax – b habis dibagi m atau ditulis m I ax-b. sehingga ax – b = m. k, dengan k bilangan bulat sehingga ekuivalen dengan ax = b +km. solusi dari penyelesaian tersebut tidak lain adalah residu terkecil dari m. teorema 1 : jika gcd (a, m) ∤ b maka perkongruenan linier ax ≡ b (mod m) tidak memiliki solusi. Contoh 1 : 6x ≡ 7 (mod 8), karena gcd (6,8) = 2 dan 2 ∤ 7 maka perkongruenan ini tidak memiliki solusi. Teorema 2 : jika gcd(a, m) =1 , maka perkongruenan linier ax ≡ b (mod m) mempunyai tepat satu solusi Contoh 2 : kita cari solusi dari 4x ≡ 1 (mod 15), karena gcd(4,15) adalah 1 maka tepat memilki satu solusi, maka memunginkan kita melakukan konselasi (penghapusan) pada 4 sehingga diperoleh x ≡ 4 (mod 15). Sehingga solusi dari perkongruenan adalah x = 4. Latihan 2 : selesaiakanlah 14x ≡ 1 (mod 27). Teorema 3 : jika gcd (a,m) = d dan d I b maka ax ≡ b (mod m) mempunyai tepat d solusi. Contoh 3 : selesaiakanlah 6x ≡ 15 (mod 33) karena gcd (6, 33) =3 berarti 6x ≡ 15 (mod 33) memiliki 3 solusi.
6x ≡ 15 (mod 33) step 1 2x ≡ 5(mod 11)step 2
2x ≡ 16 (mod 11)step 3 x ≡ 8 (mod 11) step 4
maka bilangan-bilangan bulat yang memenuhi adalah residu terkecil modulo 33 yaitu 8, 19, 30.
Catatan 3 : gcd(6 dan 33) adalah 3 yang juga membagi habis 15 maka memungkinkan kita sederhanakan dengan membagi persamaan dengan 3. Pada langkah 3 kita lihat gcd(2,11) =1 karena saling prima. Maka memungkinkan kita menkonselasi 2, untuk mendapatkan nilai x. 3. PERSAMAAN DIOPHANTIN. Setelah mempelajari materi ini diharapakan kamu bisa :
1. Mendifinisikan arti dari persamaan Diophantine 2. Memecahkan persamaan Diophantine dari bentuk ax +by = gcd(a,b) 3. Memecahkan persamaan diophantine dari bentuk ax +by = c 4. Memecahkan persamaan Diophantine non linier.
Masalah 1. Nenek ika memberinya uang Rp 10.000 dan memintanya membeli mangga
dan jeruk sebanyak mungin dengan uang tersebut. Harga mangga Rp 700,00 sedangkan harga jeruk 1300,00 perbuah. Berapa buah yang dapat dia beli?
3.1 PERSAMAAN DIOPHANTINE DENGAN BENTUK ax +by =gcd (a,b) Tentu kita sudah tidak asing lagi dengan bentuk pertama ini yang telah kita bahas pada factor persekutuan terbesar 2. Tetapi coba kita lihat kembali dengan soal yang berbeda. Ingat kembali teorema 1 bab FPB 2 : Teorema 1 : jika gcd(a,b) = d maka ada bilangan bulat x dan y sehingga ax +by = d Penjelasan : teorema diatas sama dengan bentuk persamaan Diophantine ax +by =gcd(a,b). Soal 3.1 : tentukan solusi dari 178 x + 312 y. dengan algoritma Euclid kita bisa tentuka gcd(178,312) = 2. Kemudian kita balik 2 = 134 – 3 . 44 2 = 134 – 3 . (178 – 1 .134) 2 = 4 . 134 – 3 . 178 2 = 4 . (312 – 178) – 3 . 178 2 = 4 . 312 – 7. 178 Kita lihat bahwa x = - 7 dan y = 4. Adalah solusi dari persamaan diatas. Tetapi ini bukanlah satu-satunya solusi dari persamaan Diophantine ini. Dengan mudah dilihat dengan mengambil sembarang t. maka x = - 7 + 312t dan y = 4 – 178t juga adalah solusi dari persamaan tersebut. Untuk sembarang t kita lihat 178(- 7 +312t) + 312(4 – 178t) =2. Jadi persamaan ax + by = gcd (a,b) memiliki banyak solusi.
3.2 BENTUK AX + BY = C Teorema 3.2 : diberikan persamaan linier diophantin secara umum dalam dua variable x, y ∈ 푍. : ax + by = c, dengan a, b , c adalah bilangan bulat misalkan d = gcd(a,b) maka ax + by = c memiliki sebuah solusi jika dan hanya jika c habis dibagi oleh d. Pemahaman : dengan kata lain gcd (a,b)= d / pembagi terbesar ruas kiri harus membagi habis ruas kanan yaitu c. kita tulis d I c. Contoh : 3x + 4y = 9. Dengan menerapkan algoritma pembagian kita dapat gcd (3,4) = 1. Dan 1 I 9 maka jelas persamaan ini memiliki solusi. Sekarang kita cari solusi dari persamaan Diophantine 3x +4y = 9. Kita lihat kembali cara memperoleh gcd dari 3 dan 4
4 = 1 . 3 + 1 3 = 3. 1 + 0
Jelas kita lihat gcd(3,4) = 1. Kita ubah bentuk ax + by = gcd (a,b) jadi kita bisa tulis ax +by = 1. Dengan membalik algoritma pembagian kita dapatkan nilai x dan y.
1 = 4 – 3.1 1 = 1(4) – 1(3)
Jadi kita bisa lihat x = - 1 dan y = 1. Solusi lain jika kita ambil sembarang bilangan bulat t x = -1 + 4t, dan y = 1 – 3t, juga merupkan solusi dari 3x +4y =1 . sekarang kita lanjutkan karena gcd (3,4) = 1 juga membagi 9 maka dengan jumlah persamaan dengan 9. Jadi dengan mudah kita ambil -1 x 9 = 9 jadi x = - 9 dan 1 x 9 = 9 maka y = 9, jadi (-9,9) adalah penyelesaian dari persamaan diatas. Contoh : tentukan penyelesaian dari 2x + 4y = 9. Dengan mudah kita lihat gcd (2,4) = 2 memiliki penyelesaian dalam bentuk 2x +4y = 2 akan tetapi 9 tidak habis dibagi 2, atau 9 bukan kelipatan dari 2, atau 2 ∤ 9 sesuai dengan teorema maka 2 x +4y = 9 tidak memiliki solusi. 4. PERSAMAAN DIOPHANTINE 2 Ini adalah versi lain dalam persamaan Diophantine dalam bentuk modulo yang sesungguhnya sama, tetapi kita coba buat suatu perbandingan karena kita juga telah mempelajari tentang modulo.persamaan linier Diophantine ax +by = c bisa kita nyatakan dalam bentuk ax ≡ c (mod b) atau by ≡ c (mod a).
Pemahaman 4 : tidak usah bingung asala dari bentuk ini missal ax ≡ c (mod b) kita bisa tuliskan sesuai definisi ax – c = b.y dengan y sembarang bilangan bulat. Atau kita tulis ax = by + c, jika y = suatu bilangan bulat negative maka kita bisa tulis ax = - by + c atau ax + by = c adalah bentuk laian dari ax ≡ c (mod b). atau mudah dipahami ax = by + c adalah b .y I ax – c. dengan y ditentukan kemudian yaitu sembarang bilangan bulat. Catatan 4 : untuk menyelesaiakan persamaan ini cukup kita selesaiakan salah satu perkongruenan kemudian subtitusikan pada perkongruenan yang lain. Contoh 4 : missal kita harus menyelesaiakan 9x + 16 y = 35. Kita lihat gcd(9, 16) = 1 sehingga 1 I 35 sehingga persamaan ini memiliki solusi. Penyelesaian 1 : kita gunakan algoritma
16 = 1.9 +7 9 =1 . 7 +2 7 = 3 . 2 + 1 2 = 2. 1 + 0.
Gcd(9.16) = 1 kita kembalikan 1 = 7 – 3. 2 1 = 7 – 3 (9 – 1.7) 1 = 7 -3(9) + 3(7) 1= 4(7) – 3(9) 1 = 4 ( 16 – 1.9) – 3 (9) 1= 4(16) -4(9) -3(9) 1 = 4 (16) -7 (9). Karena 1 I 35 maka penyelesaian x =- 7 y= 4 dapat kita kalikan 35 yaitu x = - 245 dan y = 140. Penyelesaian 2 : 9x + 16 y =35 kita ubah menjadi 16y ≡ 35 (mod 9) kita telah mempelajari ini sebelumnya pada bab perkongruenan linier. Karena gcd (9, 16) = 1 maka kita bisa konselasi 16 menjadi y ≡ 5 (mod 9) dimana 5 adala modulo terkecil dari 9. Jadi y =5. Ketika y = 5 kita subtitusikan maka menghasilkan x = -5 jadi pasangan penyelesaianya (-5,5) tentu saja ini bukan satu-satunya penyelesaian. Bentuk y ≡ 5 (mod 9) berarti 9 I y-5 sehingga ada sembatang bilangan bulat t sehingga y- 5 = 9t atau ekivalen dengan y = 5 + 9t. jika nilai y ini disubtitusikan ke persamaan maka menghasilkan x = -5 – 16 t.
Dengan demikian bisa dikatakan bahwa jika (x0, y0) adalah suatu penyelesaian dari persamaan diophantin makan solusi-solusi lainya adalah ( x0 +bt, y0 – at) sekarang kamu sudah paham kan soal pada 3.1 pada bentuk persamaan diophantin ax +by =c.
Filename: tenan Directory: C:\Documents and Settings\axioo\My Documents Template: C:\Documents and Settings\axioo\Application
Data\Microsoft\Templates\Normal.dotm Title: Subject: Author: user Keywords: Comments: Creation Date: 9/27/2010 7:01:00 PM Change Number: 19 Last Saved On: 10/2/2010 4:32:00 PM Last Saved By: user Total Editing Time: 526 Minutes Last Printed On: 10/4/2010 9:27:00 PM As of Last Complete Printing Number of Pages: 15 Number of Words: 3,245 (approx.) Number of Characters: 18,503 (approx.)
