Teorema Sisa Cina

Materi Teori Bilangan Pertemuan XIV MF - 2011

1

TEOREMA SISA CINA (CHINESE REMAINDER THEOREM)

Tercatat dalam literatur Cina, pada abad pertama Sun-Tsu mengajukan sebuahpermasalahan berikut.

Tentukan bilangan yang memberikan sisa 2, 3, 2 ketika dibagi oleh 3, 5, dan 7.

Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakanTeorema Sisa Cina.

Teorema Sisa Cina:Misalkan n1, n2, n3, ... , nr bilangan bulat positif sedemikian sehingga FPB (ni, nj) = 1, untuki ≠ j.Sistem Kongruensi Linier x ≡ a1 (mod n1)

x ≡ a2 (mod n2)x ≡ a3 (mod n3)

.

.

.x ≡ ar (mod nr)

memiliki solusi yang unik dengan modulo n1 x n2 x n3 x ... x nr.

Contoh 1:Permasalahan yang diberikan oleh Sun-Tsu berkorespondensi dengan tiga sistem kongruenberikut: x ≡ 2 (mod 3)

x ≡ 3 (mod 5)x ≡ 2 (mod 7)

untuk menyelesaikan permasalahan di atas, digunakan teorema sisa cina.

Penyelesaian:

Cara I:Langkah I : identifikasi unsur yang diketahui.

a1 = 2, a2 = 3, dan a3 = 2n1 = 3, n2 = 5, dan n3 = 7

Langkah II : Cari nilai n dengan rumus n = n1 x n2 x n3 x ... x nr

Jadi, n = n1 x n2 x n3 = 3 x 5 x 7 = 105.Langkah III : Cari nilai Nk untuk k = 1, 2, 3 dengan rumus Nk = .

N1 = = 35, N2 = = 21, N3 = = 15.

Langkah IV : Cari nilai xk, dari kongruensi linier Nkxk ≡ 1 (mod nk), dengan k = 1, 2, 3.

Jadi,N1x1 ≡ 1 (mod n1) → 35x1 ≡ 1 (mod 3) → x1 = 2N2x2 ≡ 1 (mod n2) → 21x2 ≡ 1 (mod 5) → x2 = 1N3x3 ≡ 1 (mod n3) → 35x3 ≡ 1 (mod 3) → x3 = 1

Langkah V : Tentukan solusi dari sistem yang diberikan dengan rumus,̅ = a1N1xk + a2N2x2 + ... + arNrxr modulo n, untuk k = 1, 2, ... , rSehingga diperoleh solusi:̅ = a1N1xk + a2N2x2 + a3N3x3

= 2 x 35 x 2 + 3 X 21 X 1 + 2 X 15 X 1= 233. modulo 105

Jadi, solusi unik dari sistem kongruensi yang diberikan : x ≡ 233 ≡ 23 (mod 105).

Cara II:Untuk menyelesaikan permasalahan Sun-Tsu dapat diselesaikan dengan teorema sisa cinadengan langkah berikut.


2

Langkah I :Tuliskan unsur yang diketahui.

x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 3 (mod 5)x ≡ 2 (mod 7)

Langkah II :Pilih salah satu persamaan kongruensi, misalkan x ≡ 2 (mod 3) kemudian rubah dalamdefinisi. Catatan, pilih persamaan kongruensi yang bentuknya paling sederhana. Hal iniuntuk mempermudah pengerjaan.Sehingga diperoleh, x ≡ 2 (mod 3) → x = 2 + 3p, dengan p ∈ Z.

Langkah III :Substitusikan x = 2 + 3p ke persamaan kongruensi kedua yakni x ≡ 3 (mod 5).Sehingga diperoleh,

2 + 3p ≡ 3 (mod 5) → 3p ≡ 1 (mod 5)3p ≡ 1 (mod 5) dan 2 ≡ 2 (mod 5) → 6p ≡ 2 (mod 5) → p ≡ 2 (mod 5)Berdasarkan definisi, p ≡ 2 (mod 5) → p = 2 + 5q, dengan q ∈ Z.

Langkah IV :Substitusikan p = 2 + 5q ke persamaan x = 2 + 3p.Sehingga diperoleh, x = 2 + 3p = 2 + 3(2 + 5q) = 2 + 6 + 15q = 8 + 15q.

Langkah V :Substitusikan x = 8 + 15q ke persamaan kongruensi ketiga yakni x ≡ 2 (mod 7).Sehingga diperoleh,

8 + 15q ≡ 2 (mod 7) → q ≡ 1 (mod 7)Berdasarkan definisi, q ≡ 1 (mod 7) → q = 1 + 7r, dengan r ∈ Z.

Langkah VI :Substitusikan q = 1 + 7r ke persamaan x = 8 + 15q.Sehingga diperoleh, x = 8 + 15q = 8 + 15(1 + 7r) = 23 + 105r → x ≡ 23 (mod 105).

Jadi, solusi unik dari sistem kongruensi yang diberikan : x ≡ 233 ≡ 23 (mod 105).

Contoh 2:Tentukan penyelesaian dari kongruensi linier 17x ≡ 9 (mod 276).

Penyelesaian:Karena 276 = 3 . 4 . 23, kongruensi linier 17x ≡ 9 (mod 276) ekuivalen dengan sistemkongruensi berikut:

17x ≡ 9 (mod 3) atau x ≡ 0 (mod 3)17x ≡ 9 (mod 4) x ≡ 1 (mod 4)17x ≡ 9 (mod 23) 17x ≡ 9 (mod 23)

Langkah berikutnya, pilih kongruensi linier yang paling sederhana yakni x ≡ 0 (mod 3).Selanjutnya, x ≡ 0 (mod 3) maka berdasarkan definisi diperoleh x = 3k, k ∈ Z.Substitusikan x = 3k ke dalam kongruensi linier kedua yakni x ≡ 1 (mod 4), sehinggadiperoleh: 3k ≡ 1 (mod 4).

Langkah berikutnya, kalikan kedua ruas dengan 3 sehingga diperoleh 9k ≡ k ≡ 3 (mod 4).Berdasarkan definisi, k ≡ 3 (mod 4) → k = 3 + 4l, l ∈ Z.

Substitusikan k = 3 + 4l ke persamaan x = 3k, sehingga: x = 3k = 3(3 + 4l) = 9 + 12l.

Substitusikan x = 9 + 12l ke kongruensi linier ketiga yakni 17x ≡ 9 (mod 23), sehinggadiperoleh:


3

17(9 + 12l) ≡ 9 (mod 23) → 204l ≡ -144 (mod 23) → 3l ≡ 6 (mod 23) → l ≡ 2 (mod 23).Berdasarkan definisi l ≡ 2 (mod 23) → l = 2 + 23m, m ∈ Z.

Substitusikan l = 2 + 23m ke dalam persamaan x = 9 + 12l. Sehingga diperoleh:x = 9 + 12(2 + 23m) = 33 + 276l → x ≡ 33 (mod 276)

jadi, solusi dari 17x ≡ 9 (mod 276) adalah x ≡ 33 (mod 276).

Latihan:1. Tentukan penyelesaian dari sistem kongruensi berikut.

x ≡ 5 (mod 11) x ≡ 15 (mod 31)x ≡ 14 (mod 29)

2. Selesaikan kongruensi linier 17x ≡ 3 (mod 2 . 3 . 5 . 7) dengan menyelesaikan sistemkongruensi berikut.

17x ≡ 3 (mod 2) 17x ≡ 3 (mod 5)17x ≡ 3 (mod 3) 17x ≡ 3 (mod 7)

********************

BILANGAN PRIMA DAN BILANGAN KOMPOSIT

Bilangan Prima adalah bilangan asli yang hanya dapt dibagi oleh bilangan itu sendiri dansatu. Dengan perkataan lain bilangan prima hanya mempunyai 2 faktor. Sementara,bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua faktor disebut bilangan komposit (majemuk).

Definisi:Bilangan bulat p > 1 disebut bilangan prima jika pembagi positif bilangan bulat tersebutadalah 1 dan p. Bilangan bulat yang bukan satu selain bilangan prima disebut bilangankomposit.

Teorema 1:Jika p adalah bilangan prima dan p|ab, maka p|a atau p|b.

Bukti 1:Jika p|a, maka tidak perlu ada langkah lain.Sekarang buktikan dengan pengandaian p|a.Karena p adalah bilangan prima, maka pembagi positif p adalah 1 dan p. Hal inimengakibatkan, Fpb(p, a) = p atau Fpb(p, a) = 1.Karena p|a, maka yang memenuhi adalah Fpb(p, a) = 1.Selanjutnya, berdasarkan Lemma Euclid jika p|ab dan Fpb(p, a) = 1 maka p|b.

Demikian juga untuk menunjukkan bahwa p|a, andaikan saja p|b. Dengan langkah yangsama, kita telah membuktikan teorema di atas.

Corollary 1:Jika p adalah bilangan prima, dan p|a1a2...an, maka p|ak untuk sembarang k, dimana1 ≤ ≤ .

Corollary 2:Jika p, q1, q2, ...qn semuanya bilangan prima dan p|q1q2...qn, maka p = qk untuk sembarangk, dimana 1 ≤ ≤ .


4

Teorema 2: Fundamental Theorem of ArithmeticSetiap bilangan bulat positif n > 1, dapat diekspresikan sebagai hasil perkalian daribilangan-bilangan prima. Representasi tersebut adalah unik/ tunggal, sebagai faktorisasiprima dari bilangan tersebut.

*******************

TOPIK ERATOSTHENESTeorema:Untuk setiap bilangan komposit n, ada bilangan prima p sehingga p|n dan ≤ √ .

Makna: “jika ada bilangan prima p yang dapat membagi n dengan ≤ √ , maka n adalahbilangan prima”.

Contoh:Tentukan bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan prima atau komposit.a. 157 b. 221

Penyelesaian:a. Bilangan-bilangan prima ≤ √157 < 13 adalah 2, 3, 5, 7, 11. Karena ∄ bilangan-bilangan

prima 2, 3, 5, 7, 11 yang dapat membagi 157, maka 157 merupakan bilangan prima.b. Bilangan-bilangan prima ≤ √221 < 15 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 13|221, maka

221 merupakan bilangan komposit.

Latihan:1. Tentukan apakah bilangan bulat 701 merupakan bilangan prima?2. Tentukan apakah bilangan bulat 1009 merupakan bilangan prima?3. Pelajari konsep Saringan Eratosthenes, dengan menggunakannya untuk menentukan

bilangan prima sampai dengan 100!4. Dengan menggunakan Saringan Eratosthenes tentukan bilangan prima diantara 100 dan

200!

*****************

Disusun Oleh: Meti Faroka/ Prodi Pendidikan Matematika UIN Sunan Gunung Djati Bandung.

Referensi:- Burton, David M. 1998. Elementary Number Theory Fourth Edition. New York: The

McGraw-Hill Companies.- Sembiring, Suwah. __. Olimpiade Matematika SMU. Bandung: Yrama Widya.

Teorema Sisa Cina

Documents

Transcript of Teorema Sisa Cina