Pertemuan 8

Pengantar struktur Aljabar

36

TEOREMA DALAM SUBGRUP NORMAL DAN

GRUP FAKTOR

A. Pendahuluan

Modul ini merupakan lanjutan dari subgroup normal, yaitu membahas

tentang teorema-teorema dalam subgroup normal, dilanjutkan dengan materi

grup factor. Mahasiswa seharusnya telah menguasai konsep subgrup normal

untuk memahami materi dalam modul ini.

Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat mencapai

target berikut ini :

- Menjelaskan teorema dalam subgrup normal

- Membuktikan teorema dalam subgrup normal

- menentukan himpunan semua koset kiri/kanan

- membuktikan himpunan semua koset tersebut merupakan grup yang disebut

grup faktor

B. Teorema-teorema dalam Subgrup Normal

Teorema 1.:

N subgrup normal dari G jika dan hanya jika gN = Ng untuk ∀g ∈ G (semua

koset kiri = koset kanannya)

Teorema 2.:

N subgrup normal dari G jika dan hanya jika gNg-1 = N untuk ∀g ∈ G

Teorema 3.:

Setiap subgrup dari grup komutatif merupakan subgrup normal

Bukti: Teorema 1.

(⇒) N subgrup normal dari G maka ∀g ∈ G, ∀n ∈ N berlaku gng-1 ∈ N

Pertemuan 8

Pengantar struktur Aljabar

37

Ambil ∀g ∈ G akan ditunjukkan gN = Ng

*) Ambil x ∈ gN maka x = gn untuk suatu n ∈ N, karena N subgrup normal

maka gng-1 = xg-1 ∈ N dan xg-1g = x ∈ Ng. Jadi ∀x ∈ gN maka x ∈ gN.

Dengan kata lain gN ⊂ Ng

*) Ditunjukkan Ng ⊂ gN

Untuk latihan mahasiswa

(⇐) Diketahui ∀g ∈ G berlaku gN = Ng

Ambil ∀g ∈ G dan ∀n ∈ N

gn ∈ gN = Ng maka gn = n*g untuk suatu n*∈ N

g ∈ G maka g-1 ∈ G, gng-1 = n*gg-1 = n*∈ N

jadi ∀g ∈ G, ∀n ∈ N berlaku gng-1 ∈ N, dengan kata lain N subgrup normal

dari G

Bukti : teorema 2., sebagai latihan mahasiswa

Bukti : teorema 3.

Misalkan G grup komutatif dan H sebarang subgrup dari G. Ambil sebarang g

∈ G maka gH = {gh | h ∈ H } = {hg | h ∈ H } = Hg karena G komutatif

sehingga gh = hg

Menurut teorema 1.., maka H subgrup normal

C. Grup Faktor

Telah dibicarakan di modul sebelumnya tentang perkalian dua

kompleks, khususnya hasil kali dua subgrup. Misalnya H suatu subgrup dari

grup G maka berlaku HH = H. Hal ini akan digunakan dalam pengoperasian

dua koset kiri (kanan) dari suatu subgrup normal N dalam G.

Pertemuan 8

Pengantar struktur Aljabar

38

Misalkan N subgrup normal dari G, sedangkan a, b ∈ G dan aN, bN

adalah koset-koset kiri dari N dalam G. Menurut teorema 1., maka aN = Na.

Perhatikan perkalian dua koset kiri dari N dalam G, sebagai berikut :

(aN)(bN) = a(Nb)N Assosiatif

= a(bN)N bN = Nb (teorema 1.)

= (ab)NN assosiatif

= (ab)N …………….NN = N

terlihat bahwa hasil kali dua koset kiri dari N dalam G merupakan koset kiri

dari N dalam G pula. Secara formal, hal ini dinyatakan sebagai teorema

berikut :

Teorema 4.:

Jika N suatu subgrup dari G, N adalah subgrup normal dari G jika dan hanya

jika hasil kali 2 koset kiri (kanan) dari N dalam G merupakan koset kiri

(kanan) dari N dalam G

Bukti :

(⇒) N subgrup normal dari G maka aN = Na untuk ∀a∈ G (teorma 1.)

akan ditunjukkan (aN)(bN) = (ab)N untuk ∀a, b ∈ G

(aN)(bN) = a(Nb)N Assosiatif

= a(bN)N bN = Nb

= (ab)NN assosiatif

= (ab)N NN = N

∀a, b ∈ G maka ab ∈ G berarti (ab)N adalah koset kiri dari N dalam G.

jadi hasil kali dua koset kiri dari N dalam G merupakan koset kiri dari N

dalam G pula.

(⇐) N subgrup dari G dan (aN)(bN) = (ab)N untuk ∀a, b ∈ G

Ditunjukkan N subgrup normal dari G

Pertemuan 8

Pengantar struktur Aljabar

39

Karena ∀a, b ∈ G, (aN)(bN) = (ab)N maka jika diambil b = a-1 berlaku :

(aN)(a-1N) = (a a-1)N dan (aN)(a-1N) = (aN)(Na-1)

= eN = aNNa-1

= N = aNa-1

Sehingga aNa-1 = N untuk ∀a ∈ G dan menurut teorma 2., N merupakan

subgrup normal dari G

Perhatikan, himpunan semua koset kiri (kanan) dari N dalam G

dinotasikan G/N (dibaca N faktor G) dengan N subgrup normal dari G.

Elemen-elemen dari G/N adalah himpunan-himpunan bagian dari G yang

saling asing, dan mengingat teorema 8., G/N tertutup terhadap perkalian

himpunan.

Teorema 5.:

Jika G suatu grup dan N subgrup normal dari G maka G/N merupakan grup

terhadap perkalian himpunan.

Selanjutnya G/N disebut Grup Faktor (grup kuosen) G oleh N

Bukti : latihan untuk mahasiswa

Ingat bahwa G/N adalah himpunan semua koset kiri (kanan) dari N

dalam G, sedangkan banyaknya koset kiri (kanan) dari N dalam G disebut

indeks dari N dalam G, yaitu : iG(H) = n(G/N)

Teorema 6.:

Jika G suatu grup berhingga dan N subgrup normal dari G maka n(G/N) =

iG(N) = )(

)(

)(

)(

Nn

Gn

No

Go=

Tugas Kelompok :

Buatlah 2 fungsi dari grup G ke grup G’ dengan salah satu fungsi memenuhi

sifat, )()()(,, bfafbafGba ∗=•∈∀ à operasi • pada G dan ∗ pada G’

Pertemuan 8

Pengantar struktur Aljabar

40

Latihan Soal : (Tugas Mandiri)

1. Diketahui H adalah subgrup dari grup G dan a ∈ G, maka tunjukkan

bahwa : aHa-1 = {aha-1 | h ∈ H } juga merupakan subgrup dari G

2. Diberikan G* suatu grup siklik yang generatornya a dan p(a) = 10. Jika H

subgrup siklik dengan generator a2, maka Tuliskan semua koset kiri dari H

dalam G*.

3. Jika S suatu subgrup dari grup G, dan a ∈ S maka tunjukkan p(a)| n(S)

4. Diberikan H subgrup dari grup G dan x, y ∈ G, buktikan jika xH ∩ yH ≠

Φ maka xH = yH

5. M(R) =

≠∈

0,,,

0acRcba

c

ba merupakan suatu grup dengan

operasi perkalian matriks. Jika H =

∈

Rb

b

10

1, buktikanlah :

a. H subgrup normal dari M(R)

b. G/H merupakan grup komutatif

6. Diketahui G = { (1), (1 2 3 4), (1 3)(2 4), (1 4 3 2), (1 4)(2 3), (1 2)(3 4),

(1 3),(2 4) } adalah merupakan suatu grup terhadap operasi perkalian

permutasi. Buatlah tabel Cayley dari grup G kemudian tentukan :

a. Suatu subgrup normal N dalam G

b. Grup faktor G/N