BAB IILANDASAN TEORI

Untuk mencapai tujuan penelitian, diperlukan beberapa pengertian dan teori yang

relevan dengan pembahasan. Dalam bab ini akan diberikan beberapa teori berupa

definisi, teorema, maupun lemma yang berkaitan dengan konsep struktur aljabar.

2.1 Grup dan Subgrup

Definisi 2.1 Grup G adalah sebuah sistem aljabar yang terdiri atas suatu himpunan tak

kosong G dan suatu operasi biner (*) yang didefinisikan dalam G serta memenuhi

aksioma-aksioma berikut ini:

(1) Operasi * bersifat assosiatif, yaitu a * ( b * c) = (a * b) * c, untuk setiap a, b, c G.

(2) Terdapat elemen identitas Ge sedemikian sehingga a e e a a , untuk setiap

Ga .

(3) Untuk setiap Ga , terdapat elemen 1 Ga sedemikian sehingga

1 1a a a a e .

Sebuah Grup G disebut sebagai grup komutatif atau grup abelian jika operasi * bersifat

komutatif yang memenuhi aksioma:

(4) a * b = b * a, untuk setiap a, b G (Fraleigh 2003).

Jika sebuah grup G memiliki jumlah elemen yang berhingga maka disebut grup

berhingga (finite group) dan jika jumlah elemen dari suatu grup G tak berhingga maka

disebut grup tak berhingga (infinite group). Order dari sebuah grup G sama dengan

banyaknya elemen dalam grup G yang dinotasikan dengan G (Guritman 2004).

Contoh grup yang tidak asing lagi adalah bilangan bulat terhadap operasi

penjumlahan. Misalkan, merupakan himpunan bilangan bulat

{..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} . ( , ) merupakan suatu grup, karena untuk setiap ,a b

maka ( )a b . Bila , ,a b c maka ( ) ( )a b c a b c juga elemen

(memenuhi sifat assosiatif). 0 dan untuk setiap a maka 0 0 0a a (0

elemen identitas. Bila a maka terdapat a sedemikian sehingga

( ) ( ) 0a a a a ( a elemen invers). Grup ini juga merupakan grup komutatif,

karena a b b a .

5

Misalkan grup G dan S sembarang himpunan bagian tidak kosong dari G, maka

berikut merupakan definisi subgrup yang saling ekuivalen, yaitu sebuah himpunan

bagian S dari grup G disebut subgrup dari G jika S sendiri membentuk grup di bawah

operasi yang sama dengan yang dimiliki G (Aliatiningtyas 2002). Sebagai contoh, ,

dan merupakan subgrup dari terhadap operasi penjumlahan. Tentu saja

dan masing-masing merupakan grup terhadap operasi yang sama yaitu

penjumlahan.

Misalkan S adalah himpunan bagian dari sebuah grup G. S dikatakan subgrup

dari G jika dan hanya jika memenuhi sifat berikut ini.

i). S tertutup dalam operasi dalam G, yaitu jika , Sa b maka Sab .

ii). S tertutup terhadap inversnya, yaitu Sa maka 1 Sa (Aliatiningtyas 2002).

Bilangan bulat adalah grup terhadap operasi penjumlahan. Misalkan S adalah

himpunan bagian dari yang terdiri atas seluruh perkalian bilangan bulat positif m,

yaitu S {... , 2 , , 0, , 2 , ...}m m m m . Dengan menggunakan sifat di atas, maka

dapat ditunjukkan bahwa S adalah subgrup dari G.

Hubungan antara grup dan subgrupnya dapat ditambahkan dengan satu definisi

yang disebut dengan koset.

Definisi 2.2 Misalkan S adalah subgrup dari grup G. Untuk setiap Ga , maka

himpunan yang dinotasikan dengan S { S}a as s disebut koset kiri dari S yang

memuat a dan S { S}a sa s disebut koset kanan dari S yang memuat a (Aliatiningtyas

2002).

Teorema 2.3 (Teorema Lagrange) Misalkan G yaitu grup berhingga dan S yaitu subgrup

dari G, maka order dari S membagi order dari G (Aliatiningtyas 2002).

Jika S merupakan subgrup dari grup G, maka indeks dari S di dalam G dapat

diartikan sebagai banyaknya koset dari S di dalam G, dinotasikan (G : S) (Aliatiningtyas

2002).

6

Misalkan adalah sebuah grup bilangan bulat dalam penjumlahan dan subgrup

3 {..., -6, -3, 0, 3, 6, ...} terdiri atas kelipatan 3. Terdapat tiga koset kiri yang

berbeda dari 3 dalam , yaitu 0 + 3 = 3 = {..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}, 1 + 3 = {...,

-5, -2, 1, 4, 7, ...}, 2 + 3 = {..., -4, -1, 2, 5, 8, ...}. Meskipun dan 3 keduanya tak

berhingga, indeks dari 3 dalam adalah berhingga, yaitu ( :3 ) = 3 adalah

banyaknya koset.

2.2 Grup Siklik

Sebelum mendefinisikan tentang grup siklik, maka berikut ini diberikan beberapa

definisi yang terkait dengan order suatu unsur grup. Misalkan G adalah sembarang grup,

Ga dan bilangan bulat positif m , maka

kali

: ...m

m

a aa a ,

1 1 1

kali

: ...m

m

a a a a , dan

0 :a e (Guritman 2004).

Jadi, jika G adalah suatu grup dan Ga , maka untuk semua bilangan bulat

positif m dan n berlaku hukum eksponen berikut ini.

1). m n m na a a

2). ( )m n mna a

3). 1 1( ) ( )m m ma a a .

Misalkan G grup, dan Ga . Order dari elemen a dinotasikan ( )O a

didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil m sehingga ma e . Jika tidak ada

bilangan demikian, maka dikatakan order tak hingga (infinity) atau nol (Aliatiningtyas

2002).

Teorema 2.4 1). Jika ( )O a m , maka ada tepat m kuasa dari a (power of a) yang

masing-masing berbeda, yaitu 0 2 1, , ,..., ma e a a a . 2). Jika ( )O a tak hingga, maka

semua kuasa dari a berbeda. Artinya, jika r dan s adalah dua bilangan bulat yang berbeda

7

maka r sa a . 3). Misalkan a adalah unsur dari grup G dan ( )O a m , maka ta e jika

dan hanya jika t adalah kelipatan dari m (t kelipatan m, artinya ada bilangan bulat q

sehingga t mq ) (Aliatiningtyas 2002).

Definisi 2.5 Sebuah grup G dan sebuah elemen Ga (a disebut elemen pembangun).

Jika G { }ma a m maka G disebut grup siklis (cyclic group).

Jika G berhingga dan berorder m , maka dapat ditunjukkan

0 2 1{ , , , ..., }mG a a e a a a .

Jika G adalah grup aditif, maka dapat ditunjukkan

G { }a ma m

dan jika berorder m , maka dapat ditunjukkan

{0 0, , 2 , ..., (m-1) }G a a a a a (Guritman 2004).

2.3 Homomorfisma Grup dan Isomorfisma

Definisi 2.6 Diberikan grup G dan H. Suatu homomorfisma grup dari G ke H adalah

suatu fungsi : G Hf sedemikian sehingga untuk sembarang a dan b di dalam G,

berlaku ( ) ( ) ( )f ab f a f b (Fraleigh 2003).

Terkait dengan jenis fungsi, maka terdapat empat jenis homomorfisma f , yaitu:

1). Jika f bersifat injektif, maka f disebut monomorfisma.

2). Jika f bersifat surjektif, maka f disebut epimorfisma. Dalam hal ini, H disebut imej

homomorfik dari G oleh f .

3). Jika f bersifat bijektif, maka f disebut isomorfisma. Dalam hal ini, G dan H

dikatakan isomorfik.

8

4). Jika f bersifat bijektif dan GH, maka f disebut automorfisme (Aliatiningtyas

2002).

Definisi 2.7 Kernel dari f , ditulis Ker( f ) adalah himpunan dari elemen G yang

imagenya adalah elemen identitas e dari H, yaitu Ker ( ) { G : ( ) }f a f a e .

Sedangkan Bayangan (Image) dari f , ditulis f(G) atau Im( f ) terdiri dari image-image

dari elemen-elemen G dalam f , yaitu Im ( ) { : ( )}f b H b f a , untuk beberapa

Ga (Guritman 2004).

Sebagai contoh, diberikan fungsi 6 3: , ,f dengan ( ) (mod 3)f x x ,

6x maka f merupakan homomorfisma, sebab 1 2 6,x x berlaku

f(x1 +x2) = (x1 + x2) mod 3

= (x1 mod 3) + (x2 mod 3)

= f(x1) + f(x2)

dan 6ker( ) { ( ) 0}f x f x

6{ (mod 3) 0}x x

{0, 3} .

Dengan demikian, 3 disebut bayangan homomorfik dari G oleh f .

Teorema 2.8 Misalkan G dan H adalah grup. Suatu fungsi : G Hf adalah

homomorfisma, maka sifat-sifat berikut dipenuhi.

1). ( )f e e (secara implisit bahwa e pada ruas kiri adalah unsur identitas G dan e pada

ruas kanan adalah unsur identitas H).

2). 1 1( ) [ ( )]f a f a untuk setiap a G .

3). Im( )f merupakan subgrup dari H.

4). Ker( )f merupakan subgrup dari G (Guritman 2004).

Selanjutnya, dua grup G dan Hdikatakan isomorfik (dinotasikan G H ), jika

ada suatu isomorfisma dari G ke H. Sifat penting yang terkandung dari makna isomorfik

adalah walaupun secara fisik kedua grup tersebut berbeda, tetapi dari segi struktur adalah

9

sama. Kesamaan struktur memegang peranan penting dalam matematika secara umum,

karena timbulnya konsep matematika berangkat dari konsep abstraksi. Jika kita

mempelajari bangun segitiga, maka kita tidak akan mempertanyakan segitiga itu terbuat

dari apa, namun bagaimana sifat-sifat dan struktur segitiga itu. Dari makna ini, jika

G H (walaupun mungkin elemen dan operasi dari keduanya berbeda), maka sifat-sifat

yang terkait dengan elemen dan operasinya sama. Hal ini dapat disajikan dalam teorema

berikut ini.

Teorema 2.9 Sifat-sifat isomorfik

1). Untuk grup berhingga, maka G H

2). G abelian jika dan hanya jika H abelian.

3). G siklik jika dan hanya jika H siklik.

4). G dibangkitkan oleh dua unsur jika dan hanya jika H dibangkitkan oleh dua unsur.

5). Jumlah unsur yang mempunyai invers dirinya sendiri di dalam GdanH adalah sama

(Guritman 2004).

Misalkan G adalah grup bilangan real dalam penjumlahan dan H adalah grup dari

bilangan positif real dalam perkalian dengan pemetaan : G Hf yang didefinisikan

oleh ( ) 3af a , maka pemetaan f merupakan homomorfisma karena

( ) 3 3 3 ( ) ( )a b a bf a b f a f b . Selanjutnya, f adalah injektif karena ( ) ( )f a f b

3 3a b a b dan f adalah surjektif karena untuk setiap 3a H terdapat a G

sedemikian sehingga ( ) 3af a . Dengan demikian, maka f adalah sebuah isomorfisma.

2.4 Grup Faktor dan Subgrup Normal

Definisi 2.10 Misalkan G grup dan S subgrup dari G. Maka S disebut subgrup normal

dari G jika untuk setiap Gg , s S , 1 Sgsg (Aliatiningtyas 2002).

Teorema 2.11 Misalkan G grup, S subgrup dari G, maka S subgrup normal dari G jika

dan hanya jika gS = Sg untuk setiap Gg (Aliatiningtyas 2002).

10

Jika S adalah subgrup normal dari grup G, maka koset dari S dalam G

membentuk sebuah grup /G S di bawah operasi ( )( )aS bS abS . Grup ini disebut grup

faktor (quotient) dari G dan S. Pernyataan ini dapat disajikan dalam teorema berikut.

Teorema 2.12 Misalkan S adalah subgrup normal dari grup G. Koset dari S dalam G

membentuk sebuah grup /G S berorder :G S (Fraleigh 2003).

Misalkan adalah grup bilangan bulat dalam operasi penjumlahan dan misalkan

3 adalah subgrup dari grup yang terdiri atas perkalian 3, maka 3 adalah subgrup

normal dari karena adalah grup komutatif. Misalkan 0 , 1, dan 2 berturut-turut

menyatakan 3 koset yaitu:

0 0 3 {..., 3,0,3,6,...}

1 1 3 {..., 2,1,4,7,...}

2 2 3 {..., 1, 2,5,8,...}

maka grup faktor / 3 adalah {0, 1, 2}. Grup ini biasa disebut dengan ”Bilangan Bulat

Modulo 3” dan dinyatakan dengan 3 . Dengan cara yang sama, untuk setiap bilangan

bulat positif m, terdapat grup faktor m yang disebut dengan bilangan bulat modulo m.

Terkait dengan definisi grup di atas, maka berikut ini diberikan konsep tentang

grup bilangan bulat modulo m. Misalkan m adalah bilangan bulat positif. Untuk

sembarang bilangan bulat x, modulox m dinotasikan dengan modx m , yaitu sisa dari x

dibagi oleh m. Aturan jumlah modulo m (digunakan notasi umum ” + ”) pada bilangan

bulat diartikan sebagai ( ) modx y z z x y m , sedangkan aturan kali modulo

m (digunakan notasi kali pada umumnya) pada integer diartikan sebagai

( ) modxy z z xy m (Guritman 2004).

Misalkan {0, 1, 2,..., ( 1)}m m . Jumlah modulo m merupakan operasi pada

m , dan dapat ditunjukkan bahwa m merupakan grup abelian yang selanjutnya disebut

dengan grup bilangan bulat modulo m. Dalam hal ini, 0 adalah elemen identitas, jika

ma maka invers dari a adalah –a. Di sisi lain, kali modulo m merupakan operasi pada

11

m yang bersifat asosiatif, komutatif dan 1 adalah elemen identitas. Namun tidak semua

elemen m mempunyai invers, khususnya 0. Apapun nilai m maka elemen 0 tidak

mempunyai invers (tidak ada elemen m jika dikalikan 0 menghasilkan 1). Jelas bahwa

m bukan grup terhadap operasi kali modulo m. Dengan demikian, cukup beralasan jika

mendefinisikan himpunan * {0}m m . Pertanyaannya, apakah *m akan menjadi grup

terhadap kali modulo m ?. Jawabannya bisa ya dan bisa juga tidak, hal ini tergantung

pada nilai m. Proposisi berikut merupakan dasar dari konsep ini.

Proposisi 2.13 *m akan merupakan grup terhadap operasi kali jika dan hanya jika m

adalah bilangan prima (Guritman 2004). ■

Sebagai contoh, misalkan *6 {1, 2, 3, 4, 5} . Hal ini dapat ditunjukkan bahwa

*6 bukan merupakan grup karena 2 dan 3 tidak mempunyai invers. Selanjutnya jika p

adalah prima, maka * {1, 2, 3, ..., 1}p p merupakan grup abelian terhadap operasi

kali modulo p dan jika *ps maka invers dari s merupakan solusi dari persamaan

1 modsx p .

Teorema 2.14 Misalkan : G Hf adalah epimorfisma dengan S = Ker( f ), maka

/H G S (Herstein 1964). ■

Teorema 2.14 disebut dengan Teorema Fundamental Homomorfisma yang

menyatakan bahwa setiap imej homomorfik dari G adalah isomorfik dengan grup faktor

dari G. Sebagai contoh, jika diberikan 6 3:f dengan ( ) 2f x x untuk setiap

6x . Fungsi f adalah epimorfisma, karena untuk setiap 32x terdapat 6x

sehingga ( ) 2f x x .

Di sisi lain, 6ker( ) { ( ) 0}f S x f x

6{ 2 0}x x

{0, 3} .

Berdasarkan Teorema 2.14, maka 6 3S .

12

2.5 Ring

Definisi 2.15 Ring R adalah sebuah sistem aljabar yang dibentuk oleh suatu himpunan

tak kosong R dengan dua operasi biner yaitu penjumlahan (+) dan perkalian (.) yang

didefinisikan dalam R , dan memenuhi sifat berikut:

1) (R, +) adalah grup abelian.

2) Operasi perkalian bersifat asosiatif, yaitu a.(b.c) = (a.b).c untuk semua a, b, c R.

3) Operasi perkalian bersifat distributif terhadap penjumlahan.

Untuk setiap a, b, c R memenuhi :

Hukum distributif kiri, yaitu a . (b + c) = (a . b) + (a . c), dan

Hukum distributif kanan, yaitu : (b + c) . a = (b . a) + (c . a) (Fraleigh 2003).

Jenis-jenis ring didefinisikan dengan menambahkan beberapa sifat operasi

perkalian yang lain pada Definisi 2.15 (2). Misalnya, jika operasi perkalian bersifat

komutatif pada ring R, maka R disebut dengan ring komutatif. Jika R mempunyai unsur

identitas di bawah operasi perkalian (dinotasikan 1) dan . 1 1 . ,x x x x R ,

maka R disebut dengan unsur kesatuan. Suatu ring yang hanya mempunyai satu unsur

yaitu 0 maka disebut dengan ring trivial, sedangkan ring yang lebih dari satu unsur

disebut dengan ring nontrivial. Beberapa contoh ring yang tidak asing lagi adalah

, , , dan . Keempat contoh tersebut merupakan ring tak-hingga dan ring

komutatif dengan unsur kesatuan 1, sedangkan untuk ring berhingga dapat diambil m

dengan operasi penjumlahan modulo m, dan operasi perkalian modulo m.

Definisi 2.16 Misalkan R adalah ring komutatif, a R , 0a . Unsur a disebut pembagi

nol jika ada 0b , b R sehingga 0ab . Selanjutnya, suatu ring R dikatakan tidak

memuat pembagi nol jika dan hanya jika 0ab , maka 0a atau 0b (Aliatiningtyas

2002).

Jika R adalah ring dengan unsur kesatuan 1 dan Ra yang memenuhi

1 1 1aa a a untuk setiap 1 Ra , maka a disebut berinvers (invertible) dan 1a

disebut invers dari a. Untuk 0 yang merupakan identitas dari R terhadap operasi

13

penjumlahan tidak berinvers karena andaikata berinvers maka ada 1 Ra sedemikian

sehingga 10 1 0 1a .

Definisi 2.17 Suatu ring yang komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan tidak memuat

pembagi nol disebut daerah integral (Aliatiningtyas 2002).

Misalkan, 6 memuat pembagi nol. Ambil 62,3 maka 2 dan 3 disebut

memuat pembagi nol dalam 6 , karena 2.3 = 0 (perkalian dalam modulo 6). Jadi 6

bukan daerah integral. 5 tidak memuat pembagi nol, karena setiap elemen tak-nol

dalam 5 mempunyai invers, yaitu 1.1 = 1, 2.3 = 1, 3.2 = 1 dan 4.4 = 1. Jadi 5

merupakan daerah integral.

Definisi 2.18 Bilangan m disebut karakteristik dari ring R jika m adalah bilangan bulat

positif terkecil sehingga . 0m a untuk setiap a R . Jika tidak ada bilangan seperti ini

maka dikatakan m berkarakteristik 0 (Aliatiningtyas 2002).

Ring berkarakteristik 0, sebab tidak ada bilangan bulat m sehingga . 0m a

untuk setiap a . Pada hanya untuk 0m sehingga 0. 0a untuk setiap a .

Sedangkan m mempunyai karakteristik m .

Teorema 2.19 Di dalam suatu daerah integral D dengan karakteristik tidak nol, maka

karakteristiknya pasti bilangan prima (Gallian 1990). ■

Teorema 2.20 Di dalam suatu daerah integral D dengan karakteristik bilangan prima p ,

maka ( ) p p p untuk setiap elemen , D (Guritman 2004). ■

Definisi 2.21 Suatu ring komutatif ada unsur kesatuan 1 dan setiap unsur tak nolnya

mempunyai invers disebut field (Menezes, 1997).

Dari Definisi 2.21, dapat diamati bahwa definisi field diperoleh dari mengganti

sifat (2) pada Definisi 2.15 dengan pernyataan bahwa R\ 0 adalah grup komutatif

terhadap operasi perkalian. Dengan demikian, misalkan R adalah suatu ring yang

komutatif maka , ,. disebut field jika memenuhi sifat , adalah grup komutatif,

14

{0}, . adalah grup komutatif, dan sifat distributif berlaku ( )a b c ab ac dan

( )a b c ac bc . Contoh field tak-hingga di antaranya adalah , dan .

Sedangkan contoh field berhingga dapat diambil m .

Dari contoh sebelumnya bahwa 5 tidak mamuat pembagi nol, maka 5

merupakan daerah integral. Selanjutnya, karena setiap elemen tak-nol dalam 5

mempunyai invers, yaitu 1.1 = 1, 2.3 = 1, 3.2 = 1 dan 4.4 = 1 maka 5 juga merupakan

field. Hal ini menunjukkan bahwa untuk setiap daerah integral berhingga berkarakteristik

bilangan prima adalah field dan setiap field adalah daerah integral. Hal ini dapat disajikan

dalam teorema berikut.

Teorema 2.22 p adalah field jika dan hanya jika p adalah bilangan prima (Menezes

1997). ■

Sebagaimana di dalam bahasan tentang subgrup, suatu himpunan tak-kosong S di

dalam ring R disebut subring jika S sendiri merupakan ring terhadap operasi yang

dimiliki oleh R. Dalam pembahasan ring secara keseluruhan, sub ring tidak begitu

berperan dibandingkan dengan ideal. Jadi disini lebih menekankan penggunaan ideal dari

pada subring.

Definisi 2.23 Suatu himpunan bagian tak-kosong I dari ring R disebut ideal jika

memenuhi aksioma-aksioma berikut ini.

a. Tertutup terhadap pengurangan, yaitu , ( )a b I a b I .

b. I menyerap produk di dalam R, yaitu a I dan r R ar I dan ra I

(Guritman 2004).

Misalkan adalah ring dan m didefinisikan himpunan semua bilangan bulat

genap, maka m adalah sebuah ideal dari . Hal ini dapat ditunjukkan dengan

menggunakan definisi 2.23. Jelas 0 m . Misalkan ,x y m , maka terdapat ,k l

sehingga x mk dan y ml diperoleh ( )x y mk ml m k l . Jadi ( )m k l m .

Selanjutnya, untuk setiap r , maka . ( ) ( )x r mk r m kr juga elemen dari m .

Dengan demikian, m adalah sebuah ideal dari .

15

Definisi 2.24 Misalkan R adalah ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan a R .

Suatu himpunan, dilambangkan a , didefinisikan sebagai { }a ra r R merupakan

ideal. Ideal yang demikian disebut ideal utama (Principal Ideal) yang dibangun oleh a

(Guritman 2004).

Contoh, misalkan adalah ring. Ideal dari adalah himpunan semua bilangan

bulat genap yang dibangun oleh 6 adalah 6 {..., 18, 12, 6,0,6,12,18,...} dan

merupakan ideal utama.

Definisi 2.25 Suatu homomorfisma dari ring R ke ring 'R adalah suatu fungsi

':f R R yang memenuhi:

a. ( ) ( ) ( )f a b f a f b , dan

b. ( ) ( ) ( )f ab f a f b , untuk setiap ,a b R .

Jika f surjektif, maka 'R disebut bayangan homomorfik dari R. Kernel dari f

didefinisikan Ker( ) { ( ) 0}f x R f x , dan Range dari f didefinisikan

Ran( ) { ( ) }f f x x R . Jika f adalah homomorfisma yang bijektif, maka f disebut

isomorfisma. Dalam hal ini R dan 'R dikatakan isomorfik, dinotasikan 'R R

(Guritman 2004).

Sebagai ilustrasi, untuk setiap integer m kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi

: mf oleh ( ) (mod )f x x m . Fungsi f merupakan homomorfisma ring,

misalkan ,a b maka

( ) ( )(mod )f a b a b m

(mod ) (mod )a m b m

( ) ( )f a f b

dan ( ) ( )(mod )f ab ab m

(mod ) . (mod )a m b m

( ) ( )f a f b

Di sisi lain, kernel dari homomorfisma f adalah

16

ker( ) { ( ) 0}f a f a

{ (mod ) 0}a a m

{ . , }ma a k m k .

m = m .

Teorema 2.26 Misalkan ':f R R homomorfisma ring, maka

ker( ) { ( ) 0}f x R f x merupakan ideal dari R (Gallian 1990). ■

Definisi 2.27 Misalkan R ring dan I ideal dari R. Untuk a R , { }I a i a i I

disebut koset dari I di dalam R. Operasi penjumlahan dan perkalian pada koset-koset

didefinisikan sebagai ( ) ( ) ( )I a I b I a b dan ( )( )I a I b I ab (Guritman

2004).

Dari contoh sebelumnya bahwa 6 {..., 18, 12, 6,0,6,12,18,...} adalah ideal

utama dengan koset-kosetnya adalah

6 0 {..., 18, 12, 6,0,6,12,18,...} 0 ,

6 1 {..., 17, 11, 5,1,7,13,19,...} 1 .

6 2 {..., 16, 10, 4, 2,8,14, 20,...} 2

6 3 {..., 15, 9, 3,3,9,15, 21,...} 3

6 4 {..., 14, 8, 2, 4,10,16, 22,...} 4

6 5 {..., 13, 7, 1,5,11,17,23,...} 5

Jadi himpunan koset-koset yang dibangun oleh 6 adalah

6 {0, 1, 2, 3, 4, 5} .

Teorema 2.28 R I dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian merupakan ring

dan disebut ring faktor dari R oleh I (Guritman 2004). ■

17

Teorema 2.29 Jika I adalah ideal dari ring R, maka fungsi R I adalah ring dan

merupakan bayangan homomorfisma dari R (Herstein 1964). ■

Teorema 2.30 Misalkan R dan 'R adalah masing-masing ring dan ':f R R adalah

epimorfisma dengan K adalah kernel dari f , maka 'R R K (Aliatiningtyas 2002). ■

Misalkan adalah ring seperti pada contoh sebelumnya, ker( ) 6f adalah

ideal, dan / 6 adalah ring faktor (quosen), maka / 6 isomorfik dengan 6 .

Definisi 2.31 Suatu ideal utama I dari suatu ring R dikatakan ideal maksimal jika tidak

ada ideal T dari R sedemikian sehingga I T (Guritman 2004).

Teorema 2.32 Misalkan R adalah ring komutatif dengan unsur kesatuan dan I adalah

ideal dari R, maka I adalah ideal maksimal jika dan hanya jika ring faktor R I adalah

field (Gallian 1990). ■

2.6 Ring Polinomial

Misalkan R adalah ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan x merupakan

simbol yang tak tetap, maka setiap ekspresi dari 1 10 1 1... m m

m ma a x a x a x disebut

polinomial dalam x dengan koefisien ia R atau lebih sederhana disebut polinomial

dalam x atas R. Ekspresi dari0

mi

ii

a x

disebut terminologi dari polinomial.

Polinomial dalam x dimodelkan dengan simbol ( ), ( ), ( )a x b x f x , dan lain-lain.

Misalkan 1 10 1 1

0

( ) ...m

m m im m i

i

f x a a x a x a x a x

merupakan sembarang

polinomial. Derajat dari polinomial ( )f x yaitu bilangan terbesar m sehingga koefisien

dari mx bukan nol dan dinotasikan dengan deg ( )f x . Polinomial

1 1( ) 0 0 ... 0 ...mf x x x yang semua koefisiennya nol disebut polinomial nol,

dinotasikan dengan ( ) 0f x , dan disebut polinomial tak berderajat. Jika polinomial tak

nol 1 10 1 1( ) ... m m

m mf x a a x a x a x mempunyai derajat m, maka ma disebut

18

koefisien depan. Jika polinomial 0( )f x a , maka ( )f x berderajat nol dan disebut

polinomial konstan. Sembarang polinomial yang koefisien depannya sama dengan 1

disebut polinomial monik.

Misalkan 1 10 1 1( ) ... m m

m mf x a a x a x a x berderajat m dan

10 1( ) ... n

ng x b b x b x berderajat n, maka ( ) ( )f x g x jika dan hanya jika m n dan

i ia b untuk setiap 0,1,...,k m . Operasi penjumlahan dan perkalian dalam ring

polinomial sistemnya sama seperti dalam aljabar elementer. Misalkan fungsi

10 1( ) ... m

mf x a a x a x dan 10 1( ) ... n

ng x b b x b x , maka operasi penjumlahan

didefinisikan

10 1( ) ( ) ... k

kf x g x c c x c x ,

dengan i i ic a b untuk setiap i . Operasi perkalian didefinisikan

10 1( ) ( ) ... m n

m nf x g x c c x c x

dimana 0 1 1 1 1 00

...i

i k i k i i i ik

c a b a b a b a b a b

.

Definisi 2.33 Misalkan R adalah ring komutatif, ring polinomial [ ]R x adalah ring yang

dibentuk oleh himpunan dari semua polinomial-polinomial dalam x yang koefisiennya

ada dalam R dengan operasi penjumlahan polinomial dan operasi perkalian polinomial

(Menezes 1997).

Sebagai contoh, 20 0 0 0 ...x x , 21 1 0 0 ...x x , 20 1 0 ...x x x ,

2 20 0 1 ...x x x , dan sebagainya. Dengan demikian, [ ]R x dapat dinyatakan secara

unik sebagai 20 1 2{ ... }m

ma a x a x a x dimana ia R .

Teorema 2.34 Jika R ring komutatif, maka [ ]R x juga merupakan ring komutatif dan jika

R memiliki unsur kesatuan 1 maka 1 juga merupakan unsur kesatuan dalam [ ]R x . ■

Teorema 2.35 Jika D adalah daerah integral, maka [ ]D x juga daerah integral. ■

19

Teorema 2.36 Jika adalah field, maka [ ]x daerah integral. ■

Karena adalah daerah integral maka [ ]x adalah daerah integral dan karena

5 adalah field maka 5[ ]x adalah daerah integral.

Teorema 2.37 Misalkan adalah field dan ring polinomial [ ]x . Jika

( ), ( ) [ ]f x g x x dengan ( ) 0g x , maka ada polinomial unik ( ), ( ) [ ]q x r x x

sehingga ( ) ( ) ( ) ( )f x q x g x r x dengan ( ) 0r x atau derajat ( ) derajat ( )r x g x

(Fraleigh 2003). ■

Akibat 2.38 Misalkan adalah field. Elemen c dalam adalah dari ( ) [ ]f x x jika

dan hanya jika x c adalah faktor dari ( )f x dalam [ ]x (Gilbert 2004).

Akibat 2.39 Sebuah polinomial berderajat m atas field mempunyai paling banyak m

akar dalam (Gilbert 2004). ■

Definisi 2.40 Misalkan ( ), ( ) [ ]g x h x x keduanya tidak nol, maka Greatest Common

Divisor dari ( ) dan ( )g x h x dinotasikan gcd( ( ), ( ))g x h x adalah polinomial monik

berderajat terbesar dalam [ ]x dimana keduanya membagi ( ) dan ( )g x h x (Menezes

1997).

Definisi 2.41 Suatu polinomial non-konstanta ( ) [ ]f x x dikatakan irreducible atas

[ ]x jika ( )f x tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian ( ) ( )g x h x dimana ( )g x dan

( )h x adalah dua polinomial dalam [ ]x yang keduanya berderajat lebih rendah dari

derajat ( )f x (Fraleigh 2003).

Teorema 2.42 Misalkan adalah field dan ( ) [ ]f x x . Setiap ideal dalam [ ]x

adalah ideal utama dan ideal ( )f x adalah ideal maksimal jika dan hanya jika ( )f x

adalah irreducible atas (Gallian 1990). ■

20

2.7 Ruang Vektor

Definisi 2.43 Misalkan adalah field dan misalkan sembarang himpunan V yang

didefinisikan aturan jumlah dan aturan perkalian skalar. V disebut ruang vektor atas

jika memenuhi 10 sifat-sifat berikut:

1. Untuk setiap ,u v V maka terdapat tunggal w V sehingga tertutup terhadap

operasi penjumlahan: u v w .

2. Untuk setiap , ,u v w V berlaku sifat assosiatif: ( ) ( )u v w u v w .

3. Untuk setiap u V , terdapat tunggal identitas 0 V sehingga 0 0u u u .

4. Untuk setiap u V , terdapat tunggal invers v V sehingga 0u v u v

( v u ).

5. Untuk setiap , ,u v w V berlaku sifat komutatif: u v v u .

6. Untuk setiap k , dan setiap u V maka terdapat tunggal v V sehingga tertututp

terhadap operasi perkalian ku v .

7. Untuk setiap k , dan setiap ,u v V maka ( )k u v ku kv .

8. Untuk setiap ,k l , dan setiap u V maka ( )k l u ku lu .

9. Untuk setiap ,k l , dan setiap u V maka ( ) ( )kl u k lu .

10. Untuk setiap u V maka 1u u , dimana 1 adalah unsur identitas dari ( ,.) .

Unsur dari V disebut vektor dan unsur dari disebut skalar (Guritman 2005).

Definisi 2.44 Misalkan V adalah vektor atas field .

1. Vektor 1 2, ,..., mv v v dalam ruang vektor V disebut bebas linear atas field jika

1 1 2 2 ... 0m mc v c v c v mengakibatkan semua skalar 1 2, ,..., mc c c harus sama

dengan nol.

2. Vektor 1 2, ,..., mv v v dalam ruang vektor V disebut bergantung linear atas field jika

terdapat skalar 1 2, ,..., mc c c yang tidak semuanya nol sehingga

1 1 2 2 ... 0m mc v c v c v (Guritman 2005).

Vektor-vektor 1 2, ,..., mv v v akan membentuk basis untuk ruang vektor V jika dan

hanya jika 1 2, ,..., mv v v bebas linear dan merentang V .

21

2.8 Perluasan Field

Definisi 2.45 Field disebut suatu perluasan dari field jika memuat subfield

(Fraleigh 2003).

Definisi 2.46 Suatu elemen c dari perluasan field dari field adalah algebraic atas

jika ( ) 0f c untuk beberapa polinomial tidak-nol ( ) [ ]f x x . Jika c bukan

algebraic atas , maka c disebut dengan transendental atas (Fraleigh 2003).

Misalkan adalah subfield dari field , dan c adalah elemen dalam .

Didefinisikan : [ ]c x dengan aturan pemetaan ( ( )) ( )c f x f c , dimana

0 1( ) ... mmf x a a x a x berderajat m dan 0ma dalam [ ]x . Dengan menggunakan

Definisi 2.25, maka dapat ditunjukkan bahwa c merupakan homomorfisma.

Bagaimana dengan Kernel dari c ?

( ) { ( ) [ ] ( ( )) 0}c cKer f x x f x

= { ( ) [ ] ( ) 0}f x x f c

= 0 1{ ( ) [ ] ... 0}mmf x x a a c a c

Jadi ( )cKer adalah himpunan semua polinomial-polinomial ( )f x atas [ ]x

dan mempunyai akar c . Berdasarkan Teorema 2.26, ( )cKer adalah ideal dari [ ]x dan

setiap ideal dalam [ ]x adalah ideal utama, terdapat ( ) [ ]p x x sehingga

( ) ( )cKer p x = ( ). ( ) ( ) [ ]h x p x h x x , dimana ( )p x adalah polinomial non

konstanta berderajat terkecil, irreducible dan monik dimana c merupakan akar dari

( )p x .

Selanjutnya akan dicari bayangan dari c .

Im( ) { ( ( )) , ( ) [ ]}c c f x f x x

{ ( ) , ( ) [ ]}f c f x x

22

0 1{ ... , ( ) [ ]}mma a c a c f x x

( )c

Dengan demikian, diperoleh : [ ] ( )c x c adalah epimorfisma dengan

ker( ) ( )c p x , dimana ( )p x adalah polinomial berderajat terkecil maka berdasarkan

Teorema 2.30 berlaku [ ] ( ) ( )x f x c .

Karena ( )p x adalah polinomial irreducible, maka berdasarkan Teorema 2.42

( )p x adalah ideal maksimal. Selanjutnya, berdasarkan Teorema 2.32 maka ring faktor

[ ] ( )x p x adalah field. Karena isomorfik, akibatnya ( )c juga field.

Dari uraian di atas, diperoleh teorema berikut ini.

Teorema 2.47 Misalkan adalah field dan ( ) [ ]p x x adalah polinomial irreducible

atas . Jika c merupakan akar dari ( )p x dalam beberapa perluasan maka

[ ] ( ) [ ]x p x c adalah field (Gallian 1990).

Selanjutnya, jika akar c , maka ( )c . Sebaliknya jika c dan c adalah

algebraic maka ( )c merupakan perluasan field dari . Karena [ ] ( ) ( )x p x c ,

maka [ ] ( )x p x juga merupakan perluasan field dari .

Definisi 2.48 Misalkan perluasan field dari field . Jika berdimensi berhingga m

sebagai ruang vektor atas , maka disebut perluasan berhingga berderajat m atas

(Rosdiana 2009).

Definisi 2.49 Suatu perluasan field dari field disebut perluasan tunggal jika

( )c untuk suatu c (Rosdiana 2009).

Teorema 2.50 Misalkan ( )c dengan c algebraic atas . Misalkan derajat dari

perluasan yaitu 1m , maka setiap elemen dari ( )c dapat dinyatakan secara

unik dalam bentuk 1 10 1 1... m

mb b c b c dimana [ ]ib x (Fraleigh 2003). ■

23

Teorema 2.51 Misalkan perluasan field dari field dan c algebraic atas . Jika

derajat dari perluasannya m , maka ( )c adalah ruang vektor atas berdimensi-m

dengan basis 0 1 2 1{ , , , ... , }mc c c c (Fraleigh 2003). ■

Sebagai contoh, bilangan rasional merupakan field tak hingga, dan 2 .

2 bukan merupakan akar dari sembarang polinomial monik berderajat 1 atas ,

karena polinomial 2 [ ]x x . Tetapi 2 merupakan akar dari polinomial 2 2x ,

maka 2 adalah elemen algebraic atas . Karena 2 adalah elemen algebraic atas

, maka polinomial 2 2x merupakan polinomial minimum atas . Jadi derajat dari

perluasan adalah ( 2) 2 dengan basisnya {1, 2}. Dengan demikian, setiap

elemen dalam ( 2) merupakan kombinasi linear dari 1 dan 2 yang berbentuk

2a b dimana ,a b , dinotasikan dengan ( 2) { 2 , }a b a b .

Teorema 2.52 (Eksistensi dan kekhasan finite field)

1. Jika adalah finite field maka terdiri dari mp elemen dengan p adalah bilangan

prima dengan 1m .

2. Untuk setiap prima berorder mp , terdapat finite field yang khas berorder mp . Field ini

dinotasikan dengan ( )mGF p (Menezes 1997). ■

Teorema 2.53 Misalkan ( ) [ ]pf x x adalah polinomial irreducible berderajat m ,

maka [ ] ( )p x f x adalah finite field berorder mp . Operasi penjumlahan polinomial

dan operasi perkalian polinomial dilakukan dalam modulo ( )f x (Menezes 1997). ■

Dua teorema berikut ini merupakan dasar dari algoritme untuk pengecekan

apakah polinomial ( )f x irreducible atau tidak, dan pengecekan apakah polinomial

irreducible ( )f x adalah primitif atau tidak.

Teorema 2.54 Jika p adalah bilangan prima dan m adalah integer positif, maka berlaku:

1). Produk dari semua polinomial irreducible monik dalam [ ]p x yang derajatnya

membagi m atau faktor dari m sama denganmpx x .

24

2). Misalkan ( )f x adalah polinomial berderajat m dalam [ ]p x , maka ( )f x irreducible

atas [ ]p x jika dan hanya jika gcd( ( ), ) 1ipf x x x , untuk setiap 1

2

mi

.

Teorema 2.55 Misalkan p adalah bilangan prima dan misalkan mempunyai faktor-faktor

prima yang berbeda dari 1mp adalah 1 2, ,..., tr r r , maka polinomial ireducible

( ) [ ]pf x x adalah primitif jika dan hanya jika untuk setiap 1 i t berlaku

( 1) / 1(mod ( ))m

ip rx f x .

Definisi 2.56 Misalkan ( )mGF p adalah finite field berkarakteristik p , dan misalkan

( )mc GF p . Polinomial minimum dari c atas p adalah polinomial monik berderajat

terkecil atas [ ]p x dengan c sebagai akarnya (Menezes 1997).

Teorema 2.57 Jika c adalah algebraic atas , maka polinomial minimum ( )m x

atas p mempunyai sifat:

1. ( )m x adalah polnomial irreducible atas [ ]p x .

2. Derajat dari ( )m x adalah pembagi dari m .

3. Misalkan t adalah bilangan bulat terkecil sedemikian sehinggatpc c , maka

1

0

( ) ( )i

tp

i

m x x c

(Menezes 1997).

2.9 Kompleksitas Komputasi

Algoritme aritmetik yang dihasilkan dapat dianalisis dari segi fungsi

kompleksitas waktu (time-complexity function), yaitu sebagai fungsi untuk mengukur

banyaknya operasi dalam suatu algoritme yang mempunyai variabel input n . Yang

dimaksud dengan banyaknya operasi adalah banyaknya operasi dasar (jumlah, kurang,

kali dan bagi) ditambahkan dengan assignment dan perbandingan (ekspresi logika).

Setelah mendefinisikan fungsi ( )f n untuk suatu algoritme, kemudian dengan Tabel O-

Besar kita tentukan order dari f sebagai ukuran efisiensi algoritme yang bersangkutan

(Guritman 2004). Namun demikian, algoritme aritmetik yang dihasilkan dalam penelitian

25

ini tidak terlalu membutuhkan informasi berapa jumlah operasi dasar tersebut, akan

tetapi yang dibutuhkan adalah perkiraan kasar kebutuhan waktu algoritme dan seberapa

cepat fungsi kebutuhan waktu itu tumbuh. Kinerja algoritme akan tampak untuk n yang

sangat besar, bukan pada n yang berukuran kecil. Untuk n yang berukuran kecil maka

perbedaan kecepatannya tidak akan terlihat. Tetapi, bila algoritme tersebut diterapkan

untuk n yang berukuran lebih besar maka perbedaan kecepatannya akan terlihat sangat

berarti.