Matematika Dasar untuk Otomata dan Bahasa

•Himpunan•Relasi•Logika•Graph

1. Himpunan

• adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan.

• Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

• Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn

• Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c,z).

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Simbol Arti

{ } atau Ø Himpunan kosong

Operasi gabungan dua himpunan

∩ Operasi irisan dua himpunan

Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejatiKomplemen

Himpunan kuasa

Relasi antar himpunan• Sub himpunan

Dari suatu himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang elemen-elemennya adalah diambil dari himpunan tersebut.{apel, jeruk}{jeruk, pisang}{apel, mangga, pisang}Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai subhimpunan atau himpunan bagian dari A. Jadi dapat dirumuskan:B adalah himpunan bagian dari A jika setiap elemen B juga terdapat dalam A.

• Super himpunanKebalikan dari sub himpunan adalah super himpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.

Relasi

• Fungsi( f)= suatu aturan yang memetakan elemen-elemen suatu himpunan (domain) ke elemen himpunan lain (range)

• Relasi–Bentuk umum dari fungsi–Suatu elemen dapat dipetakan ke lebih dari satu elemen range

• Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:

• Refleksif• Irefleksif• Simetrik• Anti-simetrik• Transitif

3. Logika

• Pernyataan (p), (q)• Negasi/ingkaran dari pernyataan (~P)• Pernyataan majemuk

a. Konjungsib. Disjungsic. Implikasid. Biimplikasi

Konjungsi

• dilambangkan dengan “ Ʌ”

p q p Ʌ q

B B B

B S S

S B S

S S S

Disjungsi

• dilambangkan dengan “ V”

p q p V q

B B B

B S B

S B B

S S S

Implikasi

• dilambangkan dengan “ →”

p q p → q

B B B

B S S

S B B

S S B

Biimplikasi

• dilambangkan dengan “↔”

p q p ↔ q

B B B

B S S

S B S

S S B

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Jika diketahui implikasi p → q, maka• Konversnya adalah q → p,• Inversnya adalah ~p → ~q, dan• Kontraposisinya adalah ~q → ~p

Penarikan Kesimpulan• Modus Ponen

Premis 1 : p → qPremis 2 : p

q ؞• Modus Tolen

Premis 1 : p → q Premis 2 : ~q

p~ ؞• Silogisme

Premis 1 : p → qPremis 2 : q→ r

p → r ؞

4. Graph

• Graph digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.

• Graph G = (V, E), yang dalam hal ini:V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vertices) = { v1 , v2 , ... , vn }

• E = himpunan sisi (edges) yang menghubungkan sepasang simpul

= {e1 ,e2 , ... , en }

• Garis dengan satu titik ujung disebut dengan loop.• Dua garis yang memiliki titik ujung yang sama disebut

garis paralel.• Dua simpul yang dihubungkan oleh sebuah garis

disebut adjacent.• Satu atau lebih garis, yang berakhir pada satu titik

disebut incident.• Simpul-simpul yang tidak memiliki garis incident

disebut titikterasing.• Graph yang tidak memiliki simpul disebut graph kosong

Menurut jenis garis-garisnya, graph dibedakan menjadi dua jenis,

yaitu graph berarah dan graph tidak berarah.

• Graph tidak berarah adalah graph yang garis-garisnya tidak mempunyai orientasi arah.

• Graph berarah adalah graph yang setiap garisnya diberikan orientasi arah.

Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graph, maka graph digolongkan menjadi dua jenis:

• Graph yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graph sederhana

• Graph yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graph tak-sederhana

Berdasarkan jumlah simpul pada suatu graph, maka secara umum graph dapat digolongkan menjadi duajenis:

- Graph berhingga adalah graph yang jumlah simpulnya, n, berhingga

- Graph yang jumlah simpulnya, n, tidak berhingga banyaknya disebut graph tak-berhingga

• Derajat (Degree) Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang

bersisian dengan simpul tersebutNotasi: d(v)

• Lemma Jabat Tangan Jumlah derajat semua simpul pada suatu graph adalah genap

Graph Isomorfik (Isomorphic Graph)

• Dua buah graph yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut graph yang saling isomorfik.

Siklus (Cycle) atauSirkuit (Circuit)

• Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus.

• Panjang sirkuit adalah jumlah sisi dalam sirkuit tersebut.

Lintasan dan Sirkuit Euler

• Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graph tepat satu kali

• Bila lintasan tersebut kembali ke sisi asal, membentuk lintasan tertutup (sirkuit), maka lintasan tertutup itu dinamakan sirkuit Euler.

Lintasan dan Sirkuit Hamilton

• Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graph tepat satu kali

• Bila lintasan tersebut kembali ke simpul asal membentuk lintasan tertutup (sirkuit), maka lintasan tertutup tersebut dinamakan sirkuit Hamilton