STRUKTUR ALJABAR 2

-RING-

Definisi Misalkan R ≠ ø dengan operasi “⊕ “ dan “ ⊗ ”, R disebut ring jika hanya jika :

i) ( R, ⊕ ) Grup Abelian.1. Tertutup,

Definisi : Himpunan R ≠ ø dengan operasi biner ” ⊕ “ disebut tertutup jika ∀ a, b ∈ R berlaku a ⊕ b ∈ R.

2. Asosiatif∀ a, b,c ∈ R berlaku (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c).

3. Memiliki elemen identitas∃ ℮ ∈ R sedemikian sehingga ∀ a ∈ R berlaku a ⊕ e = e ⊕ a = a.

4. Setiap elemennya memiliki invers∃ -a ∈ R sedemikian sehingga a ⊕ -a =-a ⊕ a=e

5. Komutatif∀ a, b ∈ R berlaku a ⊕ b = b ⊕ a.

ii) ( R, ⊗ ) Semi Grup1. Tertutup

Definisi: Himpunan R ≠ ø dengan operasi biner ” ⊗ “ disebut tertutup jika ∀ a, b ∈ R berlaku a ⊗ b ∈ R.

2. Asosiatif ∀ a, b,c ∈ R berlaku (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c).

iii) Memenuhi sifat distributif ⊗ terhadap ⊕ 1. Distributif kiri

∀ a, b,c ∈ R berlaku a ⊗ ( b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗

c).2. Distributif kanan

∀ a, b,c ∈ R berlaku ( b ⊕ c) ⊗ a = (b ⊗ a) ⊕ (a⊗ c).

Notasi ( R , ⊕ , ⊗ ) artinya untuk menujukan sebuah ring:

• Tunjukan Grup Abelian pada (R, ⊕ ).

• Tujukan Semi Grup pada ( R, ⊗ ).

• Tunjukan Distributif ⊗ terhadap ⊕ .

(R , ⊗ , ⊕ ) artinya:

• Grup Abelian pada (R, ⊗ )

• Semi grup pada (R , ⊕ )

• Disrtibutif pada ⊕ terhadap ⊗ .

11/19/2009 エマ＿ヌロ＿ゥテョフィヤニ。ドク面と

Contoh:• (M2 Ζ , ⊕ , ⊗ ) adalah Ring. M2Z adalah suatu matriks.

• (M2Z, ⊗ , ⊕ ) bukan suatu Ring.

• (Z, +, × ) , (Q, +, x), (R, +, × ) adalah Ring.

• 2Z = { 2Z│Z ∈ Ζ }, (2Z, +, × ) adalah ring sebab:i). (2Z, + ) adalah Grup Abelian sebab:

1. Tertutup ∀ 2Z1, 2Z2 ∈ 2Z berlaku:

2Z1+2Z2 = 2 (Z1+Z2 ) , 2(Z1+Z2 ) = 2Z3 ∈ 2Z= 2 Z3

2. Asosiatif ∀ 2Z1, 2Z2 , 2Z3 ∈ 2Z berlaku: (2Z1+2Z2 ) + 2Z3 =2 (Z1+Z2 ) + 2Z3

= 2(Z1+Z2 +2Z3)= 2Z1+( 2Z2+2Z3)

3. Memiliki elemen identitas ∃ 0 ∈ 2Z sedemikianSehingga ∀ 2Z ∈ 2Z: 0+2Z=2Z+0=2Z.

4. Setiap elemen memiliki invers ∀ 2Z ∈ 2Z ∃ -2Z ∈

2Zsedemikian sehingga: 2Z + (-2Z) = (-2Z) + 2Z = 0

5. Komotatif sebab ∀ 2Z1, 2Z2 ∈ 2Z berlaku:

2Z1+2Z2 = 2 (Z1+Z2 ) = 2 (Z2 +Z1 )= 2Z2 +2Z1

ii). (2Z, × ) adalah semi grup sebab:1. Tertutup ∀ 2Z1, 2Z2

∈ 2Z berlaku: 2Z1

× 2Z2 = 2 (2Z1+Z2 ) , 2(2Z1+Z2 ) = 2Z3 ∈ 2Z= 2 Z3

2.Asosiatif ∀ 2Z1, 2Z2 , 2Z3 ∈ 2Z berlaku: (2Z1

× 2Z2 ) × 2Z3 =2 (Z1) × 2 (2Z2 × 2Z3)= 2(2Z1

× (2Z2 × Z3))

= 2((2Z1× 2Z2 ) × Z3))

= 2(2(2Z1× Z2) × Z3)

= 2(2Z1× Z2) × 2Z3

= 2Z1× 2Z2

× 2Z3

= (2Z1× 2Z2) × 2Z3

iii). Memenuhi sifat Distributif × terhadap +, sebab ∀ 2Z1,2Z2,2Z3

∈ 2Z berlaku:1. 2Z1

× (2Z2 + 2Z3 ) = (2Z1× 2Z2)+( 2Z1 + 2Z3)

2. (2Z2+2Z3 ) × 2Z1 = (2Z2× 2Z1)+( 2Z3 + 2Z1)

• {U(n)= x<n │x,n ∈ Ζ +, gcd (x,n)=1}Untuk U(36) = {1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}

11/19/2009 エマ＿ヌロ＿ゥテョフィヤニ。ドク面と

(U(36), ⊗ (36), ⊕ (36)) bukan ring karena (U(36), ⊕ (36)) tidak Semi Grup.

• (Zn, ⊕n, ⊗

n)(Z7, ⊕ 7, ⊗ 7) gunakan Tabel Cayle!

Tabel cayle 1 tabel cayle 2⊕

7

0 1 2 3 4 5 6

0 0 1 2 3 4 5 61 1 2 3 4 5 6 02 2 3 4 5 6 0 13 3 4 5 6 0 1 24 4 5 6 0 1 2 35 5 6 0 1 2 3 46 6 0 1 2 3 4 5

Dari tabel cayle 1 terlihat bahwa ( Z7, ⊕ 7) merupakan grup abelian sebab:

1. Tertutup ∀ a,b ∈ Z7 berlaku a ⊕ 7 b = c ∈ Z7

2. Asosiatif ∀ a,b,c ∈ Z7 berlaku (a ⊕ 7 b) ⊕ 7 c = a ⊕ 7 (b⊕ 7 c)

3. Memiliki elemen identitas yaitu 0, ∃ 0 ∈ Z7 sehingga a ⊕ 7

0 = 0 ⊕ 7 a = a4. Setiap elemen memiliki invers: -1 = 6, -2 = 5, -3 =4 dst.5. Komutatif ∀ a,b ∈ Z7 berlaku a ⊕ 7 b = b ⊕ 7 a

Dari tabel cayle 2 terlihat bahwa (Z7, ⊗ 7) merupakan semi grup sebab:

1. Tertutup ∀ a,b ∈ Z7 berlaku a ⊗ 7 b = c ∈ Z7

2. Asosiatif ∀ a,b,c ∈ Z7 berlaku (a ⊗ 7 b) ⊗ 7 c = a ⊗ 7 (b⊗ 7 c).

Berlaku sifat Distributif:1. ∀ a, b,c ∈ R berlaku a ⊗ 7 (b ⊕ 7 c) = (a ⊗ 7b) ⊕ 7 (a ⊗

7c) Ambil a=1, b=2, c= 3 maka:

o 1 ⊗ 7 (2 ⊕ 7 3) = 1 ⊗ 7 5 = 5 ... (1)

o (1 ⊗ 7 2) ⊕ 7 (1 ⊗ 7 3) = 2 ⊕ 7 3 = 5 ...(2)

Dari (1) dan (2) telihat bahwa distribusi kiri terbukti benar.

Jadi (Z7, ⊕ 7, ⊗ 7) merupakan Ring.

♠Note:

11/19/2009 エマ＿ヌロ＿ゥテョフィヤニ。ドク面と

⊗

7

0 1 2 3 4 5 6

0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 62 0 2 4 6 1 3 53 0 3 6 2 5 1 44 0 4 1 5 2 6 35 0 5 3 1 6 4 26 0 6 5 4 3 2 1

♠♠ Zn bukan Subgrup dari Ζ

• nZ subgrup dari Ζ

• Elemen identitas terhadap operasi jumlah biasa disebut Elemen nol walaupun nilainya tidak selalu nol.

• Elemen kesatuan merupakan sebutan lain dari elemen identitas terhadap operasi kali.

Ring komutatifSuatu ring misalkan (R, +, × ) disebut Ring komutatif atau Ring Abel jika (R, ×

) bersifat komutatif yaitu jika a × b = b × a ∀ a,b ∈ R.

Ring yang memiliki elemen kesatuan atau disebut juga unit jika terdapat elemen identitas pada operasi (R, × ) pada (R,+, × ) yaitu ada ℮ ∈ R sedemikian sehingga a × ℮ = ℮ × a = a.

Tugas 8 juli 2008

1. Buktikan Z ( ) ( ){ }Ζ∈+= baba ,22 dengan operasi + dan × adalah Ring

2. misalkan E= {2Z │ 2Z ∈ Ζ } buktikan dengan operasi penjumlahan biasa dan * yang didefinisikan sebagai x*y = ½ xy; adalah Ring? Lalu apakah E memuat elemen kesatuan?

3. Buktikan apakah (a-b)2 = (a+b) (a-b), ∀ a,b ∈ R jika hanya jika R komutatif. (a+b)2 = a2 +2ab + b2 , ∀ a,b ∈ R jika hanya jika R komutatif!