FISIKA STATISTIK” STATISTIK KUANTUM

(STATISTIK FERMI-DIRAC) ”

KOMANG SUARDIKA (0913021034)

JURUSAN PENDIDIKAN FISIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHASINGARAJA

2012

1

BAB I

PENDAHULUAN

1 .1 Latar be lakang

Dalam mekanika statistik, statistik Fermi-Dirac merupakan kasus tertentu dalam

statistik partikel yang dikembangkan oleh Enrico Fermi dan Paul Dirac dalam

menentukan distribusi statistik keadaan energi fermion dari sistem kesetimbangan termal.

Dengan kata lain distribusi peluang tiap kemungkinan level-level energi yang diduduki

oleh suatu fermion.

Pada umumnya, statistik Fermi-Dirac membahas tentang fungsi gelombang dari

fermion yang antisimetris di bawah pengaruh pertukaran fermion. Fermion merupakan

partikel yang tak dapat dibedakan dan mengikuti asas larangan Pauli: tidak boleh suatu

partikel mepunyai bilangan kuantum yang sama dalam waktu yang sama. Fermion

mempunyai spin setengah. Statistik thermodinamika digunakan untuk mendeskripsikan

perilaku partikel dalam jumlah besar.

Kumpulan dari fermion tanpa interaksi disebut dengan gas fermi. Statistik Fermi-

Dirac diperkenalkan pada tahun 1926 oleh Enrico Fermi dan Paul Dirac yang

diaplikasikan pada tahun yang sama oleh Ralph Fawler dalam menggambarkan

kehancuran bintang kerdil putih. Dan pada tahun 1927 oleh Arnold Sommerfeld

digunakan untuk menggambarkan elektron dalam logam. Mempelajari statistik Fermi-

Dirac mengikuti aturan larangan pauli. Namun ketentuan dalam statistik Fermi-Dirac ini

lebih ketat dalam pengisian titik fase. Misalkan suatu kompartemen bervolume h3 tidak

boleh lebih dari dua titik fase. Implikasinya, prinsip larangan pauli ini mempengaruhi

susunan elektron di dalam atom yang sama yang mempunyai bilangan kuantum yang

sama. Koordinat kompartemen di dalam ruang fase berkorespondensi dengan bilangan

kuantum. Dengan alasan itu, maka boleh terdapat dua titik fase di dalam kompartemen

yakni elektron-elektron yang mana titik representatif mempunyai arah spin yang

berlawanan. Jumlah maksimum titik representatif mempunyai arah spin yang berlawanan.

Jumlah maksimum titik representatif di dalam sel dua kali jumlah kompartemen (sudah

tentu kondisi aktual mungkin kurang karena mungkin ada kompartemen yang kosong).

Jika dimisalkan masing-masing kompartemen dibagi menjadi dua bagian dan masing

2

masing bagian tidak boleh lebih dari satu titik. Jumlah setengah kompartemen di dalam

masing-masing sell yaitu:

n = 2H / h3

dan jumlah titik maksimum di dalam masing-masing cell adalah n.

1 .2 Rumusan masa lah

Berdasarkan latar belakang diatas, maka dapat dirumuskan masalah sebagai berikut.

1. Bagaimana perbedaan statistik Maxwell-Boltzmann,Bose-Einstein dan statistik

Fermi-Dirac?

2. Bagaimana Menghitung peluang thermodinamika statistik Fermi-Dirac?

3. Bagaimana Menjabarkan fungsi distribusi partikel menurut statistik Fermi-Dirac?

1 .3 Tujuan

Adapun tujuan dari makalah ini adalah:

1. Untuk menjelaskan perbedaan statistik Maxwell-Boltzmann,Bose-Einstein dan

statistik Fermi-Dirac.

2. Untuk menjelaskan peluang thermodinamika statistik Fermi-Dirac.

3. Untuk menjelaskan fungsi distribusi partikel menurut statistik Fermi-Dirac.

3

BAB I I

PEMBAHASAN

2.1 Membedakan statistik Maxwell-Boltzmann,Bose-Einstein dan statistik Fermi-Dirac

Statistika Maxwell-Boltzmann sering digambarkan sebagai statistika bagi partikel klasik

yang “terbedakan”. Sistem partikel klasik terbedakan merupakan sistem partikel yang

konfigurasinya berbeda ketika dua atau lebih partikel dipertukarkan. Pada

statistik statistik Maxwell-Boltzmann dipandang enam dimensi dari pergerakan molekul,

yakni tiga dimensi kedudukan dan tiga dimensi kecepatan. Ruang enam dimensi seperti

yang dimaksudkan ini disebut ruang fasa

Staistik Bose-Einstein adalah statistik kuantum di mana partikel-partikel dipandang

identik dan tak dapat dibedakan tetapi Tidak mengikuti prinsip eksklusi Pauli. Seperti

Partikel disebut boson; misalnya foton, inti helium.

Staistik Fe rmi -Di r ac pertama kali diterbitkan pada tahun 1926 oleh Enrico Fermian

Paul Dirac Staistik Fe rmi -Di r ac adalah statistik kuantum di mana partikel-partikel

dipandang identik dan tak dapat dibedakan tetapi mengikuti prinsip eksklusi Pauli.

Seperti Partikel disebut Fermion; misalnya elektron

2.2 Menghitung peluang thermodinamika statistik Fermi-Dirac.

Marilah kita ambil contoh sebuah sistem dengan dua cell i dan j, masing-masing dibagi

menjadi empat kompartemen, dan anggaplah makrostate Ni = 3, dan Nj = 1. Gambar 4-1

menunjukkan cell i dan j dan kita lihat bahwa tidak boleh lebih dari satu titik tiap kompartemen,

dengan demikian ada 4 cara susunan tiga titik fase di dalam cell i, dan empat cara susunan

sebuah titik di dalam cell j.

cell i . . . . . . Wi = 4

. . . . . .

cell j . . Wj = 4

. .

4

Gambar 4-1: Susunan titik fase yang berbeda di dalam sebuah cell di dalam ruang fase menurut

Statistik Fermi-Dirac

Peluang thermodinamika masing-masing cell adalah:

Wi = 4, Wj = 4

Untuk setiap susunan di dalam cell i kita dapat memiliki salah satu susunan di dalam cell j.

Dengan demikian jumlah total kemungkinan susunan atau peluang thermodinamika dari

makrostate adalah :

W = Wi Wj = 16

Berbeda dengan hasil statistik Mxwell-Boltzmann untuk kasus yang sama di mana diperoleh W

= 4, serta untuk staistik Bose-Einstein W = 80.

Secara umum untuk sejumlah cell dalam statistik Fermi-Dirac dapat dirumuskan :

W = Wi

Penurunan pernyataan untuk sembarang Wi lebih mudah daripada untuk statistik Bose-

Einstein. Untuk n kompartemen dari sebuah cell, jika ada Ni yang ditempati, maka ada (n - Ni)

yang tak ditempati (kosong). Perhitungan jumlah cara untuk n kompartemen yaitu dapat dibagi di

dalam dua kelompok, satu kelompok dengan kompartemen yang ditempati, dan kelompok yang

lain untuk kompartemen yang kososng.

Di dalam pembahasan statistik sebelumnya telah dikaji jumlah cara untuk N partikel yang

didistribusikan diantara cell-cell dalam ruang fase, dengan N1, N2, dst. Jumlah tersebut yaitu:

(2.1)

Secara umum, persamaan di atas memberikan jumlah cara untuk sesuatu N yang disusun

dalam suatu kelompok, jumlah N1, N2, dst. menyatakan jumlah di dalam tiaptiap kelompok. Di

dalam statistik Maxwell-Boltzmann “sesuatu” yang disusun adalah titik fase, jumlah “kelompok”

sama dengan jumlah cell di dalam ruang fase, dan jumlah cara dari susunan “sesuatu” disebut

peluang thermodinamika dari makrostate.

Dengan cara yang sama, peluang thermodinamika untuk cell tertentu didefinisikan

sebagai jumlah cara kompartemen yang berbeda dapat dibagi ke dalam dua kelompok, yaitu

kelompok yang ditempati dan kelompok yang kososng. Jumlah kompartemen total adalah n,

5

yang ditempati adalah Ni, dan yang kosong adalah n-Ni. Dengan demikian cara berbeda dalam

pembagian kompartemen ke dalam kelompok ditempati dan kelompok kosong, atau peluang

thermodinamika Wi adalah :

W i=n !

N i! (n−N i)! (2.2)

Sebagai contoh kita ambil, Ni = 3, Nj = 1, n =4, maka akan diperoleh :

W i=4 !

3! (4−3 )! =4

W j=4 !

1 !( 4−1)! =4

Jadi, sesuai dengan hasil yang diperoleh dengan cara menghitung.

Secara umum pernyataan untuk peluang thermodinamika dari makrostate tertentu dalam statistik

Fermi-Dirac adalah :

(2.3)

2.3 Menjabarkan fungsi distribusi partikel menurut statistik Fermi-Dirac.

Selanjutnya, untuk setiap jenis statistik, kita asumsikan bahwa entropi adalah sebanding

dengan logaritme peluang thermodinamikanya, dan bahwa keadaan kesimbangan adalah

entropinya maksimum, ini berarti ln W juga maksimum atau ln W = 0. Berdasarkan persamaan

(2.3), maka diperoleh :

ln W =[nln(n)! - ln Ni! - ln (n-Ni)!] (2.4)

Karena jumlah cell sangat besar, dengan demikian n dan Ni merupakan bilangan yang

sangat besar, kita dapat pergunakan pendekatan Stirling.

ln W =[nln(n) - Ni ln Ni - n ln (n-Ni)- Ni ln (n-Ni]

Misalkan W0 menyatakan probabilitas maksimum, dan Ni0 berkaitan dengan jumlah titik-

titik dalam cell ke i, dan n adalah konstan, maka :

ln W = Ni = 0 (2.5)

6

Jika jumlah partikel dan energi total adalah konstan, kita mempunyai persamaan

kondisi:

N = Ni = 0, U = wi Ni = 0

Kalikan persamaan pertama dengan - ln B dan persamaan ke dua dengan -, kemudian

tambahkan dengan pers (2.5), maka diperoleh :

Ni = 0

dan karena efek Ni sekarang independen, maka akan diperoleh :

N io

n= 1

B exp( βwi )+1 (2.6)

Hal ini dikenal sebagai : fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk keadaan probabilitas

thermodinamika maksimum. Bandingkan fungsi statistik Fermi-Dirac dengan fungsi statistik

Maxwell-Boltzmann yaitu :

N io

n= 1

Bexp(βwi )

dengan berharga 1, dan bandingkan pula dengan fungsi statistik Bose-Einstein :

N io

n= 1

Bexp( βwi )−1

Pembahasan selanjutnya adalah menentukan B dan . Untuk menentukan , kita kembali

menggunakan hubungan thremodinamika dalam keadaan setimbang, dalam suatu proses pada

volume konstan, yakni :

dU = TdS.

Dengan menggunakan hubungan thermodinamika untuk sistem keseimbangan ini, akan

diperoleh :

= 1/kT.

Kuantitas B dapat ditentukan dari sembarang statistik, dari kenyataan bahwa jumlah total

partikel Ni = N. Untuk mengevaluasi Ni, kita aproksimasi distribusi diskontinu dari titik fase

dengan fungsi distribusi kontinu dan ganti sigma dengan integral. Gantilah n pada pers (2.6)

dengan :

7

n = 2H/ h3 = dxdydzdpxdpy dpz

dan ubah notasi dengan d6N, wi dengan w, maka diperoleh :

d6N =

2

h3dxdydzdpxdpy dpz

Sekarang integrasi seluruh nilai x, y, dan z, hasilnya adalah :

d3N = dpxdpy dpz (2.7)

Sekarang kita mempunyai fungsi distribusi dalam ruang momentum tiga dimensi.

Langkah selanjutnya adalaha nyatakan w dalam bentuk p, atau sebaliknya, dan integrasi d3N

untuk seluruh p (atau w) sama dengan N.

Jika B exp(w/kT) >> 1, faktor 1 pada penyebut dapat diabaikan dan sama seperti statistik

Bose-Einstein, maka kita akan dapatkan statistik Maxwell-Boltzmann. Untuk gas elektron

aprokmasi ini tak dapat dilakukan, dan B harus ditentukan dari persamaan (2.7).

Berikut ini akan dikaji pernyataan untuk B. Untuk kasus B kecil, pertama kali diturunkan

oleh Sommerfeld, dengan mengambil bentuk :

B = exp(-wm /kT)

dengan demikian persamaan (2.7) menjadi :

d3N = dpxdpy dpz (2.8)

= dpxdpy dpz

Bila T = 00 K, fungsi distribusi ini dapat direduksi menjadi sangat sederhana. Misalkan

wmo menyatakan harga wm bila T = 00K. Untuk sebuah cell di dalam ruang momentum yang mana

w lebih kecil daripada wmo, maka suku di dalam kurung siku pada persamaan (2.8) adalah -,

dan karena exp(-) = 0, maka akan diperoleh :

0 = (T = 00K, w < wmo) (2.9)

Dengan kata lain, pada nol absolut kerapatan titik-titik representatif dalam ruang

momentum adalah konstan dan sama dengan 2V/h3, di dalam semua cell yang energinya w <

wmo.

8

Di lain fihak, jika w lebih besar daripada wmo dan T = 00 K, maka suku di dalam kurung

siku pada persamaan (2.8) adalah +, dan karena exp(+) = , maka akan diperoleh :

0 = 0 (T = 00K, w > wmo)

Interpretasi fisis dari wmo adalah merupakan energi maksimum dari elektron-elektron

pada nol absolut.

Hubungan antara energi w dan momentum p dapat dinyatakan sebagai :

12 mv2 = w =

p2

2m , p2 = 2mw

Energi maksimum wmo berkaitan dengan momentum maksimum yang diberikan oleh :

pmo = (2m wmo)1/2

dan, di dalam ungkapan secara geometri, kita dapat mengatakan bahwa pada ruang

momentum nol absolut populasinya secara uniform dalam sebuah bola yang jejarinya pmo da n

tidak ada titik-titik fase di luar bola ini. Proses integrasi kerapatan untuk seluruh ruang

momentum dapat direduksi menjadi perkalian kerapatan konstan 0 dengan volume bola yang

jejarinya pmo, dan perkalian ini sama dengan jumlah total dari elektron N.

2V

h3×4

3πpmo

3

= N

Selanjutnya akan diperoleh :

pmo = ( 3 Νh3

8 πV )1/3

dan

wmo=

h2

8m [3NπV ]

2/3

(3.0)

Marilah kita coba hitung besarnya wmo dari persamaan (4.9).

Konstanta h adalah konstanta Planck yang besarnya 6,62 x 10-34 Joule-sekon, dan m

adalah massa elektron, 9x10-31 kg. Jumlah elektron per satuan volume tidak dapat diukur secara

langsung. Asumsi umu yang digunakan, yakni atom-atom masing-masing memberikan

kontribusi jumlah elektron yang sama untuk gas elektron. Kita juga akan memprediksi jumlah ini

kecil, mungkin 1 untuk atom valensi 1, 2 untuk atom valensi 2, dst. Hal ini merupakan

pembuktian secara tidak langsung, bahwa asumsi itu benar. Misalkan kita hitung untuk perak,

9

dN

dv dv dv

v v v

x y z

x y z

dNv/dv T = 0 K T1

T2 vmo v Gambar 4-3a: Fungsi distribusi kelajuan menurut statistik Fermi-Dirac.

asumsikan satu elektron untuk satu atom, maka N/V = 5,86 x 1028 elektron bebas/m3, dan dari

persamaan (3.0),

wmo =

(6 ,62×10−34 )2

8×9×10 -31 [ 3π×5 ,86×1028 ]2/3

= 9,0 x 10-19 Joule

= 5,6 elektron-volt.

Harga ini merupakan energi kinetik maksimum dari elektron bebas pada nol absolut.

Energi rata-rata w pada nol absolut (lihat pasal 2.8) adalah 3/5 dari energi maksimum, yakni :

w = (3/5)(5,6) = 3,46 eV = 5,75 x 10-19 Joule.

Menurut statistik Maxwell-Boltzmann, energi kinetik rata-rata dari molekul gas adalah

3kT/2 dan berharga nol pada suhu nol absolut. Bila kita terapkan statistik Maxwell-Boltzmann,

maka untuk energi 5,75 x 10-19 Joule, diperlukan temperatur 27.000 0K.

Untuk selanjutnya kita akan mengevaluasi wm pada temperatur selain 0 K. Hasil yang

diperoleh oleh Sommerfeld adalah :

wm = wmo (3.1)

Bila T=0 K, akan direduksi menjadi wmo. Demikian pula dengan penambahan temperatur,

perbedaan antara wm dan wmo adalah kecil, karena suku kT hanya beberapa seper elektron-volt,

sedangkan wmo dalam orde 2 sampai 10 elektron-volt. Jadi, di dalam mengevaluasi fungsi

distribusi pada pers (2.8), sama halnya pada temperatur tinggi beberapa ribu derajat Kelvin,

akan terjadi kesalahan kecil untuk substitusi wmo dengan wm.

Gambar 4-2 adalah grafik fungsi distribusi yang diplot sebagai fungsi w.

10

Ordinat dari kurva adalah jumlah titik representatif per satuan volume ruang momentum.

Garis tebal adalah distribusi pada T = 0 K. Kerapatan adalah kosntan pada semua titik untuk w <

wmo atau (p < p mo ) dan nol di luar harga ini. Garis putus-putus adalah distribusi pada temperatur

yang lebih tinggi, T1 dan T2 . Jika T = 0, fungsi turun secara asimtotik menuju nol sehingga

energi bertambah, dan tidak ada batas atas yang lebih tajam untuk energi atau momentum.

Harga wm tidak menyatakan energi maksimum pada temperatur T, tetapi harga wmo menyatakan

energi maksimum pada T = 0 K.

11

BAB III

KESIMPULAN

3.1 Kesimpulan

Dari uraian diatas maka di dapat kesimpulan sebagai berikut:

Perbedakan statistik Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein dan statistik Fermi-Dirac

yaitu: Maxwell-Boltzmann sering digambarkan sebagai statistika bagi partikel klasik

yang “terbedakan”. Pada statistik statistik Maxwell-Boltzmann dipandang enam dimensi

dari pergerakan molekul, yakni tiga dimensi kedudukan dan tiga dimensi kecepatan.

Ruang enam dimensi seperti yang dimaksudkan ini disebut ruang fasa. Sedangkan

Bose-Einstein adalah statistik kuantum di mana partikel-partikel dipandang identik dan

tak dapat dibedakan tetapi Tidak mengikuti prinsip eksklusi Pauli. Seperti Partikel

disebut boson; misalnya foton, inti helium. Dan Fe rmi -Di r ac pertama kali diterbitkan

pada tahun 1926 oleh Enrico Fermian Paul Dirac Staistik Fe rmi -Di r ac adalah

statistik kuantum di mana partikel-partikel dipandang identik dan tak dapat dibedakan

tetapi mengikuti prinsip eksklusi Pauli. Seperti Partikel disebut Fermion; misalnya

electron.

Cara menghitung peluang thermodinamika statistik Fermi-Dirac adalah dengan

menggunakan Secara umum pernyataan untuk peluang thermodinamika dari makrostate

tertentu dalam statistik Fermi-Dirac adalah :

Fungsi distribusi partikel menurut statistik Fermi-Dirac dapat dijabarkan sebagai

berikut: Ni = 0

dan karena efek Ni sekarang independen, maka akan diperoleh :

12

N io

n= 1

B exp( βwi )+1

Hal ini dikenal sebagai : fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk keadaan probabilitas

thermodinamika maksimum.

DAFTAR PUSTAKA

Rizqidiaz. 2012. Sekilas Tentang Fisika Statistik. http://rizqidiaz.blogspot.com/2012/01/sekilas-

tentang-fisika-statistik.html

Sujanem,Rai. 2004. Buku Ajar Fisika Statistik Bagian 2. Singaraja : Institut Keguruan Dan Ilmu

Pendidikan.

13