Aplikasi Statistic Fermi Dirac Untuk Menganalisis Energi Fermi Pada Bintang Neutron
Statistik Fermi Dirac
-
Upload
mei-rahmat-sanusi-legger -
Category
Documents
-
view
275 -
download
8
description
Transcript of Statistik Fermi Dirac
Bab V. Statistik Fermi-Dirac
Bab V. Statistik Fermi-Dirac
Pada pembahasan yang lalu kita mengembangkan statistik kuantum yakni statistik Bose-Einstein untuk sistem yang mengandung boson. Statistik kuantum berikutnya adalah statistik Fermi-Dirac yang akan kita kembangkan untuk assembly yang sistemnya dibangun oleh fermion, dimana momentum sudutnya merupakan kelipatan bilangan bulat-setengah. Karena fermion memenuhi larangan Pauli, maka setiap keadaan paling banyak diisi oleh satu sistem saja.
DISTRIBUSI FERMI-DIRAC
Misalkan suatu assembly tertutup dan mengandung sejumlah fermion yang tak saling berinteraksi, dengan energi total . Seperti pada pembahasan statistik sebelumnya, konfigurasi assembly dapat dinyatakan dalam bentuk distribusi sistem pada sejumlah pita energi. Tiap pita mengandung sejumlah keadaan dengan energi yang
berada dalam interval dan . Konfigurasi
assembly ditandai oleh nilai yang menyatakan jumlah sistem yang dapat ditempatkan pada berbagai nilai . Karena assemblynya tertutup, maka jumlah total sistem dan energi total haruslah memenuhi syarat
Seperti halnya dengan boson, pertukaran dua fermion tidak akan menghasilkan susunan yang baru karena partikelnya identik (tak dapat dibedakan). Selanjutnya jira terdapat cara menyusun sistem
155
Bab V. Statistik Fermi-Dirac
diantara pita energi yang memiliki keadaan, maka jumlah total konfigurasi adalah
yang tentu saja tak lain adalah robot konfigurasi.Oleh karena fermion memenuhi larangan Pauli,
maka jumlah yang dapat ditempatkan pada suatu keadaan hanya dapat bernilai 0 atau 1. Jika sejumlah
sistem telah ditempatkan dalam keadaan, maka
terdapat dari keadaan yang masih kosong.
Maka banyaknya cara mengisi adalah
Untuk menggambarkan proses pengisian ini, gambar berikut memperlihatkan 3 sistem (digambarkan dengan titik) pada 5 keadaan (digambarkan dengan kotak). Hasil menunjukkan bahwa terdapat 10 cara, nilai ini sesuai jika kita menggunakan rumus 5.3
Bobot konfigurasi secara keseluruhan diperoleh dengan mengalikan masing-masing jumlah susunan yang mungkin, yakni
Oleh karena dan cukup besar, maka kita dapat menggunakan pendekatan Stirling
=
Mengikuti metode sebelumnya, syarat yang harus dipenuhi adalah
156
Bab V. Statistik Fermi-Dirac
Nilai yang ada dalam tanda kurung haruslah bernilai nol untuk setiap harga manapun
Dari persamaan 5.5
Nilai yang bersesuaian dengan konfigurasi yang memiliki peluang terbesar
Persamaan di atas disebut distribusi Fermi-Dirac untuk assembly fermion.
Bentuk secara umum dikenal
dengan nama fungsi Fermi dan umumnya ditulis dalam bentuk
157
Bab V. Statistik Fermi-Dirac
Persamaan di atas diperoleh dengan melakukan substituís dan . dalam persamaan di atas disebut energi Fermi. Jika rapat keadaan dengan energi berada di antara dan , maka jumlah sistem yang berada dalam interval energi tersebut adalah
GAS FERMI-DIRAC
Sebelum membahas lebih jauh perilaku gas yang dibentuk oleh fermion, kita akan menéela fungís Fermi dengan fokus pada energi Fermi . Fungsi Fermi pada temperatur mutlak nol ditunjukkan pada gambar berikut.
Ketika temperatur mutlak 0, suku
memiliki dua nilai yang mungkin.
(i) Untuk dan
(ii) Untuk
Maka fungsi Fermi dapat memiliki dua harga yakni
untuk dan
untuk
Hal ini menunjukkan bahwa pada temperatur mutlak
nol, peluang bahwa keadaan dengan energi
terisi sama dengan satu, dengan kata lain semua keadaan terisi. Sebaliknya bahwa semua keadaan
158
Bab V. Statistik Fermi-Dirac
dengan energi kosong. Bentuk fungsi Fermi
untuk temperatur mutlak nol ditunjukkan pada gambar berikut.
Sifat fungsi dapat dijelaskan secara
sederhana sebagai berikut. Pada temperatur mutlak nol, fermion menduduki keadaan dengan energi yang paling rendah. Oleh karena hanya satu fermion yang dapat menduduki satu keadaan, maka keadaan dengan energi paling rendah semuanya terisi sampai semua fermion berada dalam tingkatan energi tersebut. Singkatnya dapat dikatakan bahwa tingkatan energi Fermi adalah tingkatan energi tertinggi yang diduduki oleh fermion pada temperatur mutlak nol, keadaan dengan tingkatan energi di atasnya tidak terisi.
Nilai dapat dicari dari persamaan 5.11
dengan menggunakan syarat bahwa
159
F 0
1
f
0
Bab V. Statistik Fermi-Dirac
Oleh karena bentuk fungsi Fermi pada K,
untuk , ketika untuk
syarat di atas dapat ditulis menjadi
Karena fermion merupakan sistem kuantum maka
bentuk fungsi rapat keadaan dapat diambil dari
persamaan 4.12 oleh karena momentum sudut spin fermion memungkinkan lebih dari satu keadaan untuk setiap tingkatan energi. Dengan penerapan yang lebih luas ini, misalnya dalam kasus elektron, kita dapat memandang bahwa bilangan kuantum spin magnetiknya dapat berharga dan . Jadi memungkinkan dua keadaan untuk tiap tingkatan energi
dalam sebuah ruang . Persamaan 5.13b menjadi
Secara sederhana kita dapat menghubungkan besaran di atas dengan energi termal dengan
mendefenisikan temperatur Fermi melalui hubungan
160
Bab V. Statistik Fermi-Dirac
Dalam tabel berikut disajikan nilai dan untuk
berbagai gas Fermi-Dirac ; gas fermion yang dibentuk oleh atom isotop Helium pada tekanan standar dan juga gas elektron dalam logam alkali lithium dan natrium
Tabel 1. Energi dan temperatur Fermi
Gas
Helium 0,94 x 10-3 10Gas elektron dlm lithium 4,7 54.000Gas elektron dalam natrium 2.1 24.000
Untuk gas molekuler yang mengandung fermion, temperatur Ferminya relatif rendah dibandingkan temperatur kamar normal.
GAS ELEKTRON
Dari tabel 1 nampak bahwa untuk gas elektron temperatur Ferminya relatif tinggi, diperkirakan bahwa kenaikan temperatur dari temperatur mutlak ke nilai di sekitar temperatur kamar hanya akan berpengaruh pada elektron-elektron dengan energi yang dekat dengan energi Fermi. Hal ini ditunjukkan pada gambar berikut dengan asumís bahwa dan nilai fungsi Fermi diberikan untuk berbagai harga khusus (yang lebih mudah dihitung).
0,73
161
Bab V. Statistik Fermi-Dirac
0,5
0,27
Distribusi jumlah elektron ke seluruh tingkatan energi merupakan perkalian antara fungsi distribusi dengan rapat keadaan
Bentuk grafik dapat dilihat pada gambar berikut.
162
εF εF+ kTεF - kT
ε
f(ε)
T > 0
T = 0
g(ε) ~ ε1/2
Bab V. Statistik Fermi-Dirac
Sifat-sifat gas elektron pada temperatur mutlak nol dapat dihitung dari distribusi integral dengan
mengambil batas integral dari 0 sampai . Contoh
energi rata-rata elektron pada adalah :
sehingga untuk dan untuk
,
nilai diambil dari persamaan 5.14
Untuk mencari bagaimana perilaku gas elektron apabila temperatur mutlak dinaikkan (di atas nol), maka pertama perlu dicari energi Fermi sebagai fungsi temperatur. Dengan menggunakan persamaan 5.11 serta syarat kekekalan
Maka
163
Bab V. Statistik Fermi-Dirac
Oleh karena itu kita hanya perlu mencari nilai energi Fermi sebagai batas atas integral. Pendekatan yang dapat diambil adalah .
Tingkatan energi Fermi sebagai fungsi temperatur dapat dinyatakan dengan
Untuk , nilai pada temperatur
kamar kira-kira sama dengan 8 x 10-5.Energi rata-rata elektron pada temperatur
diperoleh dengan menghitung nilai integral
untuk memperoleh
Panas jenis pada volume constan satu mol gas elektron diperoleh dari
Dengan temperatur Fermi pada temperatur kamar nilai panas jenis Kira-kira 0,05 R.
164
Bab V. Statistik Fermi-Dirac
165