Spl (metnum)

MODUL 4

7

MODUL 77.1 Metode Matriks InversPada metode matriks invers ini matriks identitas, I digandengkan dengan matriks bujur sangkar A , kemudian matriks A dirubah menjadi matriks A-1( invers matriks A) dengan cara melakukan sejumlah transformasi elementer pada baris.. Perubahan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut,

Kita tahu bahwa IA = AI = A ( sesuai dengan aturan perkalian matriks ), kemudian dari matriks AX=B kita hitung dengan A-1AX = A-1BIX = A-1B X = A-1B.Contoh 1

Tentukan , , dan dari sistem persamaan linier di bawah ini dengan metode eliminasi Gauss

Jawab:

Sistem persamaan linier tersebut dinyatakan dalam bentuk perkalian matriks sebagai berikut,

, dengan A = ,

X =

dan B =

7.2 Metode Dekomposisi LU

Jika matriks A non singular ( matriks yang mempunyai invers ), maka ia dapat difaktorkan ( diuraikan atau dikekomposisi ) menjadi matriks segitiga bawah, L (Lower) dan matriks segitiga atas, U (Upper) dengan cara melakukan sejumlah transformasi elementer pada baris seperti contoh sebelumnya, A = LU.

Perubahan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut,

Dalam bentuk matriks pemfaktoran ini ditulis sebagai,

EMBED Equation.3 Pada matriks segitiga bawah, L, semua elemen diagonal utamanya berharga 1, sedangkan pada matriks segitiga atas, U tidak ada aturan khusus pada elemen diagonal utamanya. Setelah pemfaktoran matriks A menjadi matriks L dan matriks U, maka kedua matriks tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier AX = B, yaitu sebagai berikut. Tinjau SPL AX = B, kemudian faktorkan A menjadi L dan U, sehingga A = LU, sehingga LUX = B. Misalkan UX = y, maka Ly = B. Untuk memperoleh , kita gunakan teknik substitusi maju ( forward substitution ), sbb,

EMBED Equation.3 , diperoleh

Dan untuk memperoleh solusi SPL, , kita gunakan teknik substitusi mundur ( back substitution ) sbb,

EMBED Equation.3 diperoleh

Contoh 2

Tentukan , , dan dari sistem persamaan linier di bawah ini dengan metode dekomposisi LU

Jawab:


, dengan A = ,

X =

dan B =

EMBED Equation.3 (

EMBED Equation.3 (

EMBED Equation.3 (

Jadi U,dan L

, maka dan

,maka

EMBED Equation.3

Jadi

, , ,

7.4 Metode CramerUntuk mencari solusi SPL , AX = B, dengan menggunakan metode Cramer, matriks A harus nonsingular ( det (A) (0). Solusi SPL-nya dirumuskan oleh , dimana adalah determinan matriks A atau det(A), dan adalah determinan A dengan mengganti kolom ke-i dengan vektor kolom B. Contoh 3

Tentukan , , dan dari sistem persamaan linier di bawah ini dengan metode dekomposisi LU

Jawab:


, dengan A = ,

X =

dan B =

det(A)=D=

EMBED Equation.3 (

EMBED Equation.3 (

(

-70

EMBED Equation.3 (

(

(

EMBED Equation.3 70

EMBED Equation.3 (

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 (

EMBED Equation.3 (

EMBED Equation.3 0D3

EMBED Equation.3 (

EMBED Equation.3 (

EMBED Equation.3 (

-70

D4

EMBED Equation.3 (

EMBED Equation.3 (

EMBED Equation.3 (

-140Jadi , , dan

7.5 Metode iterasi Jacobi

Metode ini merupakan suatu teknik untuk mencari solusi SPL yang berukuran n x n , AX = B secara iteratif. Proses penyelesaian dimulai dengan suatu solusi awal, ( tebakan kita), kemudian dilakukan iterasi berikutnya untuk mendapatkan hasil hampiran sesuai dengan ketentuan kriterea berhenti. Teknik solusi iteratif ini lebih efisien digunakan untuk SPL yang berukuran besar. Metode iterasi Jacobi ini dinyatakan oleh rumus sebagai berikut, dgn dan . Sebagai kriterea berhenti iterasi adalah , utk semua . Dan syarat cukup agar iterasinya konvergen adalah matriks A dari SPL dominant secara diagonal:

dgn

Syarat cukup ini berarti bahwa agar iterasinya konvergen, cukup dipenuhi syarat itu. Jika syarat tersebut terpenuhi, kekonvergenan dijamin, meskipun matriks A dari SPL tidak dominan secara diagonal iterasinya mungkin konvergen. Kekonvergenan juga ditentukan oleh tebakan awal. Tebakan awal yang terlalu jauh dari solusi eksaknya dapat menyebabkan iterasi divergen. Contoh 4

Cari solusi SPL ini dengan metode iterasi Jacobi dengan tebakan awal .

Jawab:SPL tersebut dapat ditulis sebagai dengan

A=, X=dan B

Tampak bahwa matriks A dominan secara diagonal.Mula-mula kita nyatakan setiap variabel dalam ketiga variabel yang lain, yaitu sebagai berikut:

kemudian kita substitusikan tebakan awal kedalam pers. 7.1 s/d 7.4, hasilnya adalah nilai pada iterasi ke-1, yaitu sebagai berikut:

Iterasi ke-2

Iterasi ke-3

Iterasi ke-4

Sampai dengan iterasi ke-8 dan hasilnya adalah sebagai berikut:

10,6000002,272730-1,1000001,875000

21,0472701,715910-0,8052270,885227

30,9326362,053310-1,0493401,130880

41,0152001,953700-0,9681090,973843

50,9889912,011410-1,0102901,021350

61,0032001,992240-0,9945220,994434

70,9981282,002310-1,0019701,003590

81,0006301,998670-0,9990360,998888

Setelah iterasi ke-8, maka hasilnya adalah

L

U

A

Transf.elementer

pada baris

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (



EMBED Equation.3

Maka A-1= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

dan EMBED Equation.3 .

Jadi

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Ternyata hasilnya sama dengan contoh yang lalu, yang dikerjakan dengan metode lain.

A-1

I

I

A

Transf.elementer

pada baris

PAGE Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMBZAKARIAMETODE NUMERIK

_1272356199.unknown

_1272372553.unknown

_1272524752.unknown

_1272526871.unknown

_1272570896.unknown

_1272594141.unknown

_1272595682.unknown

_1272596329.unknown

_1272596367.unknown

_1272597254.unknown

_1272597292.unknown

_1272597338.unknown

_1272597181.unknown

_1272596347.unknown

_1272596292.unknown

_1272596304.unknown

_1272595948.unknown

_1272595134.unknown

_1272595191.unknown

_1272594604.unknown

_1272572488.unknown

_1272572813.unknown

_1272593732.unknown

_1272572755.unknown

_1272571953.unknown

_1272572317.unknown

_1272571321.unknown

_1272526961.unknown

_1272569648.unknown

_1272570614.unknown

_1272569956.unknown

_1272570568.unknown

_1272526986.unknown

_1272526926.unknown

_1272526948.unknown

_1272526898.unknown

_1272525562.unknown

_1272525878.unknown

_1272526033.unknown

_1272526193.unknown

_1272526509.unknown

_1272526097.unknown

_1272525994.unknown

_1272525751.unknown

_1272525851.unknown

_1272525690.unknown

_1272525337.unknown

_1272525427.unknown

_1272525534.unknown

_1272525375.unknown

_1272525011.unknown

_1272525213.unknown

_1272524768.unknown

_1272522888.unknown

_1272524064.unknown

_1272524288.unknown

_1272524549.unknown

_1272524092.unknown

_1272524264.unknown

_1272523155.unknown

_1272523521.unknown

_1272522973.unknown

_1272521651.unknown

_1272522841.unknown

_1272521941.unknown

_1272522470.unknown

_1272521752.unknown

_1272519962.unknown

_1272521051.unknown

_1272372677.unknown

_1272363872.unknown

_1272366028.unknown

_1272366590.unknown

_1272366620.unknown

_1272372475.unknown

_1272366605.unknown

_1272366335.unknown

_1272366571.unknown

_1272366117.unknown

_1272365295.unknown

_1272365850.unknown

_1272365878.unknown

_1272365761.unknown

_1272364676.unknown

_1272365131.unknown

_1272364347.unknown

_1272359555.unknown

_1272360073.unknown

_1272363834.unknown

_1272363856.unknown

_1272363809.unknown

_1272359769.unknown

_1272359638.unknown

_1272359721.unknown

_1272356373.unknown

_1272359392.unknown

_1272356387.unknown

_1272358353.unknown

_1271192563.unknown

_1272010159.unknown

_1272110434.unknown

_1272348332.unknown

_1272349878.unknown

_1272350324.unknown

_1272348922.unknown

_1272348948.unknown

_1272349086.unknown

_1272348893.unknown

_1272110535.unknown

_1272348287.unknown

_1272110503.unknown

_1272043381.unknown

_1272044297.unknown

_1272058090.unknown

_1272101258.unknown

_1272045047.unknown

_1272044226.unknown

_1272010587.unknown

_1272043077.unknown

_1272010472.unknown

_1272008740.unknown

_1272009903.unknown

_1272010071.unknown

_1272008783.unknown

_1271916506.unknown

_1271916829.unknown

_1271192537.unknown

_1271192551.unknown

_1271192522.unknown

Spl (metnum)

Documents

Transcript of Spl (metnum)