Solusi Pengayaan Matematika · a u u 2 3 2 1 7 16 7 4 u ar u u 53. ... Hasil kali dari...

6
1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008 Solusi Pengayaan Matematika Edisi 6 Pebruari Pekan Ke-2, 2008 Nomor Soal: 51-60 51. Jumlah n bilangan positif kelipatan 3 adalah 360. Berapakah nilai n? A. 28 B. 24 C. 18 D. 15 E. 14 Solusi: [D] 3 6 9 ... 360 2 1 360 2 n a n b 3 3 720 n n 2 3 3 720 0 n n 2 240 0 n n 15 16 0 n n 15 n (diterima) atau 16 n (ditolak) 52. Gunakan data barisan geometri 4 1 3 dan 148 4 4 r S untuk menentukan suku ketiga. A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 E. 7 Solusi: [E] 4 4 1 1 a r S r 4 1 1 595 4 1 4 1 4 a 3 595 1 1 16 256 a 3 595 255 16 256 a 3 595 256 7 16 16 255 a 2 3 2 1 7 16 7 4 u ar 53. Barisan bilangan bulat positif, , didefinisikan rekursif sebagai dan dan dan k adalah konstanta bulat positif. Jika 4 a adalah kuadrat sempurna dan 80320 k N a , tentukan jumlah angka-angka bilangan N tersebut. A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 E. 14

Transcript of Solusi Pengayaan Matematika · a u u 2 3 2 1 7 16 7 4 u ar u u 53. ... Hasil kali dari...

Page 1: Solusi Pengayaan Matematika · a u u 2 3 2 1 7 16 7 4 u ar u u 53. ... Hasil kali dari persamaan-persamaan tersebut memberikan: xy yz xz 48 72 96. 5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika,

1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 6

Pebruari Pekan Ke-2, 2008

Nomor Soal: 51-60

51. Jumlah n bilangan positif kelipatan 3 adalah 360. Berapakah nilai n?

A. 28 B. 24 C. 18 D. 15 E. 14

Solusi: [D]

3 6 9 ... 360

2 1 3602

na n b

3 3 720n n

23 3 720 0n n

2 240 0n n

15 16 0n n

15n (diterima) atau 16n (ditolak)

52. Gunakan data barisan geometri 4

1 3dan 148

4 4r S

untuk menentukan suku ketiga.

A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 E. 7

Solusi: [E]

4

4

1

1

a rS

r

4

11

595 4

141

4

a

3 595 11

16 256a

3 595 255

16 256a

3 595 2567 16

16 255a

2

3 2

17 16 7

4u ar

53. Barisan bilangan bulat positif, , didefinisikan rekursif sebagai dan

dan dan k adalah konstanta bulat positif. Jika 4a adalah kuadrat sempurna

dan 80320

k

Na

, tentukan jumlah angka-angka bilangan N tersebut.

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 E. 14

knk123
Rectangle
Page 2: Solusi Pengayaan Matematika · a u u 2 3 2 1 7 16 7 4 u ar u u 53. ... Hasil kali dari persamaan-persamaan tersebut memberikan: xy yz xz 48 72 96. 5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika,

2 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

Solusi: [C]

Pertama tulislah

2

2 11 1 1 1a ka k k k k

2 3 2

3 21 1 1 1a ka k k k k k k

3 2 4 3 2

4 31 1 1 1a ka k k k k k k k k

Karena 4a adalah kuadrat sempurna, maka ambillah

2

4a m , sehingga

4 3 2 21k k k k m

4 3 2 2 1k k k k m

Yang mengakibatkan

4 2 3 2 1k k k k m

2 2 2 21 1 1k k k k m

2 2 1 1 1k k k m m

Kita dapat mengasumsikan bahwa ada nilai k yang unik. Jika kita menganggap bahwa dua faktor

yang diberikan adalah sama, kemudian mengambil perbedaan mereka untuk melihat bahwa

2 2 1 1 1k k k m m 1 2k 3k

sehingga 3 2

33 3 3 1 40a

selanjutnya, 80320 80320

200840

k

Na

Jadi, jumlah angka-angka bilangan N tersebut adalah 2 + 0 + 0 + 8 = 10.

54. Tentukan jumlah dari semua nilai untuk “x” bahwa 4, x, y, 18 adalah barisan dengan tiga suku

pertama adalah barisan aritmetika dan tiga suku terakhir adalah barisan geometri.

A. 8 B. 9 C. 1

93

D. 10 E. 11

Solusi: [D]

4x b 2 8 2x b .... (1) (b adalah beda antara dua suku berurutan)

4 2y b .... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) dipoeroleh

2 4x y

2 4y x .... (3)

Barisan geometri: x, y, 18

18y

x y

2 18y x .... (4)

Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh:

2

2 4 18x x

24 16 16 18x x x

Page 3: Solusi Pengayaan Matematika · a u u 2 3 2 1 7 16 7 4 u ar u u 53. ... Hasil kali dari persamaan-persamaan tersebut memberikan: xy yz xz 48 72 96. 5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika,

3 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

24 34 16 0x x 22 17 8 0x x

2 1 8 0x x

1atau 8

2x x

Jadi, jumlah nilai “x” adalah 1 1

8 82 2 .

Catatan:

Kita dapat menentukan jumlah nilai “x” langsung dari persamaan kuadrat 22 17 8 0x x

menggunakan rumus 1 2

bx x

a , sehingga 1 2

17 12 8

2 2x

.

55. Sebuah barisan, di mana 1 3 510, 18, 27a a a adalah barisan kuadrat di mana setiap suku

ke-n dapat dinyatakan dengan 2

na An Bn C . Berapakah nilai 8 kali suku ke-6?

A. 255 B. 288 C. 292 D. 259

E. 225 Solusi: [A]

2y ax bx c

10 a b c .... (1)

18 9 3a b c .... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

8 8 2a b .... (3)

27 25 5a b c .... (4)

Dari persamaan (2) dan (4) diperoleh

9 16 2a b .... (5)

Dari persamaan (3) dan (5) diperoleh

1 8a 1

8a

1 1 78 8 2

8 8 2a b b

7 1 7 5110

2 8 2 8b c c

21 7 51

8 2 8na n n

2

6

1 7 51 36 168 51 2556 6

8 2 8 8 8 8 8a

Jadi, 6

2558 8 255

8a

56. Berapa banyak bilangan antara 1 dan 2013 yang bulat kelipatan 3 atau 4 tetapi bukan 12?

A. 501 B. 668 C. 840 D. 1040 E. 1030

Solusi: [C]

Bagilah 2013 dengan 3 dan abaikan sisanya, sehingga didapat 671. Bagilah 2013 dengan 4 dan

abaikan sisanya, sehingga didapat 503. Jumlahkan jawaban ini, sehingga diperoleh 1174.

Kemudian harus membagi 2013 dengan 12 dan abaikan sisanya, sehingga diperoleh 167. Tetapi

Page 4: Solusi Pengayaan Matematika · a u u 2 3 2 1 7 16 7 4 u ar u u 53. ... Hasil kali dari persamaan-persamaan tersebut memberikan: xy yz xz 48 72 96. 5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika,

4 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

kita tidak menginginkan keduanya, sehingga kita harus mengurangkan dua kali dari 1174,

sehingga didapat 1174 – 2 167 = 840.

57. Jumlah dua suku pertama deret geometri adalah 90. Jumlah suku ke enam dan ke tujuh adalah

10

27 . Tentukan jumlah lima suku pertama.

A. 2

1013

B. 1

1013

C. 1

1016

D. 2

1003

E. 1

1003

Solusi: [A]

2 90a u

1 90a r .... (1)

6 7

10

27u u

5 6 10

27ar ar

5 101

27ar r .... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

5 10

9027

r

5 1

243r

1

3r

1

3r

11 90 135

3a a

1

1

n

n

a rS

r

5

7

1135 1

135 1 243 135 244 305 23101

1 81 243 324 3 31

3

S

58. Diberikan tiga bilangan bulat positif, sehingga setiap hasil dua bilangan adalah unsur yang unik

dari {48,72,96} . Berapakah hasil dari ketiga bilangan bulat tersebut?

A. 484 B. 529 C. 576 D. 625 E. 676

Solusi: [C]

Misalnya bilangan-bilangan tersebut adalah x, y, dan z.

Kita mendapatkan sistem

xy = 24

yz = 27

xz = 32

ì

íï

îï

.

Hasil kali dari persamaan-persamaan tersebut memberikan:

48 72 96xy yz xz

Page 5: Solusi Pengayaan Matematika · a u u 2 3 2 1 7 16 7 4 u ar u u 53. ... Hasil kali dari persamaan-persamaan tersebut memberikan: xy yz xz 48 72 96. 5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika,

5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

2 4 3 2 5 12 42 3 2 3 2 3 2 3xyz

12 4 6 22 3 2 3 64 9 576xyz

59. Hasil kali lima suku pertama deret geometri adalah 32. Jika suku ke empat adalah 1, misalnya

A = suku kedua. Jika 1, x, y, adalah barisan geometri dan x, y, 3 adalah barisan aritmetika,

ambillah B = nilai maksimum dari x + y. Tentukan nilai dari AB.

A. 4 B. 5 C. 10 D. 14 E. 15

Solusi: [D] 3

4 1u ar

1 2 3 4 5 32 u u u u u

3 2

1 1 11 32r

r r r

5

132

r

5 1

32r

1

2r

2 2

14

1

2

u A

Barisan geometri: 1, x, y, sehingga 2

1

x yy x

x.... (1)

Barisan aritmetika: x, y, 3, sehingga 3

32

xy x y y .... (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh 2 3

2

xx

22 3 0 x x 2 3 1 0 x x

31

2 x x

23 3 9

2 2 4

x y

2

1 1 1 x y

Sehingga max

3

2x dan max

9

4y

max max

3 9 15

2 4 4 B x y

Jadi, 15

4 154

AB

60. Suku ke-3 barisan geometri adalah

243

2, dan suku ke-12 adalah

256

81. Jika suku ke-15

dinyatakan dalam a

b, tentukan nilai b a .

Page 6: Solusi Pengayaan Matematika · a u u 2 3 2 1 7 16 7 4 u ar u u 53. ... Hasil kali dari persamaan-persamaan tersebut memberikan: xy yz xz 48 72 96. 5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika,

6 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008

A. 169 B. 149 C. 140 D. 139 E. 138

Solusi: [A]

11 912 3 u ar u r

256

81243

2 r9

256

812

243 r9

9

9

9

2

3r

r 2

3

13 12u u r

3256 2

81 3

2048

2187

a

b

Karena itu 2048a dan 2187b , sehingga 2187 2048 139b a