Soal Dan Jawaban Turunan Trigonometri

PERTEMUAN 7TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI, TURUNAN TINGKAT TINGGI DAN DIFFERENSIAL

IMPLISIT

1. Turunan Fungsi Trigonometri

Rumus : a. f (x) = sin x ----- f” (x) = cos xb. f (x) = sin (ax) ----- f” (x) = a cos (ax)c. f (x) = cos x ----- f” (x) = - sin xd. f (x) = cos (ax ) ----- f” (x) = - a sin (ax)e. f (x) = tan x ----- f” (x) = sec2 xf. f (x) = cot x ----- f” (x) = - cosec2 x

Contoh :

Tentukan turunannya :

a. Dx ( x3 sin x ) = ?

Jawab :

Misal U = x3 --- U’ = 3x2 Dx ( x3 sin x ) = U’V + UV’ V = sin x --- V’ = cos x = (3x2) sin x + x3 (cosx) = x2 (3 sinx + x cos x)

b. Dx ( sin 3x + cos 5x ) = ?

Jawab : Dx ( sin 3x + cos 5x ) = 3 cos 3x - 5 sin 5x

c. Dx ( 3 sin x - 2 cos x ) = ?

Jawab : Dx ( 3 sin x - 2 cos x ) = 3 cos x + 2 sin x

d. Dx tan x = ?

Jawab : Dx tan x = Dx

Misal : U = sin x --- U’ = cos x V = cos x --- V’ = - sin x

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Rini Anggraini MM. Ir.

KALKULUS I 1

Dx tan x = Dx = Dx

=

=

=

=

=

e. Dx (3 sin 2x) = ?

Jawab :

Dx (3 sin 2x) = 3 ( 2 ) cos 2x = 6 cos 2x

SOAL – SOAL :

Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut ini :

1. y = 2x sin x 11. y = sin x. cosx

2. y = sin 4x + 5x2 - 6 12. y =


KALKULUS I 2

3. y = sin x + 2 cos x 13. y =

4. y = 14. y =

5. y = ( 3x2 + 5 ) cos x 15. y =

6. y = 2 sin x + 3 cos x 16. y = sin2 x

7. y = sin2 x + cos2 x 17. y = 1 - cos2 x

8. y = sec x = 1 / cos x 18. y = csc x = 1 / sin x

9. y = 19. y =

10. y = x2 cos x 20. y =

2. Turunan Tingkat Tinggi

Operasi pendiferensialan mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsi baru f’. Jika f’ kita diferensialkan, kita masih tetap menghasilkan fungsi lain, yang dinyatakan oleh f’’ (dibaca f dua aksen) dan disebut turunan kedua dari f. Pada gilirannya ia boleh didiferensialkan lagi, dengan demikian mengasilkan f’’’, yang disebut turunan ketiga dari f.

Contoh :

f (x) = 2x3 - 4x2 + 7x - 8

Maka :

f’(x) = 6x2 - 8x + 7 f’’ (x) = 12x - 8


KALKULUS I 3

f’’’ (x) = 12 f’’’’ (x) = 0

Karena turunan fungsi nol adalah nol, maka semua turunan tingkat yang lebih tinggi dari f akan nol. Contoh penggunaan turunan tingkat tinggi adalah perhitungan mengenai kecepatan, percepatan, dan masalah benda jatuh.

Contoh :

1. Sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya s memenuhi persamaan s = 2t2 - 12t + 8, dengan s diukur dalam sentimeter dan t dalam detik

dengan t 0. Tentukan :

a. kecepatan benda bilamana t = 1 dan t = 6b. Kapan kecepatannya = 0c. Kapan kecepatannya positif

Jawab :

a. Kecepatan = v (t) adalah turunan pertama dari fungsi s sehingga :

v (t) = ds/dt = 4t - 12v (1) = 4 (1) - 12 = - 8 cm / detv (6) = 4 (6) - 12 = 12 cm / det

b. Kecepatan = 0 ----- 4t - 12 = 0 4t = 12 t = 3

Jadi kecepatan = 0 pada saat t = 3

c. Kecepatan positif ----- 4t - 12 > 0 4t > 12 t > 3

Jadi kecepatan positif pada saat t > 3

Keterangan :

Pada contoh diatas, jika t = 0 dan t = 3, kecepatan negative -- benda bergerak ke kiri ( mundur ). Pada saat t = 3 ia “diperlambat” ke kecepatan nol, kemudian mulai bergerak ke kanan bila kecepatannya positif.


KALKULUS I 4

Jadi , kecepatan negative berpadanan dengan bergerak ke arah berkurangnya s, kecepatan positif berpadanan dengan bergerak ke arah bertambahnya s.

2. Hitung percepatan dari persamaan s pada contoh 1 diatas.

Jawab :

Percepatan = a = =

Jadi : v = = 4t - 12

a = = 4

Ini berarti bahwa kecepatan pada suatu tingkat yang tetap sebesar 4 cm / detik, yang kita tuliskan sebagai 4 cm / detik / detik

3. Sebuah titik bergerak sepanjang garis koordinat mendatar sedemikian sehingga posisinya pada saat t dinyatakan oleh :

s = t3 - 12t2 + 36t - 30

s diukur dalam desimeter dan t dalam detik

a. Kapan kecepatan 0b. Kapan kecepatan positifc. Kapan titik bergerak mundur (yakni ke kiri)d. Kapan percepatan positif

Jawab :

a. V = ds / dt = 03t2 - 24t + 36 = 03 (t2 - 8t + 12) = 03 (t - 6) (t - 2 ) = 0 ---- t = 6 dan t = 2

Jadi kecepatan = 0 pada t = 6 dan t = 2


KALKULUS I 5

b. v > 0 bilamana (t - 6)(t - 2) > 0 ---- penyelesaian bentuk ketaksamaan ini adalah dengan melakukan pemeriksaan pada beberapa titik uji (lihat bab ketaksamaan), dan diperoleh t < 2 atau t > 6 atau dalam notasi selang (-∞,2) U (6,∞)

c. Titik bergerak ke kiri bilamana v < 0, yaitu bilamana ( t - 6 )(t - 2 ) < 0. Ketaksamaan ini mempunyai penyelesaian berupa selang ( 2 , 6 )

d. a = dv/dt = 6t - 24 > 0 6 ( t - 4 ) > 0 t > 0

Jadi percepatan > 0 bilamana a > 0

4. (Contoh mengenai benda jatuh). Dari puncak sebuah gedung setinggi 160 dm, sebuah bola dilempar ke atas dengan kecepatan awal 64 dm / detik. Apabila s = - 16t2 + v0t + s0, maka :a. Kapan ia mencapai ketinggian maksimumb. Berapa ketinggian maksimumnyac. Kapan ia membentur tanahd. Dengan laju berapa ia membentur tanahe. Berapa kecepatannya pada t = 2

Jawab :

Misal t = 0 berpadanan dengan saat pada waktu bola dilempar. Maka s0 = 160 dan v0

= 64, sehingga :

s = - 16 t2 + 64 t + 160

v = ds/dt = - 32 t + 64

a = dv/dt = - 32

a. Bola mencapai ketinggian maksimum pada waktu kecepatannya = 0, maka :

- 32 t + 64 = 0 t = 64 / 32 = 2 detik

b. Pada t = 2 -- s = - 16 (2)2 + 64 (2) + 160 = 224 dm

c. Bola membentur tanah pada waktu s = 0

- 16 t2 + 64 t + 160 = 0


KALKULUS I 6

Jika persamaan diatas kita bagi dengan – 16 kemudian menggunakan rumus abc, maka diperoleh :

t2 - 4 t - 10 = 0

t =

=

=

= 2 ±

Yang dipakai adalah jawaban yang positif. Jadi bola membentur tanah pada t = 2 ±

= 5,74 detik

d. Pada t = 2 ± --- v = - 32 (2 ± ) + 64 = - 119,73.

Jadi bola membentur tanah pada laju 119, 73 dm / detik

e. Percepatan selalu – 32 dm / detik/ detik. Ini adalah percepatan gravitasi dekat permukaan laut.

SOAL – SOAL :

Cari d3y / dt3 dari fungsi berikut :

1. y = x3 + 3x2 + 6x 2. y = x5 + x4

3. y = ( 3x + 5 )3 4. y = ( 3 - 5x )5

5. y = sin ( 7x) 6. y = sin (x3)


KALKULUS I 7

7. y = 8. y =

Dalam soal 9 - 14, sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat mendatar menurut rumus s = f (t), dengan s adalah jarak berarah dari titik asal, dalam dm dan t dalam detik. Dalam tiap kasus jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut :

a. Berapa v (t) dan a (t), kecepatan dan percepatan pada saat tb. Bilamana benda bergerak ke kananc. Bilamana benda bergerak ke kirid. Bilamana percepatan negative

9. S = 12t - 2t2

10.S = t3 - 6t2

11.S = t3 - 9t2 + 24t12.S = 2t3 - 6t + 513.S = t2 + 16/t , t > 014.S = t + 4/t, t > 0

15.Sebuah benda yang dilemparkan langsung ke atas berada pada ketinggian s = - 16t2 + 48t + 256 dm setelah t detik.

a. Berapa kecepatan awalnyab. Bilamana benda mencapai ketinggian maksimumc. Berapa tinggi maksimumnyad. Bilamana benda membentur tanah

3. Diferensial Implisit

Apabila kita diminta mencari kemiringan garis singgung dari persamaan y3 + 7y = x3, maka yang kita cari adalah dy/dx pada titik yang ditunjuk , missal di (2,1). Caranya adalah dengan mendiferensialkan kedua ruas dari persamaan tersebut terhadap x dan samakan hasil-hasilnya. Maka akan kita peroleh :

3y2 . + 7 = 3x2

( 3y2 + 7 ) = 3x2


KALKULUS I 8

=

Pada ( 2, 1) maka = = =

Contoh lain :

a. Cari dy/dx jika 4x2y - 3y = x3 - 1 dengan metode eksplisit dan implisit Jawab :

Metode eksplisit : 4x2y - 3y = x3 - 1 y (4x2 - 3) = x3 - 1

y =

=

=

Metode implisit : 4x2y - 3y = x3 - 1

4x2 . + y . 8x - 3 = 3x2

( 4x2 - 3 ) = 3x2 - 8xy


KALKULUS I 9

= * )

Jika harga y = dimasukkan pada * ), maka :

=

=

=

=

SOAL – SOAL :Cari Dxy menggunakan pendiferensialan implisit :

1. y2 - x2 = 1

2. 9x2 + 4y = 36

3. xy = 1

4. x2 + α2y2 = 4α2, dengan α suatu konstanta

5. xy2 = x - 8

6. x2 + 2x2y + 3xy = 0

7. 4x3 + 7xy2 = 2y3


KALKULUS I 10

8. x2y = 1 + y2x

9. xy + sin (xy) = 1

10. cos (xy2) = y2 + x


KALKULUS I 11

Soal Dan Jawaban Turunan Trigonometri

Documents

Transcript of Soal Dan Jawaban Turunan Trigonometri