Skripta_Mehanika 2.pdf

8/9/2019 Skripta_Mehanika 2.pdf

1/104

1

UNIVERZITETUBANJOJLUCI

MAINSKIFAKULTET

DrValentinaGolubovi Bugarski

MEHANIKA2(Skriptaizvodipredavanja)

BanjaLuka,septembar2014.


2/104

2

PREDGOVOR

OvaskriptaprireenasupremavaeemnastavnomprogramupredmetaMehanika2,kojiseizvodiuIIIsemestruIciklusastudijanasvimodsjecimaMainskogfakultetauBanjojLuci.

NastavnogradivopredmetaMehanika2obuhvatadvijeoblastimehanike,itoKinematikuiDinamiku.Obimgradivaprilagoenje fondu asovapredavanja i vjebi (4+3).U skriptamaje gradivo izloeno prirodnim redosljedom pokomejeprvoobraena kinematika take, kinemtaika krutog tijela,potomdinamikamaterijalne take idinamikamaterijalnogsistemaikrutogtijela.Ipak,moguejeodstupitioddatogredosljedagradivaibezikakvihtekoaprvoobraditi kinematiku idinamiku materijalne take kaojednu cjelinu, apotom kinematiku i dinamikumaterijalnogsistemaikrutogtijela.

Ovaj saeti tekst svakako epomoi studentimaupripremanju ispita izovog fundamentalnogpredmeta tehnikestruke. Studenti se upuuju da ira i dublja saznanja iz podruja Tehnike mehanike, koja se obrauju u ovomnastavnom predmetu, steknu iz odgovarajue nastavne literature, udbenika i zbirki zadataka, dostupnih ubibliotekamainainternetu.

BanjaLuka,septembar2014.

Autor


3/104

3

UVODUMEHANIKU

MEHANIKAjenaukaooptimzakonimamehanikihkretanjairavnoteematerijalnihtijela.

Zadatakmehanike,najoptijereeno,sastojiseu prouavanjukretanjamatrijalnihtijela,tj.prouavanjupromjenepoloajatijelainjegovihdijelovauprostorutokomvremena. Utokukretanjarazliitatijelamogudavre,jednanadruge,mehanikiuticaj,npr.podstiui njihovakretanja ili imsesuprotstavljajui.Takavmeusobniuticajjednogtijelanakretanjedrugogtijelanazivasesila.

Ravnotea tijela predstavlja poseban sluaj mehanikog kretanja, paje zadatak mehanike, takoe, prouavanjeravnoteematerijalnihtijela.

Podjelamehanike:

Teorijakretanjairavnoteeapsolutnokrutihtijela(mehanikakrutogtijela)

Teorijakretanjairavnoteedeformabilnihtijela(teorijaelastinostiiplastinosti)

Teorijakretanjairavnoteetenihigasovitih tijela(hidromehanikaiaerodinamika,mehanikafluida)

Mehanikakrutogtijelamoesepodijelitinastatiku,kinematikuidinamiku.

Statikaprouavaravnoteumaterijalnihkrutihtijela.Kinematika sebaviprouavanjemkretanjamaterijalnih tijela, sageometrijskog stajalita,neuzimajuiuobzir silekojetokretanjeizazivaju.

Dimanika pruava kretanje materijalnih tijela pri djelovanju sila, tj. dovodi u vezu kretanje materijalnih tijela samehanikimuticajima(silama)kojidjelujunatijela.

BazumehanikekrutogtijelaineNjutnovizakoni:

Prvizakon:Svakamaterijalnatakaostajeustanjumirovanja ilijednolikogpravolinijskogkretanja,svedokdjelovanjemsilenebudeprinuenadatostanjepromjeni.

Drugizakon:Promjenakoliinekretanjamaterijalnetakeproporcionalnajesilikojadjelujenanjuivriseupravcuismjerudjelovanjasile.

Trei zakon (zakonakcije i reakcije):uzajamnimehanikiuticajidvaju tijela ispoljavajuse silamajednakogintenzitetaipravca,asuprotnihsmjerova.

PredmetMehanika2podijeljenjenadvadijela:kinamtikuidinamiku.Kinematikajepodijeljenanakinematikutakei kinematiku krutog dijela, dok je dinamika podijeljena na dinamiku materijalne take, dinamiku materijalnogsistemaidinamikukrutogtijela.


4/104

4

KINEMATIKA


5/104

5

UVODUKINEMATIKU

Kinematikajedioteorijskemehanikeukomeseprouavajumehanikakretanjatijelaneuzimajuiuobzirnjihovumasu i sile kojedejstvujunanjih.U kinematici seprouavajugeometrijska svojstva kretanja tijela, te sekinamtikanazivajoigeometrijomkretanja.

Pod mehanikim kretanjem podrazumijeva se promjena poloaja koje tokom vremenajedno materijalnotijelovriuodnosunadrugomaterijalnotijelo.Mehanikokretanjetijelajemogueprouitisamoakopostojidrugo

tijelo (posmatra) u odnosu na koje vrimo uporeivanje, tzv. referentno tijelo. Pri prouavanju kretanja ukinematikomsmislu,referentnotijeloseuvijekmoesmatratinepokretnim.Kadaanalitikiopisujemopoloajtijela, referentno tijelo (posmatraa)predstavljamo takomO,aprostoruodnosuna koji se tijelo kreeprikazujemoprostornimkoordinatnimsistemom(referentnimsistemom),npr.DekartovimkoordinatnimsistemomsapoetkomutakiO.

Kretanjetake ili tijelauodnosunaapsolutnonepokretni sistemreferencijenazivaseapsolutnokretanje.Kretanjetakeili tijelauodnosudrugopokretnotijelonazivaserelativnokretanje.

Kretanjetijelasevritokomvremenauprostoru,testogakinematikauvodiuanalizudvijeveliine:duinu(L)ivrijeme(t),anjihoveosnovnejedinicesumetarisekunda.

Vrijeme u klasinoj mehanici je pozitivna skalarna veliina koja se neprekidno mijenja i uzima se zanezavisnopromjenljivuveliinu,kojuobiljeavamosat.Sveostaleveliineukinematici seposmatrajukaofunkcije

vremena.Prilikommjerenjavremenauvodimopojampoetnogtrenutkavremena,odreenog trenutkavremena iintervalavremena.

Poetniternutakvremenanazivasetrenutakodkadapoinjemodamjerimovrijeme,tj.odkadapoinjemoda posmatramo kretanje. Obino se usvaja daje poetni trenutak vremena (t0=0). Vrijeme neprestano tee iargument(t),ufunkcijikogadefiniemosvekinematikeveliine,jepozitivnarastuaveliina.

Odreenitrenutakvremena (t)definiesebrojemsekundikojisuprotekliodpoetnogtrenutkavremena.

Intervalvremenat=t2t1nazivasevrijemekojeprotekne izmeudvijeodreenepojave,tj.razlika izmeubilokojadvatrenutkavremena.

Ukinematiciseprouavakretanjekrutih tijela, tj.tijelakojanemijenjajusvojoblik (nepromjenljiv razmakizmeubilokojedvijetaketijela).Kretanjenekogtijelapoznajemoakopoznajemopoloajsvaketaketogtijelautokuvremenakretanja.Zbogtogajepotrebnoprvo prouitikretanjetake,azatimtijela.Stogaseikinemtikamoe

podijelitina:1.

Kinematkutake2.

Kinematkukrutogtijela

Takaukinematikomsmislu jegeometrijskatakakojamijenjapoloajuprostoruutokuvremena.Takamoebitiuoenatakanekogtijela,npr.M1,M2,...ilitomoebititijelozanemarljivomalihdimenzija.


6/104

6

KINEMATIKATAKE

OSNOVNIZADATAKKINEMATIKETAKE

Ukinematicitakerjeavajusedvaosnovnaproblema:

Ustanovljavanjeanalitikihpostupakazadefinisanjekretanjatakeuodnosunautvrenisistemreferencije;

Odreivanje,naosnovuzadatogzakonakretanja,svihkinematikihkarakteristikakretanjatakeukojespadaju: trajektorijatake,brzinaiubrzanjetake.

Zavisnost izmeuproizvoljnog poloaja takeu prostoru i vremenaodreuje zakon kretanja take, pajeosnovnizadatakkonematiketakeprouavanjezakonakretanjetake.

Putanja ili trajektorija takejezamiljenaneprekidna linijakojuopisujepokretna takaMuprostoru.DioputanjeizmeudvauzastopnapoloajatakeMnazivasepreeniput. Jednainuputanjetakemoguejeodreditieliminisanjemvremena(parametra t)izzakonakretanjatake.

Zavisnoodoblikaputanjetake,razlikujesepravolinijskoikrivolinijskokretanjetake.

Prouavanje kretanja take vri se u odnosu na uslovno apsoplutno nepokretni sistem referencije. Zadefinisanjeproizvoljnogkrivolinijskogkretanjatakeuprostorunajeeseprimjenjujusljedeetripostupka:

1.

Vektorski2.

Analitiki(koordinatni)3.

Prirodni

VEKTORSKIPOSTUPAKODREIVANJA

PROIZVOLJNOGKRIVOLINIJSKOGKRETANJATAKE

PoloajtakeMkojasekreepotpunojeodreenvektrompoloaja r

, ijijepoetakunekojnepokretnojtakiO,akrajupokretnojtakiM.PototakaMmijenjapoloajuodnosunatakuOtokomvremena,mijenjaseivektorpoloaja r

po intenzitetu,pravcu i smjeru.Prema tome,vektorpoloaja r

predstavljavektorsku funkciju

vremena t:

( )r r t

koja se zove zakon kretanja take u vektorskom obliku ili konana jednaina krivolinijskog kretanja take uvektroskom obliku. Vektor poloaja r

mora biti neprekidna funkcija vremena, jednoznana i dva puta

diferencijabilna.

Putanjatakedobijesekonstrukcijomgeometrijskihmjestakrajevavektorapoloaja rinazivasehodografvektora

poloaja r

.


7/104

7

ANALITIKI(KOORDINATNI)POSTUPAKODREIVANJAKRETANJATAKE

a)Dekartovpravouglikoordinatnisistem

Vektorpoloaja rtakeMmoesepredstavitiuobliku

r r t x t i y t j z t k

gdjesu i

, ji k

jedininivektoriosax , y iz.Vektorskojfunkciji r

odgovarajutriskalarnefunkcije

, ,x x t y y t z z t

kojesezovuzakonkretanjailikonanejednainekrivolinijskogkretanjatakeuDekartovimkoordinatama.

Eliminacijomparametra tizjednainakretanjadobijasejednainalinijeputanjetake.

b)Polarnocilindrinikoordinatnisistem.Polarnekoordinate.

PoloajtakeModreenjepomoukoordinata

( ), ( ), ( )r r t t z z t

kojesezovuzakonkretanjailikonanejednainekrivolinijskogkretanjatakeupolarnocilindrinimkoordinatama.

Rastojanje 'OM r jepolarnorastojanjeinazivasepoteg, ajepolarniugao.

AkosetakaMkreeuravnixOy,ondajepoloajtakeodreenkoordinatama

( ), ( )r r t t

koje

se

nazivaju

zakon

kretanja

ili

kona

nejedna

ine

krivolinijskog

kretanja

ta

ke

u

polarnim

koordinatatama,

i

dobijusezaz=0.

PRIRODNIPOSTUPAKODREIVANJAKRETANJATAKE

Ako je poznata putanja (linija putanje takehodografvektorapoloaja take),ondajepoloaj takeMpotpunoodreenlunom (krivolinijskom) koordinatom s . Na putanji se uoinepokretnatakaA,kojaseuzmezareferentnutaku,ijedansmjerseusvojikaopozitivanadrugikaonegativan.Orijentisaniluk s tada

jednozna

noodre

uje

poloaj

ta

keMna

putanji.

Ako

seta

kakre

e

dukrive,ondasekoordinata s mijenjatokomvremena,tj.

s s t .

Ovajednainanazivasekonanajednainakretanjatakepoputanjiilizakonkretanjatakepoputanji.


8/104

8

BRZINATAKE

Vektorbrzinetakekarakteriepromjenuvektorapoloajausvakomtrenutkuvremena.

Pojambrzinetakebieobjanjensljedeimrazmatranjem.Posmatrajmodvapoloajatakenaputanji,MiM1,koji

odgovarajuvremenskimtrenucima ti 1t t t .Veliina t jekonani vremenskiintervalukometakapreeizpoloajaMupoloajM1,avektorpoloaja sepromjeni za r

.Ovaveliinanaziva sevektorskipriratajvektora

poloaja rpokretnetake.

Vektorsrednjebrzinetakejedefinisankolinikom:

1

sr

r t t r t rv

t t t

Vektorsrednjebrzineimaistipravacismjerkaovektor r ,tj.usmjerenjeusmjerukretanjatake.Srednjabrzinatakeunekomintervaluvremenakarakteriepromejnuvektorapoloajaposmatranuzaintervalkaocjelinu, tako da na osnovu srednje brzine ne moemo nita zakljuiti o nainu promjene poloaja take unutar

intervala t .Ukolikoje interval t manji ,utolikosrednjabrzinaprecizinijepokazujepromjenupoloaja takeutokuvremena.

Vektorbrzinetake vudatomtrenutkuvremenatjeveliinakojojteivektorsrednjebrzinetakekada interval

vremenatei t nuli,tj.jednakjeprvomizvoduvektorapoloajatakepovremenu

0 0lim lim

srt t

r drv v r

t dt

Daemo fizikotumaenjeovojdefinicijibrzine:Potojevektorsr

v

usmjerenduvektorapomjeranja r

,tokada

interval 0t onda i 0r , tj. taka M1 postaje beskonano bliska taki M, odnosno u graninom sluajupoklapasesatakomM.Pravacvektora r

teipravcu luka dsT dr

u takiM,tj.teipravcu tangente T

na

putanjuutakiM.

Izovogslijedi:Vektorbrzine vtakeudatomtrenutkuvremenaimapravactangentenatrajektorijuuodgovrajuoj

taki,ausmjerenjeusmjerukretanjatake.

Vektor brzine take pri proizvoljnom kretanju karakterie tokom vremena promjenu vektora poloaja take pointenzitetu,pravcuismjeru.

Intenzitetvektorabrzine jednakjeintenzitetuprvogizvodavektorapoloajapovremenu

drv

dt

anijejednak

d rv

dt

.

(Prikretanjutakepokrunojputanjije intenzitetvektorapoloaja constr

,paje 0dt

rd

.Meutim,kakose

mijenja pravacismjervektorapoloajaondajebrzinatakerazliitaodnule.)

Akosetakakreetakodasevektorbrzinemijenjapopravcu,ondatakavrikrivolinijskokretanje,aakojevektrobrzinetokomvremenakonstantnogpravca,ondatakavripravolinijskokretanje.


9/104

9

Akosetakakreetakodajevektorbrzinekonstantnog intenziteta,zatakvokretanjekaemodajeravnomjerno.Usuprotnomjekretanjepromjenljivo.

Dimenzijabrzineje

1duina

v LTvrijeme

Utehnikomsistemumjeradimenzijabrzinejemetarusekundim

s

.

UBRZANJETAKE

Vektorubrzanjatakekarakteriepromjenuvektorabrzinetakeusvakomtrenutku.

Nekaseutrenutku t takanalaziupoloajuModreenimvektorompoloaja rinekaimabrzinu v

,autrenutku

1t t t takajeupoloajuM1 i imabrzinu 1v v v

.Ovoznaidajeuvremenskom intervalu t vektorbrzinetakedobiovektorskiprirataj v

,kojikarakteriepromjenuvektorabrzinepopravcu i intenzitetu.Akou

takuMprenesemoparalelnovektorbrzine 1vikonstruiemoparalelogramukojemjevektor 1v

dijagonala,ondaje

jedna stranica vektorskiprirataj vbrzine v

.Dijeljenjem vektora v

sa intervalom vremena t ,dobiemo

srednjeubrzanjezaintervalvremena t

1

sr

v t t v t va

t t t

Vektorsrednjegubrzanja takeutolikotanijeodraavapromjenuvektorabrzineukolikojemanji intervalvremna

t .Vektorubrzanjatakeudatomtrenutkuvremenadobijemozagraninisluaj,kada 0t ,

0 0lim limsr

t t

v dva a v

t dt

Kakojevektorbrzinetakejednakizvodupovremenuvektorapoloajatake,moesenapisatidaje

2

2

dv d dr d r a r

dt dt dt dt

Vektor ubrzanja take u datom trenutku vremenajednakje prvom izvodu vektora brzine take po vremenu, ilidrugomizvoduvektorapoloajatakepovremenu.

U optem sluaju krivolinijskog kretanja take vektor ubrzanja karakterie promjenu vektora brzine take tokomvremenapointenzitetu,pravcuismjeru.Izovogslijedidajeubrzanjetakejednakonulisamokadajebrzinataketokomvremenakonstantnapopravcuiintenzitetu, tj.usluajuravnomjernogpravolinijskogkretanja.

Intenzitetvektoraubrzanjajednakjeintenzitetuvektorabrzinepovremenu


10/104

10

dva

dt

, anijejednakd v

adt

.

(Primjerkrivolinijskogkretanjakadajevektorbrzinekonstantanpointenzitetuaneipoporavcu)

Dimenzijaubrzanjaje

2

2 2, .

brzina duina ma LT

vrijeme svrijeme

BRZINAIUBRZANJEUDEKARTOVIMKOORDINATAMA

dr d dx dy dz

v xi yj zk i j k xi yj zk dt dt dt dt dt

Izvodipovremenujedininihvektorajednakisunuli.

Intenzitetbrzineje

2 2 2v v x y z

AnalognosemoeizvestiiubrzanjeuDekartovimkoordinatama

dv d dx dy dz

a xi yj zk i j k xi yj zk dt dt dt dt dt

Intenzitetubrzanjaje

2 2 2a a x y z .


11/104

11

BRZINAIUBRZANJETAKEUPOLARNIMKOORDINATAMA

Uvodimodvaokomitajedinina(bazna)vektorar

e

i e

,upravcupotegaiupravcunormalnomnapoteg,takodase

vektorpoloajatakemoeprikazatikaor

r re

.

Jedinini vektorimijenjajupravacprikretanjutakeP,tj.zaviseodvremena ipostojenjihovederivacije(zarazlikuodjedininihvektoraDekartovogkoordinatnogsistema,kojisunepokretni).

Jedinini vektorre

ima intenzitetjednak 1,apromjena tog vektorapri infinitezimalnojpromjeniugla d koja

nastajeu infinitezimalnomtrenutkuvremena dt,moesevidjeti nagornjojslici.Dakle, infinitezimalnapromjena

rde imaintenzitet1 d (iz re d )iokomita jenavektor re ,toodgovarapravcudrugogjedininogvektora e .Moemonapisati:

rr

de dde d e e e

dt dt

Slino,promjenajedininogvektora e

jevektorde

,intenziteta1 d ipravcaokomitognavektore

,to

odgovarapravcuvektorar

e

,paje

( )r r r

de dde d e e e

dt dt

Vektorbrzinetakeje

rr r r r dedr d dr

v re e r re r e v vdt dt dt dt

Vidimodavektorbrzineinedvijekomponente,radijalnabrzinaipoprena(cirkularna)brzina,ijiintenzitetiiznose

rv r radijalnabrzina

v r poprena(cirkularna)brzina

Trebaprimijetitidajepoprenakomponentabrzinevektorkojijeokomitnapoteg r idaseuoptemsluajunepoklapasapravcemtangente naputanjuudatompoloajutakeP.

Intenzitetbrzineje

2 2

rv v v v

Ubrzanje takeje

2 2

rr r

r r r r

dededv d dr dr d a re r e e r e r e r

dt dt dt dt dt dt dt

re r e r e r e r e r r e r r e a a

Ubrazanjetaketakoeinedvijekomponente,radijalnaipoprena(cirkularna),anjihoviintenzitetisu:

2ra r r radijalnoubrzanje,

Putanjatake


12/104

12

2a r r popreno(cirkularno)ubrzanje.

Intenzitetubrzanjaje

2 2

ra a a a

.

Posebansluajjekretanjetakepokrunojputanji

Akopotegmjerimoodcentrakruniceondaje r const ,paje 0r r .Tadajeradijalnabrzinajednakanuli, 0

rv r ,abrzinaimasamopoprenukomponentu

v v r e

ijisepravacpodudarasapravcemtangentenakrunicu(putanjutake).

Ubrzanjetakeje2

ra r e r e

,

aintenzitetikomponenatasu2

ra r i a r .

Uoptemsluajujedininivektorpotegapreeugao d uvremenskomintervalu dt.Omjer ddt nazivase

ugaonabrzinaiestoseoznaavasa,ajedinicazaugaonubrzinuje 1rad

ss

.Derivacijomugaonebrzine

povremenudobijeseugaonoubrzanjed

dt

,kojeseestooznaavasa iimajedinicu 2

2

rads

s

.

Uposebnomsluaju,kadajeugaonabrzinakonstantna, const ,ondajebrzinatakenakrunicistalnogintenziteta v r ,apoprenoubrzanjejejednakonuli.Ipak,radijalnakomponentaubrzanjaimaintenzitet

2

ra r iusmjerenajekacentrukrunice,akarakterieporomjenupravcavektorabrzine.


13/104

13

Centralnokretanje

Jojedan sluaj kretanja takeu ravnije tzv. centralno kretanje.Kodovakvog kretanja vektorubrzanja stalnojeusmjeren kajednoj taki , tj.centruZ (pravacvektoraubrzanjastalnoprolazikrozjednu taku).Ovakvokretanjepostojiuprirodi,naovajnainkreuseplaneteokoSunca.

Kodcentralnogkretanja iezavapoprenakomponentaubrzanjaako ishoditekoordinatnogsistemapostavimoucentarZ:

2 21

0 2 ( ) 0

d

a r r r r const r dt

Ovaj rezultat semoeprikazatiprekopovrine1

2dA r rd , kojuopiepoteg r pripomjeranju zaugao d,

odakleproizilazidaje

2 21 1

2 2

dA dr r

dt dt

.

Ovaveliinunazivasesektorskabrzinaipredstavljabrzinupromjenepovrineujedinicivremenakojuopisujevektor

poloaja rprikretanjutake.Dimenzijasektorskebrzineje

2m

s

.

Pricentralnomkretanjusektorskabrzinajekonstantna,2

r const .UfizicijeovopoznatokaoKeplerovzakon,kojikaedapotegkojispajaplanetusaSuncemprikretanjuplaneteopisujejednakepovrineujednakimvremenskimintervalima.

Putanja


14/104

14

BRZINAIUBRZANJEUPRIRODNOMKOORDINATNOMSISTEMU

UnekimsluajevimazgodnojeprostornokretanjetakeopisatipomoukoordinatnogsistemasmjetenogutakiPkoji se kreepoputanji zajedno sa takom.Toje tzv.prirodnikoordinatni sistemkoji imaortogonalnejedinine

vektore:t

e u smjeru tangente,

ne u smjeruglavnenormale,

be u smjerubinormale. Jedinini vektoriuovom

redosljeduodreujudesnikoordinatni sistem.Tangenta iglavnanormalaodreuju ravninu (oskulatornu ravan)u

kojojje i trenutnazakrivljenostkrive. Jedininivektorglavnenormalen

euvijekjeusmjerenka lokalnomsreditu

(centru)zakrivljenosti.Putanja takeupoloajuP ima lokalnuzakrivljenost ,kojunazivamopoluprenikkrivine

putanjeutaki.estoseovajpoluprenikzakrivljenostioznaavaisak

R .

Poloajtakenaputanjiodreenjeduinom luka s (podsjetimo, ( )s s t jezakonkretanjatakepoputu),avektor

poloajatakePjeutomsluaju r r s t

.

Brzinatakejepodefinicijipromjenavektorapoloajaudatomtrenutkuvremena

dr dr dsv

dt ds dt

Kakopriratajvektorapoloaja dr imapravactangentenaputanjutake,ondajeintenzitet(modul)ovogprirataja

dr ds

,pajet t

dr dr e ds e

,odnosnot

dre

ds

.

Ovoznaidajekolinikdr

ds

jedininivektortangente,

te

,iusmjerenjeustranuporastakrivolinijskekoordinate s .

Vektorbrzinetakesadaje

t t

dr ds dsv e se

ds dt dt

aintenzitetvektorabrzinejeds

v v s

dt

.

Akojepoznatintenzitetbrzinetake,moguejeodreditikrivolinijskukoordinatu s iz

0

0

t

t

s v t dt s .

Ubrzanjetakedefiniepromjenubrzineuodreenomtrenutkuvremena

tt tdedv d dv

a ve e vdt dt dt dt

.

Putanjatake


15/104

15

Nalaenjevremenskederivacijejedininogvektorapokazanojeuprethodnojlekciji(polarnekoordinate),takoda eslianpostupakbitipokazaniovdje.

Jedininivektort

e

upoloajuPpromjenisekadasetakapomjeripoputanjiizpoloajaPupoloajP,pripromjeni

ugla d zavrijeme dt.Upoloaju Pjevrijednostjedininogvektora t te de

.Promjenat

devektora

teimapravac

premasredituzakrivljenosti M,tj.pravacjedininogvektoranormalen

e,aveliinapromjeneje1 d .

Priratajluka ds odPdoPodreenjepoluprenikomzakrivljenosti i infinitezimalnimputem d,tj. ds d ,

todajeds

d

.

Promjenat

dejedininogvektora

tesadaje

1t t n n n

dsde de e d e e

, aodavdeje

1tn n

de ds ve e

dt dt

.

Vektorubrzanja takesadaje

2

t n t n t n

dv v dv va e v e e e a a

dt dt

.

Ubrzanjetakeodreenojevektorskimzbirom dviju komponenataodkojihje jednausmejrenadutangente naputanjutake,adrugaduglavnenormale iuvijek imasmjerpremasredituzakrivljenosti(usmjerenaukonkavnu

stranuputanje

ka

centru

krivine).

Intenzitetvektoraubrzanjaje

2 2

t na a a .

Komponentaubrzanjausmjerenadutangentinazivasetangencijalno(tangentno)ubrzanjetakeiimaintenzitet

2

2t

dv d sa s

dt dt

akomponentausmjerenadunormalenazivasenormalnakomponentaiimaintenzitet

2 2

n

v sa

Tangencijalnoubrzanjekarakteriepromjenubrzinetakepointenzitetu,anormalnoubrzanjekarakteriepromjenupravcavektorabrzine.

Vektorubrzanjatakeleiuravnivektorat

ei

ne

,tj.uoskulatornojravni.

Posebansluaj kretanjapokrunojputanji

Prikretanjutakepokruniciduinaluka s kojegopiepokretnatakamoeseiskazatiproizvodompoluprenika r

kruniceiugla kojijeuoptemsluajufunkcijavremena t, t ,


16/104

16

s r

Kakojepoluprenikzakrivljenostikrunice r const ,ondajeintenzitetbrzinetake

rdt

drr

dt

d

dt

dssv .

Vektorubrzanjetake

22

t n t n t n

sa a a se e r e r e

r

.

Intenzitetitangentneinormalnekomponenteubrzanjasu2

t na r a r .

Vektoribrzine iubrzanja takenezaviseod izborapostupka (koordinatnogsistema)kojim ihodreujemo,ve odprirode kretanja take toje odreeno konanimjednainama kretanja take. Pravac, smjer i intenzitet vektorabrzine iubrzanjatakeostaje istibezobzirana izborpostupkakojim ihodreijemo,ajednainekojekoristimopriodreivanjubrzineiubrzanjasusljedee:

Postupak Zakonkretanja Brzina Ubrzanje

Vektorskipostupak r r t

drv xi yj zk

dt

dva xi yj zk

dt

Koordinatnipostupak

Dekartovekoordinate

( )

( )

( )

x x t

y y t

z z t

2 2 2

, ,dx dy dz

x y zdt dt dt

v x y z

2 2 2

, ,dx dy dz

x y zdt dt dt

a x y z

Polarnekoordinate

( )

( )

r r t

t

2 2

r r

r

v v v re r e

v v v

2

2 2

2

r

r

r

a a a

a r r e r r e

a a a

Prirodnipostupak ( )s s t t t

dsv e se

dtds

v sdt

2

2 2

t n t n

t n

dv v

a a a e edt

a a a


17/104

17

NEKIPRIMJERIPRAVOLINIJSKOGIKRIVOLINIJSKOGKRETANJATAKE

a) Ravnomjerno(jednoliko)kretanjetake

b)

Ravnomjernopromjenljivo ubrzano kretanjetake(ubrzanje 0dt

dva

)

c) Ravnomjernopromjenljivousporeno kretanjetake(ubrzanje 0dt

dva )

d)

Krunokretanjetake

e)

Harmonijskokretanjetake


18/104

18

KINEMATIKAKRUTOGTIJELA

ODREIVANJEPOLOAJAKRUTOGTIJELAUPROSTORU

Podkrutimtijelomumehanicisepodrazumijevatijelokojenemijenjasvojgeometrijskioblik.

Pod poloajem krutog tijela u prostoru podrazumijeva se poloaj svih taaka tijela u odnosu na utvreni sistemreferencije.Sobziromdasukodkrutogtijelauzajamnarastojanjataakanepromjenljiva,moguejepoloajbilokojetakekrutogtijelaprinjegovomkretanjujednoznanoodreditiakojepoznatoodstojanjetetakeodostalihtaakatijela.

Izgeometrijejepoznatodajepoloajkrutogtijelauprostoruodreenpoloajimatrinekolinearnetaketogtijela.Prikretanjukrutogtijela,poloajsvihtaakatijelauodnosunatakeA,B iCjednoznanojeodreen istogajezadefinisanjepoloajakrutogtijelauprostorudovoljnodaseznapoloajtrinekolinearnetakeA,BiCtijela.Odavdeslijedidaakojepoznat poloajtrinekolinearnetakekrutogtijela,ondajemogueodreditipoloajmakojetaketijelazavrijemekretanjetijelauprostoru.

Poloajslobodnogkrutogtijelaprikretanjuuprostoruuodnosunaproizvoljnisistemreferencijeodreenjesaestnezavisnih parametara (svakoj taki odgovaraju tri nezavisna parametrakoordinate; od devet parametara kojidefiniu poloaj tri take treba oduzeti trijednaine veze izmeu tih taakarastojanja izmeu taaka koja sunepromjenljiva;natajnainostajeestnezavisnihparametara).

2 2 2 2

1

2 2 2 2

2

2 2 2 2

3

B A B A B A

C B C B C B

C A C A C A

x x y y z z l

x x y y z z l

x x y y z z l

AkoseuoibilokojatakaMkrutogtijelanjenekoordinatetakoemorajuzadovoljitiovakvejednaine,kojimseizraavanepromjenljivostrastojanjatakeModtaakaA,BiC.

Brojnezavisnihparametara, pomoukojihsemoejednoznanoodreditipoloajkrutogtijelauprostoruuodnosunaproizvoljnoizabranisistemreferencije,nazivasebrojstepenislobodekrutogtijela.

Broj stepeni slobodekrutog tijela ili takeoznaavabrojnezavisnihkretanja koje tijelo ili takamoeda izvodiuprostoru.

Taka ima tristepenaslobode,jernjenpoloajprikretanjuuprostoruodreuju trinezavisnekoordinate:x,y iz.Slobodnokrutotijelouprostoruimaeststepenislobodekretanja,jergaodreujeestnezavisnihparametara.Toznaidamoeda izvodiestnezavisnihkretanja:tritranslatornapomjeranjaupravcutriose i triobrtanjaokotrimeusobnoupravneose.

Ukolikopostojedodatnaogranienjakojapotiuoddrugihtijelamehanikihveza,brojstepenislobodesesmanjuje.

Poloajkrutog tijelauprostorumoebitiodreenprekonezavisnihparametarakojenazivamogeneralisane(opte)koordinate. Generalisane koordinate tijela ili take su nezavisni parametri pomou kojih se moejednoznanoodreditipoloajtijelausvakomtrenutkuvremenauodnosunaizabranisistemreferncije.

Osnovna kretanja krutog tijela su translatorno i obrtno kretanje. Iz ovih osnovnih kretanja sastoje se sva ostalakretanjadjeliminovezanih(neslobodnih)krutihtijela.


19/104

19

Izvrenajepodjelakretanjakrutogtijelana:

1) Translatornokretanje2)

Obrtanjeokonepokretneose3) Ravnokretanje4) Obrtanjeokonepokretnetake5)

Optekretanje6)

Sloenokretanje

Translatornidiokretanjadefiniesezakonimakretanjanekeuoenetaketijela(polnaslicioznaensaA),aobrtnidiokretanjasedefinieuglovimaobrtanjaokoosa.Naslicisuprikazaniprimjerikretanjakrutogtijelaiodgovarajuibrojkoordinatakojedefiniubrojstepenislobodekretanjazadatitipkretanjatijela:a)ravnokretanjekrutogtijela,b)sfernokretanjekrutogtijela,c)obrtanjetijelaokonepokretneose,d)translatornokretanjekrutogtijela.

Osnovnizadacikinematikekrutogtijelaanalognisuzadacimakinematiketake:

1) Utvrivanjematematikihmetodazadefinisanjepoloajakrutogtijelaprikretanjuuprostoruuodnosunaizabranisistemreferencije

2)

Odreivanjekinematikihkarakteristikakrutogtijela kaocjelineisvaketaketijelaposebnonaosnovupoznatihjednainakretanjatijela.


20/104

20

TRANSLATORNOKRETANJEKRUTOGTIJELA

Translatorno kretanje krutog tijelaje takvo kretanja pri kojem se prava ili du nepromjenljivo vezana sa tijelompomjerazajednosanjimtakodauvijekostajesamojsebiparalelna.

Putanjesvihtaakatijelasuistovjetne identinelinije,samomeusobnopomjereneuprostoru.

Akojepoznatpoetnipoloajtijelaondasecjelokupnokretanjetijelamoeizuitiprekokretanjasamojednatakepola.AkoseznapoloaajtakeAusvakomtrenutkuvremena,poloajbilokojetake,npr.B,odreujesepomouvektora

B Ar r

gdjejevektorpoloaja AB

konstantnogintenzitetaipravca.

BrzinatakeBje

( )B AB Adr dr d d

v rdt dt dt dt

Kakojevektorpoloaja AB

konstantnogintenzitetaipravca,slijedidaje 0d

dt

,paje

B Adr dr

dt dt

odnosno

B Av v

Diferenciranjembrzinepovremenudobijese

B Adv dv

dt dt

odnosno

B Aa a

.

Prema tome, pri translatornom kretanju krutog tijela sve take tijela se kreu na isti nain, imaju iste putanje,vektorebrzinaivektoreubrzanja.

Translatornokretanjetijelaupotpunostijeodreenokretanjemsamojedne,proizvoljne njegovetake.

Uzavisnostiodoblikaputanjetaketranslacijamoebitipravolinijskaikrivolinijska.


21/104

21

OBRTANJEKRUTOGTIJELAOKONEPOKRETNEOSE

Obrtanjekrutogtijelaokonepokretneosejetakvokretanjetijelaprikomebilokojedvijetaketijelaostajuzavrijemekretanjanepokretne.

Nepokretnesuisveostaletakekojesenalazenapravojlinijikojaprolazikroz te dvije take i koja se naziva obrtna osa. Sve ostale take tijelaopisujukruneputanjekojeleeuravnimaokomitimnaobrtnuosuiijisucentrinaobrtnojosi

Poloaj tijelapriobrtanjuodreenjeuglomobrtanja,koji semjeriodreferentne vertikalne nepokretne ravni I i koji se neprekidno mijenjatokomvremena.

Zakonobrtanjatijelaokonepokretneoseiskazujejednaina

=(t).

Poloajkrutogtijelakaocjelinepriobrtanjuokonepokretneose odreenje sajednimnezavisnimparametrom,uglomobrtanja, takoda tijelo imajedanstepenslobodekretanja.

UGAONABRZINAIUGAONOUBRZANJETIJELA

Kinematikekarakteristiketijelakaocjelineprinjegovomobrtanjuokonepokretneosesuugaonabrzinaiugaono

ubrzanje.

Srednjaugaonabrzinajedefinisana zaintervalvremenat=t2t1sa

2 1

2 1

sr

t t

t t t

dokjeugaonabrzinatijelaudatomtrenutkuvremenatveliinakojojteisrednjaugaonabrzinakadaintervalvremenateinuli:

0lim

t

d

t dt

Ugaonabrzinakrutogtijelakojeseobreokonepokretneosejednakajepointenzitetuprvomizvoduuglaobrtanjapovremenu.

Dimenzijaugaonebrzineje

11ugao radijan svrijeme sekund s

Srednjeugaonoubrzanjejedefinisano zaintervalvremena t=t2t1sa

2 1

2 1

sr

t t

t t t

dokjeugaonoubrzanjetijelaudatomtrenutkuvremenatveliinakojojteisrednjeugaonoubrzanjekadaintervalvremenateinuli:

0lim

t

d

t dt

ili

2

2

d d

dt dt

Ugaonoubrzanjetijelakojeseobreokonepokretneoseudatomtrenutkuvremenapointenzitetujejednakoprvomizvodupovremenuugaonebrzineilidrugomizvodupovremenuuglaobrtanjatijela.

Dimenzijaugaonog ubrzanjaje

2

2

ugaona brzina radijans

vrijeme s


22/104

22

Ugaonabrzinaiugaonoubrzanjetijelakojeseobreokonepokretneosejesuvektorskeveliine.

Pravacvektoraugaonebrzine odreenjepravcemnepokreten(obrtne)ose.Vektor

jeusmjerenduobrtne

oseuonu stranu iz koje se vidiobrtanje krutog tijela u smjeru suprotnomodobrtanja kazaljkena satu.Akoje

0,ondajeobrtanjapozitivno, tj.obrtanjesevriusmjerusuprotnomodobrtanjakazaljkenasatu.Akoje 0,ondajeobrtanjanegativno,tj.obrtanjesevriusmjeru obrtanjakazaljkenasatu.

Vektorugaonogubrzanjatakoejeusmjerenduobrtneose.Akoje 0,vektori

i

imajuistismjer.Ako

je 0,vektori

iimajurazliitsmjer.

BRZINETAAKATIJELAKOJESEOBREOKONEPOKRETNEOSE

(Pogledati kinematiku take, kretanje take definisano prirodnimpostupkomspecijalnisluajkretanjatakepokrunojputanji.)

Pri rotaciji tijela oko nepokretne ose sve take tijela opisuju kruneputanje,koje leeu ravninamaokomitimnaosurotacije.Radijalnipravcisvihtaakatijelaprelazeujednakomvremenujednakuglao.

Ako se uoi proizvoljna taka na rastojanju r od obrtne ose (r jepoluprenik krune putanje te take), tada se zakon kretanja take po

krunojputanjimoe iskazati izrazom s r t ,a intenzitetbrzinetake

odreenjesa

ds d d

v r r r r dt dt dt

.

BrzinatakeMtijelaodreenaovim izrazomnazivaseobimna(obrtna) ililinearnabrzinatake.

Ugaonabrzinajekinematikakarakteristikatijelakaocjeline(jednakazasve take tijela), pa su brzine pojedinih taaka tijela pri obrtanju okonepokretneoseproporcionalnerastojanjimatihtaakaodnepokretneose.

Take tijela koje leenanepokretnojosi sunepokretne, tj.brzine su imjednakenuli.

Ojlerovaformula

Vektorbrzine vproizvoljnetake tijelakojeseobreokonepokretneosemoeseodreditipomouOjlerove

formule:

M M Mv r r AO r AO r

jersuvektoriiAO

kolinearni,pajenjihovvektorskiproizvodjednaknuli.

Intenzitetvektorabrzineje

sin , sinM M M Mv r r r r r


23/104

23

UBRZANJATAAKATIJELAKOJESEOBREOKONEPOKRETNEOSE

(Pogledatikinematikutake,kretanjetakedefinisanoprirodnimpostupkomspecijalnisluajkretanjatakepokrunojputanji.)

UkupnoubrzanjeneketakeMtijelakojseobreokonepokretneosemoeserazloitinatangentnuinormalnukomponentu.

2 2 2 4

T Na a a r

2

2

2 2 22 2

T

N

k

dv d d d a r r r r r

dt dt dt dt

v ra r r

R r

VektorubrzanjaproizvoljnetaketijelakojeseobreokonepokretneosemoeseodreditipolazeiodOjleroveformulezavektorbrzinetake:

MM M

M M M T N

drdv d d a r r

dt dt dt dt

r v r r a a

Intenzitetikomponentiubrzanjasu

sin , sinT M M M M a r r r r r

0 2sin , sin 90Na v v v v v r

Nasljedeimslikamaprikazanisusluajevi:a)ubrzanogobrtanja,b)usporenogobrtanjatijelaokonepokretneose.


24/104

24

RAVNOKRETANJEKRUTOGTIJELA

JEDNAINERAVNOGKRETANJAKRUTOGTIJELA

Ravnokretanjekrutogtijelajetakvokretanjeprikomesesvetaketijelakreuparalelnopremanekojnepokretnoj

ravni ,odnosnokadasuvektoribrzinasvihtaakatijelaparalelnipremanekojnepokretnojravni .

SvetaketijelakojeleenapravojM1MM2kojajeupravnananepokretnojravni kreusenaistinain,tj.imajujednaketrajektorije,brzineiubrzanja.ZbogtogajedovoljnoprouitikretanjepresjekaStogtijelauravnixOykojajeparalelnasanepokretnomravni.PresjekSzovemoravnafigura.

PoloajpresjekaSuravnixOyjeupotpunostiodreenakoseznapoloajdvIjutaaka,A(xA,yA)iB(xB,yB),togpresjekauodnosunaDekartovsistemreferencije.PotojerastojanjeizmeutaakaAiBnepromjenljivo,tj.

2 2 2

B A B Ax x y y l

tosuodetirikoordinatetaakaAiBsamotrinezavisne,aetvrtaseodreujeizprethodnejednaine.

Ravno kretanje tijela odreenoje sa tri nezavisna parametra (koordinate), to znai da tijelo ima tri stepenaslobode,tj.moeda izvoditrinezavisnakretanja:dvijetranslacijeduosax iy ijednurotacijuokooseupravnenaravanpresjekaS(ravnefigure).

Konanejednaineravnogkretanjakrutogtijelasu

, ,A A A Ax x t y y t t

Prvedvijejednaineodreujutranslatornokretanjetijela(translacijapolaA),atreajednainaodreujeobrtanjetijelaokoosekojaprolazikrozproizvoljnoizabranpol(polA)uravnifigureSaupravnajenaravanfigure.

RAZLAGANJERAVNOGKRETANJAKRUTOGTIJELA NATRANSLATORNOIOBRTNOKRETANJE

Pri prelasku ravne figure S iz jednog u drugi poloaj (izpoloaja IupoloajII),moemoravnokretanjerazloitinatranslatorno i obrtno kretanje: figuru najprije pomjerimo

translatornotakodasetakaA(pol)poklopisatakomA1,a potom izvrimo rotaciju figure za ugao oko ose kojaprolazikroztaku A1(obrtanjeokopola).

Kinematikekarakteristiketijelakaocjelinepriravnomkretanjutijelasu:vektorbrzineA

v

polaA ivektorubrzanja

Aa

polaApritranslatornomkretanjuravnefigure;vektorugaonebrzinerk

ivektorugaonogubrzanjark

obrtanja

tijelaokoosekojaprolazikrozpolA(ugaonabrzinaiugaonoubrzanjeravnogkretanja).


25/104

25

Sapromjenompolaravne figuremijenjajusekinematikekarakteristike translatornogkretanjatijela,dokugaonekarakteristikekojekarakteriuobrtnokretanjeostajunepromjenjene(nezaviseodizborapola).

BRZINETAAKATIJELAKOJEVRIRAVNOKRETANJE

BrzinaproizvoljnetakeMravnefigureodreenajesa

AM AM A A Mdr dr d d

v r v vdt dt dt dt

Veliina AM

dv

dt

jebrzinakojutakaMimausljedobrtanja

ravnefigureSokooseAkojaprolazikrozpolAaupravnajenaravanfigureS,iovabrzinasenazivaobrtnabrzinatakeMuodnosunapolA.

KoristeiOjlerovuformulumoesenapisatiA

M rkv

pajebrzinatakeM

M A rkv v

.

IntenzitetvektoraobrtnebrzinetakeMuodnosunapolAje

0sin , sin 90AM rk rk rk rk rkv AM

.

Intenzitetobrtnebrzineneketaketijelajesrazmjeranrastojanjutetakeodusvojenogpola,asmjervektorabrzinezavisiodsmjeraugaonebrzineravnogkretanja.

TEOREMAOPROJEKCIJAMAVEKTORABRZINATAAKARAVNEFIGURE

Projekcijebrzinadvajutaakaravnefigure,A B

v i v

,napravukojaspajatedvijetake,jednakesujednadrugoj.

BrzinatakeBodreenajeizrazomA

B A Bv v v

ProjektovanjemovejednainenapravacpraveAB,uzimajuiuobzirda

je ABv AB ,dobijeseizraz

cos cosB A

v v

kojipotvrujeteoremu.


26/104

26

TRENUTNI POL BRZINARAVNEFIGURE

Priravnomkretanjukrutogtijela usvakomtrenutkuvremenapostojiuravnifigure(S)jednatakaijajebrzinajednakanuliitasetakanazivatrenutnipolbrzinaravnefigureS.

NekasuutrenutkutbrzinetaakaAiB,A B

v i v

,pri emuvektoribrzinanisu

meusobnoparalelni.TakaPv ravne figure (S) kojajeodreenapresjekom

pravih 1AA i 1BB ,pri emusuovepraveupravnenavektorebrzina A Bv i v

respektivno, ima u datom trenutku t brzinu jednaku nuli 0Pv

v i to jetrenutnipolbrzinaravnefigure(S) zadatitrenutakt.

Postojanjetrenutnogpolabrzinamoguejedokazatikorienjemteoremeo

projekcijamabrzina:vektorbrzinePv

v

polaPv moraobijednovremenodabudeupravannadvijeprave, 1AA i 1BB ,

tojenemogue,paslijedidateoremaoprojekcijamabrzinamoebitizadovoljenasamoza 0Pv

v

.

Prikretanjuravnefigure(S) poloajtrenutnogpolabrzinaPvsestalnomijenjaisvakomtrenutkuvremenaodgovaraposebanpoloajpolabrzinaravnefigure(S) ,pasestoganazivatrenutnipolbrzina.

Odreivanjebrzinataakaravnefigurepomoutrenutnogpolabrzina

Brzinabilokojetakeravne figure (S)udatomtrenutkuvremenajednakajeobrtnojbrzinitakekojuona imapriobrtanjuravnefigure(S)okoosekojaprolazikroztrenutnipolbrzinaP

v,aupravnajenaravanfigure.

Izdefinicijebrzineproizvoljnetakeravnefigure,ukolikosezapoluzmetrenutnipolbrzina,slijedi

,Pv PvA Pv A B Pv Bv v v v v v

Kakoje 0Pv

v

,slijedidaje ,Pv PvA A B B

v v v v

,aintenzitetiovihbrzinasuodreeniizrazima

,A v rk B v rk

v AP v BP .

Intenzitetbrzinebilo koje take ravne figure (S)jednakjeproizvodu iz rastojanja takeod trenutnogpolabrzina(trenutnogpoluprenikaobrtanja) iugaonebrzineravnogkretanjakrutogtijela.

Trenutnavrijednostugaonebrzineobrtanjaravnefigure(S)odreenajesa

CA B Mrk

v v v v

vv v v

AP BP CP MP

.

Nekiprimjeriodreivanjetrenutnogpolabrzinaravnefigure


27/104

27

UBRZANJATAAKAKRUTOGTIJELAKOJEVRIRAVNOKRETANJE

UbrzanjeproizvoljnetakeMravnefigure(S)dobiemodiferenciranjempovremenuvektorabrzinetetake

A

AM A MM A M

dv dv dvda v v

dt dt dt dt

2 22 2

2 2 2 2( ) AM AM A A Md r d r d d

a r a adt dt dt dt

.

Ubrzanje AM

a

jeubrzanje takeMkojeona imausljedobrtanja ravne figure (S)okoosekojaprolazi krozpolAa

upravnajenaravanfigure(S),inazivaseobrtnoubrzanjetakeMokopolaA.

UbrzanjebilokojetakeMravnefigure(S) jednakojevektorskom(geometrijskom)zbiruubrzanjatakeAkojajeuzetazapoliobrtnogubrzanjatakeMokopolaAprinjenomobrtanjusatelomokoosekojaprolazikrozpolaAaupravnajenaravanfigure(S).

Potosepriobrtnomkretanjuravnefigure(S)takaMkreepokrunojputanji,ijisecentarnalaziupoluAkojitada

smatramodamiruje,toseobrtnoubrzanje AM

a

takeMmoe izrazitiuoblikuvektorskogzbiradvijekomponente

ubrzanja:jedneusmjerenedunormale,adrugeusmjerenedutangentenakrunuputanju,tj.A A A

M MN MTa a a

Komponenta AMNa

naziva seobrtnonormalnoubrzanje takeMokopolaA,a komponenta AMTa

naziva seobrtno

tangentnoubrzanjetakeMokopolaA.

Vektorobrtnog tangentnogubrzanjatakeMokopolaAusmjerenjepotangentinakrunuputanjupriobrtnom

kretanju takeM, tj.uvijekjenormalannavektoru AM

(MT

a AM

) i imasmjerobrtanjakojiodgovara smjeru

ugaonogubrzanjaravnogkretanja.

Vektorobrtnog normalnogubrzanja takeMokopolaAusmjerenjeponormalina krunuputanjupriobrtnom

kretanjutakeM,tj.imapravacnavektoraMA

(MN

a MA

)ismjerodtakeMkapoluA.

Intenzitetiovihkomponenatasu

2

MN rk

MT rk

a AM

a AM

takodajeintenzitetobrtnogubrzanja AM

a

2 2

4 2A A A

M MN MT rk rka a a AM

augaokojivektor AM

a

gradisavektoromAM

odreenjesa


28/104

28

2 2

A

MT rk rk

A

MN rk rk

atg arc tg

a

VektorubrzanjatakeMmoeseodrediti polazeiodOjleroveformulezaobrtnubrzinutakeM:

rkM AM A rk rkA A A

A rk rk M A MT MN

ddv dvd da v

dt dt dt dt dt

a v a a a

TRENUTNI POL UBRZANJA RAVNE FIGURE

PriravnomkretanjukrutogtijelausvakomtrenutkuvremenapostojitakaParavnefigureSijejeubrzanjejednakonuli itatakasenazivatrenutnipolubrzanja.

Poloajtrenutnogpolaubrzanjaodreditisetakodasezakrene

pravacvektoraubrzanjaA

a

neketakeAzaugaousmjeru

ugaonogubrzanja,azatimsenatakokonstruisanompravuprenese

odsjeaka

AP .KrajPaodsjeka aAP jestetrenutnipolubrzanja.

Ugaoiodsjeaka

AP odreenisusa

2 2

A

MT rk rk

A

MN rk rk

atg arc tg

a

,

4 2

Aa

rk rk

aAP

.

TEOREMAOCENTRUOBRTANJAZAKONANOPOMJERANJERAVNEFIGURE (BERNULIALOVATOEREMA)

Ravnu figuru (S)moemopomjeriti izjednogubilokojidrugipoloajuistojravnijednimobrtanjemravnefigureokonekognepokretnogcentraCkojisenazivacentarkonanogobrtanjaravnefigure.

OvateoremanazivaseBernulialovatoeremaiproistieizinjeniceda

sezapolravnefiguremoeizabratibilokojatakafigure.Akoposmatramodvauzastopnapoloaja ravne figure,kojiodgovaraju

trenucima t i t1=t+t , onda seodsjeakABpomjeri upoloaj A1B1 za vrijemet.Ako seovopomjeranjemoeostvaritisamojednimobrtanjem,ondatakeAiBopisujukrunelukovesajednimcentrom,pri emusudui AA1iBB1sjeicetihkrunihlukova.Poznatojeda centarkrugaleinanormali povuenojnasrediniduinesjeice,takodasecentarCkrugamoranalazitiupresjekunormalapovuenih utakamaDiE,kojesusreditaduiAA1iBB1.

TakaCodreenanaovajnainjecentarkonanogpomjeranjaravnefigure(S).

ObrtanjemokotakeCzaugaomoguejeravnufigurupomjeritiizpoloajaIupoloajII.

Ugraninomsluaju,kadavrijemetpomjeranja figureteinuli,poloajcentraCrotacijeravne figurejestetakanepokretne ravni sa kojom se u datom trenutku vremena poklapa trenutni pol brzina Pv ravne figure. Svakomnarednompoloaju ravnefigureodgovaraposebanpoloajcentrarotacije.


29/104

29

OBRTANJEKRUTOGTIJELAOKONEPOKRETNETAKE

(SFERNOKRETANJEKRUTOGTIJELA)

JEDNAINESFERNOGKRETANJAKRUTOGTIJELA

Kretanjekrutogtijela,prikomebilokojatakatijelaprikretanjuostajenepokretna,nazivaseobrtanjekrutogtijelaokonepokretnetakeilisfernokretanjekrutogtijela.

Poloajtijela

pri

obrtanju

oko

nepokretne

ta

kejednozna

no

je

odre

en

poloajem

pokretnog

sistema

referencije

O(sistemkojije vrstovezanzatijelo)uodnosunanepokretnisistemreferencijeOxyz,pri emujenepokretnatakaOishoditeovihkoordinatnihsistema.

Jedan od postupaka kojim se definie poloaj pokretnog sistema referencije u odnosu na nepokretni sistemreferencijejeOjlerovpostupak.OjlerjepokazaodasepoloajtijelapriobrtanjuokonepokretnetakejednoznanomoeodreditiprekotriuglakojiseponjemunazivajuOjleroviuglovi:

ugaoprecesije

ugaonutacije

ugaosopstvenerotacije

NekaseupoetnomtrenutkuvremenapokretnisistemreferencijeO poklapasanepokretnimsistemomreferencijeOxyz.Prekotriuzastopnanezavisnaobrtanja(rotacije)tijela:zaugaookooseOz,zatimzaugaooko

vorneoseON, ikonano,zaugao okooseO,moesepokretnisistemreferencijeO(pokretnotijelo)prevestiubilokojipoloajuodnosunanepokretnisistemreferencijeOxyz(nepokretnotijelo).

Priobratnjukrutogtijelaokonepokretnetakeuglovi , imijenjajusetokomvremenaionisunekefunkcijevremenat,

=f1(t) =f2(t) =f3(t).

Ovejednaineupotpunostiodreujukretanjetijelaokonepokretnetakeinazivajusekonanejednaineobrtanjakrutogtijelaokoneporetnetakeilikonanejednainesfernogkretanjakrutogtijela.

OsaONokokojetijelovriobrtanjezaugaonutacijenazivasevornaosa.


30/104

30

OJLERDALAMBEROVATEOREMA

Svakopomjeranjekrutogtijela,kojeimajednunepokretnutakuO izjednogpoloajaudrugipoloaj,moese izvritijednimobrtanjemtog tijela oko ose konane (ekvivalentne) rotacije koja prolazi kroznepokretnutakuO.

Nekajeutrenutrkutpoloajtijelaodreen poloajemtaakaAi

B na sferi, a u trenutku t1=t+t poloaj tijela odreenje poloajem

taaka A1i B1. Jednim obrtanjem tijela oko neke ose koja prolazi kroztakuOmoguejetakeA iBnasferiprevestiupoloaj A1 iB1na tojsferi.SpojimotakeAiA1iBiB1lucimavelikihkrugovaiizsredinelukova

1AA i

1BB povuemo sferne normale, koje su takoe lukovi velikih

krugova,tesfernenormale esesjeiutakiPnapovrinisfere.SfernitrougloviABPi A1B1Psupodudarni,jersuimsfrenestranicejednake.Natajnainpomjeranje tijelamoe se izvritijednimobrtanjem tijelaokoose OP i ta osa se naziva osa konanog obrtanja (osa ekvivalentnog

obrtanja),augaoAPA1=nazivaseugaokonanogobrtanja.

OjlerDalamberova teoremapredstavlja geometrijsku interpretacijuobrtanja krutog tijelaokonepokretne

take, a stvarno prevoenje tijela izpoloaja koji odgovara trenutku t upoloaj koji odgovara trenutku t1=t+t

jednimobrtanjem

oko

ose

kona

nog

obrtanja

zaugao

uopte

ne

predstavlja

stvarno

pomjeranje

tijela.

Ukoliko

su

manji intervali vremenatutoliko epomjeranje tijela biti blie stvarnom pomjeranju. Poloaj ose OP zavisi odpoetnogikonanogpoloajatijela.

Naime,intervalvremenatmoemopodjelitinavelikibrojmalihpodinetrvalat1,t2,t3,...Svakomodtihmalih podintervala odgovara neki poetni i konani poloaj tijela, tako da je konani poloaj iz prethodnogpodintervalavremenaujednopoetnipoloaj zanarednipodintervalvremena. Svakompodintervaluodgovarapojednaosakonane(ekvivalentne)rotacije,pomoukojesesfernokretanjetijelautompodintervalumoeprikazatikaoobrtanjeokonepokretneose.Doksvetakenaosikonanerotacijemiruju,ostaletaketijelaopisujudijelovekrunih lukova sa centrima na toj osi, u ravnima normalnim na osu. Ako se sferno kretanje prikazuje kao niz

uzastopnihobrtanjaokoskupaosakonanih(ekvivalentnih)rotacijaumalimkonanimpodintervalimavremenat1,t2,t3,...,tadaseovakvimopisompruapriblinapredstavaokretanjutijela.

Meutim, kada pustimo da svaki od podintervala vremena kretanja tijela tei ka nuli, tada u svakom

infinitezimalnompodintervaludttijelovrielementarnosfernokretanjeobruiseokotzv.trenutneoseobrtanja.Drugimrijeima, kadasepreenagraninisluaj,kadat0,lukoviABiA1B1suveomabliskijedandrugomitadaosakonanogobrtanjamijenjasvojpoloajteeigraninompoloaju,ukojemsenazivatrenutnaosaobrtanjazadati trenutak vremena t. Trenutna obrtna osa predstavlja geometrijsko mjesto taaka tijela koje se obre okonepokretnetakeijesubrzineudatomtrenutkuvremenajednakenuli.

Sve take tijelana trenutnojobrtnojosimiruju,aostale take tijelaopisujuelementarnedijelovekrunihlukovauravnimanormalnimnaosu,ijisucentirnatrenutnojosi.

TRENUTNAUGAONABRZINAITRENUTNOUGAONOUBRZANJETIJELAKOJESEOBREOKONEPOKRETNETAKE

SrednjaugaonabrzinatijelamoeseizrazitikaokolinikuglazakojisetijeloobrneokotrenutneobrtneoseOPiodgovarajuegintervalavremena

srt

a intenzitetvektoretrenutneugaonebrzinejednakjegraninojvrijednostikojojteisrednjaugaonabrzinakadapustimodaintervalvremenateinuli

0lim

t t

.

VektortrenutneugaonebrzineusmjerenjedutrenutneobrtneoseOP.


31/104

31

Meutim,ugaonabrzinanemoeseodreditiizvodomnekoguglapovremenu,tj.

0lim

t

d

t dt

jerpriobrtnjukrutogtijelaokonepokretnetakenepostojitakavugao,ve sepoloajtijelaodreujesatrinezavisnaobrtanja(Ojleroviuglovi).

Trenutnaobrtna osatokomkretanjatijelamijenjasvojpoloaj,alistalnoprolazikroznepokretnutakuO.Akodu

trenutneobrtneoseOPuvedemojedininivektor 0

ondasevektor

moenapisatikao

0

.Vektor

trenutne ugaone brzine mijenja se tokom vremena po intenzitetu i po poravcu, tako da se i vektor

trenutnog ugaonog ubrzanja, odreen prvim izvodom po vremenu vektora trenutne ugaone brzine, takoemijenjatokomvremenapointenzitetuipravcuinepoklapasesapravcemvektoratrenutneugaonebrzine.

00 0 1 2dd d d

dt dt dt dt

.

Komponentatrenutnogugaonogubrzanja 1 0d

dt

karakteriepromjenuintenzitetavektoratrenutneugaone

brzine

iimapravactrenutneobrtneose,apoetakvektoranalaziseunepokretnojtakiO.

Komponentatrenutnogugaonogubrzanja 02 1 0 1d

dt

karakteriepromjenupravcavektora

trenutneugaonebrzine.Pravacvektora 2upravanjenaravanvektora 1

i 0

,gdjejesa 1

oznaenaugaona

brzinaobrtanjavektora

.Poetakvektora 2nalazisetakoeunepokretnojtakiO.

Trenutnaugaonabrzinajezajednikakinematikakarakteristikazasvetaketijelakojeseobreokonepokretne

take.

OJLEROVEKINEMATIKEJEDNAINE

Sobziromdaseobrtanjetijelaokonepokretnetakesastojiiztrinezavisnaobrtanja,moesetrenutnaugaonabrzinaodrediti polazeiodkonanihjednainakretanjakrutogtijelaokonepokretnetake,tj.izOjlerovihuglova.

Srednjeugaonebrzineokoodgovrajuihosa odreenesusa , ,dt dt dt

,agraninevrijednostiovihsrednjih

ugaonihbrzinasu

0

0

0

lim

lim

lim

t

t

t

dugaona brzina precesije

t dt

dugaona brzina nutacije

t dt

dugaona brzina sopstvene rotacije

t dt

OvivektoriugaonihbrzinausmjerenisuduodgovarajuiosarotacijeOz,ONiO,takodajevektortrenutneugaone

brzinetijelakojeseobreokonepokretnetakeodreenvektorskimzbiromkomponentnihugaonihbrzina

.


32/104

32

Vektor moe se projektovati na ose pokretnog i ose nepokretnog koordinatnog sistema. Projekcije

vektora trenutneugaonebrzinena osepokretnog koordinatnog sistema inaosenepokretnog koordinatnog

sistema

nazivajuseOjlerove

kinemati

ke

jedna

ine,

jer

su

teprojekcije

izraene

preko

Ojlerovih

uglova:

sin sin cos

sin cos sin

cos

sin sin cos

sin cos sin

cos

x

y

x

Intenzitetvektoratrenutneugaonebrzineodreenjesa

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 cos

2 cosx y z

Ako su Ojlerovi uglovi poznate funkcije vremena, ondaje mogue odrediti u svakom trenutku vremena vektortrenutneugaonebrzine

,atimeipoloajtrenutneobrtneoseOP,jerjevektor

usmjerenduteose.

BRZINEIUBRZANJATAAKATIJELAKOJESEOBREOKONEPOKRETNETAKE

Brzina proizvoljne take M krutog tijela koje se obre oko nepokretne take odreenaje primjenom Ojleroveformule

M Mv r

gdjejeM

r

vektorpoloajatakeMmjerenodnepokretnetakeO.

Kakojeugaonabrzinaodreenazadatitrenutakvremena,takojeibrzinatakeMdefinisanasamozadati

trenutakvremena.

Moe se rei: U proizvoljnom trenutku vremena t trenutni raspored brzina taaka tijela koje se obre okonepokretnetakejestetakavkaokodtaakatijelakojeseobreokonepokretneosekojaprolazikroznepokretnutakuO,uovomsluajuokotrenutneobrtneoseOP.

IntenzitetvektorabrzinetakeMje

sin ,M M M Mv r r r h

gdjeje hnormalnorastojanje(najkraerastojenje)takeModtrenutneobrtneoseOP.


33/104

33

VektorbrzinetakeMmoesenapisatiuobliku:

M x y z

e e e i j k

v v r

x y z

.

UbrzanjeproizvoljnetakeMkrutogtijelakojeseobreokonepokretnetakeodreenojekaoprviizvodpovremenuvektorabrzine:

dv d d dr a r r r v

dt dt dt dt

r r a a

tj.ubrzanjeproizvoljnetakeodreenojevektorskimzbiromdvijukomponenata.

PrvakomponentaubrzanjanazivaseobrtnoubrzanjetakeMiodreenajesa:

1 2 1 2 0 1 1 2d

a r r r r r r a adt

.

DrugakomponentanazivaseaksipetalnoubrzanjetakeMiodreenajesa

a v r

.

ODREIVANJEPOLOAJATRENUTNEOBRTNEOSE

TrenutnaobrtnaosaOPtokomvremenamijenjasvojpoloajuprostoruprolazeistalnokroznepokretnutakuO.Buduidaje svakapravaodreenapoloajemdvije take,druga taka trenutneobrtneosemoe seodrediti izsvojstvadasvetakekojeleenatrenutnojobrtnojosiimajubrzinujednakunuli,

0x y z

e e e i j k

v r

x y z

Ovajednaina bie zadovoljena ukoliko su projekcije brzina na ose pokretnog i ose nepokretnog koordinatnogsistemajednakenuli,aizovoguslovaslijedejednainetrenutneobrtneoseuodnosunapokretnisistemreferencije

OiuodnosunanepokretnisistemreferencijeOxyz:

x y z

x y z

.


34/104

34

OPTEKRETANJESLOBODNOGKRUTOGTIJELA

JEDNAINEOPTEGKRETANJASLOBODNOGKRUTOGTIJELA

Optekretanjeslobodnogkrutogtijelajestetakvokretanjeprikomesetijelomoebilokakopomjeratiuprostoru.

Odreivanjepoloaja tijelaprikretanjusvodi senaodreivanje

poloaja pokretnog koordinatnog sistema O (kojije vrstovezan za pokretno tijelo) u odnosu na nepokretni sistemreferencijeOx1y1z1.PoloajtijelaprikretanjuuodnosunasistemreferencijeOxyz(kojijevrstovezanzatakuOpokretnogtijela)odreenjeprekotriOjlerovaugla, i,asobziromdase isampolOkree,poloajpolaOuodnosunanepokretnisistemreferencijeodreenjesatrikoordinatex1O,y1Oiz1O.Natajnain

jepoloajapokretnogkoordinatnog sistemaOuodnosunanepokretni sistem referencije Ox1y1z1 odreen sa est

generalisanihkoordinata:x1O,y1O,z1O,, i.

To znai da slobodno tijelo koje vri opte kretanje ima eststepenislobode,tj.moedavriestnezavisnihkretanja,tri translacijeduosanepokretnogkoordinatnogsistemai

trinezavisnerotacijeokoosakojeprolazekrozpolO,tojeodreenoOjlerovimuglovima.Konanejednaineoptegkretanjaslobodnogkrutog tijela ilizakonoptegkretanjaslobodnogkrutog tijela imajuoblik

x1O=f1(t ) y1O=f2(t) z1O=f3(t)

=f4(t) =f5(t) =f6(t).

Prve trijednaineodreuju translacijupolaO zajednosa sistemom referencijeOxyz, tj.prenosnokretanjekrutog

tijelakojejeodreenovektorombrzineO

v

i vektoromubrzanjaO

a

.

Posljednje trijednaineodreujuobrtanjekrutogtijelaokopolaO,tj.relativnokretanjekrutogtijelauodnosunasistemreferencijeOxyz.

BRZINETAAKATIJELAKOJEVRIOPTEKRETANJE

PoloajproizvoljnetakeMuodnosunanepokretnisistemreferencijeodreenjevektorompoloaja

M O Mr r

gdjejeO

r

vektor poloaja pokretnog pola O, aM

je vektor poloaja

takeMuodnosunapokretnipolO.

BrzinatakeModreenajesa

OM M

M O M O M

drdr dd

v r vdt dt dt dt

Druga komponenta odreuje brzinu take M tijela pri njegovom obrtanju oko pola O kao nepokretne take, tj.O

M Mv

,takodajebrzinatakekrutogtijelaprinjegovomoptemkretanju

O

M O Mv v v

.


35/104

35

Brzinaproizvoljne takeMprioptem kretanju slobodnog krutog tijelajednakaje vektorskom zbiru translatorne

brzineO

v

pokretnogpolaO iobrtnebrzine OM

v

kojutakaM imakadasetijeloobreokopolaOkaonepokretne

take,odnosnookotrenutneobrtneosekojaprolazikrozpolO.

UBRZANJETAAKATIJELAKOJEVRIOPTEKRETANJE

VektorubrzanjaproizvoljnetakeModreenjeprvimizvodompovremenuvektorabrzinetakeM:

O O OM MM O M M Mdv dvdv dd d da v vdt dt dt dt dt dt dt

OvujednainumoemonapisatiuoblikuO O

M O M M O Ma a v a a

.

VektorO

a

predstavljatranslatornoubrzanjeusljedkretanjapolaO,dokkomponente OM M

v

predstavljaju

dioubrzanjatakeMkojinastajeusljedobrtanjatijelaokopolaOikojisenazivaobrtnoubrzanjetakeMokopola

O, OM

a

.

UbrzanjeproizvoljnetakeMprioptemkretanjuslobodnogkrutogtijelajednakajevektorskomzbirutranslatornog

u brzanjaO

a

pokretnog pola O i obrtnog ubrzanja OM

a

koje taka M ima kada se tijelo obre oko pola O kao

nepokretneta

ke,odnosno

oko

trenutne

obrtne

ose

koja

prolazi

kroz

pol

O.


36/104

36

SLOENOKRETANJETAKE

RELATIVNO,PRENOSNOIAPSOLUTNOKRETANJETAKE

NekasetakaMkreepotijeluzakojejevrstovezansistemreferencijeOinekaseistovremenotijeloproizvoljnokree uodnosunanepokretnisistemreferencijeO1xyz,tj.pokretnisistemreferencijeOkreesenaproizvoljnanainuodnosunanepokretnisistemreferencijeO1xyz.

KretanjetakeMuodnosunapokretnisistemreferencijeO(pokretnotijelo)nazivaserelativnokretanjetake.

KretanjetakeMuodnosunanepokretnisistemreferencijeO1xyz(nepokretnotijelo)nazivaseapsolutnokretanjetakeilisloenokretanjetake.

KretanjepokretnogsistemareferencijeO(pokretnotijelo) uodnosunanepokretnisistemreferencijeO1xyz(nepokretnotijelo)nazivaseprenosnokretanje.

Uvezisasloenimkretanjemtakeuvodisepojamapsolutne,relativneiprenosnebrzinetakeipojamapsolutnog,relativnogiprenosnogubrzanjatake.

Apsolutnabrzina viapsolutnoubrzanje a

takeMsubrzinaiubrzanjekojetakeMimaprikretanjuuodnosuna

nepokretnisistemreferencijeO1xyz.

Relativna brzinar

virelativnoubrzanje

ratakeMsubrzinaiubrzanjekojetakeMimaprirazmatranjuukretanja

takeuodnosunapokretnisistemreferencijeO.

Prenosna brzina pv iprenosno ubrzanje pa takeMsuapsolutna brzinaiapsolutnoubrzanjeonetakepokretnog

tijela zakojejevrstovezanpokretnisistemreferencijeOsakojomseudatomtrenutkuvremenapoklapapokretnatakaM.

APSOLUTNABRZINATAKE

Poloajpokretnogsistemareferencije O uodnosunanepokretnisistemreferencijeO1xyz odreenjevektorompoloaja

Or

polaOijedininimvektorima , ,e e e

pokretnihosa.

PoloajtakeMuodnosunapokretnisistemreferencijeO

odreenjevektorompoloaja

M e e e

aakojevektorpoloajatakeMpoznatafunkcijavremenaondajerelativnokretanjetakepoznato.

PoloajtakeMuodnosunanepokretnisistemreferencijeO1xyzodreenjevektorompoloaja:

M O M Or r r e e e

priemusupromjenljivenesamoveliineO

r

i,,,ve ijedininivektori , ,e e e

kojimijenjajupravacprilikom

obrtanjapokretnogsistemareferencijeokopolaO.

ApsolutnabrzinatakeMjednakajeprvomizvodupovremenuvektorapoloaja Mr

takeM:

OM MM

drdr dv v

dt dt dt

.

Pri tomejeapsolutniizvodvektorapoloajaM

odreenizrazom:

M de de ed d d d

e e edt dt dt dt dt dt dt


37/104

37

Uzimajuiuobzirdasuizvodijednininihvektorapokretnihosaodreenirelacijama

de de dee e e

dt dt dt

toseapsolutniizvodvektoraM

moenapisatiuobliku

M

r M

r p M

d d d d e e e e e e

dt dt dt dt

d

e e e vdt

U prethodnojjednainije sap

oznaena trenutna ugaona brzina prenosnog kretanja pokretnog sistema

referencijeO (pokretnogtijela),dokjesa r Md

dt

oznaenrelativni izvodvektorapoloaja,kojiodreujevektor

relativnebrziner

v

.

Relativnabrzinatake

r Mr

d d d dv e e e

dt dt dt dt

,

predstavljabrzinutakeMpodpretpostavkomdasemijenjajusamorelativnekoordinate , , dokostalivektori

ostajukonstantni,tj.pretpostavljasedapokretnisistemreferencijeuslovnomiruje.ApsolutnabrzinatakeMje:

OM MO p M r

drdr dv v v

dt dt dt

AkozamislimodajetakaM vrstovezanazapokretnotijelo(pokretnisistemreferencije),ondajenjenarelativna

brzinajednakanuli, 0r

v

,paizprethodnogizrazadefiniemoprenosnubrzinutakeM

p O p Mv v

.

Prenosnabrzina takeMpredstavljabrzinu takeMpodpretpostavkomda takaMne vri relativno kretanjeuodnosu na pokretno tijelo (pokretni sistem referencije), ve je taka vrsto vezana za pokretno tijelo i kree sezajednosanjimuodnosunanepokretnisistemreferencije.

Sobziromda tijelovriopte kretanjeuprostoru, tojebrzinabilokojenjegove take (uovom sluajuprenosnabrzinatakeM) odreenavektorskimzbirombrzine

Ov

polaOiobrtnebrzinep M

usljedobrtanjapokretnog

tijelaokopolaO.

Konano,apsolutnabrzinatake prinjenomsloenomkretanjuje:

p rv v v

tj.apsolutnabrzinatakeMjednakajevektorskomzbiruprenosneirelativnebrzinetake.

Akopokretnotijelovriravnokretanje,tj.prenosnokretanjetake jeravnokretanje,prenosnabrzinaseodreujeobrascem

O

p O rk M O Mv v v v

.

Akopokretno

tijelo

vri

obrtanje

oko

nepokretne

ose,

odnosno

nepokretne

ta

ke,onda

je

prenosna

brzina

p p Mv

.

Akotijelovritranslatornokretanje,ondajeprenosnabrzinap O

v v

.


38/104

38

APSOLUTNO UBRZANJE TAKE

ApsolutnoubrzanjetakeMprisloenomkretanjutakeodreenojeprvimizvodompovremenuvektoraapsolutnebrzinetakeM:

O p M r

pO M rM p

dv da v v

dt dt

ddv d dv

dt dt dt dt

Apsolutniizvodrelativnebrziner

vtakeModreenjenaistinainkao

iapsolutniizvodvektoraM

,tj.

r r rp r r p r

dv d vv a v

dt dt

RelativnoubrzanjetakeMjeuprethodnomizrazu

2 2 2 2

2 2 2 2

r r r M r

d v d d d da e e e

dt dt dt dt dt

ionokarakteriepromjenurelativnebrziner

vpodpretpostavkomdapokretnisistemreferencijemiruje.

Apsolutnoubrzanjetakesvodisenaoblik:

2

pO M rM p O p M p r p M r p r

O p M p p M r p r

ddv d dva a v a v

dt dt dt dt

a a v

pri emujeO

a

ubrzanje pola O, ap

je vektor trenutnog ugaonog ubrzanja pokretnog tijela (ugaono ubrzanje

prenosnogkretanja).

Prenosnoubrzanje take Mmoe se odrediti ako zamislimoda take Mne vri relativno kretanje, ve je vrstovezanazapokretnotijelo,takodasurelativnabrzinairelativnoubrzanjejednakinuli.

Ondajeprenosnoubrzanjetake,kadapokretnotijelovrioptekretanje,odreenosa

O

p O p M p p M O p M p Ma a a v

.

Uizrazuzaapsolutnoubrzanjetakefiguriekomponenta 2 p rv

,kojapredstavljaKoriolisovoubrzanje:

2cor p r

a v

.

Konano,apsolutnoubrzanjetakeodreenojerelacijom

p r cora a a a

.

tj. apsolutno ubrzanje take pri njenom sloenom kretnajujednakoje vektorskom zbiru prenosnog, relativnog iKoriolisovogubrzanja.Potouoptemsluajuvektoriprenosnog,relativnogiKoriolisovogubrzanjanisumeusobnoupravni, intenzitet apsolutnog ubrzanja take M mogueje odrediti ako se nau projektcije vektora apsolutnogubrzanjanatriupravneose

x px rx corx

y py ry cory

z pz rz corz

a a a aa a a a

a a a a

pajetada

2 2 2

x y za a a a .


39/104

39

KONSTRUKCIJAKORIOLISOVOGUBRZANJA

Koriolisovoubrzanjekarakterieuzajamnodejstvoprenosnogirelativnogkretanjatakeiodreenojesa

2cor p r

a v

NazvanojepofrancuskomnaunikuG.Koriolisu(17921843).

IntenzitetKoriolisovogubrzanja odreenjesa

2 sin ,cor p r p r a v v

Pravacvektoracora

upravanjenaravankojuobrazujuvektori

p

irv

, asmjermujetakavdaseposmatranoizvrha

vektoracor

a

vidiobrtanjezanajmanjiugaoodvektorap

kavektorur

vusmjerusuprotnomodobrtanjakazaljke

nasatu.

Koriolisovoubrzanjejednakojenulikadaje:

a)

Prenosnokretanjetranslatorno,ondaje 0p

b)

Kadasuvektorip

ir

v

kolinearni

c)

U trenucima kadaje relativna brzinajednaka nuli 0rv

ili kadaje ugaona brzina prenosnog kretanja

jednakanuli 0p

.


40/104

40

DINAMIKA


41/104

41

OSNOVNIPOJMOVIIZAKONIDINAMIKE

Dinamikajedioteorijskemehanikeukomeseizuavajuzakonikretanjameterijalnihtijelapoddejstvomsila.

Dinamikumoemorazdijelitina:

Dinamiku materijalne take (Ako se dimanzije tijela pri kretanju mogu zanemariti, onda kaemo daje upitanjumaterijalnataka,kojaserazlikujeodgeometrijsketaketimetoimakonanumasu.)

Dinamiku sistemamaterijalnih taaka i krutog tijela (Podmaterijalnim sistemompodrazumijeva se sistemmaterijalnihtaaka,kojezahvaljujuipostojanjuvezaizmeutaakanemogudasekreunezavisnojednaoddruge.Akosumaseunekomdijeluprostoraneprekidnorasporeene,tadataakaimabeskonanomnogoisistem obrazuje neprekidnu sredinu, a oblast prostora ispunjena neprekidno rasporeenom masompredstavljametrijalnotijelo.Krutotijelojeonokojepoddejstvomsilanemijenjasvojoblikidimenzije.)

Osnovnizakonidinamike:

Formulisao ihjeNjutn 1687. godineu svomdjelu Matematikiosnoviprirodne filozofije i ti zakoni su nazvaniNjutnovizakoni ilizakonikretanja.Njutnovizakonisuobjektivnizakoniprirode,ustanovljeninaosnovuopaanja ieksperimenatakakosamogNjutnatakoinjegovihprethodnika.

PrviNjutnovzakonzakoninercije:Materijalnataka(tijelo)ostajeustanjumirovanjailiravnomjernogpravolinijskogkretanja,dokpoddjelovanjemsilenebudeprinuenadatosvojestanjepromjeni.Ovimsedefinieinertnosttijela.Akosetijelonekreeravnomjerno ipravolinijski,ondaseononalazipoddejstvomdrugihmaterijalnihtijela,aovodejstvoumehanicipredstavljasilu.Koliinskamjeramehanikoguzajamnogdejstvamaterijalnihtijelanazivasesila.

Ipak,kaomjeramehanikogkretanjauzimasekoliinakretanja,tj.proizvodvektorabrzineimasetijela, K mv

.INjutnovzakonmoeseiskazatiinaovajnain:

Ako na materijalnu taku ne djeluje nikakva sila onda je koliina kretanja te materijalne take konstanta, tj.

K mv const

.

DrugiNjutnovzakonosnovnizakondinamike:

a) Brzinapromjenekoliinekretanjamaterijalnetake(tijela)jednakajepointenzitetu,pravcuismjerusilikoja

dejstvujenamaterijalnutaku(tijelo).

dK d

mv Fdt dt

.

OvajzakonNjutnjeiskazaojednainom: 0 0m v v F t t .Ojlerjedijeljenjemjednainesa 0t t iprelaenjemnagraninuvrijednostdobio

0

0

limv v

m ma F t t

iiskazaoIINjutnovzakonuobliku:b)

Promjenakretanjaproporcionalnajesiliivriseupravcusile,tj.intenzitetsilekojadejstvujenameterijalnu

takusrazmjeran jemasiiintenzitetunjenogubrzanja,doksepravacismjersileiubrzanjapoklapaju

d

mv Fdt

odnosno ma F

.

Ovajednainajenasnazisamouodnosunainercijalnisistemreferencije,tj.koordinatnisistemkojijenepokretanili

sepomjera

translatorno

konstantnom

brzinom

(koordinatni

po

etak

vri

jednoliko

pravolinijsko

kretanje).

Trei Njutnov zakonzakon dejstva i protivdejstva (zakon ojednakosti akcije i reakcije): Dejstvu (akciji) uvijekjejednakoprotivdejstvo(reakcija), ilidvatijeladejstvujujednonadrugusilama istih intenziteta ipravacaasuprotnih

smjerova.

Poredovihosnovnihzakona,u dinamicisekoristiisvetojeopojmusileuvedenoustatici(npr.paralelogramsila,principveza,oslobaanjeodveza).


42/104

42

DINAMIKAMATERIJALNETAKE(KINETIKAMATERIJALNETAKE)

Podmaterijalnom takompodrazumijevamomaterijalnotijeloodreenekonanemaseamalihdimenzija,takodasemoesmatratidajecjelokupnamasakoncentrisanaujednojgeometrijskojtaki.

Problemi kojerjeavadinamikamogusepodijelitinadvaosnovnapitanja:

Kolike siledejstvujuna takuakojepoznatonjenokretanje?Rjeenjeovogpitanjaproizilazidirektno iz IINjutnovogzakona,tj.akojepoznatzakonkretanjameterijalnetake,trebaodreditisilekojeproizvodetokretanje.

Kakvojekretanjetakeakosupoznatesilekojedejstvujunataku?Ovajzadatakrjeavase integraljenjemdiferencijalnihjednainakretanja,tj.akosupoznatesilekojedejstvujunametrijalnu taku,kretanjetakeseodrediintegraljenjemdiferencijalnihjednainakretanja.Utehniciuglavnomrjeavamoovodrugopitanje,kojesenazivaiosnovnizadatakdinamike.

Zadatak dinamike take je postavljanje diferencijalnih jednaina kretanja i njihovo integraljenje. Diferencijalnejednainekretanjamaterijaletakeizvodeseizosnovnogzakonadinamke IINjutnovog zakona.

DIFERENCIJALNEJEDNAINEKRETANJASLOBODNEMATERIJALNETAKE

PosmatramokretanjeslobodnematerijalnetakeMmasem,nakojudejstvujesistemsila 1 2, , ..., nF F F

.Ako

jepoloajmaterijalnetakeMuodnosuna inercijalnisistemreferencijeodreenvektorompoloaja r

ondadrugizakondinamikeglasi

1

n

i

i

ma F

odnosno 2

2 , ,

d rm F r v t

dt

.

SilaF,odnosnosileFi,uoptemsluaju,zavisiodpoloajatake,njenebrzineivremena.

Ovajednainapredstavljadiferencijalnujednainukretanjatakeuvektorskomobliku.

Jednainuje mogue projektovati na ose utvrenog sistema referencije i tada se dobijaju razni oblici skalarnihdiferencijalnihjednainakretanjamaterijalnetake.

a)

Dekartovkoordinatnisistem

, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,mx X x y z x y z t my Y x y z x y z t mz Z x y z x y z t

Uovimjednainamasu , ,x y z projekcijevektoraubrzanja atakenaoseDekartovogsistemareferencije,a

, ,X Y Zsuprojekcijerezultujuesile FkojadejstvujenatakunaoseDekartovogsistemareferencijeOxyz.

b) Polarnekoordinate

;r r

ma F ma F , odnosno

21 1

; 2n n

ir i

i i

m r r F m r r F

c)

Prirodnekoordinate

; ;t t n n b b

ma F ma F ma F .

Za2 2 2

2 ; ; 0

t n b

k k

dv d s v sa s a a

dt dt R R

, imamo

2 2

2 ; ; 0

t n b

k

d s vm F m F F

dt R .

Primjer:Kosihitac

Odreditizakonkretanjamaterijalnetakemasemkojojjeupoetnomtrenutku 0 0t saoptenapoetnabrzina 0v

poduglomuodnosunahorizontalu.Zanemaritiotporvazduhaprikretanjutake.

Rjeenje:

1.

UsvajamoDekartov koordinatni sistem i poetak sistema postavljamo u poetni poloaj take. Taka se

kreeuravninixOz ,takodaprikazujemokoordinatnisistemuovojravni.


43/104

43

2. Crtamo materijalnu taku u proizvoljnom poloaju na putanji i prikazujemo sile koje dejstvuju na taku

tokomkretanja.UovomsluajunamaterijalnutakudejstvujesamosilateeG

.

3.

PolazeiodIINjutnovogzakona1

n

i

i

ma F

,piemovektorskujednainu

ma G

Iprojektujemojenakoordinatneose,imdobijamodiferencijalnejednainekretanjatake

0 0mx x

mz G mg z g

4. Integraljenjemovihjednainadvaputadobijemooptarjeenjaukojimfiguriuintegracionekonstante

1 1 2

2

3 3 4

2

x C x C t C

tz gt C z g C t C

5.

Integracionekonstanteodredimoizpoetnihuslovakretanja,tj.poloajatake 0 00, 0x z ibrzine

take 0 0 0 0cos , sinx v z v upoetnomtrenutku 0 0t .Uvrtavanjemovihpoetnihuslovauoptarjeenjadefiniemovrijednostintegracionihkonstanti:

0 0 1 0

0 2

0 0 3 0

0 4

cos cos

0 0

sin sin

0 0

x v C v

x C

z v C v

z C

6.

Sadaizraunatekonstanteuvrstimouoptarjeenjadiferencijalnihjednainekretanjatakeidobijemo

jedna

inekoje

predstavljaju

zakon

brzine

materijalne

ta

keizakon

kretanja

materijalne

ta

ke:

Zakonbrzinetake: 0 0cos sinx v z gt v

Zakonkretanjatake:2

0 0cos sin2

tx v t z g v t

7.

Eliminacijomvremena tizzakonakretanjaodreujemojednainuputanjetake:

2

2 2

0 0cos 2 cos

x g xt z x tg

v v

Oiglednodajeputanjatakeparabola.

8.

Domettakejestekoordinata Dx onogpoloaja Dnahorizontalnojravnigdjeepokretnatakapastipozavrenomslobodnomkretanju.Odredimogaiz uslovadajekoordinata 0Dz .Akostavimouzakonu

kretanjadaje 0D

z ondamoemoodredititrenutakvremenaD

t kojemodgovaraovavrijednost

koordinatez.Tojevrijemekojejepotrebnotakidapreeputanjuodpoetnogpoloajadokonanogpoloajakadaudarauhorizontalnupodlogu,tj.ukupnovrijemeletatake iznosi

02 sinD

vt

g

.


44/104

44

Domettakeje: 2

0sin 2D D

vx x t

g

.

Kakoje sin 2 sin 2 sin 22

,proizilazidasezajednupoetnubrzinuidvijevrijednosti

ugla ',2

dobijeistidomet(poloeniistrmikosihitac).Maksimalnidometimamoza 045

iiznosi

2

0

maxD

v

x g .

9.

Maksimalnavisinahica,tj.maksimalnavisinapenjanjamaterijalne takeodgovrarapoloajutjemenaparabole.Odrediseizuslovadajetangentanaputanjutakeutjemenuparabolehorizontalna,tj.paralelnaosix.Kakojevektorbrzinetakeodreenpravcemtangentenaputanju,toznaidamaterijalnatakeu

najviempoloajunaputanjiimasamohorizontalnukomponentubrzine,tj.x

v v

,dokje 0zv z .

Upravoizovoguslova, 0z

v z ,odredimotrenutakvremena 0sin

h

vt

g

ukojemsepokretnataka

nalaziutjemenuparabole.

Maksimalnavisinahicaje: 2 2

0sin

2h h

vz z t

g

.

Zbogsimetrinostiputanjetakeje2D

h

xx .Visinakosoghicazavisisamoodzkomponentepoetne

brzine,tj. 0 0sinz v .

DIFERENCIJALNEJEDNAINEKRETANJANESLOBODNE(VEZANE)MATERIJALNETAKE

(DIFERENCIJALNEJEDNAINEPRINUDNOGKRETANJAMATERIJALNETAKE)

Materijalnatakajeneslobodnaakosenjenokretanjepoddejstvomaktivnihsilavripoodreenoj liniji,povri ilidijeluprostora,akretanjeovakvetakenazivaseneslobodnokretanjeilikretanjepovezi.Jednainadatepovriililinijepokojojjetakaprinuenadasekreenazivasejednainaveze.Zavrijemezakojesetakaprikretanjunalazinavezi,njenekoordinatemorajuzadovoljitijednaineveze.

JEDNAINEVEZA.PODJELAVEZA

Ukolikosetakakreeponekojpovri,ondajejednainavezejednainatepovri: , , 0f x y z .

Ukolikosetakakreeponekoj liniji,kojajeodreenapresjekomdvajupovri,ondasujednainevezeodreene

jednainamatihpovri: 1 , , 0f x y z , 2 , , 0f x y z .

Ako se veze ne mijenjaju tokom vremena, nazivaju se skleronomne (stacionarne), a ako zavise od vremena,

, , , 0f x y z t ,ondasureonomne(nestacionarne).

Akovezaograniavasamoslobodukretanjatakeuprostoru,aneograniavaintenzitetnjenebrzine,tadajednaina

vezene

zavisi

od

brzine

iveza

senaziva

holonomna

(geometrijska),

aako

veza

ograni

ava

islobodu

kretanja

ta

keu

prostoru i intenzitet njene brzine, tada jednaina veze zavisi od brzine take i veza se naziva neholonomna(neintegrabilna).

Vezesuzadravajueiliobostraneakosezasvovrijemekretanjatakanalazipoddejstvomveze,tj.ostajestalnonanepokretnoj povri ili liniji, odnosno veze su nezadravajue ilijednostrane ako spreavaju pomjeranje take unekompravcu,alidozvoljavajupomjeranjeusuprotnompravcu.

Vezekodkojihzanemarujemotrenje,tj.kojesmatramo idealnoglatkim,nazivajuse idealneveze,doksuvezekodkojihnezanemarujemotrenje realneveze.


45/104

45

Prouavanjekretanjeneslobodne takemoese izvritina istinainkao islobodnetake,akosevezaodstranianjenuticajzamjeniodgovarajuomrekacijomveze.Pri razmatranju neslobodnog kretanja take potrebnoje dejstvo veza (materijalnih tijela) na materijalnu takuzamjenti reakcijamaveza iondarazmatrati takukaoslobodnunakojuosimaktivnihsiladejstvuju irekacijeveza(principoslobaanjaodveza).

Akosa Foznaimorezultantuaktivnihsila,asa R

rezultantusvihreakcijaveza,ondaosnovnajednainadinamike

zaneslobodnutakuglasi

ma F R

.

KRETANJETAKEPOGLATKOJNEPOKRETNOJPOVRI.LAGRANEVEJEDNAINEPRVEVRSTE

Nekasetakakreeponepokretnojglatkojpovri,priemujevezaholonomna.Koordinatetakemorajuzadovoljiti

jednainuveze(povri) , , 0f x y z .Kakojeveza idealna,reakcijaveze Njeusmjerenapopravcunormalena

povr.Poznatojedajegradijentskalarnefunkcije , ,f x y z vektorkojijetakoeusmjerenponormaliudatojtakinauoenojpovri

f f fgrad f i j k

x y z

.

KoristeiseuslovomkolinearnostivektoraN

i gradf,moesenapisatidaje

N grad f

, tj.x y z

f f fN i N j N k i j k

x y z

gdjejeLagranevmnoiteljveza.

Projektujuiosnovnujednainuneslobodnogkretanjatake ma F N

naosenepokretnogDekartovogsistemareferencije,dobijase

x

y

z

fmx X N X

x

fmy Y N Y

y

fmz Z N Z z

OvejednainenazivajuseLagranevejednaineprvevrste.

PRINUDNOKRETANJEMATERIJALNETAKEPOKRIVOJ.OJLEROVEJEDNAINE

Prikretanjuneslobodnematerijalnetakeponepokretnojglatkojlinijidiferencijalnujednainukretanja

1

n

i

i

ma F N

moemoprojektovatinaoseprirodnogtrijedra,tj.pravactangente,normaleibinormale

2

21

2

1

1

0

n

t it

i

n

n in n

ik

n

b ib b

i

d sma m F

dt

vma m F N

R

ma F N


46/104

46

OvejednainenazivajuseOjlerovejednainekretanjatakeponepokretnojkrivoj.Reakcijaidealnevezerazloenajenakomponenteupravcunormaleiupravcubinormale

n bN N N

.

Akosematerijalnatakakreeponepokretnojhrapavojkrivoj,reakcijavezeR

razlaesenanormalnukomponentu

N itangentnukomponentu F

kojapredstavljasilutrenjaklizanja.Diferencijalnejednainekretanjaneslobodne

materijalnetakepohrapavojlinijiuprirodnimkoordinatamaimajuoblik

2

21

2

1

1

0

n

t it

i

n

n in n

ik

n

b ib b

i

d s

ma m F F dt

vma m F N

R

ma F N

Silatrenjaklizanjaodreenajeizrazom 2 2n b

F N N N .

Primjer:PosmatrajmokretanjematerijalnetakeM,masem,poglatkojkrunojpodlozipoluprenikar.

NekatakaMzapoinjekretanjebezpoetnebrzineizprikazanogpoloaja.Potosetakakreeuravnipozadatoj

vezi (krunici),toona imajedanstepenslobodekretanja (s=211=1),akaokoordinatukojadefiniepoloajtaketokomkretanjamoemouzeti ugao .

TrebamonacrtatitakuMunekomproizvoljnompoloajunavezi iprimijenitiprinciposlobaanjaodveza,takoda

susilekojedejstvujunatakuteinaG

(spoljanjasila)irekacijavezeN

(uovomsluajuvezajeglatkapajereakcijausmjerenapopravcunormalenavezuudatompoloajutake).

PolazeiodIINjutnovogzakona,kretanjetakeopisujemodiferencijalnimjednainamauprirodnimkoordinatama:

i n in n

t it

ma F ma F N

ma F

S obziron na da normalno i tangencijalno ubrzanje moemo iskazati u funkciji ugla , diferencijalnejednaine

kretanjatakesu:

projekcijanapravacnormale 2: sinn mr N G

projekcijanapravactangente : cost mr G .

Nepoznateuovimjednainamasu N i .Reakcijuveze Nemoodrediti izprvejednaine (projekcijenapravac

normale),alizatomoramopoznavatipromjenubrzine ufunkcijipoloajatake,tj.ugla .Izdrugejednaine(projekcijenapravactangente)moemoodreditituzavisnost,akonapiemodaje:

d d d d

dt d dt d

,

paje: cos cosd g

mr mg d d d r

,imsurazdvojenepromjenljiveujednaini.

Integraljenjemjednaine,uzpoetneuslovekretanja 0 0 i 0 0 (iz 0 0 0v r ),proizilazi

2

sin2

g

r

, tj. 2 sin

g

r .


47/104

47

Izpoznateugaonebrzine,znamokolikajebrzinatakeM,iskazanaufunkcijipoloajatake, :

2 sinv r gr .

Najveabrzinatakejeza sin 1 i iznosi max 2v gr ,aoiglednojeda sin 1 odgovaranajniempoloaju

takemnaputanjigdjeje 90o .

Rekacijuveze N sadamoemoodrediti izprojekcijenapravacnormale,uvrtavanjem 2 :

2 sin sin 3 sing

N mr mg mgr

Unajniempoloajutakenaputanji,za 90o ,imamomaksimalnuvrijednostreakcijeveze

max 3 3N mg G .

Uovomzadatkuodredilismoreakcijuveze N,a takadejstvujenavezu silom pritiskakoja ima isti intenzitet ipravackaoovareakcija,samosuprotansmjer.

SILEOTPORA

Sileotporasuutehniciponekadvrloznaajneitrebaihukljuitiujednainekretanjatake.Ovesilemoguzavisitiodkretanja take.Sileotpora su tangencijalnenaputanju take i imaju suprotan smjerod smjerakretanja,npr. silatrenjaklizanjaizmeudvatijelaudodiruilisilaotporavazduha.

Kod kretanja krutih tijela u tenostima i gasovima pojavljuju se takoe otpori kretanja koji se mogu odreditieksperimentalno.Pokazaemodvaidealizovanaprimjera.

a)

Akosubrzinekretanjamaleondakaemodajestrujanjefluidalaminarno,asilaotporasredineutomsluaju

jeproporcionalnaprvomstepenubrzine:w

F kv .

Faktorproporcionalnosti k zavisiodgeometrijetijelaokokojegstrujifluididinamikeviskoznostifluida.

DordGabrijelStoks (18191903)je1854.god.odrediozakonzasiluotporakuglepoluprenika r okokoje

strujitenostbrzinev : 6w

F r v .

b)

Akosubrzinestrujanjaveeondajestrujanjeturbulentno.Kodturbulentnogstrujanjapriblinasilaotporaje

proporcionalnadrugomstepenubrzine: 2w

F kv .

Faktorproporcionalnosti k ovdjezavisiodgeometrijetijelaigustinefluida kojistrujiokotijela.

esto se sila otpora kod turbulentnog strujanja oko tijela pie u obliku: 2

2w w s

F c A v

. Ovdjejes

A

projekcijatijelanaravankojajeokomitanasmjerstrujanja,aw

c jestebezdimenzionalnaznaicastrujanja,

kojaukljuujevieznaajastrujanja.Npr.kodmodernihautomobilaw

c jemanjaod0,3.


48/104

48

OPTIZAKONIDINAMIKEMATERIJALNETAKE

Dabiseizuavanjekretanjamaterijalnetakepojednostaviloidabiseupojedinimtehnikimproblemimaodredilesamoodreeneveliine,kaonpr.brzinauodreenompoloaju ilibrzinauodreenomvremenskomintervalu,adasepritomeproblemkretanjaneprouavaucjelini, izvedenisuoptizakonidinamiketake.Njihovomprimjenomizbjegavaseintegraljenjediferencijalnihjednainakretanja.

Opti zakonipovezujuosnovnedinamike veliine koje karakteriu kretanje (kinetiku energiju, koliinu kretanja,momentkoliinekretanja)saveliinamakojekarakteriudjelovanjesila(radsile,impulssile,momentsile).

Optizakonidinamikematerijalnetakesu:

Zakonopromjenikoliinekretanja,

Zakonopromjenimomenatakoliinekretanja,

Zakonopromjenikinetikeenergijematerijalnetake.

KOLIINAKRETANJA.ZAKONKOLIINEKRETANJA(ZAKONIMPULSA)

Koliina kretanja materijalne take Kje vektorska veliina koja predstavlja

proizvodmasetakeivektorabrzinetake, K mv

.

Ovajvektorjekolinearansavektorombrzine iimaistismjer.Moeserazloitinakomponenteupravcukoordinatnihosareferentnogkoordinatnogsistema.Jedinicakoliinekretanjaje[kgms1]ili[Ns].

Impuls sile. Najprije definiimo elementarni impuls sile za beskonano mali

interval vremena. Toje vektorska veliina dI Fdt

, gdjeje dtelementarni

vremenskiinterval.Ovajvektorjekolinearansavektoromsile F

.Sadmoemo

definisatiimpulssilezaodreenivremenskiinterval,npr. 0t t :

0 0

t t

t t

I dI Fdt

.

Pravac impulsapoklapa se sa pravcem i smjerom sile. Jedinica za impuls sileje [kgms1] ili [Ns]. Mogueje nai

projekcijeimpulsasilenaosereferentnogkoordinatnogsistema.Impulssilepokazujeefekatdejstvasileunekomvremenskomintervalu.Dabismomogliizraunativrijednostimpulsasile,silamorabitipoznatafunkcijavremenailikonstanta.

Impuls rezulatante sistema sile koje dejstvuju na materijalnu taku u datom vremenskom intervalu,jednakjevektorskomzbiruimpulsakomponentnihsilauistomintervaluvremena:

0 0 0 0 0

1 2 1 2 1 2

1

.. .. ..t t t t t n

r n n n i

it t t t t

I F dt F F F dt F dt F dt F dt I I I I

.

Zakonopromjenikoliinekretanjamaterijalnetake

Akopoemoodosnovnejednainedinamike ma F ,gdjeje F rezultantasvihsilakojedejstvujunataku,imamo:

dvm F

dt

,

pri m const imamo: d

mv Fdt

, odnosnodK

Fdt

.

Ovajednaineiskazujezakonopromjenikoliinekretanjamaterijalnetakeudiferencijalnomobliku:Izvodvektorakoliinekretanjatakepovremenujednakjerezultujuojsilikojadejstvujenataku.


49/104

49

Sademouspostavitivezuizmeukoliinekretanjaiimpulsasile.Akopoemoodjednaine

dK d mv Fdt

iintegralimojeuintervaluvremena 0t t ,dobijamo:

0 0

v t

v t

d mv Fdt

, odakleje 0mv mv I

,odnosno 01

n

i

i

K K I I

.

Ovajednainaiskazujezakonopromjenikoliinekretanjamaterijalnetakeukonanomilitzv.integralnomobliku:

Priratajvektorakoliinekretanjatakezanekikonani vremenskiintervaljednakvektorskomzbiruimpulsasvihsilakojedejstvujenatakuutomintervalvremena.

Zakonoodranjukoliinekretanjamaterijalnetake

Akonamaterijalnutakunedejstvujusileiliakodejstvujetakavsistemsila

ijijevektorskizbirjednaknuli 0r i

F F

,ondaje

0dK

dt

, odnosno 0d

mvdt

, odakleslijedidaje mv const

,

odnosno 0mv mv const

, odakleslijedi 0v v const

.

Akojeunekomvremenskomintervalu vektorskizbirimpulsasvihsilakojedjelujunatakujednaknuli,ondajekoliinakretanjamaterijalnetakenakrajutog intervalajednakakoliinikretanjanapoetku intervala,tj.takasekreeravnomjernopravolinijski,atakvokretanjenazivasekretanjepo

inerciji.

MOMENTKOLIINEKRETANJA. ZAKONMOMENTAKOLIINEKRETANJA

IzstatikejepoznatodajemomentsileuodnosunapolOdefinisanjednainom:

0M r F

.

Analognaveliinaudinamicijemomentkoliinekretanjamaterijalnetake(kinetikimoment)ipredstavljamoment

vektorakoliinekretanja Kuodnosunapol(taku)O:

o

Skripta_Mehanika 2.pdf

Documents

Transcript of Skripta_Mehanika 2.pdf