Sistem Pegas-Massa (Mass-Spring System)

Dr. Wuryansari Muharini K., M.Si.

Pemodelan Matematika

Program Studi Matematika

Universitas Brawijaya

Situasi Real

l

0

L

m

1 2

0y

0v

Bagaimana gerakan massa

setiap saat?

Bagaimana simpangan gerak

massa terhadap posisi

setimbang?

Masalah

dipertajam

-

0

+ Arah

POSITIF

Situasi 1

l

0

L

m

1

Situasi 1:

• Posisi setimbang

• massa diam

• tidak ada gaya yang

bekerja pada massa

01

n

i

iF

Gaya yang bekerja:

1. Gaya gravitasi: 𝐹1 = 𝑚𝑔

2. Gaya pegas: 𝐹2 = 𝑘𝐿

021

2

1

kLmgFFFi

i

L

mgk

k disebut konstanta pegas atau KONSTANTA HOOKE

MODEL MATEMATIKA

Interpretasi untuk konstanta pegas:

1. Apa satuan untuk k?

2. Semakin besar m semakin besar k

3. Semakin panjang L semakin kecil k

4. Konstanta pegas menyatakan apa?

-

0

+ Arah

POSITIF

Situasi 2

0y

l

0

L

m

1 2

?)(ty

0v

Situasi 2:

• Posisi berubah-ubah

• Massa bergerak (dinamis)

• Hukum Newton 2: jumlah

gaya yang bekerja pada massa

sama dengan massa dikalikan

dengan percepatan gerak

massa

ASUMSI

O Pegas di bumi

O Massa pegas diabaikan

O Gerak pegas lurus vertikal

O Pegas berada di ruang hampa

udara

Variabel dan parameter

O t = waktu

O 𝑦 𝑡 = simpangan massa terhadap posisi setimbang

O 𝑚 = massa beban

O l = panjang pegas

O L = jarak memanjangnya pegas karena diberi beban

O 𝑘 = konstanta pegas

O 𝑔 = percepatan gravitasi bumi

maFn

i

i 1

Gaya yang bekerja:

1. Gaya gravitasi: 𝐹1 = 𝑚𝑔

2. Gaya pegas: 𝐹2 = 𝑘(𝐿 + 𝑦)

mayLkmgFFFi

i

)(21

2

1ymkykLmg

0 kLmg 0 kyym

Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen

MODEL MATEMATIKA

SOLUSI?

00

2

0

)0(,)0(

00

vyyy

yyym

ky

Initial Value Problem (Masalah Nilai Awal)

0

0

0

2

02

0

0

)arctan(

),cos()(

ky

mv

m

k

k

mvyA

tAty

SOLUSI MODEL

Contoh

cm/dt 1)0(

cm 2)0(

cm 2

gram 10

v

y

L

m

0226.0

02.0

14.22

N/m 9.4

0

A

L

mgk

Interpretasi

O Bagaimana simpangan massa setiap

saat?

O Bagaimana amplitudo simpangan?

O Bagaimana periode dan frekuensi

gerakan massa?

O Apakah massa beban berpengaruh?

O Apakah gerakan massa pada akhirnya

nanti akan berhenti?

O Apakah hal ini sesuai dengan

kenyataan?

ASUMSI

O Pegas di bumi √

O Massa pegas diabaikan √

O Gerak pegas lurus vertikal √

O Pegas TIDAK berada di ruang

hampa udara

MODIFIKASI

-

0

+ Arah

POSITIF

Situasi 2

0y

L

m

1 2

?)(ty0v

hambatan

Gaya yang bekerja:

1. Gaya gravitasi: 𝐹1 = 𝑚𝑔

2. Gaya pegas: 𝐹2 = 𝑘 𝐿 + 𝑦

3. Gaya hambat media: 𝐹3 = 𝑟𝑦′

mayryLkmgFi

i

)(3

1

ymyrkykLmg

0 kLmg 0 kyyrym

Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Homogen

MODIFIKASI MODEL

00 )0(,)0(

0

vyyy

kyyrym

SOLUSI MODEL

Persamaan Karakteristik:

m

mkrr

krm

2

4

0

2

2,1

2

mkr 42

mkr 42

mkr 42

Lanjutan Solusi Model

Kasus 1: OVER DAMPED (Redam lebih)

mkr 42

2

0

2

22

2,1

22

222

4

m

r

m

r

m

k

m

r

m

r

m

mkrr

022

02222

2

0

2

2

2

2

0

2

1

m

r

m

r

m

r

m

r

m

r

m

r

Solusi: tt

eCeCty 21

21)(

0)(lim

tyt

Interpretasi: pegas akan segera berhenti

Lanjutan Solusi Model

Kasus 2: CRITICAL DAMPED (Redam kritis)

mkr 42

02

21

m

r

Solusi: t

etCCty 1)()( 21

0)(lim

tyt

Interpretasi: pegas akan berhenti

Lanjutan Solusi Model

Kasus 3: UNDER DAMPED (Redam lemah)

mkr 42

im

ri

m

r

m

r

m

ki

m

r

m

rmkir

2

2

0

22

2,1

22

222

4

Solusi: )sincos()( 21 tCtCety t

0)(lim

tyt

Interpretasi: pegas akan berosilasi namun

pada akhirnya berhenti

Modifikasi model lagi Bagaimana bila diberikan gaya luar

secara periodik, misalnya sebesar

?)cos( 10 tf

00

10

)0(,)0(

)cos(

vyyy

tfkyyrym

Model matematika berubah menjadi PDB

linear orde dua NON HOMOGEN

Jika 𝑟 ≠ 0

SOLUSI: )( ph yyty

0)(lim

tyht

sehingga )()(lim tyty pt

Solusi transien / steady state

SOLUSI:

0

022

1

2

0

001

01

12

1

2

0

00201

,)(

.asalkan

),cos()(

)sin()cos(

)(

vC

m

fyC

tm

ftCtC

yyty ph

Jika 𝑟 = 0

00

10

)0(,)0(

)cos(

vyyy

tfkyym

Bagaimana bila 𝜔1 ≈ 𝜔0?

Misalkan 0,0 00 vy

ttm

f

ttm

f

tm

ft

m

fty

2sin

2sin

)(

2

)]cos()[cos()(

)cos()(

)cos()(

)(

0101

2

1

2

0

0

012

1

2

0

0

12

1

2

0

002

1

2

0

0

CONTOH

5.21,1,14.22 100 f

Amplitudo termodulasi

Bagaimana bila 𝜔1 = 𝜔0?

Misalkan 0,0 00 vy

)sin(2

)(

0)0(

0)0(

),sin(2

)sin()cos()(

0

0

0

02

1

0

0

00201

ttm

fty

Cy

Cy

ttm

ftCtCty

RESONANSI