5

Skema Sistem persamaan linearSistem

Persamaan Linier

Homogen Non Homogen

Mempunyai Pemecahan

Tidak Mempunyai Pemecahan

Pemecahan Tak-Hingga

Pemecahan Tunggal

PemecahanNon - Trivial

Pemecahan Trivial

Selalu Ada Pemecahan

Sistem Homogen

….. atau Ax = 0Solusi dari sistem homogen yg berbentuk :

x1 = x2 = … = xn = 0disebut dengan solusi trivial (sederhana), jika tidak demikian disebut solusi non trivial (banyak sekali solusinya)

0

00

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

Bentuk umum :

a)m > n hanya mempunyai solusi

trivial

Solusi trivial

b)m = n

Solusi tidak

trivial

c)m < n mempunyai solusi tidak

trivial

SPL homogen mempunyai kemungkinan penyelesaian

Carilah penyelesaian SPL homogen berikut :

m = n

CONTOH SOAL

x + 2 y = 0 - x – 2 y + z = 02x + 3 y + z = 0

Jawab :

*1*-2 *-1/1

Mencari Matrik Eselon Baris Tereduksi

Augmented Matriks

Pada matriks yang terakhir terlihat bahwa semua kolom matrik A memiliki satu utama (matrik identitas), sehingga penyelesaiannya adalah trivial yaitu :

x 0y 0z 0

Carilah penyelesaian SPL homogen berikut ini :x – y + 2 z – w = 0

2x + y – 2 z – 2w = 0 x + 2y – 4 z + w = 0 3x – 3w = 0

Jawab : dicari matrik eselon tereduksinya

m = n

x -w =0 y-2z =0

Dengan memisalkan z =s dan w = t, maka diperoleh penyelesaian umum :

OBE pada SPL Homogen hanya dilakukan pada matrik A saja, karena tidak akan mempengaruhi hasil perhitungan.

x ty 2sz sw t

x -w =0 y-2z =0

x = wy = 2z

Metode mencari invers suatu matriks

• Langkah 1 :Susunlah matriks A dengan matriks identitas sehingga menjadi matriks diperbesar sbb :

• Langkah 2 :Menggunakan OBE, ubahlah matriks menjadi bentuk matriks eselon baris tereduksi

nIA

nIA

Misalkan A adalah matriks berukuran n x n, maka langkah – langkah mencari invers dari A adalah

[ 1 2 0−1 − 2 12 3 1

𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟎𝟎 𝟎 𝟏]misalkan

Cara mencari invers Matriks (Lanjutan)

• Langkah 3 :Misalkan dari langkah 2 diperoleh

matriks

Maka :a. Jika C = In maka D = A-1

b. Jika C In maka C mempunyai satu baris yang terdiri dari nol semuanya. Dalam kasus ini A tidak invertible .

DC

nIA 1AIn OBE

Contoh SoalCarilah invers dari matriks berikut :

325121321

B

155320111

A

1. 2.

Invers Matriks dan Sistem Linier

Diberikan sistem non homogen :Ax = b,

dengan A berukuran n x n , x berukuran n x 1, dan b berukuran n x 1

Misalkan A invertible, maka x dpt ditentukan dari A-1 sbb:

A-1(Ax) = A-1b(A-1A)x = A-1b

Inx = A-1b x = A-1b

Jadi, jika Ax = b maka x = A-1b

Teorema #1Jika A matriks berkuran n x n.

Sistem homogen Ax = 0mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika A tidak invertible.

Bukti Teorema #1Bukti :() Misalkan A invertible, maka A-1 ada. Kalikan kedua ruas Ax = 0 dengan A-1:

Ax = 0A-1(Ax ) = A-1.0(A-1A)x = 0

x = 0.Terjadi kontradiksi. Jadi yang benar A tidak

invertible.

( ) Misalkan Ax = 0 mempunyai solusi trivial, berarti x = 0. Jadi diperoleh matriks diperbesar :

Sehingga A mempunyai invers (A invertible).

Terjadi kontradiksi. Jadi yang benar Ax = 0 mempunyai solusi nontrivial.

0A 1

Teorema #2Jika A matriks n x n, maka A invertible jhj sistem linier Ax = b mempunyai solusi

tunggal, untuk b berukuran n x 1.

Bukti Teorema #2Bukti :()Diketahui A invertible, berarti A-1 ada. Kalikan Ax = b dengan A-1 :

Ax = bA-1(Ax) = A-1bx = A-1b

Karena invers sustu matriks adalah tunggal, maka A-1b juga tunggal.

Jadi terbukti x = A-1b adalah tunggal.() Diketahui sistem Ax = b mempunyai solusi tunggal, misalkan

x1 = c1, x2 = c2, …, xn = cn. Dari sini diperoleh matriks eselon baris tereduksi:

Lanjutan Bukti

Jadi, dari matriks diperbesar menjadimatriks

Hal ini berarti A mempunyai invers atau A invertible.

bA cIn

nc

ccc

100

100010001

3

2

1

Latihan Soal1. Carilah solusi dari sistem :

x + 2y + 3z = 0 2y + 2z = 0 x + 2y + 3z = 0

2. Misalkan terdapat masyarakat sederhana yang terdiri dari 3 individu : petani yang menghasilkan semua makanan, pemborong yang membangun semua rumah, dan penjahit yang membuat semua baju. Setiap orang menghasilkan satu unit komoditi selama tahun tersebut. Misalkan porsi tiap komoditi yang dikonsumsi oleh tiap orang diberikan dalam tabel berikut :

Tabel :Barang yang dikonsumsi

oleh

Barang yang dihasilkan oleh

Petani Pemborong Penjahit

Petani

Pemborong

Penjahit

167

21

163

165

61

165

41

31

21

Seorang ekonom harus menentukan harga p1,p2,p3 per unit makanan, rumah, dan baju, sedemikian hingga diantara metreka tidak ada yang untung dan rugi. Misalkan

maka carilah p dengan cara menyelesaikan sisem Ap = p.

3

2

1

ppp

p

Lanjutan Soal :

3. Tunjukkan bahwa matriks

invertible dan carilah inversnya.4. Tunjukkan bahwa jika A invertible dan

simetris maka A-1 juga simetris.5. Tunjukkan bahwa jika A tidak invertible

dan Ax = b, b 0, maka Ax = b juga mempunyai banyak solusi.

cossinsincos

See you next course

METODE REDUKSIGAUSS-JORDAN

Ax = b bAMatriks diperbesar

(Augmented Matrices)SPL non homogen

dibentuk

bA Matriks eselon baris tereduksi

diubah

Back