SIMULTANEOUS LINEAR EQUATIONS -...
Transcript of SIMULTANEOUS LINEAR EQUATIONS -...
2013/9/9
T O P I C : G A U S S - S E I D E L M E T H O D
SIMULTANEOUS LINEAR EQUATIONS
GAUSS-SEIDEL METHOD
Adalah metode ITERASI
Prosedur dasar:
- Menyelesaikan tiap persamaan linier secara aljabar untuk xi
- Membuat nilai asumsi solusi
- Selesaikan untuk tiap xi dan ulangi
- Gunakan perkiraan kesalahan relatif tiap akhir iterasi untuk
mengecek apakah error sudah mencapai angka toleransi.
GAUSS-SEIDEL METHOD
Kenapa?
Untuk mengatasi round-off error (kesalahan pembulatan).
Metode eliminasi seperti Gaussian Elimination and LU
Decomposition(*) rawan terhadap kesalahan pembulatan.
GAUSS-SEIDEL METHOD
Algorithm Sistem persamaan linier
11313212111 ... bxaxaxaxa nn
2323222121 ... bxaxaxaxa n2n
nnnnnnn bxaxaxaxa ...332211
. .
. .
. . Kita mengubah sistem persamaan [A]{X}={B} untuk menyelesaikan x1 dengan persamaan pertama, menyelesaikan x2 dengan persamaan kedua, dan seterusnya.
GAUSS-SEIDEL METHOD
Algorithm General Form of each equation
11
11
11
1a
xac
x
n
jj
jj
22
21
22
2a
xac
x
j
n
jj
j
1,1
11
,11
1
nn
n
njj
jjnn
na
xac
x
nn
n
njj
jnjn
na
xac
x
1
MENJADI:
33
23213133
22
32312122
11
31321211
a
xaxabx
a
xaxabx
a
xaxabx
Now we can start the solution process by choosing guesses for the x’s. A simple way to obtain initial guesses is to assume that they are zero. These zeros can be substituted into
x1equation to calculate a new x1=b1/a11.
Untuk sistem persamaan 3x3
BATAS AKHIR ITERASI
New x1 is substituted to calculate x2 and x3. The procedure is repeated until the convergence criterion is satisfied:
kandiperkenanbaru
i
lama
i
baru
i
iax
xx 100
t
a
approximation error, sering digunakan, seringkali disebut sebagai galat absolut. True error, kurang berarti. digunakan Relative error,
dalam prosentase
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1
2.279
2.177
8.106
x
x
x
112144
1864
1525
3
2
1
Diketahui sistem persamaan
Initial Guess: asumsi nilai awal,
5
2
1
3
2
1
x
x
x
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1
2.279
2.177
8.106
x
x
x
112144
1864
1525
3
2
1
Tulis ulang untuk aplikasi
Gauss-Seidel
25
58.106 321
xxx
8
642.177 312
xxx
1
121442.279 213
xxx
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1
Masukkan nilai perkiraan awal untuk selesaikan xi
5
2
1
3
2
1
x
x
x6720.3
25
)5()2(58.1061
x
8510.7
8
56720.3642.1772
x
36.155
1
8510.7126720.31442.2793
x
Initial Guess
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1
36.155
8510.7
6720.3
3
2
1
a
a
a
100x
xxnew
i
old
i
new
i
ia
%76.72100x6720.3
0000.16720.31
a
%47.125100x8510.7
0000.28510.72
a
%22.103100x36.155
0000.536.1553
a
Finding the absolute relative approximate error
At the end of the first iteration
The maximum absolute
relative approximate error is
125.47%
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1
36.155
8510.7
6720.3
3
2
1
a
a
a
Iteration #2 Using
056.12
25
36.1558510.758.1061
a
882.54
8
36.155056.12642.1772
a
34.798
1
882.5412056.121442.2793
a
from iteration #1
the values of ai are found:
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1
Hitung “the absolute relative approximate error”
%542.69100x056.12
6720.3056.121
a
%695.85100x
882.54
8510.7882.542
a
%54.80100x
34.798
36.15534.7983
a
Akhir iterasi kedua
34.798
882.54
056.12
3
2
1
a
a
a
Galat absolut terbesar
85.695%
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1
Tersukan iterasi, kita dapatkan nilai berikut.
Iteration a1 a2 a3
1
2
3
4
5
6
3.672
12.056
47.182
193.33
800.53
3322.6
72.767
67.542
74.448
75.595
75.850
75.907
-7.8510
-54.882
-255.51
-1093.4
-4577.2
-19049
125.47
85.695
78.521
76.632
76.112
75.971
-155.36
-798.34
-3448.9
-14440
-60072
-249580
103.22
80.540
76.852
76.116
75.962
75.931
%1a %
2a %3a
! Lho, kok? – Error nya nggak berkurang?
GAUSS-SEIDEL METHOD: PITFALL
Salahnya dimana?
Contoh tadi mengilustrasikan kemungkinan kesalahan pada
Gauss-Siedel method: tidak semua sistem persamaan akan
konvergen.
Is there a fix?
One class of system of equations always converges: One with a
diagonally dominant coefficient matrix.
Diagonally dominant: [A] in [A] [X] = [C] is diagonally dominant
if:
n
jj
ijaa
i1
ii
n
ijj
ijii aa1
Untuk semua ‘i’ ; DAN Untuk minimal
sebuah ‘i’
GAUSS-SEIDEL METHOD: PITFALL
116123
14345
3481.52
A
1293396
55323
5634124
][
B
Diagonally dominant: Koefisien pada diagonal harus sama atau lebih
besar dari jumlah semua koefisien pada baris itu, dan minimal satu baris
harus memiliki diagonal yang lebih besar dari jumlah koefisien pada
baris itu.
Manakah matriks yang diagonally dominant?
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2
Sistem persamaan linier
1 5x -3x 12x 321
28 3x 5x x 321
76 13x 7x 3x 321
1
0
1
3
2
1
x
x
x
Dengan asumsi nilai awal
Matriks Koefisien nya
adalah
1373
351
5312
A
Akan konvergen kah?
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2
1373
351
5312
A
Cek apakah matriks nya diagonally dominant
43155 232122 aaa
10731313 323133 aaa
8531212 131211 aaa
Benar. Seharusnya konvergen dengan Gauss-Siedel Method
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2
76
28
1
1373
351
5312
3
2
1
a
a
a
1
0
1
3
2
1
x
x
x
Tulis ulang
12
531 32
1
xxx
5
328 31
2
xxx
13
7376 21
3
xxx
Asumsi nilai awal
50000.0
12
150311
x
9000.4
5
135.0282
x
0923.3
13
9000.4750000.03763
x
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2
The absolute relative approximate error
%662.6710050000.0
0000.150000.01a
%00.1001009000.4
09000.42a
%662.671000923.3
0000.10923.33a
Galat absolut terbesar di akhir iterasi pertama adalah 100%
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2
8118.3
7153.3
14679.0
3
2
1
x
x
x
0923.3
9000.4
5000.0
3
2
1
x
x
x
Setelah iterasi #1
14679.0
12
0923.359000.4311
x
7153.3
5
0923.3314679.0282
x
8118.3
13
7153.3714679.03763
x
Masukkan nilai x pada persamaan Setelah iterasi #2
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2
Galat absolut dari Iterasi #2
%62.24010014679.0
50000.014679.01
a
%887.311007153.3
9000.47153.32
a
%876.181008118.3
0923.38118.33
a
Galat absolut maksimum 240.62%
Lebih besar dari iterasi #1. Is this a problem?
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2
Ulangi iterasi, didapatkan…
1a 2a 3aIteration a1
a2 a3
1
2
3
4
5
6
0.50000
0.14679
0.74275
0.94675
0.99177
0.99919
67.662
240.62
80.23
21.547
4.5394
0.74260
4.900
3.7153
3.1644
3.0281
3.0034
3.0001
100.00
31.887
17.409
4.5012
0.82240
0.11000
3.0923
3.8118
3.9708
3.9971
4.0001
4.0001
67.662
18.876
4.0042
0.65798
0.07499
0.00000
4
3
1
3
2
1
x
x
x
0001.4
0001.3
99919.0
3
2
1
x
x
xHasil akhir Mendekati solusi sejati
LATIHAN
1
0
1
3
2
1
x
x
x
Sistem persamaan linier
76 13x 7x 3x 321
28 3x 5x x 321
1 5x - 3x 12x 32 1 With an initial guess of
GAUSS-SEIDEL METHOD
1373
351
5312
A
The Gauss-Seidel Method can still be used
The coefficient matrix is not
diagonally dominant
5312
351
1373
A
But this is the same set of
equations used in example #2,
which did converge.
If a system of linear equations is not diagonally dominant, check to see if
rearranging the equations can form a diagonally dominant matrix.
GAUSS-SEIDEL METHOD
Not every system of equations can be rearranged to have a
diagonally dominant coefficient matrix.
Observe the set of equations
3321 xxx
9432 321 xxx
97 321 xxx
Which equation(s) prevents this set of equation from having a
diagonally dominant coefficient matrix?
GAUSS-SEIDEL METHOD
Summary
-Advantages of the Gauss-Seidel Method
-Algorithm for the Gauss-Seidel Method
-Pitfalls of the Gauss-Seidel Method
GAUSS-SEIDEL METHOD
Questions?
METODE PENYELESAIAN
• Metode grafik
• Eliminasi Gauss
• Metode Gauss – Jourdan
• Metode Gauss – Seidel
• LU decomposition
LU DECOMPOSITION
A=LU
Ax=b LUx=b
Define Ux=y
Ly=b Solve y by forward substitution
Ux=y Solve x by backward substitution
LU DECOMPOSITION BY GAUSSIAN ELIMINATION
)(
)(
1
)(
11
)3(
3
)3(
33
)2(
2
)2(
23
)2(
22
)1(
1
)1(
13
)1(
12
)1(
11
4,3,2,1,
3,12,11,1
2,31,3
1,2
0000
000
00
0
1
1
0
001
0001
00001
n
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
nnnn
nnn
a
aa
aa
aaa
aaaa
mmmm
mmm
mm
m
A
Compact storage: The diagonal entries of L matrix are all 1’s, they don’t need to be stored. LU is stored in a single matrix.
There are infinitely many different ways to decompose A. Most popular one: U=Gaussian eliminated matrix L=Multipliers used for elimination
NEXT: SOLUSI PERSAMAAN NON LINIER
• Persamaan matematis yang sulit diselesaikan dengan “tangan” analitis, sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerik
• Metode Numerik: Teknik menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian hitungan, umumnya mencakup sejumlah besar kalkulasi aritmetika yang sangat banyak dan menjenuhkan
• Diselesaikan dengan algoritma (serangkaian perintah untuk menyelesaikan masalah), sehingga diperlukan bantuan komputer untuk melaksanakannya
SUMBER GALAT / ERROR
• Kesalahan pemodelan
contoh: penggunaan hukum Newton
asumsi benda adalah partikel
• Kesalahan bawaan
contoh: kekeliruan dlm menyalin data
salah membaca skala
• Ketidaktepatan data
• Kesalahan pemotongan / penyederhanaan
persamaan(truncation error)
• Kesalahan pembulatan (round-off error)
SOLUSI PERSAMAAN NON LINEAR
1)Metode Akolade (bracketing method)
/ Closed method
• Metode Bagi dua (Bisection Method)
• Metode Regula Falsi (False Position
Method)
• Metode Grafik
Keuntungan: selalu konvergen
Kerugian: relatif lambat konvergen
SOLUSI PERSAMAAN NON LINEAR
2) Metode Terbuka
Contoh: • Iterasi Titik-Tetap (Fix Point Iteration)
• Metode Newton-Raphson
• Metode Secant
Keuntungan: cepat konvergen
Kerugian: tidak selalu konvergen