SIMPANGAN DAN KEMENCENGAN

SIMPANGAN ABSOLUTSimpangan absolut merupakan salah satu alat

ukur untuk dalam menentukan variabilitas data, dengan satuan yang sama dengan datanya.

Alasan dibutuhkan pengukuran simpangan adalah: Dapat menilai seberapa jauh letak nilai sentral

terhadap datanya, satu data dengan nilai yang ekstrim sulit disimpulkan bila hanya disimpulkan dari nilai reratanya.

Dapat dipelajari bagaimana variasi kualitas suatu produk, dengan demikian usaha untuk meningkatkan keseragaman kualitas produk dapat diantisipasi.

Perhitungan simpangan

Data tidak dikelompokkan Data dikelompokkan

DATA TIDAK DIKELOMPOKKAN

JENIS SIMPANGANTiga jenis simpangan yang sering digunakan adalah : Rentang (perbedaaan antara datum terbesar dan

terkecil) Rata-rata simpangan (jarak antara tiap data dengan

nilai rata-rata, jarak selalu memberi tanda positif, atau harga mutlak)

Simpangan baku (merupakan simpangan yang paling banyak digunakan, selalu berdampingan dengan rerata aritmatik. Simpangan baku adalah ukuran seberapa jauh nilai yang ada terhadap reratanya). Kuadrat simpangan baku dikenal sebagai varian.

Simpangan ini dapat dihitung berdasarkan data yang dikelompokan dan data yang tidak dikelompokkan.

PERHITUNGAN

DATA TIDAK DIKELOMPOKKAN RENTANG

Datum terbesar dikurangi datum terkecil

RATA-RATA SIMPANGAN (RS)

RS = (Σ I X-μ I)/NDimana:

X = nilai observasi

μ = rerata aritmatik

N = jumlah observasi

I = tanda mutlak

SIMPANGAN BAKU (SB)

TERHADAP POPULASI

σ = [Σ (X – μ)2 / N] atau

σ = [( Σ X2/N – (ΣX/N)2 ](TANPA MENGHITUNG RATA-RATA)

TERHADAP SAMPEL

S = [Σ (Xi – X)2 / (n-1)]Dimana: xi = data

x = rerata aritmatik sampel

DATA TIDAK DIKELOMPOKKAN

RATA-RATA SIMPANGAN

DATA (X) X-μ I X-μ I

18 -13 13

19 -12 12

19 -12 12

19 -12 12

19 -12 12

19 -12 12

20 -11 11

20 -11 11

45 14 14

45 14 14

46 15 15

47 16 16

48 17 17

50 19 19

434   190

μ = 434/14 = 31

RS = 190/14 = 13.57

SIMPANGAN BAKU

DATA (X) X-μ (X-μ)^2

18 -13 169

19 -12 144

19 -12 144

19 -12 144

19 -12 144

19 -12 144

20 -11 121

20 -11 121

45 14 196

45 14 196

46 15 225

47 16 256

48 17 289

50 19 361

434   2654

σ = [ 2654/14] = 13.8

SB TANPA MENGHITUNG RERATA

DATA (X) x^2

18 324

19 361

19 361

19 361

19 361

19 361

20 400

20 400

45 2025

45 2025

46 2116

47 2209

48 2304

50 2500

434 16108

σ = [ (16108/14) - (434/14)^2] = 13.8

DATA DIKELOMPOKKAN

Dalam data yang dikelompokkan, maka dispersi yang biasa digunakan adalah simpangan baku.

Alternatif lain adalah menghitung simpangan kuartil yang digunakan bersama median untuk menjelaskan apakah distribusinya bisa dijelaskan dengan rerata aritmatik dan simpangan baku

Simpangan baku (data dikelompokkan)

Untuk populasiσ = [Σ f (m-μ)2 / N] Untuk sampel [Σ f (m-x)2 / (n-1)] Bila simpangan baku dihitung tanpa

memasukkan rerata aritmatik maka persamaan yang digunakan

[(1 / N) Σ f (m)2 - ( Σfm)2/ N]

Pemakaian air Frekuensi

titik tengah kelas  

simpangan

(f) (xi)atau(m) f.m

(m-u) (m-u)^2 f(m-u)^2

80- 89 2 84.5 169-30.2 912.04 1824.08

90 - 99 6 94.5 567-20.2 408.04 2448.24

100 - 109 10 104.5 1045-10.2 104.04 1040.40

110 - 119 14 114.5 1603-0.2 0.04 0.56

120 - 129 9 124.5 11219.8 96.04 864.36

130 - 139 7 134.5 94219.8 392.04 2744.28

140 - 149 2 144.5 28929.8 88.04 1776.08

50   573510698.00

Simpangan baku = 10698/50 = 14.63 L/org/hari

1009070 80 110 130120

u-1σ-3σ -2σ 1σ 3σ2σ

68.3%

95.4%

99.7%

Banyak didapati data tersebar disekitar reratanya dalam bentuk yang hampir simetris. Dalam hal ini simpangan baku akan sangat bermanfaat sebagai pengukur sebaran data tersebut. Misalnya distribusi normal dari pengukuran iQ dari populasi, dengan rata 100 dan simpangan baku 10Z=x-u/simpangan baku

Simpangan kuartil

Seperti rentang simpangan kuartil adalah jarak antara titik-titik observasi terpilih.

Rangkaian data dibagi empat sama besar

Nilai terendah

Nilai tertinggi

Q1

25%

Q2

50%

median

Q3

75%

Kuartil 1 = Q1 = 25% dari data

Kuartil 2 = Q2 = 50% dari data

Kuartil 3 = Q3= 75% dari data

Rentang antar Kuartil adalah jarak antara Q3 dan Q1

Persamaan simpangan kuartil

Qn = LQn + [(N n/4 – KF)/fQn] I

L Qn = ujung bawah dari kuartil ke n dihitung dari frekuensi kumulatif

FQn = frekuensi kuartil ke n

SQ = (Q3 – Q1)/2

Simpangan relatif

Kadang kala dalam analisis diinginkan untuk membandingkan simpangan yang datanya tidak selalu proporsional, atau antara satu data dengan data yang lainnya tidak mempuyai satuan yang sama. Dalam ha ini simpangan relatif yang paling sering digunakan adalah koefisien variasi (KV)

Contoh

Rerata gaji perusahaan A = Rp400.000,. Per orang dengan simpangan baku Rp100.000,. Rerata gaji perusahaan B = Rp250.000,. Per orang dengan simpangan baku Rp50.000,.

KVA = (100.000/400.000) 100% = 25%

KVB = (50.000/250.000) 100% = 20%

Artinya dispersi gaji di mperusahaan B relatif lebih kecil dibanding perusahaan A

Hasil pengukuran timbulan sampah di kota A terdapat dalam 2 satuan,yaitu satuan berat dan satuan volume yang diukur selama 7 hari, yaitu :

Satuan berat adalah 0.378 kg/orang/hari dengan SB = 0.323 kg/orang /hari

Satuan volume adalah 2.18 L/orang/hari dengan SB = 1.15 L/orang/hari

Maka KV berat = (0.323/0.378) 100% =85.45%

KV volume = (1.15/2.18) 100% = 52.75%Artinya pengukuran secara berat menghasilkan

data yang lebih bervariasi

UKURAN KEMENCENGAN

Kaitan antara nilai sentral biasanya dinyatakan dengan ukuran kemencengan (skewness) yang memberikan arah dari grafik (condong ke kanan atau kekiri),

Persamaan

SK = [3 (μ – Md)] / σ

contoh

Data: Rerata aritmatik = 115.2 L/orang/hari Median = 115 L/orang/hari Simpangan baku = 14.63 L/orang/hariMaka ukuran kemencengan = Sk = [3(115.2 – 115)] / 14.63 = +0.041Artinya grafik condong ke kanan, dan rerata

aritmatik ada di kanan median.

gambar di bawah merupakan hubungan ketiga nilai sentral tersebut (rerata, median, dan modus)

Distribusi kemencengan +

Mo Med rerata

Distribusi kemencengan -

Rerata Med Mo

Distribusi simetris