Harga Deviasi (Ukuran Penyebaran)

PengertianData I 8, 8, 9, 10, 11, 12, 12 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15 1, 2, 5, 10, 15, 18, 19 Data II 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15 1, 5, 8, 10, 12, 15, 19

frekuensi

frekuensi

Rata-rata

Rata-rata

Menjulur ke kiri

simetris

Data I dan data II di atas mempunyai nilai tengah yang sama yaitu = 10,

Jika harga deviasi tiap datanya terhadap harga

tengah sangat besar, maka harga tengah tersebut kurang bermakna untuk menggambarkan keadaan datanya

Harga deviasi yang akan di bahas Rentang (range) Deviasi rata-rata Variansi dan deviasi standart Deviasi relatif

A. HARGA DEVIASI DATA TUNGGAL 1. RentangPerbedaan antara harga yang tertinggi dengan harga yang terendah Banyak dijumpai dalam statistika pengawasan kualitas Teladan : 60, 60, 61, 63, 65, 65, 66, 67, 68, 90 60, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 85, 88, 90 Rentang = 90 60 = 30 Rentang = 90 60 = 30

lanjutan

Interquartil range= Q3 - Q1

Q3= persentil ke 75% Q1= persentil ke 25% Misal

Q1= 4, Q2=8, Q3=7 maka Rentang = Interquartil range = Q3 - Q1

4=3

=7

2. Deviasi rata-rata~ Harga rata-rata penyimpangan tiap data terhadap meannya Makin kecil harga deviasi rata-rata makin kecil dispersi data terhadap meannya

MD= i=1Contoh

Xi Xn

n

Data nilai ujian akhir statistika 5 sampel mahasiswa adalah sebagai berikut 72, 75, 82, 92, 79, maka deviasi rataratanya

MD =

( 72 80) + ( 75 80) + ( 82 80) + ( 92 80) + ( 79 80)5

= 5,4

3. Variasi dan Standar Deviasi~ adalah harga deviasi yang juga memperhitungkan deviasi rata-rata tiap data terhadap rata-ratanya.

Populasi Variansi populasi = 2 , standart deviasi = ,

Sampel variansi = 2 standar deviasi =

Variansi Sampel ( 2 )

Apabila terdapat n observasi Xi, X2, X3,............Xn dengan rata-rata X maka varians sampel dari data tersebut didefinisikan 2

2 =

( X i X )2 i =1

n

n 1

n Xi n X i2 i =1 n 2 = i =1 n 1

Variansi Populasi (

Apabila terdapat n observasi X1, X2, X3,........Xn dengan rata-rata X maka varians populasi dari data tersebut didefinisikan :

2)

2 =

( Xi )2 i =1

n

N

Xi n 2 X i i =1 n atau 2 = i =1 Nn

2

Contoh :

Data tinggi 5 tanaman sampel adalah sebagai berikut : 72, 75, 82, 92, dan 79 (lihat tabel)

Varians

= Xi i=

Xi = i=

( ) = , = Standar Deviasi

SD = = , = ,

Xi72 75 82 92 79 400

X80 80 80 80 80

Xi X-8 -5 2 12 -1 0

Xi X8 5 2 12 1 28

Xi

(X

i

X

)

5184 5625 6724 8464 6241 32238

64 25 4 144 1 238

Koefisien Keragaman/Deviasi relatif (Coefficien of Variation)Koefisien Keragaman (KK= CV) didefinisikan :

C = % X Koefisien Keragaman merupakan alat ukur terbaik untuk membandingkan dua deviasi dua kelompok dota, hal ini karena satuan yang digunakan sama yaitu dalam bentuk persen (%). Sedangkan pada deviasi sebelumnya merupakan deviasi mutlak yang masih membawa satuan pengukuran masing-masing. Contoh Apabila diketahui standar deviasi dan rata-rata

= dan X = , maka , , C= = ,% % ,

B. Harga Deviasi Data yang Dikelompokan1. Deviasi Rata-RataApabila terdapat n data X1, X2, X3,.......,Xn merupakan nilai tengah dari interval kelas, dan masing-masing mompunyai frekuensi f1, f2, f3,... fn.

X=

Xifii = n

n

fii =

Deviasi rata-rata didifinisikan :

MD =

Xi =

n

i

X fii

fi =

n

Contoh: Standar deviasi rata-rata data kehilang hasil 60 petaniInterval kelas 4,5 - 6,5 6,5 - 8,5 8,5 -10,5 10,5 -12,5 12,5 -14,5 14,5 -16,5 16,5 -18,5 Titik tengah 5.5 7.5 9.5 11.5 13.5 15.5 17.5 60n

frekuensi (f) 2 5 10 20 14 6 3

X

Xi X6.32 4.32 2.32

X i X fi12.64 21.60 23.20 6.40 23.52 22.08 17.04 126.48

11.82

0.32 1.68 3.68 5.68 24.32

MD =

Xi Xi =1

fi

fii =1

n

126,48 = = 2,11 60

2. Varians dan Standar Deviasi

=

(Xn i = n

i

Xi

)

fi

fi =

atau =

fi X i n f i X i i =n i = fin i =

fi =

n

i

Contoh :Interval Kelas 4,5 - 6,5 6,5 - 8,5 8,5 -10,5 10,5 -12,5 12,5 -14,5 14,5 -16,5 16,5 -18,5 Titik Tengah 5.5 7.5 9.5 11.5 13.5 15.5 17.5 Frekuensi (f) 2 5 10 20 14 6 3 60 11.82

X

X i fi

X i fi60.50 281.25 902.50 2645.00 2551.50 1441.50 918.75 8801.00

2

11.0 37.5 95.0 230.0 189.0 93.0 52.5 708

(708,0) 2 3801,00 60 2 = = 7,57 60 1

2 = 7,57 = 2,75

Start Hitung titik tengahXi

Hitung Rata-rata X

Hitung Deviasi

( Xi X )(Xi

Kuadratkan DeviasiX

)

2

Kalikan frekuensiX i X fi

Jumlahkan

(X

i

X

)

2

fi

Bagi dgn n-1

Gambar. Langkah-langkah menghitung varians

(X

i

X

)

2

fi n 1

Finish

Stand. Deviasi2

Finish

70 -3

80 -2

90 -1

100 1

110 1

120 2

130 3

Gambar Hubungan rata-rata dengan simpangan baku

3. Simpangan Kuartil

Seperti telah di bahas pada data tunggal, simpangan kuartil pada data yang dikelompokkan menjelaskan jarak antara titik-titik observasi yang dipilih yaitu jarak antara dua kuartil. Nilai Q1 Terendah 25% Q2 Q3 50% Nilai 75% tertinggi

Persamaan untuk menghitung kuartil pada data yang dikelompokkan adalah :

N n FK Qn = LQ n + i f Qn

LQn = batas bawah dari kuartil ke-n fQn = frekuensi kuartil ke-n FK = frekuensi kumulatif sebelum klas kuartil i = lebar kelas

Rentang antar Kuartil (Simpangan kuartil) = (Q1 - Q2)/2

Contoh : Data kehilangan hasil 60 petani

Kuartil ke-1 (Q1)= 25% X 60 =15 pada interval kelas 8,5-10,5 LQ1= 8,5 60 FQ1= 10 1 7 FK = 7 Q1 = 8,5 + 4 2 = 10,1 i = 2

10

Kuartil ke-3 (Q3)= 75% X 60 =45 pada interval kelas 12,5 -14,5 LQ3 = 12,5 60 FQ3 = 14 3 37 FK = 37 Q3 = 12,5 + 4 2 = 13,64 i =2 14Rentang Quartil = (Q1-Q3) =13,64-10,1 = 3,54 Simpangan kuartil = (Q1-Q3)/2 = 3,54/2 = 1,77

C. Ukuran Kemencengan Ukuran kemencengan (skewness) adalah harga yang menunjukkan seberapa jauh suatu distribusi menyimpang dari simetrik atau suatu grafik distribusi condong ke kanan atau ke kiri. Ukuran kemencengan digunakan untuk membandingkan dua atau lebih distribusi : kemencengan didefinisikan:

Md ) X Md ) ( ( Sk = =

SK X Md

= kemencengan, = rata-rata, = Median dan = standart deviasi

Dari data kehilangan hasil 60 petani diketahui :

X = , ; Md = , dan = ,

,) (, Sk = = + , ,+ 0,39 artinya grafik condong kekiri dan rerata ada di kanan median

Hubungan antara rata-rata, median dan modus

dapat dilihat pada gambar berikutKurtosis (peakedness of a distribution)

Kurtosis (peakness of a distribution)

SoalKelas Frekuensi 10 - 15 8 15 - 20 7 20 - 25 16 25 - 30 12 30 - 35 9 35 - 40 5 40 - 45 2Hitunglah : a. Rata-rata b. Median c. Modus d. Kuartil I, II, III e. Desil 5 f. Persentil g. Kemencengan h. Varians i. j. Standar Deviasi Simpangan Kuartil

Dont ForgetKamis, 14 April 2011 Kuis Aturan : Membawa kalkulator Menyiapkan contekan rumus 1 lembar Tidak boleh membuka contoh soal atau catatan Soal terlampir