SEBARAN PELUANG Sebaran binomial Jika suatu percobaan hanya menghasilkan 2 kejadian, yaitu (A dan (bukan A atau A') yang bebas stokastik disebut percobaan binomial. Misalnya peluang kejadian A adalah p dan peluang gagalnya kejadian A (A) ialah q =(1-p). Jika percobaan itu diulang N kali maka peluang kejadian A akan muncul x kali (atau x sukses dan (N x) gagal ialah : N! P (X=x) = px.q N-x X! (N-x)!

Sebaran binomial,

peubah

acak X

X~

yang binom

menyebar (N,p)atau

secara X~ binom

dengan ukuran contoh n dan peluang p, dengan

dilambangkan ( Np , Npq ) .

Sifat sebaran 1) rata-rata 3) Koefisien q-p a3 = Npq =

binomial. = Np

2) ragam = 2 = Npq momen kemiringan

4) Koefisien momen kurtosis 1 - 6pq a4 = 3 + Npq Dengan : N : jumlah kejadian = ukuran contoh p : peluang munculnya kejadian A q : (1- p)

Contoh : Sekeping mata uang yang seimbang dilemparkan 4

kali. Setiap sisi mempunyai peluang untuk muncul. Sisi mana pun yang muncul, tidak akan dipengaruhi oleh sisi yang muncul sebelumnya, dan tidak akan mempengaruhi sisi yang muncul kemudian. Artinya, munculnya sisi mata uang bersifat bebas stokastik.

Peluang munculnya sisi M (muka)= p = 1/2. Karena seimbang, maka peluang munculnya muka B (belakang) adalah = (1 - p) = (1 - 1/2) = 1/2. Misalnya peubah acak kejadian X adalah munculnya sisi M, maka dari 4 kali lemparan, sisi M dapat muncul 4 kali, 3 kali, 2 kali, 1 kali atau 0 kali. Misalnya B1 adalah munculnya B pada lemparan ke-l. B2 adalah munculnya B pada adalah munculnya B pada lemparan ke-2, ke-3, dan B3 B4 lemparan

adalah munculnya B pada lemparan ke-4, serta M1 adalah munculnya M pada lemparan ke-l, M2 adalah munculnya M pada lemparan ke-2,M3 M pada lemparan ke-3 dan pada lemparan ke-4. Oleh karena itu B1, B2, B3 dan B4 serta M1, M2, m3 dan M4 bersifat bebas maka peluang kejadian M muncul 0 kali adalah : P(X=0) : (1-p)4 P(X=1) : 4p1(1-p)3 adalah munculnya

M4 adalah munculnya M

P(X=2) : 6p2(1-p)2P(X=3) : 4p3(1-p)1

P(X=4) : p4(1-p)0

P(X=0) : (1-p)4 P(X=1) : 4p1(1-p)3 P(X=2) : 6p2(1-p)2 P(X=3) : 4p3(1-p)1 P(X=4) : p4(1-p)0

= 1 (1/2)0 (1-1/2)4 = 4(1/2) (1-1/2)3 = 6 (1/2)2 (1-1/2)2 = 4 (1/2)3 (1-1/2)1 = (1/2)4 (1-1/2)0

= 1/16 = 4/16 = 6/16 = 4/16 = 1/16

Sebaran peubah acak diskret seperti diuraikan di atas disebut sebaran binomial, karena koefisien X mengikuti rumus binomium Newton, yaitu : (p+q)N = pN +(NK1)(p1q N-1)+(NK2)(p2qN-2) + (NK3)(p3qN-3)+ qN dengan NKn merupakan koefisien binomial. Pada contoh di atas, karena N = 4 maka : (p+q)4 = 1p4 + 4p3q1 + 6 p2q2 + 4p1q3 + 1q4 Jika N amat banyak sekali dan p (atau q) mendekati nol , maka sebaran binomial mirip sebaran normal.

Sebaran Poisson dipakai untuk menentukan sebaran peluang kejadian yang amat jarang. Sebaran peubah acak diskret Poisson mengikuti persamaan P (X=x) = dengan : X e : 0, 1, 2 :2,71828 :konstanta x.e

X!

Sifat sebaran Poisson 1. rata-rata = = Np 2. ragam = 2 =

3. koefisien momen kemiringan a3 = 1/ 4. koefisien momen kurtosis a4 = 3 + 1/ Lambang X ~ Poisson (,) menunjukkan peubah acak X menyebar secara Poisson, dengan paramater X (rata-rata dan ragam). Contoh : Menurut pengalaman, peluang gagalnya suatu obat adalah 0,001. Jika ada 2000 pasien: 1)Berapa peluang gagalnya obat bagi 3 orang (pasien) ? 2)Berapa peluang gagalnya obat lebih dari 2 orang ? Karena N = 2000 (amat banyak) dan P=0,001 (amat kecil), maka peubah efek obat di atas dapat didekati dengan sebaran Poisson. Selanjutnya dapat dihitung nilai rata-rata = Np = (2000)(0,001) = 2. Nilai 2 juga = 2, karena X ~ Poisson (2) Koefisien momen kemiringan a3 = 1/ 2 = 0,071 Koefisien momen kurtosis a4 = 3 + 1/ 2 = 3,071 Seterusnya menjawab soal di atas: a. P (tepat 3 orang gagal obat ) = 23.e -2 P(X=3) = 3! = 3e2

4 = 0,1804

b. P (> 2 orang gagal obat) = P(X > 2) = 1 {P (0) atau (1) atau (2) gagal} = 12 0.e -2 0! 5 =12

2 1 e -2 1!

-

2 2 e -2 2!

= 1-0,677 = 0,323

e Jadi, (peluang lebih 2 orang yang gagal} adalah 0,323.

Sebaran normal Sebaran normal (disebut juga sebaran Gauss) merupakan sebaran peluang kontinyu yang penting. Persamaan atau fungsi f(Y)-nya adalah (X - ) 2

f(Y)=

e

1-

e

-

2

Untuk - ~ < Y < + ~ dengan : simpangan baku : 3,14159 e :2,71828...................... : rata-rata Sifat sebaran normal : 1. Rata-rata = 2. ragam = 2 3. koefisien momen kemiringan = a3 = 0 4. koefisien momen kurtosis = a4 = 3 5. simpangan rata-rata = 0,7979 Karena peubah acak Y menyebar normal dengan rata-rata dan ragam 2 , dinyatakan bahwa Y ~ N (, 2 ). maka dapat

Sebaran Normal Baku Jika peubah X pada sebaran normal dinyatakan dalam satuan baku Z = (X - )/ , maka persamaan normal di atas akan berubah menjadi kurva normal baku. Fungsi kepekatan normal baku (Z) adalah -1/2 Z2

(Z) =

2

e

Untuk - ~ < Z < + ~ dengan = 3,14159 e = 2,71828 Z = (X-)/

Kurva yang memenuhi persamaan di atas disebut kurva normal baku dengan rata-rata = 0 dan ragam = 1 yang dapat juga dinyatakan dengan Z~N(0,1) atau X-~

N (0,1)

/n

-3 -2 - Rata-rata = 0 Simpangan baku= 1

+ +2 +3 -3

-2 - 1

0 =0 =1

1

2

3

Rata-rata

Ilustrasi 7.1. Kurva normal dan kurva normal baku

Contoh : Lihat tabel kurva normal Z. Pada kolom paling kiri terdapat angka 0,0 sampai 3,9, sedang baris paling atas terdapat angka 0 sampai 9. Angka-angka ini menunjukkan harga Z (sumbu datar). Jika akan mencari nilai Z = 1,0, maka pada kolom kiri dicari angka 1,0 dan pada baris atas dicari angka 0. Jika kedua angka itu dihubungkan, maka pada badan tabel tampak nilai 3413. Pada nilai Z = 0,57, (pada kolom kiri dipakai angka 0,5, dan pada baris atas dipakai angka 7), pada badan tabel diperoleh nilai 2157. Pada badan tabel terdapat beberapa angka yang menunjukkan luas kurva atau besarnya peluang. Angka 3413 menunjukkan, bahwa luas kurva yang terletak di antara sumbu tegak (atau Z = 0,0) sampai Z =1,0 adalah 0,3413 atau P ( Z 0 < Z < Z 1 ) = P (0,0 < Z < 1,0) = 0,3413 atau peluang nilai Z berada di antara 0 sampai 1 adalah 0,3413 Dengan analogi yang sama angka 2157 menunjukkan, bahwa besarnya nilai Z berada di antara 0 sampai 0,57 adalah 0,2157. Contoh : Misalnya pada luas kurva 90%, berapa harga Z-nya ? Pernyataan di atas mempunyai 2 pengertian, yaitu 1 ekor atau 2 ekor Luas kurva 90 % dengan 1 ekor berarti luas ujung kurva (hanya ujung kiri atau hanya ujung kanan ) adalah 100% - 90% = 10 %. Misalnya dipakai 1 ekor dan pada ujung kanan. Di sini , luas kurva 90 % berada di antara ujung kiri kurva (Z= - ~ ) sampai harga Z + 1,28 Jika dipakai ujung kiri, maka luas kurva 90% terletak di antara Z = - 1,28 sampai ujung kanan kurva (Z= - ~). Dalam kalimat peluang hal tersebut dinyatakan sebagai P (-1,28