0

MAKALAH

MODEL BINOMIAL

Oleh:

13050874009 - Moh. Aprilianto Nafian

13050874023 - Himawan

13050874028 - Riski - Agustin Kuswanto

13050874032 - Fadlil Maula

S1 TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA

2014 - 2015

1

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirahim,

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, berkat limpahan

rahmat dan karunia-Nya. penulis dapat menyelesaikan salah satu tugas mata

kuliah Probabilitas dan Statistika yaitu makalah yang betemakan “Model

Binomial”.

Demikian juga tidak lupa, semoga shalawat serta salam senantiasa tercurah

kepada kekasih pilihan Allah, Muhammad SAW. Semoga pula rahmat, barakah

dan inayah-Nya selalu bergema pada sanak kerabat, sahabat, para tabi’in dan

orang yang mengikuti jejak mereka sampai hari kiamat.

Layaknya tak ada gading yang yang tak retak, begitu pula dengan

makalah ini maka penulis mohon kritik dan saran yang membangun. Dengan

begitu akan menjadi maklum adanya bila terdapat kesalahan.

Surabaya, 28 April 2015

Penulis,

2

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.................................................................................... 1

DAFTAR ISI ................................................................................................. 2

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah ...........................................................................3

1.2 Rumusan Masalah.....................................................................................4

1.3 Tujuan.......................................................................................................5

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Definisi Probabilitas .................................................................................6

2.2 Manfaat Probabilitas dalam Penelitian .....................................................7

2.3 Menghitung Probabilitas atau Peluang Suatu Kejadian............................8

2.4 Definisi Distribusi Binomial.....................................................................9

2.5 Ciri-ciri Distribusi Binomial...................................................................10

2.6 Penerapan Distribusi Binomial ...............................................................10

2.7 Contoh Soal Distribusi Binomial dan Cara Penyelesaiannya.................11

BAB III KESIMPULAN

4.1 Kesimpulan .............................................................................................15

DAFTAR PUSTAKA...................................................................................16

3

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Baik di dalam dunia engineering, ekonomi, sosial budaya maupun dunia teoritis

(termasuk dunia komputer tentunya), kita sering menghadapi suatu yang sering disebut

sebagai “ketidakpastian”. Ketidakpastian terjadi akibat keterbatsan manusia itu sendiri

di dalam dunianya dalam mengukur/menghitung/menalar/melamar sesuatu hal yang

lebih baik yang akan datang maupun yang ada di depan mata, termasuk yang telah

terjadi.

Sudah sejak awal dari awal zaman, ketidakpastian diantisipasi manusia dengan

berbagai cara. Ada yang bersifat prophecy dan supranatural, ada pula yang lebih

rasional dengan mempelajari periodisitas (pengulangan) gejala alam untuk mengurangi

tingkat ketidakpastian itu hingga sampai ke tingkat yang lebih manageble. Namun,

ketidakpastian itu tetap mewarnai kehidupan manusia karena ketidakpastian itu

mungkin menjadi faktor pemicu dinamika roda kehidupan itu sendiri. Dengan kata lain,

walau ketidakpastian itu seringkali menjadi sumber kesulitan, tetapi juga sekaligus

merupakan blessing.

Teori probabilitas bisa dikatakan merupakan salah satu ilmu untuk “mengukur”

ketidakpastian hingga ke tingkat yang lebih manageble dan predictable. Teori

probabilitas digunakan bukan hanya untuk hal-hal yang praktis, bahkan juga untuk hal-

hal yang teoritis ketika model-model matematis tidak dapat lagi disusun secara

komprehensif untuk memecahkan suatu masalah. Apalagi dunia engineering yang pada

umumnya memerlukan pertimbangan yang lebih singkat dan pragmatis sangat

mengandalkan konsep-konsep di dalam teori probabilitas.

Metode statistika adalah “muka” dari teori probabilitas. Metode statistika

digunakan untuk melakukan pengukuran kuantitatif yang aproksimatif akan suatu hal.

Konsep metodologis yang digunakan di dalam metode statistika dikembangkan

berdasarkan teori probabilitas. Dalam penggunaannya, hasil pengukuran statistika

sudah dapat dianggap memadai. Namun, untuk memahami apa yang ada di balik

angka-angka hasil perhitungan statistika tersebut memerlukan pemahaman mengenai

model probabilitas yang digunakannya, yang artinya perlu kembali ke teori probabilitas.

Tanpa pemahaman tersebut, seringkali statistika digunakan untuk melegitimasi suatu

4

kebohongan (dikenal sebagai kebohongan statistika) ketika statistika digunakan

sementara model dasar probabilitas yang terkait tidak sesuai atau relevan dengan situasi

yang sebenarnya.

Simulasi dan teori antrian dapat dikatakan juga sebagi turunan dan teori

probabilitas. Dengan simulasi maka perilaku suatu sistem atau rancangan dapat

dipelajari. Teori probabilitas digunakan dalam menentukan perilaku secara lebih

kuantitatif dari apa yang disimulasikan. Teori antrian merupakan hasil pengembangan

lanjutan konsep probabilitas dan di dalamnya masih berbicara mengenai model-model

probabilitas.

Namun, kembali ke pembicaraan awal, yaitu bahwa probabilitas hanyalah suatu

sistematika ilmu untuk mempelajari ketidakpastian. Seakurat-akuratnya model

probabilitas yang digunakan, tetap saja ketidakpastian itu masih ada walau dengan

kadar yang amat tipis. Dan ketidakpastian yang tipis itu pada gilirannya dapat

menghasilkan hasil yang ekstrim. Jadi penting bagi kita memahami apa yang bisa

diberikan oleh teori probabilitas dan turunan-turunannya. Dalam statistik probabilitas

dikenal dengan distribusi.

Salah satu jenis distribusi variabel random diskrit yang paling sederhana adalah

distribusi binomial. Distribusi Binomial adalah distribusi untuk proses Bernoulli.

Distribusi ini dikemukakan pertama kali oleh seorang ahli matematika bangsa

Swiss yang bernama J. Bernoulli (1654-1705).

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah tersebut di atas, maka masalah pokok yang

di rumuskan untuk makalah ini adalah:

1. Apa itu probabilitas?

2. Apa manfaat probabilitas dalam penelitian?

3. Bagaimana cara menghitung probabilitas dalam suatu kejadian?

4. Apa itu distribusi binomial?

5. Apa saja ciri-ciri dari distribusi binomial?

6. Bagaimana penerapan distribusi binomial?

5

1.3 Tujuan

Tujuan pembuatan makalah ini selain untuk melengkapi tugas mata kuliah

Probabilitas dan Statistika, yaitu untuk mengetahui probabilitas lebih jauh, mulai dari

cara menghitungnya, dan memahami konsep distribusi binomial yang merupakan

bagian dari probabilitas itu sendiri.

6

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Definisi Probabilitas

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan dengan beberapa pilihan

yang harus kita tentukan memilih yang mana. Biasanya kita dihadapkan dengan

kemungkinan-kemungkinan suatu kejadian yang mungkin terjadi dan kita harus pintar-

pintar mengambil sikap jika menemukan keadaan seperti ini, misalkan saja pada saat

kita ingin bepergian, kita melihat langit terlihat mendung. Dalam keadaaan ini kita

dihadapkan antara 2 permasalahan, yaitu kemungkinan terjadinya hujan serta

kemungkinan langit hanya mendung saja dan tidak akan turunnya hujan. Statistic yang

membantu permasalahan dalam hal ini adalah probabilitas.

Probabilitas didifinisikan sebagai peluang atau kemungkinan suatu kejadian,

suatu ukuran tentang kemungkinan atau derajat ketidakpastian suatu peristiwa (event)

yang akan terjadi di masa mendatang. Rentangan probabilitas antara 0 sampai dengan 1.

Jika kita mengatakan probabilitas sebuah peristiwa adalah 0, maka peristiwa tersebut

tidak mungkin terjadi. Dan jika kita mengatakan bahwa probabilitas sebuah peristiwa

adalah 1 maka peristiwa tersebut pasti terjadi. Serta jumlah antara peluang suatu

kejadian yang mungkin terjadi dan peluang suatu kejadian yang mungkin tidak terjadi

adalah satu, jika kejadian tersebut hanya memiliki 2 kemungkinan kejadian yang

mungkin akan terjadi.

Contoh: Ketika David ingin pergi kerumah temannya, dia melihat langit dalam

keadaan mendung, awan berubah warna menjadi gelap, angin lebih kencang dari

biasanya seta sinar matahari tidak seterang biasanya. Bagaimanakah tindakan David

sebaiknya?

Ketika David melihat keadaan seperti itu, maka sejenak dia berpikir untuk

membatalkan niatnya pergi kerumah temannya. Ini dikarenakan dia berhipotesis bahwa

sebentar lagi akan turun hujan dan kecil kemungkinan bahwa hari ini akan tidak hujan,

mengingat gejala-gejala alam yang mulai nampak.

Probabilitas dalam cerita tadi adalah peluang kemungkinan turunnya hujan dan

peluang tidak turunnya hujan.

Selain definisi di atas ada juga definisi klasiknya yaitu:

Eksperimen: semua aktivitas yang dapat menghasilkan out comes.

Sample space set of all possible out comes.

Out comes: sesuatu yang diamati / hasil observasi.

7

Event: Sample space (bagian dari himpunan dari seluruh out comes yang mungkin

muncul dalam satu set eksperimen). Contoh : Pelemparan mata uang (2 titik), dadu

(6 titik). Bila terdapat n kejadian setara yang salah satunya harus terjadi dan S

dinyatakan sebagai kejadian sukses, maka probabilitas sukses adalah S/n.

Mutually Exclusive (bertentangan) : munculnya event yang satu, menyebabkan

tidak munculnya event yang lain.

Collectively exhausive (Lengkap) : munculnya head and tail pada sebuah lemparan

koin dan tidak ada lagi out comes yang muncul ( salah satu harus terjadi).

2.2 Manfaat Probabilitas dalam Penelitian

Manfaat probabilitas dalam kehidupan sehari-hari adalah membantu kita dalam

mengambil suatu keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi. Jika kita

tinjau pada saat kita melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara

lain:

1) Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat.

Pengambilan keputusan yang lebih tepat dimaksudkan tidak ada keputusan yang

sudah pasti karena kehidupan mendatang tidak ada yang pasti kita ketahui dari

sekarang, karena informasi yang didapat tidaklah sempurna.

2) Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas

hipotesis yang terkait tentang karakteristik populasi. Menarik kesimpulan secara

tepat atas hipotesis (perkiraan sementara yang belum teruji kebenarannya) yang

terkait tentang karakteristik populasi pada situasi ini kita hanya mengambil atau

menarik kesimpulan dari hipotesis bukan berarti kejadian yang akan datang kita

sudah ketehaui apa yang akan tertjadi.

3) Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil penelitian dari suatu

populasi.

Contoh:

Ketika diadakannya sensus penduduk 2000, pemerintah mendapatkan data

perbandingan antara jumlah penduduk berjenis kelamin laki-laki berbanding jumlah

penduduk berjenis kelamin perempuan adalah memiliki perbandingan 5:6, sedangkan

hasil sensus pada tahun 2010 menunjukan hasil perbandingan jumlah penduduk

berjenis kelamin pria berbanding jumlah penduduk berjenis kelamin wanita adalah 5:7.

Maka pemerintah dapat mengambil keputusan bahwa setiap tahunnya dari tahun 2000

hingga 2010 jumlah wanita berkembang lebih pesat daripada jumlah penduduk pria.

8

2.3 Menghitung Probabilitas atau Peluang Suatu Kejadian

Jika tadi kita hanya memperhatikan peluang suatu kejadian secara kualitatif,

hanya memperhatikan apakah kejadian tersebut memiliki peluang besar akan terjadi

atau tidak. Disini kita akan membahas nilai dari probabilitas suatu kejadian secara

kuantitatif. Kita bisa melihat apakah suatu kejadian berpotensi terjadi ataukah tidak.

Misalkan kita memiliki sebuah koin yang memiliki muka gambar dan

angka,jika koin tersebut kita lemparkan keatas secara sembarang, maka kita memiliki 2

pilihan yang sama besar dan kuat yaitu peluang munculnya angka dan peluang

munculnya gambar. Jika kita perhatikan secara seksaama, pada satu koin hanya terdiri

dari satu muka gambar dan satu muka angka, maka peluang munculnya angka dan

gambar adalah sama kuat yaitu ½. 1 menyatakan hanya satu dari muka pada koin yang

mungkin muncul, entah itu gambar maupun angka sedangkan 2 menyatakan banyaknya

kejadian yang mungkin terjadi pada pelemparan koin, yaitu munculnya gambar +

munculnya angka.

Jika kita berbicara tidak lagi 2 kejadian yaitu menyangkut banyak kejadian yang

mungkin terjadi, mengingat dan dari hasil pengumpulan dan penelitian data diperoleh

suatu rumus sebagai berikut. Jika terdapat N peristiwa, dan nA dari N peristiwa tersebut

membentuk kejadian A, maka probabilitas A adalah :

P(A) = N

Dimana: n= banyaknya kejadian

N= kejadian seluruhnya/peristiwa yang mungkin terjadi

Contoh 1:

Suatu mata uang logam yang masing-masing sisinya berisi gambar dan angka

dilemparkan secara bebas sebanyak 1 kali. Berapakah probabilitas munculnya gambar

atau angka?

Jawab :

n=1; N=2

P(gambar atau angka) = N

= 2

atau 50%

Dapat disimpulkan peluang munculnya gambar atau angka adalah sama besar.

Contoh 2:

Berapa peluang munculnya dadu mata satu pada satu kali pelemparan? Jika kita tinjau

pada sebuah dadu hanya memiliki 1 buah mata dadu bermata 1, sedangkan pada dadu

terdapat 6 mata yaitu mata 1 sampai mata 6.

n A

n

1

9

Maka

P(A) = N

= 6

Probabilitas mempunyai beberapa aturan, diantaranya:

a) Jika n = 0 makka peluang terjadinya suatu kejadian pada keadaan ini adalah

sebesar P(A) = 0 atau tidak mungkin terjadi.

b) Jika n merupakan semua anggota N maka probabilitasnya adalah satu, atau

kejadian tersebut pasti akan terjadi.

c) Probabilitas suatu kejadian memiliki rentangan nilai.

d) Jika E menyatakan bukan peristiwa E maka berlaku.

2.4 Definisi Distribusi Binomial

Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan

bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli.

Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap

ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil

berturut-turut, kita dapat memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu

merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut

bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama,taitu sebasar

½..(Ronald E. Walpole).

Syarat Distribusi Binomial:

1. Jumlah percobaan merupakan bilangan bulat. Contoh melambungkan koin 2

kali, tidak mungkin 2½ kali.

2. Setiap eksperimen mempunyai dua outcome (hasil). Contoh: sukses atau gagal,

laki-laki atau perempuan, sehat atau sakit.

3. Peluang sukses sama setiap ekperimen. Contoh: Jika pada lambungan pertama

peluang keluar mata H/sukses adalah ½, pada lambungan seterusnya juga ½.

Jika sebuah dadu, yang diharapkan adalah keluar mata lima, maka dikatakan

peluang sukses adalah 1/6, sedangkan peluang gagal adalah 5/6.Untuk itu

peluang sukses dilambangkan p, sedangkan peluang gagal adalah (1-p).

n

1

10

2.5 Ciri-ciri Distribusi Binomial.

Distribusi Binomial dapat diterapkan pada peristiwa yang memiliki ciri-ciri

percobaan Binomial atau Bernoulli trial sebagai berikut :

1. Setiap percobaan hanya mempunyai 2 (dua) kemungkinan hasil: sukses (hasil

yang dikehendaki) dan gagal (hasil yang tidak dikehendaki).

2. Setiap percobaan beersifat independen atau dengan pengembalian.

3. Probabilita sukses setiap percobaan harus sama, dinyatakan dengan p.

Sedangkan probabilita gagal dinyatakan dengan 1-p, dan jumlah p dan 1-p

harus sama dengan satu.

4. Jumlah percobaan, dinyatakan dengan n, harus tertentu jumlahnya.

2.6 Penerapan Distribusi Binomial

Beberapa kasus dimana distribusi normal dapat diterapkan yaitu:

1. Jumlah pertanyaan dimana anda dapat mengharapkan bahwa terkaan anda

benar dalam ujian pilihan ganda.

2. Jumlah asuransi kecelakaan yang harus dibayar oleh perusahaan asuransi.

3. Jumlah lemparan bebas yang dilakukan oleh pemain basket selama satu musim.

Rumus Distribusi Binomial

Keteranagan:

N = banyaknya ulangan

k = banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x

p = peluang berhasil dalam setiap ulangan

(1-p) = peluang gagal

11

2.7 Contoh Soal Distribusi Binomial dan Cara Penyelesaiannya

1. Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala Wisata air, yang khusus menangani

perjalanan wisata turis manca negara, 20% dari turis menyatakan sangat puas

berkunjung ke Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan

sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta

wisata turis manca negara yang pernah berkunjung ke Indonesia, berapakah

probabilitas :

a) Paling banyak 2 di antaranya menyatakan sangat puas.

b) Paling sedikit 1 di antaranya menyatakan kurang puas

c) Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja

d) Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas.

Jawab :

Diketahui N = 5;

Ditanyatakan:

a) Paling banyak 2 di antaranya menyatakan sangat puas (p(x) ≤ 2).

p=0,20;

b(0; 5; 0,20)

b(1; 5; 0,20)

b(2; 5; 0,20)

= C5 . 0,200. 0,80 5−0

= 0! 5−0 !

0,200. 0,805−0

= 0,32768

= C5 . 0,201. 0,80 5−1

= 1! 5−1 !

0,201 . 0,805−1

= 0,40960

= C5 . 0,202. 0,80 5−2

= 2! 5−2 !

0,202. 0,805−2

= 0,20480

Maka hasil p(x) ≤ 2 = 0.94208

5!

5!

5!

12

b) Paling sedikit 1 diantaranya menyatakan kurang puas (p(x) ≥ 1).

p=0,15;

b(1; 5; 0,15)

b(2; 5; 0,15)

b(3; 5; 0,15)

b(4; 5; 0,15)

b(5; 5; 0,15)

jadi: p(x) ≥ 1

= C5 . 0,151. 0,85 5−1

= 1! 5−1 !

0,151 . 0,154

= 0,3915

= C5 . 0,152. 0,85 5−2

= 2! 5−2 !

0,152. 0,153

= 0,1382

= C5 . 0,153. 0,85 5−3

= 3! 5−3 !

0,153. 0,152

= 0,0244

= C5 . 0,154. 0,85 5−4

= 4! 5−4 !

0,154. 0,151

= 0,002

= C5 . 0,155. 0,85 5−5

= 5! 5−5 !

0,155. 0,150

= 0,0001

5!

5!

5!

5!

5!

13

c) Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja (p(x)=2).

p=0,25

b(2; 5; 0,25)

= C2 . 0,252. 0,75 5−2

= 2! 5−2 !

0,252. 0,753

= 0,2637

d) Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas (x ≤ 2 x ≤ 4)

P=0,40;

b(2; 5; 0,40)

b(3; 5; 0,40)

b(4; 5; 0,40)

= C5 . 0,402. 0,60 5−2

= 2! 5−2 !

0,402. 0,603

= 0,3456

= C5 . 0,403. 0,60 5−3

= 3! 5−3 !

0,403. 0,602

= 0,2304

= C5 . 0,404. 0,60 5−4

= 4! 5−4 !

0,404. 0,601

= 0,0768

Jadi (x ≤ 2 x ≤ 4)

Analisis masing – masing point :

a) Sebanyak paling banyak 2 dari 5 orang dengan jumlah 0.94208 atau 94,28% yang

menyatakan sangat puas adalah sangat besar.

b) Paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti semuanya) dengan jumlah 0,5563 atau

55,63% yang menyatakan kurang puas dapat dikatakan cukup besar (karena lebih

dari 50%).

c) Tepat 2 dari 5 orang yang menyatakan biasa saja dengan jumlah 0,2637 atau

26,37% adalah kecil (karena dibawah 50%).

d) Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas dengan jumlah 0,6528% atau 65,28%

dapat dikatakan cukup besar.

5

5!

5!

5!

5!

14

Analisis keseluruhan :

a. Persentase

Jika diambil persentase terbesar tanpa memperhatikan jumlah X, maka persentase

terbesar ada di point pertama (a) yaitu 94,28% yang menyatakan sangat puas. Hal

tersebut menandakan banyak turis manca negara yang sangat menyukai Indonesia.

b. Nilai x

Jika dilihat dari jumlah x, maka perlu diperhatikan point kedua (b). Jumlah x

adalah paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti x>=1) yaitu 55,63% yang

menyatakan kurang puas.Hal tersebut berarti kelima (semua) turis manca negara

kurang puas terhadap kunjungannya ke Indonesia.

15

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa probabilitas sangatlah membantu

manusia dalam mengambil sebuah keputusan. Misalkan untuk memperkirakan apakah

peluang lebih banyak gagal atatu sukses dari sebuah usaha.

Distribusi binomial merupakan suatu performans dari suatu percobaan,

percobaan itu hanya memiliki dua macam keluaran yaitu “Sukses” atau “Gagal”.

Percobaan tersebut disebut dengan tindakan Bernoulli atau percobaan Bernoulli

(Bernoulli trial).

16

DAFTAR PUSTAKA

http://fathur14klose.blogspot.com/2011/12/makalah-statistika-distribusi-binomial.html

diakses pada hari Senin tanggal 24 Desember 2012 pukul 11.07 WIB.

http://sainsmatika.blogspot.com/2012/03/probabilitas-peluang.html diakses hari Senin

tanggal 24 Desember 2012 pukul 11.44 WIB

16