Matematika Teknik

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM

Berkaitan dengan matriks mxnMA∈ adalah dua sub ruang khusus yakni ruang Null dari A dan ruang kolom dari A yang dinotasikan secara berturut-turut dengan N(A) dan C(A). N(A) merupakan himpunan solusi dari SPL homogen dengan A sebagai matriks koefisiennya, sedangkan C(A) merupakan ruang vektor yang dibangun oleh vektor kolom dari A ( ruang kolom dari A ) atau dapat juga dikatakan sebagai

himpunan yang memuat mB ℜ∈ sehingga SPL, AX = B konsisten. Ruang Null dari matriks A, N(A) tidak lain merupakan ruang solusi sebagaimana yang dibahas pada pembahasan sebelumnya. Dimensi ruang Null dari matriks A dikatakan Nulitas ( A ).

Sedangkan ruang kolom akan dibahas bersamaan dengan ruang baris, sebab keduanya mempunyai hubungan yang sangat dekat. Misal diberikan matriks

( )A a i m j nij= = = dengan dan12 12, ,..., , ,..., . atau mxnMA∈ . Maka vektor -vektor :

( )r a a a i mi i i in= =1 2 12, ,..., , ,...,dengan disebut vektor baris dari A dan vektor-vektor :

c

a

a

a

j nj

j

j

mj

=

=

1

2

12.

.

.

, ,..., . dengan

disebut vektor kolom dari A

Sub ruang dari ℜn yang direntang oleh vektor-vektor baris disebut ruang baris dari A. Sedangkan sub ruang dari ℜm yang direntang oleh vektor-vektor kolom disebut ruang kolom dari A.

Basis ruang kolom dari A didapatkan dengan melakukan OBE pada A. Vektor kolom yang merupakan unsur basis ditentukan oleh adanya bilangan satu ( 1 ) utama pada kolom yang bersesuaian. Sedangkan basis ruang baris dari A didapatkan dengan melakukan OBE pada At. Dimensi ruang kolom suatu matriks sama dengan dimensi ruang barisnya dan dinamakan rank dari A. Ada keterkaitan antara N(A) dan C(A), yakni jumlah dimensi dari kedua sub ruang vektor tersebut akan sama dengan banyak kolom matriks A . Misal mxnMA∈ . Maka Nulitas (A) + Rank (A ) = n Contoh : Diketahui matriks A,

Matematika Teknik

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

A =−

−

1 2 3

2 1 0

3 1 1

5 0 1

Tentukan : a. Semua vektor baris dan vektor kolom dari A. b. Basis dan dimensi ruang kolom dari A. c. Basis dan dimensi ruang baris dari A Jawab : a. Vektor baris : ( ) ( ) ( ) ( )r r r r1 2 3 41 2 3 2 1 0 311 5 0 1= = − = = −, , , , , , , , , , dan

Vektor kolom :

c c c1 2 3

1

2

3

5

2

1

1

0

3

0

1

1

=−

=

=

−

, dan

b. A =−

−

→

1 2 3

2 1 0

3 1 1

5 0 1

1 2 3

0 1

0 0 1

0 0 0

65 . Bilangan satu ( 1 ) utama terletak di semua

kolom maka basis dari ruang kolom adalah { }S c c c= 1 2 3, , .

c. At =−

−

→−

− −

1 2 3 5

2 1 1 0

3 0 1 1

1 2 3 5

0 1 1 2

0 0 1 2

. Bilangan satu utama terletak pada

kolom 1, 2 dan 3. Oleh karena itu vektor kolom ke 1, 2 dan 3 merupakan unsur basis dari ruang kolom dari At. Jadi baris ke-1, 2 dan 3 merupakan unsur basis ruang baris

dari A, yaitu: { }S r r r= 1 2 3, , . Dimensi ruang baris dari A sama dengan 3.

Untuk menentukan basis dari ruang yang direntang oleh sejumlah vektor

dilakukan dengan membentuk sebuah matriks dengan vektor kolomnya adalah vektor-vektor tersebut. Kemudian melakukan OBE sehingga diperoleh bilangan satu utama seperti cara menentukan basis ruang kolom. Contoh : Tentukan basis dari ruang yang direntang oleh vektor berikut : ( ) ( ) ( )u v w= − − = − = −11 4 3 2 0 2 2 2 1 3 2, , , , , , , , , ,dan Jawab :

Matematika Teknik

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

A =−

−− −

→

1 2 2

1 0 1

4 2 3

3 2 2

1 2 2

0 1

0 0 1

0 0 0

32 . Satu utama terletak di kolom 1, 2 dan 3. Basis

dari ruang kolom A sama dengan basis dari ruang yang direntang oleh ketiga vektor

tersebut, misal S, yaitu : { }S u v w= , ,

Contoh : Tentukan basis dari ruang yang direntang oleh vektor berikut : ( ) ( ) ( )u v w= = =111 2 2 0 11 0, , , , , , ,dan Jawab :

A =

→− −

→

1 2 1

1 2 1

1 0 0

1 2 1

0 0 0

0 2 1

1 2 1

0 0 0

0 1 12

. Satu utama terletak di kolom 1dan 2.

Basis dari ruang kolom A sama dengan basis dari ruang yang direntang oleh ketiga

vektor tersebut, yaitu : { }S u v= ,

Soal Latihan ( 1 sd 3 ) Tentukan : (a ) Basis ruang kolom , (b) basis ruang baris dan ( c ) rank dari matriks berikut :

1.

1 1 2 1

1 0 1 2

2 1 3 4

2.

1 1 3 2

2 0 1 1

2 1 1 1

3 2 3 3

−−

−− −

3.

1 3 2 2 1

0 3 6 0 2

2 3 2 4 4

3 3 6 6 3

5 3 10 10 5

−−

− −−−

( Nomor 4 sd 6 ) Tentukan basis dari ruang yang direntang oleh vektor berikut : 4. ( 1,1,0,0 ), ( 0,0,1,1 ), ( -2,0,2,2 ) dan ( 0,-3,0,3 ) 5. ( 1,-1,5,2 ) , ( -2,3,1,0 ), ( 4,-5,9,4 ) dan ( 0,4,2,-3 ) dan ( -7,18,2,-8 ) 6. ( 1,0,1,1 ) , ( -3,3,7,1 ) , ( -1,3,9,3 ) dan ( -5,3,5,-1 )

Matematika Teknik

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

( Nomor 7 sd 11 ) Carilah basis dan dimensi dari ruang Null matriks A bila,

7. A =−

1 4 5 2

2 1 3 0

1 3 2 2

8. A =−− −−

1 1 3

5 4 4

7 6 2

9. A =

1 2 0 1

0 1 2 1

1 2 1 3

0 1 2 3

10. A =− −

− − − −

1 4 5 6 9

3 2 1 4 1

1 0 1 2 1

2 3 5 7 8

11. A =−

−

− −

2 1 5

6 3 8

1 2 1

0 4 1

2 1 1

12. Diketahui SPL, AX = B dengan A =−

1 4 5 2

2 1 3 0

1 3 2 2

. Carilah matriks B sehingga

SPL tersebut : a. Konsisten b. Tidak konsisten.