D. MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARIS · Web viewF. MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI...
19
86 F. MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARIS/KOLOM Telah kita lihat pada bagian C bahwa untuk menghitung determinan matriks yang berukuran lebih besar dari 3 x 3 dengan cara ekspansi kofaktor sangat panjang sekali. Untuk menghindari perhitungan yang panjang terutama bagi matriks yang lebih besar dari 3 x 3, kita bisa menggunakan cara lain yaitu dengan menggunakan reduksi baris. Metoda reduksi baris ini sama seperti yang dilakukan dalam pemecahan sistem persamaan linier atau menentukan invers matriks yaitu dengan menggunakan metoda eliminasi Gauss-Jordan, tetapi dengan sedikit perubahan. Sebelum kita melakukan perhitungan determinan dengan menggunakan reduksi baris, terlebih dahulu akan diberikan beberapa teorema yang akan digunakan dalam perhitungan determinan dengan reduksi baris tersebut. Teorema III.2 Jika A adalah sebarang matriks bujursangkar yang mengandung satu baris atau satu kolom bilangan nol,maka det A = 0 Bukti : Karena hasil kali elementer bertanda dari matriks A mengandung satu faktor dari setiap baris atau kolom, maka setiap hasil kali elementer bertanda tersebut akan mengandung bilangan nol. Sebagai akibatnya semua hasil kali elementer tersebut akan berharga nol. Karena determinan adalah penjumlahan dari hasil kali elementer bertanda, maka apabila semua hasil kali elementer bertanda tersebut berharga nol, maka otomatis det A = 0. Contoh III.17 Tentukanlah determinan matriks berikut, A 5 2 3 0 0 0 6 1 4 B 3 2 0 1 6 1 0 2 7 3 0 5 1 2 0 4 Jawab : Dari matriks A di atas tampak bahwa semua komponen dalam baris kedua, terdiri dari bilangan nol (0), menurut teorema III.2 det A = 0. Untuk membuktikannya akan dihitung det A DND
Transcript of D. MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARIS · Web viewF. MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI...
86
F. MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN REDUKSI BARIS/KOLOMTelah kita lihat pada bagian C bahwa untuk menghitung determinan matriks yang
berukuran lebih besar dari 3 x 3 dengan cara ekspansi kofaktor sangat panjang sekali. Untuk menghindari perhitungan yang panjang terutama bagi matriks yang lebih besar dari 3 x 3, kita bisa menggunakan cara lain yaitu dengan menggunakan reduksi baris. Metoda reduksi baris ini sama seperti yang dilakukan dalam pemecahan sistem persamaan linier atau menentukan invers matriks yaitu dengan menggunakan metoda eliminasi Gauss-Jordan, tetapi dengan sedikit perubahan. Sebelum kita melakukan perhitungan determinan dengan menggunakan reduksi baris, terlebih dahulu akan diberikan beberapa teorema yang akan digunakan dalam perhitungan determinan dengan reduksi baris tersebut.
Teorema III.2Jika A adalah sebarang matriks bujursangkar yang mengandung satu baris atau satu kolom bilangan nol,maka det A = 0
Bukti :Karena hasil kali elementer bertanda dari matriks A mengandung satu faktor dari setiap baris atau kolom, maka setiap hasil kali elementer bertanda tersebut akan mengandung bilangan nol. Sebagai akibatnya semua hasil kali elementer tersebut akan berharga nol. Karena determinan adalah penjumlahan dari hasil kali elementer bertanda, maka apabila semua hasil kali elementer bertanda tersebut berharga nol, maka otomatis det A = 0.
Contoh III.17Tentukanlah determinan matriks berikut,
A
5 2 3
0 0 0
6 1 4
B
3 2 0 1
6 1 0 2
7 3 0 5
1 2 0 4
Jawab :Dari matriks A di atas tampak bahwa semua komponen dalam baris kedua, terdiri dari bilangan nol (0), menurut teorema III.2 det A = 0. Untuk membuktikannya akan dihitung det A dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama yaitu,
det ( ) ( ) ( ) ( )A
50 0
1 42
0 0
6 43
0 0
6 15 0 0 2 0 0 3 0 0 0
Terbukti benar bahwa det A = 0
Dari matriks B di atas dapat dilihat bahwa semua komponen dalam kolom kedua terdiri dari bilangan nol (0), menurut teorema III.2 det B = 0. Untuk membuktikannya akan dihitung det B dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama yaitu,
det B = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 + a14 C14
Tentukan dahulu kofaktor C11, C12 dan C13 sebagai berikut,
C11
1 0 2
3 0 5
2 0 4
10 5
0 40
3 5
2 42
3 0
2 0
1 0 0 0 12 10 2 0 0 0( ) ( ) ( )
DND
87
C12
6 0 2
7 0 5
1 0 4
60 5
0 40
7 5
1 42
7 0
1 0
6 0 0 0 28 5 2 0 0 0( ) ( ) ( )
C13
6 1 2
7 3 5
1 2 4
63 5
2 41
7 5
1 42
7 3
1 2
6 12 10 1 28 5 2 14 3 13( ) ( ) ( )
C14
6 1 0
7 3 0
1 2 0
63 0
2 01
7 0
1 00
7 3
1 2
6 0 0 1 0 0 0 14 3 0( ) ( ) ( )
Karena a11 = 3 , a12 = 2 , a13 = 0 dan a14 = 1, maka
det B = (3)(0) + 2(0) + 0(13) + 1(0) = 0
Terbukti benar bahwa det B = 0
Definisi: Jika semua komponen di bawah diagonal utama sebuah matriks bujursangkar bernilai nol, maka matriks tersebut dinamakan matriks segitiga atas (upper triangular), sedangkan jika semua komponen di atas diagonal utama bernilai nol maka matriks tersebut dinamakan matriks segitiga bawah (lower triangular). Sebuah matriks baik yang segitiga atas maupun segitiga bawah dinamakan matriks segitiga.
Contoh III.18Matriks segitiga atas
A
a a a
a a
a
11 12 13
22 23
33
0
0 0
B
b b b b
b b b
b b
b
11 12 13 14
22 23 24
33 34
44
0
0 0
0 0 0
Matriks segitiga bawah :
A
a
a a
a a a
11
21 22
31 32 33
0 0
0 B
b
b b
b b b
b b b b
11
21 22
31 32 33
41 42 43 44
0 0 0
0 0
0
Contoh III.19Hitunglah determinan matriks segitiga atas A dan matriks segitiga bawah B berikut,
DND
88
A
a a a
a a
a
11 12 13
22 23
33
0
0 0
B
b
b b
b b b
b b b b
11
21 22
31 32 33
41 42 43 44
0 0 0
0 0
0
Jawab :Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama dari matriks A diperoleh,
A
a a a
a a
a
11 12 13
22 23
33
0
0 0
aa a
a11
22 23
330 a
a
aa
a
a12
32
3313
22
32
0
0
0
0
a a a a a a a a11 22 33 12 13 11 22 330 0 0 0 0( ) ( ) ( )
Untuk menghitung det B juga akan digunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama yaitu,
det B = b11 C11 + b12 C12 + b13 C13 + b14 C14
Tentukan kofaktor C11 , C12 , C13 dan C14
C
b
b b
b b b
bb
b b
b
b b
b b
b b
b b b b b b b b b b b b
11 33
42 43 44
2233
43 44
32
43 44
32 33
42 43
22 33 44 32 44 32 43 33 42 22 33 44
0 0
00
00
0
0 0 0 0
22
32
( ) ( ) ( )
C
b
b b
b b b
bb
b b
b
b b
b b
b b
b b b b b b b b b b b b
12
21
31 33
41 43 44
2133
43 44
31
41 44
31 33
41 43
21 33 44 31 44 31 43 33 41 21 33 44
0 0
00
00
0
0 0 0 0
( ) ( ) ( )
C
b b
b b
b b b
bb
b bb
b
b b
b b
b b
b b b b b b b b b b b b b
13
21 22
31 32
41 42 44
2132
42 4422
31
41 44
31 32
41 42
21 32 44 22 31 44 31 42 32 41 21 32 44
0
00 0
0
0 0 0
( ) ( ) ( )
C
b b
b b b
b b b
bb b
b bb
b b
b b
b b
b b
b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b
14
21 22
31 32 33
41 42 43
2132 33
42 4322
31 33
41 43
31 32
41 42
21 32 43 33 42 22 31 43 33 41 31 42 32 41
21 32 43 21 33 42 22 31 43 22 33 41
0
0
0
( ) ( ) ( )
Karena b11 = b11 , b12 = 0 , b13 = 0 , b11 = 0
maka det B = b11(b22 b33 b44) + 0(b21 b33 b44) + 0(b21 b32 b44)
+ 0(b21 b32 b43 b21 b33 b42 b22 b31 b43 + b22 b33 b41) = b11b22 b33 b44
Dari contoh III.19 ini dapat kita simpulkan bahwa sebuah matriks segitiga (baik matriks segitiga atas maupun matriks segitiga bawah) harga determinannya merupakan hasil kali komponen-komponen yang ada pada diagonal utamanya. Secara umum determinan matriks segitiga ini dinyatakan dalam teorema berikut.
DND
89
Teorem III.3Jika A adalah sebuah matriks segitiga n x n, maka det A adalah hasil kali komponen-komponen yang berada pada diagonal utamanya, yaitu det A = a11 a22 . . . ann.
Contoh III.20Tentukanlah determinan matriks berikut,
A
2 7 3 8 3
0 3 7 5 1
0 0 6 7 6
0 0 0 9 8
0 0 0 0 4
Jawab :Berdasarkan teorema III.3, yang mengatakan bahwa untuk matriks segitiga determinannya adalah hasil kali komponen-komponen yang berada di diagonal utama, karena itu determinan matriks A adalah,
det ( )( )( )( )( )A
2 7 3 8 3
0 3 7 5 1
0 0 6 7 6
0 0 0 9 8
0 0 0 0 4
2 3 6 9 4 1296
Dalam bab I telah kita bahas bahwa operasi baris elementer (OBE) yang dilakukan pada suatu matriks akan menghasilkan matriks lain yang ekivalen dengan matriks asalnya. Jika matriks baru OBE tersebut ditentukan determinannya maka hasilnya seperti yang ditunjukkan dalam teorema berikut,
Teorema III.4
a) Jika B adalah sebuah matriks yang dihasilkan apabila sebuah baris pada matriks A dikalikan dengan konstanta k, maka det B= k det A atau det A =
1
k det B.
b) Jika C adalah sebuah matriks yang diperoleh dari hasil pertukaran dua baris matriks A, maka det C = det A atau det A = det C.
c) Jika D adalah sebuah matriks yang dihasilkan apabila kelipatan suatu baris matriks A ditambahkan pada baris lain, maka det D = det A atau det A = det D.
Dari teorema III.4 ini dapat kita lihat bahwa jika kita lakukan suatu OBE pada suatu matriks maka determinan dari matriks yang baru hasil OBE tersebut bisa berbeda dengan determinan matriks asalnya.
Contoh III. 21Tinjaulah matriks berikut,
DND
diagonal utama
90
A
2 6 1
1 5 2
3 4 6
Lakukanlah operasi baris elementer O1 (3) pada matriks A sehingga menjadi matriks baru yang kita sebut matriks B. Selanjutnya kita lakukan operasi baris elementer O12 terhadap matriks B sehingga diperoleh matriks baru C . Kemudian lakukan operasi baris elementer O21 (6) pada pada matriks C sehingga diperoleh matriks D.
2 6 1
1 5 2
3 4 6
A
O1 (3)»
6 18 3
1 5 2
3 4 6
B
O12 »
1 5 2
6 18 3
3 4 6
C
O21 (6)»
1 5 2
0 48 15
3 4 6
D
Sekarang tentukan determinan setiap matriks-matriks ini, maka akan diperoleh,
det A
2 6 1
1 5 2
3 4 6
( )
25 2
4 66
1 2
3 61
1 5
3 4
( )( ) ( ) ( )2 30 8 6 6 6 1 4 15 76 72 11 137
det B
6 18 3
1 5 2
3 4 6
( )
65 2
4 618
1 2
3 63
1 5
3 4
( )( ) ( ) ( )6 30 8 18 6 6 3 4 15 228 216 33 411
det C
1 5 2
6 18 3
3 4 6
1
18 3
4 65
6 3
3 62
6 18
3 4
( )( ) ( ) ( )1 108 12 5 36 9 2 24 54 120 135 156 411
det D
1 5 2
0 48 15
3 4 6
148 15
4 65
0 15
3 62
0 48
3 4
( )( ) ( ) ( )1 288 60 5 0 45 2 0 144 348 225 288 411Dari hasil penentuan determinan ini dapat dilihat bahwa,
det A = 1
3 det B
det B = det C det A = 1
3det B =
1
3 det C =
1
3 det D
det C = det D
Atau dengan menggunakan notasi determinan ç. çdapat dituliskan,
2 6 1
1 5 2
3 4 6
13
6 18 3
1 5 2
3 4 6
13
1 5 2
6 18 3
3 4 6
13
1 5 21
0 48 15
3 4 6
DND
91
Untuk mempermudah dan mempersingkat tulisan tanpa harus melakukan OBE dahulu pada matriks asalnya, kita bisa mereduksi langsung determinan suatu matriks yang menggunaan symbol ç. çseperti halnya OBE yang dilakukan pada matriks A, B, C dan D dalam contoh III.21. Untuk membedakan dengan OBE pada matriks yang menggunakan simbol O, maka untuk reduksi baris pada determinan kita gunakan simbol R (singkatan dari row atau baris), jadi reduksi baris yang dinyatakan dalam teorema III.4 diberi simbol sebagai berikut,
Ri (l) = baris ke i dalam suatu determinan dikalikan dengan suatu bilangan l (l ¹ 0 ) dan determinan yang baru hasil operasi baris ini nilainya l kali determinan asalnya. Jadi jika determinan asalnya adalah det A dan determinan yang baru adalah det B maka,
det ARi (l)
=1l
det B
Rij = baris ke i dan baris ke j dalam suatu determinan saling tukar tempat dan determinan yang baru hasil operasi baris ini nilainya negatif dari determinan asalnya. Jadi jika determinan asalnya adalah det A dan determinan yang baru adalah det B maka,
det ARi j
= det B
Rij (l) = baris ke i dalam suatu determinan diganti dengan baris ke-i yang sudah ditambah dengan l (l ¹ 0 ) kali baris ke j dalam determian yang sama, dan determinan yang baru hasil operasi baris ini nilainya sama dengan determinan asalnya. Jadi jika determinan asal adalah det A dan determinan yang baru adalah det B maka,
det ARi j(l)
= det B
Contoh III.22Diketahui matriks berikut,
A
3 2 1
1 4 2
0 5 1
det A
3 2 1
1 4 2
0 5 1
Jika kita lakukanlah operasi baris R2 (3) pada determinan A akan diperoleh,
3 2 1
1 4 2
0 5 1
R2 (3)
=
13
3 2 1
3 12 6
0 5 1
Jika kita lakukanlah operasi baris R12 pada determinan A akan diperoleh,
DND
Perhatikan, tanda di sini adalah tanda sama dengan (=) bukan tanda ekivalen (») seperti dalam OBE untuk matriks
92
3 2 1
1 4 2
0 5 1
R12
=
1 4 2
3 2 1
0 5 1
Jika kita lakukanlah operasi baris R21 (3) pada determinan A akan diperoleh,
3 2 1
1 4 2
0 5 1
R12 (3)
=
0 14 5
1 4 2
0 5 1
Dengan reduksi baris seperti di atas, kita bisa membuat determinan suatu matriks menjadi determinan yang berbentuk segi tiga, sehingga kita bisa langsung menentukan determinannya dari diagonal utamanya dikalikan dengan suatu konstanta (jika ada) hasil reduksi baris tersebut.
Contoh III.23Hitunglah determinan matriks berikut dengan menggunakan reduksi baris,
A
0 1 5
3 6 9
2 6 1
Jawab :
Determinan matriks A adalah det A
0 1 5
3 6 9
2 6 1
Reduksi determinan A ini dengan aturan yang telah dibicarakan di atas,
0 1 5
3 6 9
2 6 1
R12
=
3 6 9
0 1 5
2 6 1
R1(1/3)
=
3
1 2 3
0 1 5
2 6 1
R31(-2)
=
3
1 2 3
0 1 5
0 10 5
R22(-10)
=
3
1 2 3
0 1 5
0 0 55
= (3)(1)(1)(55) = 165
Contoh III.24Hitunglah determinan matriks berikut dengan menggunakan reduksi baris,
A
1 2 1 2
3 0 1 5
1 2 0 3
2 4 1 6
Jawab :
DND
determinan yang terakhir ini berbentuk segitiga atas, sehingga determinannnya adalah hasil kali komponen-komponen yang ada di diagonal utamanya.
diagonal utama
93
det A
1 2 1 2
3 0 1 5
1 2 0 3
2 4 1 6
Lakukan reduksi baris pada determinan A ini,
1 2 1 2
3 0 1 5
1 2 0 3
2 4 1 6
R21(-3)
= R31(-1)R41(2)
1 2 1 2
0 6 4 1
0 4 1 1
0 0 1 10
R2(-1/6)
=( )
6
1 2 1 2
0 1
0 4 1 1
0 0 1 10
4
6
1
6
R32(4)
=( )
6
1 2 1 2
0 1
0 0
0 0 1 10
4
6
1
6106
106
R34
=
( )6
1 2 1 2
0 1
0 0 1 10
0 0
4
6
1
6
10
6
10
6
R43(-10/6)
=
( )6
1 2 1 2
0 1
0 0 1 10
0 0 0
4
6
1
6
90
6
= (6)(1)(1)(1) ç
90
6= 90
Contoh III.25Hitunglah determinan matriks berikut dengan menggunakan reduksi baris,
A
2 8 3 7
4 1 4 2
5 8 4 2
8 16 6 15
Jawab :
det A
2 8 3 7
4 1 4 2
5 8 4 2
8 16 6 15
R1(-1/2)
=
( )
2
1 4
4 1 4 2
5 8 4 2
8 16 6 15
3
2
7
2
R21(4)
= R31(5)R41(-8)
( )
2
1 4
0 15 10 16
0 28
0 48 18 43
3
2
7
2
23
2
39
2
R2(-1/15)
=
( )( )
2 15
1 4
0 1
0 28
0 48 18 43
3
2
7
210
15
16
1523
2
39
2
R32(28)
= R42(-48)
DND
operasi Rij(l) bisa dilakukan sekaligus karena operasi ini tidak merubah harga determinan
94
( )( )
2 15
1 4
0 1
0 0
0 0
3
2
7
210
15
16
15215
30
311
30210
15
123
15
R3(-30/215)
=
( )( ) ç
2 15
1 4
0 1
0 0 1
0 0
215
30
3
2
7
210
15
16
15311
215210
15
123
15
R43(-210/15)
=
( )( ) ç
2 15
1 4
0 1
0 0 1
0 0 0
215
30
3
2
7
210
15
16
15311
2152591
215
çç
= ( )( )2 15 2591215
30
2591
215
Contoh III.26Hitunglah determinan matriks berikut dengan menggunakan reduksi baris,
A
1 3 2 4
2 6 4 8
3 9 1 5
1 1 4 8
Jawab :
det A
1 3 2 4
2 6 4 8
3 9 1 5
1 1 4 8
R21(-2)
= R31(-3)R41(-1)
1 3 2 4
0 0 0 0
0 0 7 7
0 2 6 4
Perhitungan ini tidak perlu dilanjutkan karena berdasarkan teorema III.2 yang mengatakan bahwa matriks yang semua komponen-komponen dalam salah satu baris atau kolomnya berharga nol, maka determinannya sama dengan nol. Berdasarkan teorema ini, det A = 0.
Selain reduksi baris, kita juga bisa menggunakan reduksi kolom untuk menghitung determinan sebuah matriks bujursangkar. Untuk membedakan antara reduksi baris yang menggunakan simbol R (row), kita akan menggunakan simbol C (column atau kolom) untuk reduksi kolom. Aturan reduksi kolom sama dengan reduksi baris, sebagai berikut,
Ci (l) = kolom ke i dalam suatu determinan dikalikan dengan suatu bilangan l (l ¹ 0 ) dan determinan yang baru hasil operasi kolom ini nilainya l kali determinan asalnya. Jadi jika determinan asalnya adalah det A dan determinan yang baru adalah det B maka,
det ACi (l)
=1l
det B
DND
95
Cij = kolom ke i dan kolom ke j dalam suatu determinan saling tukar tempat dan determinan yang baru hasil operasi kolom ini nilainya negatif dari determinan asalnya. Jadi jika determinan asalnya adalah det A dan determinan yang baru adalah det B maka,
det ACi j
= det B
Cij (l) = kolom ke i dalam suatu determinan diganti dengan kolom ke-i yang sudah ditambah dengan l (l ¹ 0 ) kali kolom ke j dalam determian yang sama, dan determinan yang baru hasil operasi kolom ini nilainya sama dengan determinan asalnya. Jadi jika determinan asal adalah det A dan determinan yang baru adalah det B maka,
det ACi j(l)
= det B
Contoh III.27Diketahui matriks berikut,
A
1 5 3
2 4 2
4 3 0
Determinan matriks A adalah, det A
1 5 3
2 4 2
4 3 0
Jika kita lakukanlah operasi kolom C2 (2) pada determinan A akan diperoleh,
1 5 3
2 4 2
4 3 0
C2 (2)
=
12
1 5 6
2 4 4
4 3 0
Jika kita lakukanlah operasi kolom C23 pada determinan A akan diperoleh,
1 5 3
2 4 2
4 3 0
C23
=
1 3 5
2 2 4
4 0 3
Jika kita lakukanlah operasi kolom C21 (3) pada determinan A akan diperoleh,
1 5 3
2 4 2
4 3 0
C12 (-3)
=
1 5 0
2 4 8
4 3 12
Contoh III.28Hitunglah determinan matriks berikut dengan mennnggunakan reduksi kolom,
A
2 4 1 3
8 7 2 6
3 6 0 0
2 3 7 5
Jawab :
DND
96
det A
2 4 1 3
8 7 2 6
3 6 0 0
2 3 7 5
C13 =
1 4 2 3
2 7 8 6
0 6 3 0
7 3 2 5
C12 (-4)=
C13 (-2)C14 (-3)
1 0 0 0
2 1 4 0
0 6 3 0
7 25 12 26
C32 (4)=
1 0 0 0
2 1 0 0
0 6 27 0
7 25 112 26
= (1)( 1)( 27)( 26) = 702
Contoh III.29Hitunglah determinan matriks berikut dengan menggunakan reduksi kolom,
A
6 4 2 1
3 7 1 3
15 8 5 4
9 10 3 2
Jawab :
det A
6 4 2 1
3 7 1 3
15 8 5 4
9 10 3 2
C14
=
1 4 2 6
3 7 1 3
4 8 5 15
2 10 3 9
C21 (4)
=C31 (-2)C41 (-6)
1 0 0 0
3 5 5 15
4 8 3 9
2 2 1 3
C32 (1)
=C42 (3)
1 0 0 0
3 5 0 0
4 8 11 33
2 2 3 9
C43 (-3)
=
1 0 0 0
3 5 0 0
4 8 11 0
2 2 3 0= (1)(5)(11)(0) = 0
Dalam contoh III.26 dan III.29 telah ditunjukkan bahwa determinan kedua matriks ini sama dengan nol. Apabila kita tinjau kembali kedua matriks tersebut yaitu,
Contoh III.26 : A
1 3 2 4
2 6 4 8
3 9 1 5
1 1 4 8
DND
kolom terakhir semua komponennya nol (0), jadi menurut teorema III.2 determinannya sama dengna nol
Baris kedua 2 kali baris pertama, artinya baris kedua sebanding dengan baris pertama
97
Contoh III.29 : A
6 4 2 1
3 7 1 3
15 8 5 4
9 10 3 2
kita dapatkan bahwa matriks pada contoh III.26, baris pertama dengan baris kedua sebanding (baris kedua dua kali baris pertama), sedangkan dalam contoh III.29, kolom pertama sebanding dengan kolom ketiga (kolom pertama tiga kali kolom ketiga). Dari contoh ini dapat disimpulkan bahwa jika matriks bujur sangkar mempunyai dua baris atau kolom yang sebanding, maka determinannya sama dengan nol.
Contoh III.30Tentukanlah determinan matriks-matriks berikut,
A
1 3 6
5 8 7
4 12 24B
10 14 8 13
25 35 15 30
12 9 20 24
5 7 3 6
C
21 33 15 16 10
1 3 5 6 8
24 7 36 28 34
15 40 25 17 44
7 21 35 42 56
det A = 0 karena baris ketiga empat (4) kali baris pertamadet B = 0 karena baris kedua lima (5) kali baris keempatdet C = 0 karena baris kelima tujuh (7) kali baris kedua
Contoh III.31Tentukanlah determinan matriks-matriks berikut ,
A
8 14 7
6 8 4
3 12 6
B
30 14 10 9
21 5 7 20
18 25 6 17
36 12 12 6
C
30 35 15 16 7
22 60 55 46 12
45 50 34 28 10
10 80 27 17 16
75 25 16 42 5
DND
Sebanding
Sebanding
Kolom pertama 3 kali kolom ketiga (kolom pertama sebanding dengan kolom ketiga)
Sebanding
Sebanding
Sebanding
Sebanding
98
det A = 0 karena kolom kedua minus dua (2) kali kolom ketigadet B = 0 karena kolom pertama tiga (3) kali kolom ketigadet C = 0 karena kolom kedua lima (5) kali kolom kelima
Contoh III.32
Diketahui matriks Aa b c d
e f g h
1 0 0 0
0 1 0 0 dan matriks B
c d
g h
Buktikan bahwa det A = det B
Bukti :
det Aa b c d
e f g h
1 0 0 0
0 1 0 0
C4 (c)=
1
1 0 0 0
0 1 0 0
c a b c cd
e f g ch
C43 (-d)
=
1
1 0 0 0
0 1 0 0
0c a b c
e f g ch dg
ç
= 1
1 1c
c ch dg ch dg( )( )( )( ) ( ) (i)
det B c d
g hch dg ( ) (ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa det A = det B
G. LATIHAN III.31. Hitunglah determinan matriks berikut dengan menggunakan reduksi baris,
A
2 1 1
1 4 4
1 0 2
B
3 0 8
5 0 7
1 4 2
C
2 4 8
2 7 2
0 1 5
2. Hitunglah determinan matriks berikut dengan menggunakan reduksi kolom,
A
0 2 1
1 5 3
2 3 4
B
2 6 3
4 9 8
8 3 10
C
a
a
a
1 0
2 2
0 1
3. Diketahui matriks A
x y z
3 0 2
1 1 1
jika det A = 1, hitunglah determinan matriks-matriks berikut,
B
x y z
2 2 2
0 1
1 1 1
3
2
C
x y z
x y z
x y z
3 3 3 3 2
1 1 1
D
x y z
1 1 1
4 1 3
1 1 1
DND
99
4. Hitunglah determinan matriks berikut dengan menggunakan reduksi baris,
A
2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 3
B
3 1 2 4
2 0 5 1
1 1 2 6
2 3 2 3
C
a b c d
e f g h
0 0 1 0
0 0 0 1
5. Hitunglah determinan matriks berikut dengan menggunakan reduksi kolom,
A
1
2
1
2
1
21
2
1
2
1
22
3
1
3
1
31
3
1
3
1
0
0
1 0
B
2 1 3 4
5 4 7 2
4 0 6 3
3 2 5 2
C
4 5 6 7
12 10 9 3
8 8 18 11
16 2 3 1
6. Hitunglah determinan matriks berikut dengan menggunakan reduksi baris,
A
1 3 1 5 3
2 7 0 4 2
0 0 1 0 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1 1
B
4 3 1 9 2
0 3 2 4 2
0 3 4 6 4
1 1 2 2 2
0 0 3 3 3
7. Hitunglah determinan matriks berikut dengan menggunakan reduksi kolom,
A
1 5 0 4 0
2 4 2 0 0
8 9 6 1 5
4 1 3 2 3
6 8 4 4 1
B
4 6 4 0 2
3 15 1 2 0
7 0 5 3 10
2 11 1 9 2
1 6 2 2 1
8. Diketahui matriks-matriks berikut,
A
a b c
d e f
g h i
B
d e f
g h i
a b c
C
a b c
d e f
g h i
2 2 2
D
a d b e c f
d e f
g h i
E
a b c
d a e b f c
g h i
3 3 3
2 2 2
Jika diketahui det A = 5, tentukanlah det B, det C, det D dan det E.
9. Jika A
a b
c d
e f g h
x y z w
0 0
0 0, buktikanlah bahwa det det detA
a b
c d
g h
z w
10. Hitunglah determinan matriks-matriks berikut,
DND
100
A
10 30 1 1
10 30 2 1
20 40 3 1
20 40 4 1
B
60 5 95 10 20
20 15 65 30 40
40 25 85 50 35
30 35 55 70 25
10 45 65 90 55
DND
