TUGAS RANCANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA

OLEH

NAMA : YENNY MEIDIANANIM / TM : 54822 / 2010PRODI : PEND. MATEMATIKA RM’10

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS NEGERI PADANG

2012

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

Mata Pelajaran : MatematikaKelas/Semester : XI/2 Program IPAStandar Kompetensi : 5. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi. Kompetensi Dasar : 5.2 Menentukan invers suatu fungsi

Indikator : Menentukan invers suatu fungsiMenentukan fungsi invers dari fungsi komposisi.Menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnyaMenunjukkan rasa ingin tahu, mandiri, percaya diri , kerja sama .

Alokasi Waktu : 6 x 45 menit

I. Tujuan Pembelajarana. Siswa dapat memahami invers suatu fungsi.b. Siswa dapat menjelaskan kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers.c. Siswa dapat menentukan fungsi invers dari suatu fungsi.d. Siswa dapat menentukan fungsi invers dari fungsi komposisi.e. Siswa dapat menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya.

Karakter siswa yang diharapkan :

Rasa ingin tahu, Mandiri, Percaya Diri , Kerja sama .

II. Materi Pembelajarana. Fungsi Invers dari suatu fungsi b. Fungsi invers dari fungsi komposisic. Grafik suatu fungsi dan grafik fungsi inversnya.

III. Model Pembelajaran : Kooperatif (tipe TAI) Pendekatan : Konstruktivis Strategi : Discovery Learning Metode : Diskusi, Tanya Jawab

IV. Langkah-Langkah Kegiatan

Pertemuan Pertama (2 x 45') Kegiatan Pendahuluan:

1. Menyiapkan siswaGuru dengan hangat dan antusias memberi komando agar semua siswa fokus dalam mengikuti pembelajaran yang akan dilaksanakan.

2. Apersepsi.Guru mengkaitkan materi (fungsi invers) dengan kehidupan sehari-hari.Sebagai contoh, guru menanyakan apakah ada di antara siswanya yang pernah merasakan jatuh cinta kepada lawan jenis. Jika ada, lalu ditanyakan lagi apakah cinta nya itu juga dirasakan oleh orang yang disukai atau malah bertepuk sebelah

tangan.Atau dengan contoh lain tentang kasih sayang orang tua. Guru memberi pernyataan bahwa kasih sayang orang tua selalu ada untuk anaknya. Lalu guru bertanya, apakah kasih sayang siswa nya juga selalu ada untuk orang tua mereka. Contoh tersebut sedikit banyak berhubungan dengan materi materi yang akan dipelajari hari ini.

3. Pemberian motivasi.Guru menjelaskan apa kegunaan / tujuan mempelajari materi ini.Materi fungsi invers ini seperti sebuah fungsi balikan dari sebuah fungsi awal. Adapun hal positif yang dapat dipetik dari materi (fungsi invers) ini adalah kita semua diajak untuk bisa belajar akan hubungan timbal balik dalam kehidupan di dunia. Tidak boleh hanya menerima, tapi kita juga harus memberi. Tidak hanya ingin disayangi, tapi juga harus menyayangi. Bila hanya mementingkan di satu sisi, kita akan terbuang/disisihkan dari kelompok.

Begitu pula lah dengan fungsi invers. Harus ada timbal balik. Bila tidak, maka itu BUKAN sebuah FUNGSI INVERS.

Selain itu, kegunaan materi invers juga akan digunakan dalam materi-materi selanjutnya, seperti contoh : limit, transformasi (yang akan didalami lagi di bangku perkuliahan), dsb.

Kegiatan Inti:Guru memberikan kuis secara individual kepada siswa untuk mendapatkan skor awal / skor dasar. Siswa dibagi ke dalam beberapa kelompok (dimana akan diadakan diskusi yang mengarah kepada tipe pembelajaran TAI)

Gambar 1

f g g f

Gambar 2

f g f g g f

1.

2.

3.

.a

.b

.c

.1

.2

.3

a

b

c

1.

2.

3.

.a

.b

.c

a

b

c

.1

.2

.3

Guru menyajikan gambar di atas, lalu memberikan pertanyaan dan tugas yang akan dicari terlebih dahulu secara pribadi tentang perbedaan apa yang dimiliki antara gambar 1 dengan gambar 2. Siswa diminta untuk mencari informasi dengan membaca materi secara individu pada buku cetak (buku pegangan) tentang apa itu invers, fungsi invers (syarat apa saja yang harus dipenuhi agar sebuah fungsi dapat dikatakan sebagai fungsi invers ) .

Informasi yang telah digali oleh siswa (secara individu tadi) dibawa ke dalam kelompok diskusinya masing-masing.Siswa dalam kelompok berdikusi mengenai hasil yang telah diperoleh secara individu (eksplorasi) .Dalam diskusi kelompok, setiap anggota kelompok saling memeriksa jawaban teman satu kelompok.Setelah itu ,siswa diminta mengerjakan LKS 1 dalam kelompok Siswa dalam kelompok berdikusi tentang LKS 1 (eksplorasi) .Guru memfasilitasi terjadinya interaksi siswa dengan guru, siswa dengan siswa, dan siswa dengan sumber belajar (eksplorasi). Masing-masing kelompok melaporkan hasil diskusinya di depan kelas. Siswa lain menanggapi laporan atau pendapat teman. Guru memberikan umpan balik terhadap apa yang dihasilkan peserta didik. (elaborasi)Guru dan murid bersama-sama menarik kesimpulan (konfirmasi).Guru memberikan kuis kepada siswa secara individual.Guru memberi penghargaan pada kelompok berdasarkan perolehan nilai peningkatan hasil belajar ind.ividual dari skor dasar ke skor kuis berikutnya

.

Kegiatan Penutup:a. Peserta didik bersama guru membuat rangkuman dari materi mengenai pengertian invers suatu fungsi, kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers, dan cara menentukan rumus fungsi invers dari suatu fungsi. b. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR / soal-soal) berkaitan dengan materi mengenai pengertian invers suatu fungsi, agar suatu fungsi mempunyai invers, dan cara menentukan rumus fungsi invers dari suatu fungsi dari soal-soal aktivitas kelas yang belum terselesaikan di kelas atau dari referensi lain .

Pertemuan Kedua (2x45’) Kegiatan Pendahuluan

-ApersepsiMembahas PR dan mengingat kembali materi mengenai pengertian invers suatu fungsi dan cara menentukan rumus fungsi invers.

-MotivasiMateri invers dari suatu fungsi dijadikan sebagai prasyarat untuk memahami materi fungsi invers dari fungsi komposisi. Jadi, setiap siswa tidak boleh lupa begitu saja mengenai materi sebelumnya.

Kegiatan Inti

Guru memberikan kuis secara individual kepada siswa untuk mendapatkan skor awal / skor dasar.Siswa diminta untuk bisa mencari jawaban akan soal yang diberikan secara individu terlebih dahulu dengan pengetahuan awal yang dimiliki siswa . Diberikan persoalan :Bila diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = 4 – 2x.Tentukanlah : a. h(x) = (f o g) (x)b. k(x) = (g o f) (x)c .h−1 (x )dank−1( x)

d. f−1 (x )dan g−1(x ) e. (g−1o f−1 )(x )

f. ( f−1o g−1 )(x )Guru bertanya manakah yang menghasilkan hasil yang sama dan kesimpulan apa yang diperoleh siswa akan persoalan yang diberikan.

Siswa secara individu menggali informasi dengan membaca sumber belajar untuk mencoba menjawab persoalan yang telah diberikan (eksplorasi)Guru memfasilitasi terjadinya interaksi siswa dengan guru, dan siswa dengan sumber belajar (eksplorasi)Informasi yang telah digali oleh siswa (secara individu tadi) dibawa ke dalam kelompok diskusinya masing-masing.Siswa dalam kelompok berdikusi mengenai hasil yang telah diperoleh secara individu. (eksplorasi) . Dalam diskusi kelompok, setiap anggota kelompok saling memeriksa jawaban teman satu kelompok.Setelah itu ,siswa diminta mengerjakan LKS 2 dalam kelompok Siswa dalam kelompok berdikusi tentang LKS 2 (eksplorasi) .Guru memfasilitasi terjadinya interaksi siswa dengan guru, siswa dengan siswa, dan siswa dengan sumber belajar (eksplorasi). Masing-masing kelompok melaporkan hasil diskusinya di depan kelas. Siswa lain menanggapi laporan atau pendapat teman. Guru memberikan umpan balik terhadap apa yang dihasilkan peserta didik. (elaborasi)Guru dan murid bersama-sama menarik kesimpulan (konfirmasi).Guru memberikan kuis kepada siswa secara individual.Guru memberi penghargaan pada kelompok berdasarkan perolehan nilai peningkatan hasil belajar ind.ividual dari skor dasar ke skor kuis berikutnya

Kegiatan Penutupa. Guru bersama siswa membuat rangkuman dari materi mengenai fungsi invers dari fungsi komposisi.b. Siswa diberikan pekerjaan rumah (PR / soal-soal) berkaitan dengan materi mengenai fungsi invers dari fungsi komposisi.

Pertemuan Ketiga (2x 45’) Kegiatan Pendahuluan:

-Apersepsi Membahas PR dan mengingat kembali materi mengenai menentukan fungsi invers dari

fungsi komposisi.

-MotivasiApabila materi ini dikuasai dengan baik, maka peserta didik diharapkan dapat menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya.

Kegiatan IntiSiswa dibagi ke dalam 4 kelompok heterogen.Tiap kelompok akan mendiskusikan permasalahan yang diberikan oleh guru.Permasalahan yang akan didiskusikan adalah sebagai berikut :f(x) = x2+1 bukanlah sebuah fungsi bijektif. Karena f(x) bukan fungsi bijektif, maka f(x) tidak memiliki fungsi invers. Namun, sebuah fungsi non-bijektif ternyata dapat memiliki fungsi invers jika dilakukan suatu perlakuan khusus. Untuk menuntun mengetahuinya, maka diberikan tugas untuk kelompok.

Untuk kelompok 1 dan 2 : Tentukanlah fungsi invers dari f(x) jika daerah asalnya : Df= {x|x≥0dan x∈ R }

Gambarkanlah grafik fungsi f(x) dengan daerah asal tersebut dan gambarkan pula grafik fungsi inversnya dengan daerah asal yang ditentukan, ke dalam 1 diagram cartesius.Apakah grafik f(x) dengan grafik fungsi invers (dengan daerah asal yang telah ditentukan) saling simetri ?

Untuk kelompok 3 dan 4 :Tentukanlah fungsi invers dari f(x) jika daerah asalnya :

Df= {x|x≤0dan x∈ R }Gambarkanlah grafik fungsi f(x) dengan daerah asal tersebut dan gambarkan pula grafik fungsi inversnya dengan daerah asal yang ditentukan, ke dalam 1 diagram cartesius.Apakah grafik f(x) dengan grafik fungsi invers (dengan daerah asal yang telah ditentukan) saling simetri ?

Siswa dalam kelompok menggali informasi dengan membaca, berdikusi (eksplorasi)Guru memfasilitasi terjadinya interaksi antarpeserta didik, peserta didik dengan guru, dan peserta didik dengan sumber belajar (eksplorasi)Masing-masing kelompok melaporkan hasil diskusi nya di depan kelas. dan membandingkan hasil diskusi untuk permasalahan 1 dan 2.Siswa lain menanggapi laporan atau pendapat teman.

Guru memberikan umpan balik terhadap apa yang dihasilkan peserta didik, menambah informasi yang seharusnya dikuasai peserta didik. (eksplorasi dan elaborasi)Guru dan murid bersama-sama menarik kesimpulan. (konfirmasi)..

Kegiatan Penutupa. Peserta didik membuat rangkuman dari materi mengenai menggambarkan grafik suatu fungsi invers.. b. Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR / soal-soal) berkaitan dengan materi mengenai menggambarkan grafik suatu fungsi invers .

E. Alat dan Sumber Belajar

Sumber :- Buku paket, yaitu buku Matematika Untuk SMA Kelas XI karangan Sartono Wirodikromo,

halaman 176-199.- Buku referensi lain.Alat :- Laptop- LCD- OHP

F. Penilaian

Teknik : Tes : tugas individu, ulangan harian.Non-tes : Observasi (daftar cek)

Bentuk Instrumen : uraian singkat, pilihan ganda.Contoh Instrumen:

1. Tentukan invers dari fungsi atau relasi berikut kemudian gambarkan diagram panah fungsi atau relasi tersebut beserta diagram panah inversnya:

a.

b.

2. Diketahui fungsi . Tentukan :

a. rumus fungsi ,

b. daerah asal fungsi dan ,

3. Diketahui dan , maka ....a. d.

b. e. c.

4. Diketahui f(x) = 3 + 3x2dan . Tentukanlah:

a. dan

b. ( f o g ) -1 (x)

c. Gambar grafik dan

LEMBAR PENILAIAN AFEKTIF

No

Aspek yang dinilai

Skor Nama SiswaA B C D ...

1 Memperhatikan penjelasan guru.

012

2 Mengikuti pembelajaran dengan serius

012

3 Menunjukkan sikap kerja sama dalam kelompok

012

4 Menunjukkan rasa ingin tahu akan materi yang dibahas

0

12

5 Mau mencari informasi akan materi secara individual terlebih dahulu

012

6 Percaya diri mengungkapkan gagasan

012

7 Menjawab pertanyaan yang diajukan oleh guru atau teman.

01

2

8 Menyimpulkan hasil pembelajaran

012

Kriteria Pemberian Skor: Sangat baik (2), Baik (1), Tidak Baik (0)

Nilai=Skor yangdiperoleh16

x 100

Keterangan:81-100 Sangat Baik61-80 Baik41-60 Cukup ≤ 40 Kurang

ALTERNATIVE ASSESMENT

PENUGASAN

Tentukan minimal 5 buah titik yang menunjukkan grafik fungsi KELAJUAN sebesar 3 m/s.Tuliskan pilihan nilai jarak dan waktu yang ananda pilih ke dalam sebuah tabel, lalu gm=ambarkan grafik fungsi kelajuan tersebut dalam sebuah diagram cartesius dan gambarkan pula grafik untuk fungsi balikan nya.

Rubrik Penilaian

Aspek yang dinilai Skor1 2 3

Kemampuan menerapkan materi pada bidang studi lainPemahaman tentang permasalahan yang ditanyakanPenyajian laporan tertulisPenyajian gambar, grafikPerhitungan dalam penyelesaian persoalan

LEMBAR KERJA SISWA 1ANGGOTA KELOMPOK: ...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................KELAS : .............................................................

MATA PELAJARAN : MATEMATIKAKELAS / SEMESTER: XI IPA / 2

Jika fungsi f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(a,b) a∈ A danb∈B } Maka invers fungsi f adalah f−1= {(b ,a)|b∈Bdana∈ A }

INVERS dari suatu fungsi , BELUM TENTU berupa sebuah fungsi . ( bisa saja hanya berupa RELASI biasa.

Jika INVERS dari suatu fungsi merupakan FUNGSI pula, maka INVERS FUNGSI yang demikian dinamakan FUNGSI INVERS.

Contoh :Diketahui :

Standar Kompetensi : 5. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi.

Kompetensi Dasar : 5.2 Menentukan invers suatu fungsi

Indikator : Menentukan invers suatu fungsi

FUNGSI INVERS

Himpunan A = { 1, 2, 3 }Himpunan B = { a, b }Fungsi f : A B ditentukan oleh f = {(1,a), (2,a), (3,b)}

Maka, diagram panah yang menunjukkan fungsi f : A B adalah

Invers fungsi adalah f−1:B→A dengan f −1={(…,… ) , (…,… ) ,(…,…)}Dan diagram panah yang menunjukkan invers fungsi f :

Dari diagram panah INVERS fungsi f, apakah merupakan sebuah FUNGSI ?Ya / Tidak.Alasannya : .................................................................................................................................

Maka, invers fungsi f adalah sebuah ............ biasa, ........ sebuah fungsi.

Diketahui :Himpunan C = { -2, -1, 0, 1 }Himpunan D = { a, b, c, d }Fungsi h : C D ditentukan oleh h ={(-2,a), (-1,b), (0,c), (1,d)}

Maka diagram panah yang menunjukkan fungsi h : C D adalah

______

__

__

__

__

______

________

________

Invers fungsi adalah h−1:D→C denganh−1={(…,…) , (…,…) , (…,…) ,(…,…)}Dan diagram panah yang menunjukkan invers fungsi h :

Dari diagram panah INVERS fungsi h, apakah INVERS tersebut merupakan sebuah FUNGSI ?Ya / Tidak.Alasannya : .................................................................................................................................

Maka, invers fungsi h adalah sebuah ............Karena invers fungsi h adalah sebuah ............, maka h−1merupakan ........... invers.

Rumus Fungsi Invers :Sebuah fungsi f dinyatakan dalam bentuk :

Maka rumus untuk fungsi f−1 dinyatakan dalam bentuk :

Tentukan fungsi invers dari : f(x) = 3x + 6.

Jawab :

y = f(x) = 3x + 6, maka x = ................x = f−1 ( y )=……… . .

________

________

Suatu fungsi f : A B mempunyai ............ invers f−1:B→A jika dan hanya jika f merupakan suatu fungsi ............ , atau himpunan A dan

himpunan B berada dalam korespondensi ..................

y = f(x)

...... = .....

Lalu, Ubah x yang didapat menjadi y dan y menjadi xMaka :y = f−1 (x )=……… ..

Jadi, fungsi invers dari f(x) = 3x + 6 adalah f−1 (x )=……… ..

1. Pengertian Invers Suatu Fungsi

Jika fungsi f memetakan setiap x∈Df ke

y∈R f dibuat kebalikan fungsi f yaitu fungsi g yang mengembalikan unsur y tersebut ke unsur x semula. Tetapi g belum tentu sebuah fungsi. Jika f :

A → B, fungsi korespondensi satu-satu (∀ y∈B ,∃! x∈ A , y=f ( x )), maka balikan fungsi f (invers

fungsi f) akan merupakan fungsi dan disebut juga invers, ditulis f−1

.

2. Syarat Suatu Fungsi Mempunyai Invers

Suatu fungsi f : A → B mempunyai invers g : B → A, bila setiap anggota B adalah peta dari tepat satu anggota A, yaitu bila A dan B berkorespondensi satu-satu. Bila g ada, maka dinyatakan

f−1 (dibaca f invers). Sedang daerah hasil dari f adalah daerah asal dari f

−1 dan daerah asal dari f

adalah daerah hasil dari f−1

.Jadi, agar invers suatu fungsi merupakan sebuah fungsi, maka harus dipenuhi hal-hal berikut:

Bila f dan f−1

merupakan fungsi- fungsi invers, maka f(x) = y f−1

(y)= x

3. Menentukan Rumus Fungsi Invers

Untuk menentukan rumus fungsi invers dari fungsi f(x), perhatikan langkah-langkah berikut:a) Kita misalkan f(x) = yb) Kita nyatakan x dalam bentuk fungsi y

c) Kita tentukan rumus dari f−1

(x) dengan menukarkan y dengan x pada hasil yang diperoleh dari langkah b.

Rangkuman

a. f : A→B mempunyai fungsi invers

f−1

: B→A suatu fungsi jika dan hanya jika fungsi f bijektif

b. jika f−1

ada, maka R f=D

f −1 danD f=R

f −1

d) Kita cek apakah ( f ∘ f−1 )(x )=( f−1∘f )( x )=x , jika memenuhi syarat tersebut,

maka rumus f−1

(x) yang didapat merupakan invers dari f(x).

LEMBAR KERJA SISWA 2ANGGOTA KELOMPOK: ...............................................................

...............................................................

...............................................................

...............................................................KELAS : .............................................................

MATA PELAJARAN : MATEMATIKAKELAS / SEMESTER: XI IPA / 2

Bila ditanya tentang fungsi komposisi, maka :

( f o g ) (x) = f ( ....... ) ( g o f ) (x) = g ( ....... )

Bila diketahui fungsi f sebagai suatu fungsi BIJEKTIF, dan fungsi g juga sebagai fungsi BIJEKTIF, sehingga fungsi f memiliki fungsi invers dan fungsi g juga memiliki fungsi invers, maka :

( f og )−1dan (g o f )−1 dapat dicari .

Untuk lebih jelasnya, kerjakan latihan berikut : Diketahui f : R R dan g : R R masing-masing ditentukan dengan rumus f(x) = x + 2 dan g(x) = 4 – 2x.

a) Tentukan h(x) = ( f o g ) (x) dan k(x) = ( g o f ) (x)b) Tentukan h−1 ( x )=( f o g )−1 ( x )dank−1(x)= (g o f )−1(x )c) Tentukan f−1 (x )dan g−1(x )d) Dengan menggunakan hasil pada c , tentukanlah :

Standar Kompetensi : 5. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi.

Kompetensi Dasar : 5.2 Menentukan invers suatu fungsi

Indikator : Menentukan fungsi invers dari fungsi komposisi.Menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya

i) (g¿¿−1o f−1)(x)¿ii) ( f ¿¿−1og−1)(x)¿

e) Bandingkan hasil pada bagian b dan d ,, kesimpulan apa yang dapat kalian kemukakan ?

Soal lain :

1. diketahui f : R→R dan g: R→R didefinisikan oleh f ( x )=5 x+3 dan g(x) = 4- x, tentukan :

a. f−1( x )dan g

−1 (x )

b. ( f ∘g )(x ) dan ( f ∘g )−1( x )

c. ( f ∘ f−1 )(x )

d. ( g−1∘f −1)( x )

e. ( f ∘g )−1∘( f ∘g)( x )

Dari hasil yang didapat untuk ( f og )−1 (x )dan (f o g ) ( x ) , Substitusikan sebarang nilai x yang sama pada kedua fungsi tersebut. (minimal substitusikan 2 buah nilai x yang sebarang).Lalu, gambarkan grafik kedua fungsi tersebut (dari pensubstitusian nilai x yang telah ananda lakukan)

Lembar jawaban :

4. Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

g ∘ f

A B C

f g

f g

( g∘ f )−1

Bila suatu fungsi h : A → C ditentukan oleh h = g ∘ f , dengan f : A → B dan g : B → C maka fungsi

invers dari fungsi komposisi adalah h−1=(g∘ f )−1

atau dirumuskan:

Hal sebaliknya :

5. Grafik Fungsi Invers

g(x)f(x)

( g∘ f )−1( x )=f−1 (x )∘g−1 (x )

Rangkuman

( f ∘g )−1( x )=g−1( x )∘ f −1 (x )

Gambar grafik pada fungsi invers merupakan kebalikan dari grafik pada fungsi komposisi. Sebelum menggambar grafik fungsi invers, langkah yang harus dilakukan adalah menentukan fungsi inversnya terlebih dulu kemudian menentukan daerah asal, dan akhirnya daerah hasil.