1. MODEL TRANSPORTASI1.1 Metode TransportasiMetode Transportasi yaitu suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama, ke tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal 1.2 Solusi Awal Transportasia. Metode NorthWest Corner

b. Metode LeastCost

c. Metode Aproksimasi Vogel (VAM)Contoh Soal :

a. Metode Nort-West Corner

Mulai dari sudut kiri atas dari X11 dialokasikan sejumlah maksimum produk dengan melihat kapasitas pabrik dan kebutuhan gudang

Hilangkan baris atau kolom yang tidak dpt dialokasikan lagi, lalu alokasikan sebanyak mungkin didekat baris/kolom yg tidak dihilangkan, jika kolom dan baris sdh dihabiskan, pindahkan secara diagonal kekotak berikutnya.

Lanjutkan dengan cara yang sama sampai semua kebutuhan telah terpenuhi Solusi terhadap contoh soal :

Total Cost = 100(5) + 200(8) + 100(4) + 100(7) + 200(5) = $ 4,200

m + n 1 = 3 + 3 1 = 5, lihat kotak yang terisi apakah sama dengan 5, apabila sama dengan 5 maka dapat dilanjutkan pada solusi akhirb. Metode Least-Cost

Pilih Variabel Xij (kotak) dengan biaya transport (Cij) terkecil dan alokasikan sebanyak mungkin. Ini akan menghabiskan baris i atau kolom j.

Dari kotak-kotak sisanya yang layak (yaitu yang tidak terisi atau dihilangkan) pilih Cij terkecil dan alokasikan sebanyak mungkin

Lanjutkan proses ini sampai semua kebutuhan terpenuhi.Solusi terhadap contoh soal :

Total Cost = 100(3) + 200(4) + 100(3) + 300(9) = $ 4,100m + n 1 = 5, ternyata jumlah kotak yang terisi hanya 4 berarti ini kurang dari 5, maka masukan nilai 0 pada salah satu kotak yang kosongc. Metode Aproksimasi Vogel (VAM)

Hitung opportunity cost untuk setiap baris dan kolom.

Opportunity cost untuk setiap baris ke-i dihitung dengan mengurangkan nilai cij terkecil pada baris tersebut dengan nilai cij satu tingkat lebih besar pada baris yang sama. Opportunity cost kolom diperoleh dengan cara yang sama. Biaya-biaya ini adalah pinalti karena tidak memilih kotak dengan biaya minimum. Hitung opportunity cost untuk setiap baris dan kolom.

Opportunity cost untuk setiap baris ke-i dihitung dengan mengurangkan nilai cij terkecil pada baris tersebut dengan nilai cij satu tingkat lebih besar pada baris yang sama.

Opportunity cost kolom diperoleh dengan cara yang sama. Biaya-biaya ini adalah pinalti karena tidak memilih kotak dengan biaya minimum.

Pilih baris atau kolom dengan opportunity cost terbesar (jika terdapat nilai kembar, pilih secara sembarang. Alokasikan sebanyak mungkin kekotak dengan nilai cij minimum pada baris atau kolom yang dipilih.

Hilangkan semua baris dan kolom dimana penawaran dan permintaan telah dihabiskan.

Jika semua penawaran dan permintaan belum dipenuhi, kembali kelangkah pertama dan hitung kembali opportunity cost yang baru.Solusi terhadap contoh soal :

Total Cost = 100(5) + 200(9) + 200(4) + 100(3) + 100(5) = $ 3,900

m + n 1 = 5, terlihat pada tabel terdapat 5 kotak yang terisi, maka dapat dilanjutkan pada solusi akhird. Metode MODI (Modified Distribution)Formulasi :

Ri + Kj = Cij

Ri = nilai baris i

Kj = nilai kolom j

Cij= biaya pengangkutan dari sumber i ke tujuan j

Langkah Penyelesaian

Isilah tabel pertama dari sudut kiri atas ke kanan bawah

Menentukan nilai baris dan kolom dengan cara:

1. Baris pertama selalu diberi nilai 0 2. Nilai baris yang lain dan nilai semua kolom ditentukan berdasarkan rumus Ri + Kj = Cij. Nilai baris W = RW = 0

Mencari nilai kolom A:

RW + KA = CWA

0 + KA = 20, nilai kolom A = KA = 20

Mencari nilai kolom dan baris yg lain:

RW + KB = CWB; 0 + KB = 5; KB = 5

RH + KB = CHB; RH + 5 = 20; RH = 15

RP + KB = CPB; RP + 5 = 10; RP = 5

RP + KC = CPC; 5 + KC = 19; KC = 14Solusi terhadap contoh soal :

R1 + K1 = C11 = 5

R2 + K1 = C21 = 8

R2 + K2 = C22 = 4

R3 + K2 = C32 = 7

R3 + K3 = C33 = 5

Misalkan R1 = 0 maka diperoleh R2 = 3 , R3 = 6 , K1 = 5 , K2 = 1 , K3 = -1IDB = C12 R1 K2 = 4 0 1 = 3

IDC = C13 R1 K3 = 3 0 (-1) = 4

IEC = C23 R2 K3 = 3 3 (-1) = 1

IFA = C31 R3 K1 = 9 6 5 = -2

Masih terdapat nilai yang (-) pada IFA

R1 + K1 = C11 = 5

R2 + K1 = C21 = 8

R3 + K1 = C31 = 9

R2 + K2 = C22 = 4

R3 + K3 = C33 = 5

Misalkan R1 = 0 maka diperoleh R2 = 3 , R3 = 4 , K1 = 5 , K2 = 1 , K3 = 1IDB = C12 R1 K2 = 4 0 1 = 3

IDC = C13 R1 K3 = 3 0 1 = 2

IEC = C23 R2 K3 = 3 3 1 = -1

IFB = C32 R3 K2 = 7 4 1 = 2

Masih terdapat nilai yang (-) pada IEC

R1 + K1 = C11 = 5

R2 + K2 = C22 = 4

R2 + K3 = C23 = 3

R3 + K1 = C31 = 9

R3 + K3 = C33 = 5

Misalkan R1 = 0 maka diperoleh R2 = 2 , R3 = 4 , K1 = 5 , K2 = 2 , K3 = 1IDB = C12 R1 K2 = 4 0 2 = 2

IDC = C13 R1 K3 = 3 0 1 = 2

IEA = C21 R2 K1 = 8 2 5 = 1

IFB = C32 R3 K2 = 7 4 2 = 1

Hasilnya telah optimum dengan

TC = 100(5) + 200(4) + 100(3) + 200(9) + 100(5) = $ 3,9002. MODEL PENUGASAN2.1 Masalah PenugasanSalah satu metode yang digunakan untuk Penugasan adalah Metode Hungarian. Pada Metode Hungarian, jumlah sumber-sumber yang ditugaskan harus sama persis dengan jumlah tugas yang akan diselesaikan. Setiap sumber harus ditugaskan hanya untuk satu tugas. Jadi, masalah penugasan akan mencakup sejumlah n sumber yang mempunyai n tugas, sehingga ada n! (n faktorial) kemungkinan. Masalah ini dapat dijelaskan dengan mudah dalam bentuk matriks segi empat, dimana baris-barisnya menunjukkan sumber-sumber dan kolomkolomnya menunjukkan tugas-tugas. 2.2 Masalah Minimisasi2.2.1 Langkah penyelesaian kasus minimisasi :

1. Tentukan nilai terkecil dari setiap baris, lalu mengurangkan semua nilai dalam baris tersebut dengan nilai terkecilnya.

2. Diperiksa apakah setiap kolom telah mempunyai nilai nol. Bila sudah dilanjutkan ke langkah 3, bila belum, dilakukan penentuan nilai terkecil dari setiap kolom yang belum mempunyai nilai nol, kemudian setiap nilai pada kilom tersebut dikurangkan dengan nilai terkecilnya.

3. Ditentukan apakah terdapat n elemen nol dimana tidak ada nilai nol yang berada pada baris/kolom yang sama, dimana n adalah jumlah kolom/baris. Jika ada, maka tabel telah optimal, jika tidak, dilanjutkan ke langkah 4.

4.Dilakukan penutupan semua nilai nol dengan menggunakan garis vertical/horizontal seminimal mungkin.

5. Ditentukan nilai terkecil dari nilai-nilai yang tidak tertutup garis. Lalu semua nilai yang tidak tertutup garis dikurangkan dengan nilai terkecil tersebut. Kembali ke langkah 3

Contoh :

Perusahaan menghadapi masalah dimana perusahaan tersebut mempunyai 4 karyawan dan 4 jabatan kosong , bagaimana menempatkan karyawan tersebut pada jabatan yang tepat dan berapa perkiraan biayanya.Jabatan/ KaryawanABCD

115201822

214162117

325202320

417181816

Penyelesaian :

Tujuan yang ingin dicapai ialah bagaimana menempatkan karyawan tersebut pada jabatan yang tepat dan berapa perkiraan biayanya.

Langkah 1 yang dilakukan, yaitu menentukan nilai terkecil dari setiap baris, lalu mengurangkan semua nilai dalam baris tersebut dengan nilai terkecilnya.

Maksudnya, 20 15 = 5 (untuk baris pertama kolom kedua), 18 15 = 3 (untuk baris pertama kolom ketiga). Dan begitu seterusnya hingga baris keempat. Kemudian ditarik garis vertical/ horizontal pada semua nilai nol seminimal mungkin. Sehingga hasilnya dapat dilihat pada tabel di bawah ini :

Jabatan/ KaryawanABCD

10537

20273

35030

41220

Selanjutnya memeriksa apakah setiap kolom telah mempunyai nilai nol atau jumlah garis sama dengan jumlah jabatan atau karyawan. Ternyata jumlah garis tidak sama dengan jumlah jabatan atau karyawan, sehingga kita tentukan nilai terkecil pada kolom dan baris yang tidak terkena garis, lalu mengurangkan semua nilai dalam kolom dan baris yang tidak terkena garis dengan nilai terkecilnya. Kemudian ditarik garis vertical/ horizontal pada semua nilai nol.

Jabatan/ KaryawanABCD

10317

20053

35030

41000

Karena semua kolom dan baris telah terisi nol atau jumlah garis sama dengan jumlah pekerjaan atau karyawan, sehingga dapat kita simpulkan bahwa :

Karyawan pertama ditempatkan pada jabatan A dengan perkiraan biaya 15.

Karyawan kedua ditempatkan pada jabatan B dengan perkiraan biaya 16.

Karyawan ketiga ditempatkan pada jabatan D dengan perkiraan biaya 20.

Karyawan keempat ditempatkan pada jabatan C dengan perkiraan biaya 18.2.3 Masalah Maksimisasi2.3.1 Langkah penyelesaian kasus maksimisasi :

1. Ditentukan nilai terbesar dari setiap baris, lalu mengurangkan semua nilai pada setiap baris dari nilai terbesarnya.

2. Diperiksa apakah setiap kolom telah mempunyai nilai nol. Bila sudah dilanjutkan ke langkah 3, bila belum, dilakukan penentuan nilai terkecil dari setiap kolom yang belum mempunyai nilai nol, kemudian setiap nilai pada kolom tersebut dikurangkan dengan nilai terkecilnya.

3. Ditentukan apakah terdapat n elemen nol dimana tidak ada nilai nol yang berada pada baris/ kolom yang sama, dimana n adalah jumlah kolom/ baris. Jika ada, maka tabel telah optimal, jika tidak, dilanjutkan ke langkah 4.

4. Dilakukan penutupan semua nilai nol dengan menggunakan garis vertical/ horizontal seminimal mungkin.

5. Ditentukan nilai terkecil dari nilai-nilai yang tidak tertutup garis. Lalu semua nilai yang tidak tertutup garis dikurangkan dengan nilai terkecil tersebut. Kembali ke langkah 3.Contoh :

Perusahaan mepunyai 5 orang karyawan yang akan ditugaskan di 5 kota yaitu A, B, C, D, E. Perkiraan hasil penjualan yang akan dicapai sebagai berikut :Kota/ KaryawanABCDE

1101210815

2141091513

3987812

4131581611

51013141117

Penyelesaian :

Tujuan yang ingin dicapai ialah alokasi penugasan yang baik dan hasil penjualan perusahaan dari kelima kota tersebut yang paling optimal.

Langkah 1, yaitu menentukan nilai terbesar dari setiap baris, lalu mengurangkan semua nilai pada setiap baris dari nilai terbesarnya.

Maksudnya, pada baris pertama nilai terbesarnya ialah 15, maka pada baris tersebut mengurangkan semua nilai pada setiap baris dari nilai terbesarnya. Misalkan 15 10 = 5 (untuk baris pertama kolom pertama), 15 12 = 2 (untuk baris pertama dan kolom kedua). Begitu selanjutnya hingga baris kelima. Kemudian ditarik garis vertical/ horizontal pada semua nilai nol seminimal mungkin. Sehingga hasilnya dapat dilihat pada tabel di bawah ini :Kota/ KaryawanABCDE

153570

215602

334540

431805

574360

Selanjutnya memeriksa apakah setiap kolom telah mempunyai nilai nol. Ternyata kolom pertama, kedua dan ketiga belum mempunyai angka nol. Maka dilakukan penentuan nilai terkecil dari setiap kolom yang belum mempunyai nilai nol, kemudian setiap nilai pada kolom tersebut dikurangkan dengan nilai terkecilnya. Sehingga hasilnya dapat dilihat pada tabel di bawah ini :

Kota/ KaryawanABCDE

142270

204302

323240

420505

563060

Karena kolom E terisi angka nol pada karyawan pertama dan ketiga, maka akan dilakukan perhitungan lagi dengan mengurangkan dengan angka terkecil pada semua angka yang tidak tertutup garis.

Kota/ KaryawanABCDE

120050

204302

301020

420505

563060

Karena semua kolom dan baris telah terisi nol atau jumlah garis sama dengan jumlah pekerjaan atau karyawan, sehingga dapat kita simpulkan bahwa :

Karyawan pertama bekerja pada kota E dengan hasil penjualan 15.

Karyawan kedua bekerja pada kota A dengan hasil penjualan 15.

Karyawan ketiga bekerja pada kota D dengan hasil penjualan 9.

Karyawan keempat bekerja pada kota B dengan hasil penjualan 15.

Karyawan kelima bekerja pada kota C dengan hasil penjualan 14.

Sehingga total keuntungan yang didapat ialah 68.3. MODEL ARUS JARINGAN3.1 Definisi Jaringan

Sebuah Network (jaringan) terdiri dari sejumlah node-node yang dihubungkan oleh arcs. Notasi untuk menggambarkan sebuah jaringan adalah (N,A) dimana N adalah set node-node dan A adalah set arc-arcContoh :N = {1, 2, 3}A = {(1,2), (2,3)}3.2 Minimum Spanning TreeApabila G suatu graf berbobot (suatu network), maka minimum Spanning Tree dari G adalah Spanning Tree dengan jumlah bobot terkecil

Dalam aplikasinya problem ini misalnya :

Hendak direntangkan jaringan kabel listrik yang menghubungkan sejumlah lokasi dengan panjang kabel yang digunakan sependek-pendek mungkin

Melihat pengelompokan data tersebar pada suatu ruang

Perencanaan jaringan transportasi/distribusi barang

Untuk mendapatkan Minimum Spanning Tree, dapat digunakan algoritma :

1. Algoritma Solin

2. Algoritma Kruskal Contoh penerapan :

Gambar : Graf FH

Kita akan mencari MST (minimum spaning tree) dengan menggunakan Algoritma Solin dan Kruskal untuk Graf FH diatas.1. Penyeselaian dengan algoritma Solin :Suatu Graph FH, seperti gambar di atas. Ini adalah graf berbobot awal. Graf ini bukan pohon karena ada sirkuit. Nama yang lebih tepat untuk diagram ini adalah Graf atau Network. Angka-angka dekat garis penghubung/ruas adalah bobotnya. Nilai bobot dari Graf tesebut adalah : 167

a. Urutkan Ruas Graf (FH) menurut bobotnya dari bobot yang terbesar sampai bobot yang terkecil.Bobot Ruas Bobot Ruas

20 BC 9 EG

18 AB 8 CE,DG

15 GH 7 BD,BG,CH

13 GI 6 BE

12 EH 5 FH

11 CF,HI

10 AC

b. Lakukan penghapusan masing-masing ruas yang tidak menyebabkan graf menjadi tidak terhubung atau membentuk sirkuit. Kita mulai melakukan tahapan penghapusan dengan ruas dengan nilai bobot terbesar sampai bobot terkecil : Gambar 1

Gambar 2

Gambar 3

Gambar 4

Gambar 5

Gambar 6

Gambar 7

Gambar 8

Gambar 1. 1. Bobot 20 B,C

Ruas B,C tidak dihapus karena ruas tersebut menghubungkan B dan C.Gambar 2. 2. Bobot 18 A,B

Ruas A,B tidak dihapus karena ruas tersebut membuat graf terbuhubung. Gambar 3. 3. Bobot 15 G,H

Ruas G,H tidak dihapus karena ruas tersebut menghubungkan G dan H, dan tidak membentuk sircuit Gambar 4. 4. Bobot 13 G,I Ruas G,I tidak dihapus karena ruas tersebut membuat graf terhubung. Gambar 5. 5. Bobot 12 E,H Ruas E,H tidak dihapus karena ruas tersebut membuat graf terhubung. Gambar 6. 6. Bobot 11 C,F dan H,I Ruas C,F tidak dihapus, sedangkan ruas H,I dihapus karena membentuk sircuit (G,I,H,I) Gambar 7. Bobot 10 A,C &

Bobot 9 E,G

dihapus karena ruas A,C & ruas E,G membentuk sircuit (BA, AC) dan (EH, GE)

Bobot 8 C,E D,G tidak dihapus karena ruas tersebut menghubungkan graf Gambar 8. Bobot 7 BD, BG, CH

Ruas-ruas tersebut dihapus karena membentuk sircuit BD: (D,G,H,E,C,B,D)

BG : (G,H,E,C,B,G)

CH : (CE, HC)

Bobot 6 B,E

Dihapus karena membentuk sircuit (CE, BE)

Bobot 5 F,H

Dihapus karena membentuk sircuit (C,E,H, F,C)

Tahap Penghapusan Selesai, Gambar 9 adalah Minimun Spanning Tree dari Graf FH dengan Nilai Bobot : FH= 20+18+15+13+12+11+8+8 = 105 2. ALgoritma Kruskal

Pengurutan di lakukan dari bobot terkecil ke besar, dan eksekusi di lakukan dari bobot terkecil. Dengan Graph yang sama, kita akan mencari Minimun Spanning Tree dengan algoritma Kruskal.

a. Mula-mula kita buat Graf FH hanya terdiri dari Simpul saja.

Graf FH

Bobot Ruas Bobot Ruas

5FH12EH

6BE13GI

7BD, BG, CH15GH

8CE, DG18AB

9EG20BC

10AC

11CF, HI

b. Urutkan Ruas dari bobot kecil ke besar (FH, BE, BD,BG,CH, CE,DG, EG, AC, CF, HI, EH, GI, GH, AB. BC), kemudian berdasarkan urutan tersebut, kita menambahkan ruas dengan mencegah terbentuknya sirkuit.

Gambar 1: Penambahan ruas FH Gambar 2: Penambahan ruas BE

Gambar 3: Penambahan Ruas BD, BG, CH Gambar 4: Penambahan Ruas CE, sedangkan pada ruas DG tidak dilakukan karena membentuk sircui

Gambar 5: Penambahan Ruas EG tidak

Gambar 6: Penambahan Ruas AC dilakukan karena membentuk sircuit Gambar 7: Penambahan Ruas HI, Gambar 8: Ruas EH tidak dilakukan karenasedangkan pada ruas CF tidak dilakukan membentuk sircuitkarena membentuk sircuit

Gambar 9: Ruas GI tidak dilakukan Gambar 10: Ruas GH tidak karena membentuk sircuit dilakukan karena membentuk sircuit

Gambar11: Ruas AB tidak dilakukan karena Gambar12: Ruas BC tidak dilakukan karena

membentuk sircuit

membentuk sircuit

Gambar 13. Selesai MTS Nilai Graf FH dengan nilai bobot = 61

FH= 5+6+7+7+7+8+10+11 = 614. ALGORITMA DIJKSTRA4.1 Mengenai Algoritma Dijkstra

Algoritma Dijkstra adalah sebuah algoritma yang dikembangkan oleh seorang ilmuwan komputer dari Belanda , Edsger Dijkstra. Algoritma ini adalah sebuah algoritma yang menyelesaikan pencarian jalur terpendek pada graf dengan nilai non negatif untuk bobot setiap simpul,menghasilkan pohon jalur terpendek.

Penjelasan mengenai algoritma Dijkstra adalah :

1. Tetapkan nilai jarak pada setiap simpul. Tetapkan 0 untuk simpul awal dan tak terbatas pada semua simpul yang lain

2. Tandai semua simpul sebagai belum dikunjungi. Tetapkan simpul sekarang sebagai simpul awal3. Untuk simpul sekarang, anggap semua tetangga yang belum dikunjungi dan hitung jarak terhadap simpul sekarang. Jika jarak sekarang lebih kecil dari jarak yang sebelumnya direkam, timpa nilainya.

4. Ketika kita selesai menghitung tetangga dari simpul sekarang,tandai sebagai telah dikunjungi. Jaraknya disimpan dan dinyatakan minimal.

5. Jika semua simpul telah dikunjungi, nyatakan sebagai selesai. Jika tidak, nyatakan simpul yang belum dikunjungi dengan jarak terkecil sebagai simpul sekarang dan ulangi langkah 3.

Algoritma Dijkstra adalah algoritma yang dikhususkan untuk pencarian jalan terbaik dalam sebuah graf.4.2 Penyelesaian dengan Algoritma Dijkstra

Gambar 1. Sebuah graf yang memiliki keterkaitan antara yang satu dengan yang lainPermasalahannya adalah : bagaimana mencari rute untuk menghasilkan jalur terpendek dari titik awal O ke titik akhir T ?

a. Pertama-tama, labelkan nilai simpul O dengan angka 0, seperti gambar berikut:

b. Gambar 2. Langkah pertama dalam algoritma Dijkstrac. Lalu, identifikasi simpul-simpul mana yang belum dikunjungi, tapi terhubung dengan simpul awal, yaitu simpul O. Pada gambar, terlihat bahwa tetangga dari O adalah simpul A , B , dan C. Untuk setiap simpul yang memenuhi kriteria tersebut (simpul A,B, dan C), hitung jarak kandidat tersebut. Jarak kandidat = jarak menuju simpul + panjang sisi. Pilih simpul dengan bobot paling kecil.

Gambar 3. Pemilihan simpul dengan bobot terkecild. Dari gambar 3, dapat diambil kesimpulan bahwa simpul A memiliki bobot minimum. Karena itu , tandai simpul A menjadi sudah dikunjungi dan labelkan dengan jarak kandidat.Tambahkan sudut ke kumpulan sudut.

Gambar 4. Pemilihan simpul terpendeke. Identifikasi semua simpul yang belum teridentifikasi yang terhubung dengan sebuah simpul yang telah dikunjungi.Hitung semua jarak kandidat dari setiap sudut yang berhubungan.

Gambar 5. Pemilihan nilai minimum dari simpul-simpul yang belum dikunjungif. Terdapat 2 nilai yang sama, yaitu dari simpul O ke C dan simpul A ke B yang nilainya 4.Dalam kasus ini, kita pilih sembarang saja.Dalam kasus ini, yang diambil sebagai simpul yang telah dikunjungi adalah B. Lakukan hal yang sama seperti sebelumnya,yaitu masukkan sudut AB ke dalam kumpulan sudut.Lakukan sampai simpul T telah dikunjungi.

Gambar 6. Simpul T telah masuk ke simpul yang telah dikunjungiTerdapat simpul yang belum dikunjungi , dan ada rute yang belum terselesaikan O-C. Terdapat 2 rute terpendek, yaitu : O-A-B-D-T, dan O-A-B-E-D-T. Keduanya memiliki bobot 13