Rigid body linear momentum Hukum Kedua Newton menyatakan bahwa laju perubahan momentum linier sebuah partikel dengan massa konstan adalah sama dengan jumlah dari semua gaya luar yang bekerja pada partikel

dimana m adalah massa partikel, V adalah kecepatan partikel, mv produk mereka adalah momentum linier, dan fi merupakan salah satu nomor N gaya yang bekerja pada partikel. Karena massa adalah konstan, ini setara dengan.

Untuk menggeneralisasi, menganggap tubuh massa hingga dan ukuran yang terdiri dari partikel seperti, masing-masing dengan massa dm infinitesimal. Setiap partikel memiliki vektor posisi r. Terdapat kekuatan-kekuatan internal, bertindak antara dua partikel, dan kekuatan eksternal, hanya bertindak di luar massa. Karena kecepatan v merupakan turunan dari posisi r, turunan dari kecepatan dv / dt adalah turunan kedua dari posisi d2r/dt2, dan persamaan momentum linier dari partikel yang diberikan

Ketika persamaan momentum linier untuk semua partikel ditambahkan bersama-sama, jumlah pasukan internal untuk nol sesuai dengan hukum ketiga Newton, yang menyatakan bahwa setiap gaya tersebut telah besarnya berlawanan pada dua partikel. Dengan akuntansi untuk semua partikel, sisi kiri menjadi tidak terpisahkan di seluruh tubuh, dan operator derivatif kedua dapat pindah dari integral, sehingga

.

Mi l M adalah massa t tal yang konstan, sehingga sisi ki i dapat dikalikan dan di agi dengan M, sehingga

.

Ekspresi . adalah formula untuk posisi pusat massa. Yang menunjukkan ini dengan RCM, persamaan tereduksi menjadi

Dengan demikian, persamaan momentum linier dapat diperpanjang untuk benda tegar dengan yang menunjukkan bahwa mereka menggambarkan gerak pusat massa tubuh. Ini dikenal sebagai hukum pertama Euler. Ri i l

Persamaan yang paling umum untuk rotasi benda tegar dalam tiga dimensi tentang asal sewenang-wenang O dengan sumbu x, y, z adalah

dimana momen tensor inersia,, diberikan oleh

Mengingat bahwa negara Teorema Euler rotasi yang selalu ada seketika sumbu rotasi, kecepatan sudut,, dapat diberikan oleh vektor di atas sumbu ini

adalah satu set vektor satuan saling tegak lurus tetap dalam kerangka acuan. Rotasi benda tegar adalah setara dengan memutar sebuah ellipsoid Poinsot.

momen inersiaMomen inersi (Satuan SI : kg m2) adalah ukuran kelembaman suatu benda untuk berotasi terhadap porosnya. Besaran ini adalah analog rotasi daripada massa. Momen inersia berperan dalam dinamika rotasi seperti massa dalam dinamika dasar, dan menentukan hubungan antara momentum sudut dan kecepatan sudut, momen gaya dan percepatan sudut, dan beberapa besaran lain. Meskipun pembahasan skalar terhadap momen inersia, pembahasan menggunakan pendekatan tensor memungkinkan analisis sistem yang lebih rumit seperti gerakan giroskopik. Lambang I dan kadang-kadang juga J biasanya digunakan untuk merujuk kepada momen inersia. Konsep ini diperkenalkan oleh Euler dalam bukunya a Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum pada tahun 1730.[1] Dalam buku tersebut, dia mengupas momen inersia dan banyak konsep terkait.

Definisi sederhana momen inersi (terhadap sumbu rotasi tertentu) dari sembarang objek, baik massa titik atau struktur tiga dimensi, diberikan oleh rumus:

di mana m adalah massa dan r adalah jarak tegak lurus terhadap sumbu rotasi. Momen inersia (skalar) sebuah massa titik yang berputar pada sumbu yang diketahui didefinisikan oleh

Momen inersia adalah aditif. Jadi, untuk sebuah benda tegar yang terdiri atas N massa titik mi dengan jarak ri terhadap sumbu rotasi, momen inersia total sama dengan jumlah momen inersia semua massa titik:

Untuk benda pejal yang dideskripsikan oleh fungsi kerapatan massa (r), momen inersia terhadap sumbu tertentu dapat dihitung dengan mengintegralkan kuadrat jarak terhadap sumbu rotasi, dikalikan dengan kerapatan massa pada suatu titik di benda tersebut:

di mana V adalah volume yang ditempati objek adalah fungsi kerapatan spasial objek r = (r, , ), (x,y,z), atau (r, ,z) adalah vektor (tegaklurus terhadap sumbu rotasi) antara sumbu rotasi dan titik di benda tersebut.

Diagram perhitungan momen inersia sebuah piringan. Di sini k adalah 1/2 dan adalah jarijari yang digunakan untuk menentukan momen inersia Berdasarkan analisis dimensi saja, momen inersia sebuah objek bukan titik haruslah mengambil bentuk:

di mana M adalah massa R adalah jari-jari objek dari pusat massa (dalam beberapa kasus, panjang objek yang digunakan) k adalah konstanta tidak berdimensi yang dinamakan "konstanta inersia", yang berbeda-beda tergantung pada objek terkait. Konstanta inersia digunakan untuk memperhitungk perbedaan letak massa dari pusat rotasi. an Contoh:y y y

k = 1, cincin tipis atau silinder tipis di sekeliling pusat k = 2/5, bola pejal di sekitar pusat k = 1/2, silinder atau piringan pejal di sekitar pusat.