Bilangan

Bilangan dahulunya digunakan sebagai simbol untuk menggantikan suatu

benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki

cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol diantaranya :

Simbol bilangan bangsa Babilonia.

Simbol bilangan bangsa Maya di Amerika pada 500 tahun SM.

Simbol bilangan menggunakan huruf Hieroglif yang dibuat bangsa Mesir

Kuno.

Simbol bilangan bangsa Arab yang dibuat pada abad ke-11 dan dipakai hingga

kini oleh umat Islam di seluruh dunia.

Simbol bilangan bangsa Yunani Kuno.

Simbol bilangan bangsa Romawi yang juga masih dipakai hingga kini.

Sejarah perkembangan teori bilangan yaitu :

a. Teori Bilangan pada Suku Bangsa Babilonia

Sistem Numerasi Babylonia (±2000 SM), pertama kali orang yang mengenal

bilangan 0 (nol) adalah Babylonian.

b. Teori Bilangan pada Suku Bangsa Mesir Kuno

Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa

Mesir. Sejak peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan

1

matematika Yunani dan Babilonia yang membangkitkan Matematika

helenistik. Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran

Rhind (kadang-kadang disebut juga "Lembaran Ahmes" berdasarkan

penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran

itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari

tahun 2000-1800 SM. Sistem Numerasi Mesir Kuno (±3000 SM) bersifat

aditif, dimana nilai suatu bilangan merupakan hasil penjumlahan nilai-nilai

lambang-lambangnya.

Lambang dan simbol bilangan Mesir

c. Bilangan Cunieform

Bilangan Cunieform yang digunakan bangsa Babilonia sejak tahun 5000 SM

d. Lambang bilangan bangsa Hindu-Arab kuno pada abad ke-10

2

Heel Bone ( tulang lutut )

Scrool ( gulungan surat )

Lotus flower ( bunga teratai )

Pointing finger ( telunjuk )

Polliwing / burbot ( berudu )

Astronished man ( orang astronis )

Vertical staff

e. Lambang bilangan yang digunakan bangsa Maya di Amerika pada tahun 500

SM

f. Lambang bilangan Hieroglif yang digunakan bangsa Mesir Kuno

g. Lambang bilangan bangsa Arab pada abad ke-11

h. Lambang bilangan bangsa Yunani Kuno

i. Lambang bilangan bangsa Romawi

3

Angka-angka yang dipakai saat ini mengalami perubahan-perubahan bertahap

sejak 3 abad sebelum masehi

Macam-Macam Bilangan

1. Bilangan Asli ( N )

Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang bukan nol, yaitu unsur

himpunan N = {1, 2, 3, 4, ...}.

2. Bilangan Cacah (C)

Bilangan cacah adalah bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu C= {0, 1, 2, 3, 4,

...}. Dengan kata lain himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli

ditambah 0.

3. Bilangan Bulat ( I )

Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3,

...); -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah).

- Semua bilangan di sebelah kiri nol adalah bilangan negatif

- Semua bilangan di sebelah kiri nol adalah bilangan positif

4. Bilangan Rasional ( H )

4

Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai ab dimana a dan b

bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. Bilangan rasional merupakan

bilangan yang mempunyai jumlah kurang atau lebih dari utuh, terdiri dari

pembilang dan penyebut.

Contoh :

4 pembilang

5 penyebut

5. Bilangan Irasional ( Q )

Bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi atau hasil baginya

tidak pernah berhenti. Bilangan irasional tidak dapat dinyatakan dengan a/b.

dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0 (nol). Contoh

yang paling popular dari bilangan irasional adalah bilangan π, dan bilangan e.

6. Bilangan Riil ( R )

Bilangan riil atau real number menyatakan angka yang bisa dituliskan dalam

bentuk desimal, seperti 2,4871773339 ... atau 3,25678. Bilangan real meliputi

bilangan rasional, seperti 42 dan −23129 , dan bilangan irasional seperti π dan

bilangan akar, juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis

bilangan.

7. Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i2=−1. Secara

definisi, bagian bilangan imajiner ini diperoleh dari penyelesaian persamaan

kuadratik x2+1=0 atau x2=−1.

8. Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk a+bi. Dimana a dan b

adalah bilangan riil dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai

sifat i2=−1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks dan

bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks,

nilai b adalah 0, maka kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

9. Bilangan Nol

5

Pecahan=45

Pecahan= PembilangPenyebut

Konsep bilangan nol telah berkembang sejak zaman Babilonia danYunani

kuno, yang pada saat itu diartikan sebagai ketiadaan dari sesuatu. Konsep

bilangan nol dan sifat-sifatnya terus berkembang dari waktu ke waktu.

10. Bilangan Sempurna

Bilangan sempurna adalah bilangan bulat yang juga merupakan jumlah dari

pembagi positifnya, tidak termasuk bilangan itu sendiri. Oleh karena itu, 6

adalah bilangan sempurna, karena 1, 2, dan 3 adalah pembagi dari 6, dan 1 + 2

+ 3 = 6. Bilangan sempurna berikutnya adalah 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Saat

ini, telah ditemukan rumus dari bilangan sempurna, sehingga kita dapat

mencari bilangan sempurna lainnya selain 6, 28, 496, dan 8128. Rumus

tersebut adalah Bilangan sempurna =2n−1 x (2n−1 ) .11. Bilangan Bersekawan

Dua buah bilangan a dan b dikatakan bersekawan apabila jumlah faktor prima

dari bilangan a sama dengan bilangan b dan jumlah faktor prima dari bilangan

b sama dengan bilangan a. Contohnya adalah bilangan 220 dengan 284; faktor

prima dari 220 adalah 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 dan 110, dimana

jumlahnya sama dengan 284, dan faktor prima dari 284 adalah 1, 2, 4, 71 dan

142, dimana jumlahnya sama dengan 220

Bilangan-bilangan tersebut dapat digambarkan dalam sebuah bagan

bilangan berikut :

6Bilangan Bulat NegatifBilangan Cacah

Bilangan Pecahan Bilangan Bulat

Bilangan Rasional Bilangan Irasional

Bilangan Real Bilangan Imajiner

Bilangan Kompleks

Beberapa Tokoh Teori Bilangan Legendaris

1. Pythagoras (582 SM- 496 SM)

Pythagoras adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling

dikenal melalui teoremanya. Dikenal sebagai "Bapak Bilangan", dia

memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan

pada akhir abad ke-6 SM. Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal

adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari

suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya

(sisi-sisi siku-sikunya).

2. Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam (965 M)

Al-Haytam adalah orang pertama yang mengklasifikasikan semua bilangan

sempurna yang genap, yaitu bilangan yang merupakan jumlah dari pembagi-

pembagi sejatinya, seperti yang berbentuk 2k-1(2k-1) di mana 2k-1 adalah

bilangan prima. Selanjutnya Al-Haytam membuktikan bahwa bila p adalah

bilangan prima, 1+(p-1)! habis dibagi oleh p.

3. Jamshid Al-Kashi (1380 M)

Pecahan desimal ini merupakan salah satu karya besar Jamhid Al-Kashi yang

memudahkan untuk menghitung aritmatika.

4. Pierre de Fermat

Teorema terakhir Fermat menyatakan bahwa xn+ yn=zn tidak mempunyai

solusi bilangan bulat tak nol untuk x, y dan z, jika n > 2.

5. Joseph-Louis de Langrange (25 Januari 1736-10 April 1813)

Joseph-Louis de Lagrange (lahir dengan nama Giuseppe Luigi Lagrangia)

adalah seorang matematikawan dan astronom Perancis-Italia yang membuat

sumbangan penting pada mekanika klasik, angkasa dan teori bilangan.

6. Adrien-Marie Legendre (18 September 1752-10 Januari 1833)

7

Bilangan Bulat PositifBilangan Nol (0)

Adrien-Marie Legendre ialah matematikawan Perancis. Ia membuat

sumbangan penting atas statistik, teori bilangan, aljabar abstrak dan analisis

matematika.

7. Johan Carl Friedrich Gauss (30 April 1777- 23 Februari 1855)

Gauss adalah matematikawan, astronom, dan fisikawan Jerman yang

memberikan beragam kontribusi. Ia dipandang sebagai salah satu

matematikawan terbesar sepanjang masa selain Archimedes dan Isaac Newton.

8. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13 Februari 1805-5 Mei 1859)

Inilah konjektur terkenal dari Johann Peter Gustav yang menyatakan bahwa

untuk n>2, untuk persamaan xn+ yn=zn tak memiliki solusi bilangan bulat,

selain daripada yang trivial yang mana x , y , atau zitu 0. Ia membuat bukti

parsial untuk kasus n = 5, yang dilengkapi oleh Adrien-Marie Legendre

9. Benjamin Peirce (4 April 1809-6 Oktober 1880)

Benjamin Peirce ialah seorang matematikawan Amerika yang mengajar di

Universitas Harvard selama kira-kira 50 tahun. Dia bersumbangsih dalam

bidang mekanika benda langit, teori bilangan, aljabar, dan filsafat matematika.

Di dalam teori bilangan, dia membuktikan bahwa tidak ada bilangan sempurna

ganjil yang kurang dari empat faktor prima. Di dalam aljabar, dia dikenal atas

pengkajiannya pada aljabar asosiatif.

Daftar Pustaka

Wardhana, A. (2010). Sejarah Sistem Bilangan. Diakses dari http://www. adit38.wordpress.com/2010/05/19/asal-usul-sistem-bilangan

Wikipedia. (2015). Carl Friedrich Gauss. Diakses dari https://id.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

Wikipedia. (2015). Sejarah Matematika. Diakses dari http://id.wikipedia.org/wiki/ Sejarah_matematika

Wikipedia. (2014). Pierre de Fermat. Diakses dari http://id.wikipedia.org/wiki/ Pierre_de_Fermat [13 Oktober 2010]

Wikipedia. (2013). Adrien Marie Legendre. Diakses dari http://id.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre

Wikipedia. (2013). Benjamin Peirce. Diakses dari http://id.wikipedia.org/wiki/Benjamin_Peirce

Wikipedia. (2013). Joseph Louis de Lagrange. Diakses dari http://id.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_de_Lagrange

Wikipedia. (2013). Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Diakses dari http://id.wikipedia.org/wiki/ Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet

8