halaman| 1

PPyytthhaaggoorraass TThheeoorreemm aanndd SSoommee QQuueessttiioonnss

aabboouutt IItt

Diajukan sebagai Tugas

Mata Kuliah Proses Berpikir Matematika

Dosen : Dr. Wono Setya Budhi

Oleh : Harsa Wara Prabawa (0705706)

PPeennddaahhuulluuaann

Mungkin tak banyak orang yang mengetahui latar belakang dan sejarah

kehidupannya, tapi (mungkin) semua orang akan bersepakat untuk mengatakan

bahwa mereka mengetahui apa yang telah dihasilkannya, yaitu kombinasi 3

angka pada suatu segitiga siku-siku yang menyatakan panjang masing-masing

sisi segitiga tersebut

Di mana dan menyatakan panjang sisi segitiga yang membentuk sudut siku,

sedangkan adalah panjang sisi miring di depan sudut siku atau biasanya disebut

sebagai hypotenuse. Ia adalah Pythagoras. Seorang matematikawa dari zaman

Yunani Kuno, yang karyanya hingga kini masih menghiasi jagad pembelajaran

matematika.

Sebuah situs internet yang beralamat di http://www.cut-the-

knot.org/pythagoras/ bahkan menampilkan paling tidak 75 macam model

pembuktian Teorema Pythagoras, yang dibuat oleh orang-orang yang berasal

dari negeri dan generasi yang berbeda-beda. Misalkan The Bride’s Chair (suatu

model pembuktian yang dikembangkan oleh Euclid terhadap Triple Pythagoras,

yang juga mungkin merupakan model pembuktian paling dikenal dari

keseluruhan model pembuktian yang ada), yang mencoba membuktikan

kebenaran Teorema Pythagoran dengan memanfaatkan koonsep kekongruenan.

halaman| 2

Euclid mencoba menampilkan konsep Teorema Pythagoras sebagai suatu luas

daerah yang diapit oleh tiga bujursangkar yang memiliki luas yang berbeda pada

masing-masingnya. Secara singkat, pembuktiannya ditampilkan sebagai berikut :

Diketahui bahwa , karena ,

dan

sehingga membentuk sisi-sudut-sisi.

dengan alas , memiliki tinggi yang berjarak

sama dengan garis . Garis , mengakibatkan sisi

terbagi menjadi dua sama panjang . Di sisi lain,

yang beralaskan dan memiliki tinggi yang

berjarak sama dengan garis , di mana adalah titik potong antara

dengan garis (yang sejajar dengan ). memiliki luas yang sama

dengan setengah dari . Sehingga dapat dikatakan bahwa akan sama

dengan luas .

Dengan cara yang sama, diperoleh bahwa akan bernilai sama dengan luas

daerah . Yang pada akhirnya dari dan akan dapat

ditentukan yang mengandung hypotenuse .

Namun pada kesempatan kali ini, penulis tidak akan panjang lebar berbicara

mengenai bagaimana teorema Pytagoras dapat dibuktikan dengan berbagai

pendekatan yang berbeda-beda. Kali ini penulis mencoba untuk menampilkan hal

yang tak kalah menarik dari keberadaan Teorema Pythagoras yaitu kombinasi

unik dari bilangan-bilangan yang terbentuk dari triple pythagoras. Kenapa hal

ini menjadi menarik, karena ternyata kombinasi triple Pythagoras menyimpan

suatu misteri ketakhinggaan dari bentuk primitive-nya (yaitu ketika

)

halaman| 3

BBeebbeerraappaa PPeerrttaannyyaaaann yyaanngg bbeerrkkaaiittaann ddeennggaann KKoommbbiinnaassii AAnnggkkaa ddaarrii TTeeoorreemmaa

PPyytthhaaggoorraass

11.. PPoollaa hhuubbuunnggaann aappaa yyaanngg mmuunnggkkiinn tteerrbbeennttuukk aannttaarraa ddaann ??

Jawab :

Karena kita memiliki suatu persamaan kuadrat , kita mulai

dengan metode pemfaktoran. Terdapat dua kemungkinan pemfaktoran yang

terjadi, yang pertama adalah memfaktorkan . Tapi hal ini hanya akan

menghasilkan suatu perkalian antar bilangan kompleks yaitu

, dan yang kedua adalah dengan mengubah bentuk

persamaan triple pythagoras menjadi sehingga

. Nah, pemfaktoran model kedua inilah yang akan kita

gunakan untuk menelusuri lebih jauh mengenai pola hubungan antara

dan

Karena sendiri merupakan hasil perkalian dari , maka pemfaktoran di

atas dapat dituliskan sebagai :

Dengan mengoperasikan ke dua persamaan tersebut dengan penjumlahan

dan pengurangan, maka akan diperoleh :

Sehingga kita memperoleh suatu solusi terhadap pola yang mungkin terjadi

antara dan , yaitu :

halaman| 4

Dengan mengambil adalah bilangan prima, maka akan kita peroleh hasil

sebagai berikut :

2

3 4 5

5 12 13

7 24 25

... ... ...

Ternyata untuk setiap adalah bilangan prima (kecuali 2), diperoleh

suatu triple phytagoras yang bersifat primitif di mana

Yang menjadi masalah kemudian adalah, bagaimana jika bukan bilangan

prima (artinya merupakan hasil perkalian suatu bilangan bulat dengan

bilangan bulat lainnya ) . Sehingga kita akan memperoleh

dengan .

Sehingga kita memperoleh suatu solusi terhadap pola yang mungkin terjadi

antara dan , yaitu :

6

8 6 10

halaman| 5

10

... ... ...

Atau dapat juga ditentukan dengan mengklaim bahwa , dan

sebagai suatu pasangan terurut yang bersumber dari dan dikalikan

dengan suatu bilangan bulat positif . Berdasarkan teorema pythagoras :

Dari pembuktian di atas dapat diketahui bahwa, perkalian suatu bilangan

bulat terhadap akan mengakibatkan pasangan terurut lainnya (dalam hal

ini dan ) juga bernilai kali. Dan ini berlaku untuk pasangan terurut dari

teorema Pythagoras lainnya seperti dan seterusnya.

Yang kemudian menjadi pertanyaan lanjutan adalah, bisakah kita

menentukan pola yang mungkin terbentuk pada pasangan terurut Triple

Pythagoras dengan menentukan nilai terlebih dahulu?

Dengan cara yang sama, yaitu pemfaktoran, maka akan kita dapatkan :

3 4 5

8 6 10

24 10 26

5 12 13

48 14 50

12 16 20

halaman| 6

... ... ...

Dengan mengasumsikan bahwa hanya akan dipenuhi oleh bilangan genap

yang lebih dari 2, sehingga dapat dimisalkan di mana ,

dan bilangan bulat yang merupakan faktor dari

22.. DDaappaattkkaahh ddiitteennttuukkaann ssuukkuu kkee-- ddaarrii ppaassaannggaann tteerruurruutt ttrriippllee ppyytthhaaggoorraass,, jjiikkaa

aaddaallaahh bbiillaannggaann ggaannjjiill ddaann ??

Jawab :

Dengan mengambil , dan sebagai pasangan terurut

triple pythagoras yang paling dasar, dan mengasumsikan bahwa akan

mengikuti suatu pola bilangan ganjil maka kita akan mendapatkan :

3 4 5

5 12 13

7 24 25

9 40 41

11 60 61

... ... ...

Pertama - Pola dari

Dari asumsi yang diberikan, kita dapati pola rekursifnya adalah

, dengan . Ini berarti,

halaman| 7

dan seterusnya

pola tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk yang lebih umum berupa

Kedua – Pola dari

4 12 24 40 60 ...

8 12 16 20 24 (dugaan)

4 4 4 4 (dugaan)

Kita misalkan , maka :

Untuk

Untuk

Untuk

Dengan membandingkan pola (*) dengan pola (**), maka kita dapatkan :

Sehingga, untuk dapat dtuliskan sebagai :

Dan untuk ,

dikurangi, maka akan

diperoleh

dikurangi, maka akan

diperoleh

pola (*)

pola (**)

Untuk

halaman| 8

Persamaan suku ke- untuk adalah

Ketiga – Pola dari

5 13 25 41 61 ...

8 12 16 20 24 (dugaan)

4 4 4 4 (dugaan)

Dengan cara yang sama dengan pola dari , maka akan diperoleh :

Sehingga, untuk dapat dtuliskan sebagai :

Dan untuk ,

Persamaan suku ke- untuk adalah

33.. AAddaakkaahh bbiillaannggaann bbuullaatt ppoossiittiiff yyaanngg mmeemmeennuuhhii ddaann ,, jjiikkaa ,, ddeennggaann

ddaann aaddaallaahh bbiillaannggaann bbuullaatt??

halaman| 9

Untuk

Dengan memanfaatkan pola yang mungkin terbentuk pada soal nomor 1,

maka akan diperoleh :

Untuk , maka dan , jelas ini bukan solusi yang kita

inginkan. Karena tidak mungkin panjang suatu sisi segitiga sama dengan 0.

Kemungkinan lain yang bisa kita telusuri adalah dengan menggunakan

rumus pythagoras untuk suatu nilai yang ditentukan.

1

1

2

3

4

5

... ...

Dapat diketahui dari tabel di atas bahwa untuk dan suatu bilangan

asli, maka nilai akan selalu berada dalam bentuk akar, yang mengikuti

suatu pola , dengan . Pola tersebut diperoleh

dengan cara yang sama seperti pada soal nomor 2.

2 5 10 17 26 ...

3 5 7 9 11 (dugaan)

2 2 2 2 (dugaan)

Kita misalkan , maka :

Untuk

dikurangi, maka akan

diperoleh

dikurangi, maka akan

diperoleh

pola (*)

pola (**)

halaman| 10

Untuk

Untuk

Untuk

... (dan seterusnya)

Dengan membandingkan pola (*) dengan pola (**), maka kita dapatkan :

Sehingga, untuk dapat dtuliskan sebagai :

Dan untuk ,

Persamaan suku ke- untuk adalah

Jelas bahwa untuk , nilai tidak akan pernah berbentuk bilangan

bulat.

Untuk

Dengan memanfaatkan pola yang mungkin terbentuk pada soal nomor 1,

maka akan diperoleh :

Untuk , maka

dan

, jelas ini juga bukan solusi yang kita

inginkan. Karena kita menginginkan nilai dan yang merupakan bilangan

halaman| 11

bulat. Kemungkinan lain yang bisa kita telusuri adalah dengan

menggunakan rumus pythagoras untuk suatu nilai yang ditentukan.

2

1

2

3

4

5

... ...

Dapat diketahui dari tabel di atas bahwa untuk dan suatu bilangan

asli, maka nilai akan selalu berada dalam bentuk akar, yang mengikuti

suatu pola

Jelas bahwa untuk , nilai tidak akan pernah berbentuk bilangan bulat.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa untuk , maka nilai bukan

merupakan bilangan bulat.

44.. AAppaakkaahh ddaallaamm sseebbuuaahh pprriimmiittiivvee PPyytthhaaggoorreeaann ttrriippllee (( aattaauu

ddaann aaddaallaahh bbiillaannggaann pprriimmaa)),, kkoommbbiinnaassii kkeettiiggaa ppaassaannggaann bbeerruurruuttaannnnyyaa aakkaann

sseellaalluu tteerrddiirrii ddaarrii 22 bbuuaahh bbiillaannggaann ggaannjjiill ddaann sseebbuuaahh bbiillaannggaann ggeennaapp??

Jawab :

Misalkan kita ambil , , , dan

yang merupakan primitive triple Pythagoras tabel pada soal

nomor 2. Maka , , ,

dan . Dari kombinasi ketiga

pasangan berurutannya dapat diketahui, bahwasannya bila dan

halaman| 12

memiliki greatest common divisor yang nilainya sama dengan 1, maka

komposisi triple Pythagorasnya akan merupakan kombinasi dari dua buah

bilangan ganjil dan satu buah bilangan genap.

55.. DDaappaattkkaahh ttrriippllee ppyytthhaaggoorraass ddiinnyyaattaakkaann sseebbaaggaaii ppeennjjuummllaahhaann ddaarrii bbiillaannggaann--

bbiillaannggaann ggaannjjiill tteerruurruutt??

Jawab :

Dengan menggunakan induksi matematika akan dibuktikan bahwa

penjumlahan dari bilangan-bilangan ganjil terurut adalah

Pertama, kita uji untuk maka ruas kiri akan sama dengan

. Sedangkan ruas kanan

Jadi peryataan benar untuk

Langkah kedua, asumsikan bahwa pernyataan benar untuk ,

yaitu ..... (*)

Sekarang kita buktikan bahwa persamaan benar untuk ,

yaitu

...... (**)

Mulai dengan persamaan (*), kita tambahkan kedua ruas dengan

. Maka akan kita dapatkan :

Bentuk akhirnya ternyata sama dengan yang diminta oleh

persamaan (**). Dengan demikian

adalah benar untuk setiap nilai .

halaman| 13

Karena telah dibuktikan bahwa , maka

dapat dituliskan sebagai :

Sehingga , dapat dituliskan sebagai

Begitu pula dengan

yang dapat dituliskan sebagai

Dengan demikian, maka dapat disimpulkan bahwa triple Pythagoras

dapat dinyatakan sebagai penjumlahan terurut dari bilangan-bilangan

ganjil.

SSiimmppuullaann

Triple Phytagoras merupakan salah satu dari sekian banyak permasalahan dalam

matematika yang bisa ‘didekati’ dengan berbagai pendekatan. Untuk kasus,

halaman| 14

mencari berbagai kemungkinan pertanyaan yang muncul dalam perhitungan

triple phytagoras, mungkin masih terbuka peluang muncul pertanyaan-

pertanyaan lainnya.

Yang penting dari itu semua adalah bagaimana kemudian kita mengkonstruksi

jawaban. Kalaulah memunculkan pertanyaan digolongkan ke dalam proses

berpikir matematika maka penemuan jawaban dengan berbagai alternatif yang

mungkin dapat digolongkan ke dalam problem solving.

Keduanya merupakan kompetensi yang layak untuk ditanamkan pada diri

penggemar matematika.