A. Menemukan Dalil Pythagoras

A. Menemukan A. Menemukan Dalil PythagorasDalil Pythagoras

1. Menemukan Dalil Pythagoras.1. Menemukan Dalil Pythagoras.

“ “ Pada setiap segitiga siku-siku , Pada setiap segitiga siku-siku , luas daerah persegi pada sisi miring luas daerah persegi pada sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah (hipotenusa) sama dengan jumlah luas daerah persegi pada sisi-sisi luas daerah persegi pada sisi-sisi

siku-sikunya “siku-sikunya “

Teorema PythagorasTeorema Pythagoras

Dalam segitiga siku-siku kuadrat Dalam segitiga siku-siku kuadrat panjang sisi miring sama dengan panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi jumlah kuadrat panjang kedua sisi siku-sikunya.siku-sikunya.B

C A

c

b

a c2 = a2 + b2

2. Menyatakan Dalil Pythagoras 2. Menyatakan Dalil Pythagoras dalam bentuk Rumusdalam bentuk Rumus

c2 = a2 + b2

b2 = c2 - a2

a2 = c2 - b2

B

C A

c

b

a

B. Menggunakan Dalil B. Menggunakan Dalil PythagorasPythagoras

1. Menghitung Panjang sisi segitiga siku-1. Menghitung Panjang sisi segitiga siku-siku siku

jika sisi lain diketahuijika sisi lain diketahui

Contoh :Contoh :

Diketahui segitiga ABC siku-siku di A , Diketahui segitiga ABC siku-siku di A , dengan panjang AC = 6 cm dan dengan panjang AC = 6 cm dan panjang AB = 8 cm . Tentukan panjang AB = 8 cm . Tentukan panjang BC !panjang BC !

Jawab :

BC2 = AC2 + AB2

BC2 = 62 + 82

BC2 = 36 + 64

BC2 = 100

BC = 100

BC = 10

Jadi panjang BC = 10 cm

C

A B8

6

2. Menentukan jenis segitiga jika

diketahui panjang sisinya

Untuk menentukan jenis segitiga ABC jika diketahui panjang sisi-sisinya a , b , dan c (a merupakan sisi terpanjang) dapat menggunakan Dalil Pythagoras dengan ketentuan sebagai berikut :

#. Jika dalam segitiga ABC berlaku a2 = b2 + c2 , maka segitiga ABC tersebut merupakan segitiga siku-siku. Dalam hal ini dikenal dengan istilah Tripel Pythagoras.Tripel Pythagoras adalah kumpulan 3 buah bilangan bulat positif yang memenuhi syarat “ kuadrat salah satu bilangan sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan yang lain “ .

Jika sisi-sisi segitiga adalah tripel pythagoras , maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

#. Jika dalam segitiga ABC berlaku a2 < b2 + c2 , maka segitiga ABC merupakan segitiga lancip.

#. Jika dalam segitiga ABC berlaku a2 > b2 + c2 , maka segitiga ABC merupakan segitiga tumpul.

Contoh :

a.Segitiga dengan sisi 3,4,dan 5 satuan adalah siku-siku , sebab 52 = 32 + 42

b.Segitiga dengan sisi 9,7,dan 8 satuan adalah lancip , sebab 92 < 72 + 82

c.Segitiga dengan sisi 8,5,dan 6 satuan adalah timpul , sebab 82 > 52 + 62

Soal latihan

1. Pada gambar di samping, hitunglah panjang sisi PR !

QP

R

5

13

Jawab :

PR2 = QR2 – PQ2 PR2 = 132 – 52

PR2 = 169 – 25PR2 = 144PR = 144PR = 12 QP

R

5

13

2. Tentukan nilai x pada segitiga siku-siku, gambar disamping !

Bukti Teorema 2.1:

A

Teorema 2.2 (Teorema Apollonius)

Jika sisi-sisi dalam segitiga ABC adalah a, b dan c, panjang garis berat yang melalui titik-titik sudut A, B dan C berturut-turut adalah ma, mb dan mc maka

ma2 = (b2 + c2)/2 – a2/4.

Bukti Teorema 2.2

Berdasarkan Teorema 1.6, dalam ABC berlaku

ma2.a=b2.a/2 +c2.a/2

+a/2.a/2.aatau

ma2 = (b2 + c2)/2 –

a2/4

A

B CD

bc

a/2a/2

ma

Teorema 2.3

Jika panjang masing-masing sisi dari ABC adalah a, b dan c, dan garis bagi dalam sudut C memotong sisi c atas bagian-bagian yang panjangnya c1 dan c2, serta panjang garis bagi dalam tersebut dinyatakan dengan dc, maka

dc2= ab – c1c2.

Bukti Teorema 2.3

Dengan sifat perbandingan dlm segitiga ABC, makac1 : c2 = b : a.

Akibatnya(c1 + c2) : (b + a) = c1 : b

atauc1 = bc/(a+b)

Dengan cara serupa diperolehc2 = ac/(a+b)

Untuk menentukan dc, dipakai Teorema 1.6CD2.AB = BC2.AD + AC2.BD – AD.BD.AB

ataudc

2 .c = a2.c1 + b2.c2 – c1.c2.cSubstitusi c1 dan c2 ke kesamaan terakhir diperoleh

dc2 = ab – c1c2.

A B

C

D

ab

dc

c1 c2

Pembelajaran Kooperatif Tipe STAD

Dibentuk Kelompok, masing-masing kelompok terdiri dari 5 peserta diklat dengan anggota yang heterogen

Masing-masing kelompok memilih pemimpin secara demokratis untuk memimpin diskusi bagi para anggota kelompok.

Tiap anggota tim menggunakan Lembar kerja akademik dan saling membantu untuk menguasi bahan ajar dengan tanya jawab atau diskusi antar sesama anggota tim.

Masing-masing kelompok menunjuk wakilnya untuk mempresentasikan hasil kerja kelompok.

Permasalahan 1

Tunjukkan bahwa:

a. Dua segitiga yang tingginya sama, perbandingan luas daerahnya sama dengan perbandingan panjang sisi alasnya.

b. Segitiga-segitiga yang alasnya sama dan titik-titik puncaknya terletak pada sebuah garis yang sejajar sisi alas, luas daerahnya sama.

Permasalahan 2Tunjukkan bahwa:

a. Dua segitiga yang salah satu sudutnya kongruen perbandingan luas daerahnya sama dengan perbandingan hasil kali panjang kedua sisi yang mengapit sudut yang kongruen.

b. Dua segitiga yang sebangun perbandingan luas daerahnya sama dengan perbandingan kuadrat panjang sisinya yang seletak.

Permasalahan 3

Tunjukkan bahwa:

a. Luas daerah segiempat sama dengan hasil kali panjang kedua diagonalnya dan sinus sudut yang terbentuk oleh kedua diagonal.

b. Dalam suatu segiempat garis singgung, jumlah panjang pasangan sisi yang berhadapan sama.

Permasalahan 4

Buktikan bahwa jika dalam ABC yang panjang ketiga sisinya masing-masing a, b dan c; garis bagi luar sudut C memotong perpanjangan sisi AB di titik D, dengan DA = c1 dan DB = c2, serta panjang garis bagi luar itu dinyatakan dengan dc, maka

abccdc 212

Permasalahan 5Definisi

Sebarang garis lurus yang memotong sisi-sisi atau perpanjangan sisi segitiga disebut transversal sisi.

Teorema Menelaos

Jika dalam ABC sebuah transversal sisi g memotong sisi AB, BC dan AC atau

perpanjangannya berturut-turut di titik P, Q dan R, maka

1RA

RCx

QC

QBx

PB

PA

Buktikan Teorema Menelaos !

Permasalahan 6Definisi

Sebarang garis lurus yang melalui sudut suatu segitiga disebut transversal sudut

Teorema De CevaJika tiga buah transversal sudut pada suatu ABC

melalui sebuah titik sudut, dan transversal sudut dari titik-titik sudut C, A dan B berturut-turut

memotong sisi-sisi AB, BC, dan CA atau perpanjangannya di titik P, Q dan R maka

Buktikan Teorema De Ceva !

1RARCx

QCQBx

PBPA

Petunjuk Permasalahan 4 Perhatikan gambar disamping

C1 C2

DA = c1 dan DB = c2

Kemudian gunakan Teorema Perbandingan pada ABC,

AC : BC = c1 : c2

Untuk mendapatkan nilai c1

dan c2. Selanjutnya gunakan Teorema Stewart pada DBC

A B

C

D

a

b

c

dc

21

Petunjuk Permasalahan 5 Perhatikan gambar

disamping Ruas garis – ruas garis

AA1, BB1 dan CC1 masing-masing tegak lurus pada garis tranversal g.

Gunakan kenyataan bahwa

APA1 BPB1,

BQB1 CQC1

CRC1 ARA1

A B

C

P

Q

R

A1

B1

C1

g

Petunjuk Permasalahan 6

Perhatikan gambar disamping

Dalam pembuktian ini digunakan notasi: AB = -BA.

Gunakan Teo. Menelaos pada PBC dengan transversal sisi AQ, dan pada APC dengan transversal sisi BR.

AB

C

P

QR

Penyelesaian Permasalahan 1a


Luas ABC : Luas PQR = ½ c.t : ½ r.t = c : r

A B

C

P Q

R

c r

t t

Penyelesaian Permasalahan 1b


Luas ABC = ½ AB . tLuas ABD = ½ AB . tLuas ABE = ½ AB . t Luas ABF = ½ AB . t

A B

C

t

D E F


Perhatikan gambar disampingPada ABC dan PQR diketahui:

CAB = RPQ = x.AkibatnyaLuas ABC : Luas PQR = ½ AB.AC sin x : ½ PQ.PR sin x = AB . AC : PQ : PR

A B

C

P Q

R

x x


Perhatikan gambar disampingABC PQR

Luas ABC : Luas PQR = bc : qr = ac : pr = ab : pqAkibatnya acpq = abpr atau cq = br atau

c : r = b : q Selanjutnyabc : qr = c2 : r2 = b2 : q2 = a2 :

p2

A B

C

P Q

R


Perhatikan gambar disampingL ABCD = L ABD + L BDC = ½ BD.CP.sinx + ½ BD.AP.sinx = ½ BD (CP + AP) sin x = ½ BD.AC.sin x

A B

CD

xP


Perhatikan gambar disampingABCD segiempat garis singgungAB + CD = AP + PB + CR + RD = AS + BQ + QC + SD = AS + SD + BQ + QC = AD + BC

A B

CD

P

Q

R

S

SekianSekian

Terima Kasih Atas PerhatiannyaTerima Kasih Atas Perhatiannya

A. Menemukan Dalil Pythagoras

Documents

Transcript of A. Menemukan Dalil Pythagoras