Prosiding pada Seminar Pendidikan Nasional di Universitas PGRI Palembang

Prosiding pada Seminar Pendidikan Nasional dengan tema " Peluang dan Tantangan Dunia Pendidikan dalam Era Masyarakat Ekonomi Asean (MEA) di Universitas PGRI Palembang, 7 Maret 2015 (ISBN 978-602-95793-6-9) " 1

APLIKASI MATERI KALKULUS UNTUK BIOLOGI

Oleh:

Allen Marga Retta, M.Pd

Dosen Program Studi Pendidikan Matematika Universitas PGRI Palembang

Email: [email protected]

ABSTRAK

Artikel ini membahas tentang aplikasi materi kalkulus khususnya integral pada Program Studi Pendidikan Biologi. Materi pelajaran hakikatnya adalah pesan-pesan yang ingin disampaikan pada mahasiswa untuk dikuasai. Pesan yang disampaikan perlu dipahami oleh mahasiswa, sebab manakala tidak dipahami maka pesan tidak akan menjadi informasi yang bermakna. Agar pesan yang ingin disampaikan bermakna sebagai materi pelajaran, maka ada sejumlah kriteria yang harus diperhatikan diantaranya Novelty artinya suatu pesan akan bermakna apabila bersifat baru atau mutakhir, Proximity artinya pesan yang disampaikan harus sesuai dengan pengalaman mahasiswa, Conflict artinya pesan yang disajikan sebaiknya dikemas sedemikian rupa sehingga menggugah emosi, Humor, artinya pesan yang disampaikan sebaiknya dikemas sehingga menampilkan pesan yang menarik. Kata Kunci: materi kalkulus, Biologi

mailto:[email protected]


A. PENDAHULUAN

Matematika merupakan kebutuhan universal yang mendasari perkembangan

teknologi modern dan mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin ilmu serta

memajukan daya pikir manusia. Oleh karena itu matematika merupakan sarana

untuk menumbuhkembangkan cara berpikir logis, cermat, dan kreatif (Soedjadi,

2000:43). Memandang arti penting matematika, maka sudah selayaknya jika setiap

pembelajar harus memiliki kemampuan untuk menguasai matematika.

Adapun visi Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP) Universitas

Sriwijaya (Unsri) untuk dapat menyelenggarakan, membina, dan mengembangkan:

1. Pendidikan yang menghasilkan tenaga kependidikan dan tenaga ahli yang

profesional serta mampu bersaing secara global.

2. Penelitian di bidang kependidikan dan ilmu murni yang menghasilkan informasi

dan pembaharuan kependidikan.

3. Pengabdian yang berorientasi pada perbaikan mutu pendidikan sesuai dengan

perkembangan dan kebutuhan masyarakat.

(FKIP Unsri, 2007: 3)

Berdasarkan visi tersebut, Program Studi Pendidikan Biologi yang berada di

bawah naungan FKIP telah menyusun kurikulumnya. Dalam kurikulumnya memuat

mata kuliah Kalkulus yang diharapkan dapat membantu menyelesaikan masalah-

masalah dalam Biologi. Namun berdasarkan silabus pada mata kuliah Kalkulus di

Program Studi Pendidikan Biologi ternyata belum tersedia sepenuhnya matematika

yang menunjang masalah-masalah dalam Biologi. Hal ini menyebabkan materi

Kalkulus belum tersusun dengan baik. Oleh karena itu perlu dilakukan penyusunan

materi Kalkulus yang dapat menyelesaikan masalah-masalah Biologi. Penyusunan

materi dimaksudkan agar dapat disesuaikan dengan pembelajaran Biologi (Retta,

2012). Adapun materi Kalkulus yang digunakan dalam Biologi yaitu integral. Dalam

artikel ini membahas materi Integral yang dikaitkan dengan menganalisis

perkembangan populasi dalam Biologi.

Oleh karena itu, perlu dikembangkan materi matematika khususnya integral

agar dapat memecahkan masalah-masalah dalam Biologi. Sehingga dapat


menonjolkan bahwa matematika merupakan sarana untuk menumbuhkembangkan

cara berpikir logis, cermat, dan kreatif.

Berdasarkan uraian diatas, masalah yang akan dijawab dalam pembahasan

ini adalah bagaimana materi integral dapat digunakan di Program Studi Pendidikan

Biologi?

1. Hakikat Materi Pembelajaran

Bahan atau materi pelajaran adalah segala sesuatu yang menjadi isi

kurikulum yang harus dikuasai oleh mahasiswa sesuai dengan kompetensi dasar

dalam rangka pencapaian standar kompetensi setiap mata kuliah dalam satuan

pendidikan tertentu. Mata kuliah merupakan bagian terpenting dalam proses

pembelajaran, bahkan dalam pengajaran yang berpusat pada materi pelajaran,

materi pelajaran merupakan inti dari kegiatan pembelajaran. Menurut materi

pelajaran keberhasilan suatu proses pembelajaran ditentukan oleh seberapa banyak

mahasiswa dapat menguasai kurikulum.

Materi pelajaran dapat dibedakan menjadi: pegetahuan (knowledge),

keterampilan (skill), dan sikap (attitude). Pengetahuan menunjuk pada informasi

yang disimpan dalam pikiran (mind) mahasiswa, dengan demikian pengetahuan

berhubungan dengan berbagai informasi yang harus di hafal dan dikuasai oleh

mahasiswa, sehingga manakala diperlukan mahasiswa dapat mengungkapkan

kembali. Keterampilan (skill) menunjuk pada tindakan-tindakan (fisik dan nonfisik)

yang dilakukan seseorang dengan cara yang kompeten untuk mencapai tujuan

tertentu. Sikap menunjuk pada kencendrungan seseorang untuk bertindak sesuai

dengan nilai dan norma yang diyakini oleh mahasiwa (Sanjaya, 2008:142).

2. Prinsip Pengemasan Materi Pembelajaran

Menurut Sanjaya (2008:149) materi pelajaran hakikatnya adalah pesan-

pesan yang ingin disampaikan pada peserta didik untuk di kuasai. Pesan adalah

informasi yang akan disampaikan baik berupa ide, data dan konsep. yang dapat

berupa kalimat, tulisan, gambar, peta, ataupun tanda. Pesan bisa disampaikan

melalui bahasa verbal atau nonverbal. Pesan yang disampaikan perlu dipahami oleh


mahasiswa, sebab manakala tidak dipahami maka pesan tidak akan menjadi

informasi yang bermakna.

Menurut Sanjaya (2008:150) agar pesan yang ingin disampaikan bermakna

sebagai materi pelajaran, maka ada sejumlah kriteria yang harus diperhatikan

diantaranya adalah sebagai berikut:

a. Novelty, artinya suatu pesan akan bermakna apabila bersifat baru atau

mutakhir. Pesan yang usang atau sebenarnya telah diketahui oleh mahasiswa,

maka akan mempengaruhi tingkat motivasi dan perhatian mahasiswa dalam

mempelajari materi pelajaran.

b. Proximity, artinya pesan yang disampaikan harus sesuai dengan pengalaman

mahasiswa. Pesan yang disajikan jauh dari pengalaman mahasiswa cenderung

akan kurang diperhatikan.

c. Conflict, artinya pesan yang disajikan sebaiknya dikemas sedemikian rupa

sehingga menggugah emosi. Memang hal ini tidaklah mudah sebab tidak semua

materi pelajaran bisa dikemas seperti itu. Akan tetapi, seorang perencana yang

baik mestinya berusaha ke arah itu.

d. Humor, artinya pesan yang disampaikan sebaiknya dikemas sehingga

menampilkan pesan yang menarik.

Beberapa pertimbangan teknis dalam mengemas isi atau materi pelajaran

menjadi bahan belajar diantaranya adalah:

a. Kesesuaian dengan tujuan yang harus dicapai

Kesesuaian antara pengemasan materi pelajaran dengan tujuan yang harus

dicapai, seperti yang dirumuskan dalam kurikulum secara teknis harus menjadi

pertimbangan pertama, sebab dalam pendekatan sistem tujuan adalah

komponen utama dalam proses pembelajaran. Artinya apapun yang

direncanakan termasuk pengemasan materi pelajaran diarahkan untuk

mencapai tujuan pembelajaran secara optimal. Oleh sebab itu, sebelum

dilakukan pengemasan materi pelajaran sebaiknya ditentukan terlebih dahulu

tujuan yang harus dicapai baik tujuan dalam bentuk perubahan perilaku yang


bersifat umum (goals), maupun perilaku terukur dalam bentuk indikator hasil

belajar (objectives).

b. Kesederhanaan

Materi pembelajaran dikemas dengan tujuan untuk mempermudah

mahasiswa belajar. Dengan demikian, kesederhanaan pengemasan merupakan

salah-satu pertimbangan yang harus diperhatikan. Pengemasan tersebut bukan

hanya tercerminkan dari bentuk pengemasannya itu sendiri, akan tetapi juga

dilihat dari bentuk penyajiannya, misalnya bahasa yang komunikatif dan mudah

ditangkap maknanya atau mungkin kesederhanaan dalam perintah penggunaan

bahan ajar yang lebih praktis.

c. Unsur-unsur desain pesan

Dalam setiap kemasan sebaiknya terdapat unsur gambar dan caption.

Pengemasan materi yang hanya terdiri dari atas gambar atau caption saja akan

mengurangi makna penyajian informasi. Walaupun bahan pelajaran dikemas

dalam bentuk visual misalnya, unsur caption harus menjadi bagian dari teknik

penyajian, sebab salah satu kriteria keberhasilan pengemasan adalah apakah

pengemasan pesan atau informasi yang disajikan itu mudah dipahami atau

tidak. Agar mudah dipahami, maka penyajian pesan dan informasi harus

menyertakan unsur gambar dan caption.

d. Pengorganisasian bahan

Materi pelajaran sebaiknya disusun dalam bagian-bagian menuju

keseluruhan. Materi pelajaran akan lebih mudah dipahami manakala disusun

dalam bentuk unit-unit terkecil atau dalam bentuk pokok-pokok bahasan yang

dikemas secara induktif. Selesai mahasiswa mempelajari unit tertentu segera

berikan umpan balik, demikian seterusnya sampai mahasiswa menguasai

materi secara keseluruhan secara tuntas.

e. Petunjuk cara penggunaan

Dalam bentuk apapun pengemasan materi harus disusun petunjuk cara

penggunaannya. Hal ini sangat penting, apalagi seandainya bahan ajar dikemas

untuk pembelajaran mandiri seperti modul.


3. Model matematika

Menurut Chandra (2008) secara sederhana model matematika dapat

didefinisikan sebagai suatu konstruksi matematis yang didesain untuk mempelajari

suatu fenomena tertentu di dunia nyata. Konstruksi tersebut dapat berupa konstruksi

grafis, simbolik, simulasi, dan eksperimen. Model simbolik dapat merupakan suatu

rumus atau persamaan.

Selanjutnya, dengan menyajikan suatu garis besar prosedur yang menolong

dalam penyusunan model matematika.

Langkah 1. Mengidentifikasi masalah. Langkah ini merupakan langkah yang

sulit karena sering mengalami kesulitan dalam menentukan apa yang harus

dikerjakan. Dalam situasi dunia nyata tidak ada seseorang yang memberikan

kepada kita suatu problema matematika untuk diselesaikan. Biasanya kita harus

memilih di antara sejumlah besar data dan mengidentifikasi suatu aspek tertentu

yang ingin kita pelajari. Selanjutnya, kita harus secara tepat merumuskan masalah

sehingga dapat menterjemahkan pernyataan verbal yang menggambarkan masalah

dalam simbol matematika.

Langkah 2. Membuat asumsi. Ada dua kegiatan utama dalam langkah ini,

yaitu sebagai berikut.

a. Mengklasifikasikan variabel.

b. Menentukan hubungan di antara variabel-variabel yang sudah dipilih.

Langkah 3. Menyelesaikan atau mengintrepretasikan model. Pada langkah

ini, sering kali tidak dapat menemukan penyelesaian model. Dalam hal ini harus

kembali ke langkah 2 untuk membuat asumsi tambahan untuk menyederhanakan.

Atau harus kembali ke langkah 1 untuk mendefinisikan kembali masalah.

Langkah 4. Memeriksa kebenaran model. Sebelum menggunakan model,

kita harus menguji model tersebut. Ada beberapa pertanyaan yang dapat diajukan

sebelum melaksanakan pengumpulan data. Pertama, apakah model menjawab

masalah yang diidentifikasi pada langkah 1 atau model tersebut menjadi terpisah

dari isu utama pada saat kita menyusun model. Kedua, apakah model dapat

digunakan secara mudah, misalnya apakah kita dapat mengumpulkan data yang

diperlukan untuk melaksanakan model?. Ketiga, apakah model tersebut masuk


akal? Apakah kita tidak membuat kesalahan matematika dalam langkah 3 atau

membuat kesalahan asumsi pada langkah 2?

Jika pertanyaan-pertanyaan tersebut sudah dijawab dengan memuaskan

maka dapat menguji model dengan menggunakan data tersebut. Kita juga harus

berhati-hati dalam menarik kesimpulan tentang hasil pengujian model.

Langkah 5. Mengimplementasikan (Melaksanakan) model. Suatu model tidak

akan berguna jika tidak dilaksanakan. Kita harus dapat menggunakan dan

menjelaskan model dengan menggunakan istilah-istilah yang dapat dimengerti oleh

pengguna model.

Langkah 6. Memperbaiki model. Ingat kembali model diturunkan dari

masalah khusus yang diidentifikasi dalam langkah 1 dan dari asumsi yang dibuat

dalam langkah 2. Oleh karena itu penting untuk dilihat kembali apakah masalah

semula mengalami perubahan, atau suatu faktor yang sebelumnya dihilangkan

sekarang menjadi faktor yang penting. Apakah salah satu dari submodel perlu

diubah? Jika hal tersebut perlu dilakukan maka kita harus memperbaiki model

tersebut.

4. Materi Integral dalam Pemodelan Mangsa-Pemangsa

Tidak ada makhluk hidup yang dapat hidup terisolasi atau hidup tersendiri.

Setiap makhluk hidup pasti akan membutuhkan makhluk hidup lainnya. Makhluk

hidup di alam merupakan suatu sistem (individu-populasi-komunitas-ekosistem).

Setiap spesies makhluk hidup saling berinteraksi antarindividu maupun

antarpopulasi. Interaksi ini menciptakan kesatuan ekologi yang disebut ekosistem.

Dalam ekosistem terjadi proses makan dan dimakan agar menjadikan ekosistem

tersebut tetap seimbang. Peristiwa ini memberikan ide untuk membuat model

matematika, yang dapat dipelajari dengan mudah. Salah satu ekosistem antara dua

spesies yang dimodelkan secara matematika pertama kali melibatkan antara

pemangsa dan mangsanya. Dengan menggunakan model matematika tersebut,

Anda dapat menentukan perbandingan predator (pemangsa) dengan prey (mangsa)

agar ekosistem tetap seimbang. Pada modul ini Anda akan mempelajari interaksi


ekosistem di laut antara hiu dan ikan kecil pemakan plankton. Ikan kecil tersebut

merupakan sumber makanan hiu.

Misal:

F = Populasi ikan (sumber makanan hiu) di wilayah laut tertentu.

S = Populasi hiu di wilayah yang sama.

= Kecepatan perubahan populasi ikan pemakan plankton dalam

kurun waktu tertentu.

= Kecepatan perubahan populasi hiu dalam kurun waktu tertentu.

Diasumsikan disuatu wilayah laut yang terbatas menyebabkan antara ikan

pemakan plankton dan hiu tidak dapat berinteraksi. Sehingga dapat dinyatakan:

Sebelum merumuskan model yang lebih spesifik, Anda harus mengetahui

pengaruh yang akan Anda jadikan sebuah model. Karena suatu model matematika

tidak dapat diinterpretasikan dengan baik tanpa mengetahui parameter yang

terdapat pada model tersebut. Sebagai contoh, jika nelayan tidak memancing ikan

pemakan plankton selama beberapa tahun, maka populasi ikan dipastikan

meningkat. Setelah populasi ikan meningkat, maka hiu akan mendapat tambahan

makanan yang dapat membuat populasi hiu meningkat pula. Jika populasi hiu

meningkat maka populasi ikan pemakan plankton akan menurun. Akibatnya hiu tidak

bisa memakan ikan pemakan plankton dan mengharuskan untuk menurunkan

jumlah populasi hiu. Ini akan mengakibatkan populasi ikan pemakan plankton akan

menjadi seperti semula. Kemungkinan ini bisa terjadi apabila prosesnya terus

berlangsung dalam jangka waktu yang tidak terbatas antara predator (pemangsa)

dan prey (mangsa).

Dalam perkembangan sebuah model ekosistem menjelaskan interaksi antara

dua spesies. Jika dalam suatu ekosistem tersebut tidak terjadi interaksi antara dua

spesies. Maka Anda akan menanyakan persamaan apa yang tepat dari suatu

populasi hiu jika tidak ada ikan atau sebaliknya.


Diasumsikan bahwa jika hiu tidak ada, dan ikan pemakan plankton

berproduksi dalam laju yang sebanding dengan populasinya serta tidak dipengaruhi

oleh kepadatan populasinya, disimpulkan bahwa jumlah pertumbuhan ikan pemakan

plankton adalah konstan.

Jika tidak ada ikan pemakan plankton, maka sumber makanan hiu tidak ada.

Dalam hal ini, populasi hiu yang mati melebihi populasi hiu yang lahir karena tidak

ada ikan yang menjadi sumber makanannya. Maka Anda dapat mengasumsikan

bahwa:

Karena tidak ada ikan pemakan plankton, maka spesies hiu akan punah

dalam jangka waktu yang singkat. Maka Anda dapat menentukan ,

dengan h(0,S) = - kS.

Sekarang Anda akan memodelkan interaksi yang kompleks antara ikan

pemakan plankton dan hiu. Diasumsikan bahwa populasi ikan pemakan plankton

lebih banyak dari populasi hiu. Sehingga, ikan pemakan plankton dapat

menyebabkan meningkatnya jumlah pertumbuhan hiu, dalam model matematika

yang sederhana, Anda dapat mengasumsikan bahwa populasi pertumbuhan hiu

akan meningkat sebanding dengan populasi ikan pemakan plankton. Begitu pula

sebaliknya.

Maka,

Dengan,

k = Koefesien laju kematian populasi hiu.

i = Konstanta proporsi yang mengukur keuntungan dari populasi hiu

yang memangsa ikan pemakan plankton.

a = Koefesien laju pertumbuhan populasi ikan pemakan plankton.


b = Konstanta proporsi yang mengukur banyaknya interaksi hiu dan

ikan pemakan plankton yang mana ikan pemakan plankton di

mangsa.

Dalam model di atas dapat Anda lihat bahwa dalam sistem tersebut dan

dipengaruhi oleh S dan F. Perhatikan tanda (+) atau (-) dalam sistem tersebut. Oleh

karena i positif, maka suku “iFS” tak negatif, hal ini mengindikasikan peningkatan

jumlah populasi ikan pemakan plankton meningkatkan jumlah populasi hiu. Begitu

juga karena b positif, maka suku “-bSF” tak positif, hal ini mengindikasikan

peningkatan banyaknya hiu mengurangi populasi ikan pemakan plankton.

5. JUMLAH POPULASI PEMANGSA DAN MANGSA

Dalam model matematika yang sudah dijelaskan sebelumnya. Perlu di catat

bahwa tingkat kestabilan antara populasi predator atau pemangsa dengan prey atau

mangsa bisa dihitung dengan mudah. Misal

5.1 Diasumsikan persamaan dengan waktu tertentu pada predator S,

Dibagi dengan S, maka

Jika persamaan ini diintegralkan dari waktu awal ke waktu sembarang, maka,

Misal, Anda integralkan secara periode, bahwa t = t1, dengan

t1-t0 = T


populasi predator (S)

S(t)

T t(waktu)

t0 t1

Gambar 1.

Grafik populasi pemangsa terhadap waktu.

Periode osilasi T diindikasikan dalam gambar 2.3 diatas. Maka populasi

periodiknya.

S(t1) = S(t0),

Dengan mengevaluasi persamaan diatas dimana t = t1, maka

5.2 Diasumsikan persamaan dengan waktu tertentu pada mangsa F.

Dibagi dengan F, maka

Jika persamaan ini diintegralkan dari waktu awal ke waktu sembarang, maka,


Misal, Anda integralkan secara periode, bahwa t = t1, dengan t1-t0 = T

Populasi periodiknya F(t1) = F(t0),

Dengan mengevaluasi persamaan diatas dimana t = t1, maka

Contoh Soal

Suatu kelompok tikus di Norwegia hidup dalam daerah yang tertutup, bebas dari

gangguan luar dan dengan makanan yang cukup. Yang menghambat

pertumbuhan populasinya hanyalah masalah tempat. Dari penyelidikan ternyata

terdapat angka kematian 2% per hari dari 40.000 ekor tikus. Populasi tikus

Jumlah populasi mangsa adalah , dan jika Anda hitung untuk

jumlah populasi pemangsa, maka akan diperoleh , sehingga

sistem ini benar-benar seimbang. Dengan kata lain cukup banyak

mangsa untuk menunjang kekonstanan populasi pemangsa yang .

Setiap spesies rata-rata lahir secara eksak sama dengan rata-rata kematiannya dan populasi ini bertahan untuk jangka waktu yang tidak terbatas. Oleh karena itulah, sistem ini dikatakan seimbang.


berkurang dengan laju sebanding dengan jumlah populasi saat itu. Tentukan

populasi tikus dalam 3 hari?

Penyelesaian:

Diketahui bahwa jika laju kematian tikus sebanding dengan jumlah tikus yang

ada, dan terjadi kematian yang konstan terhadap tikus, maka dapat dibuat

model matematika menjadi . Dengan laju kematian tikus

, maka persamaan tersebut dapat ditulis:

Jadi diperoleh jumlah tikus dalam 3 hari adalah 37.600.

B. SIMPULAN

Berdasarkan pembahasan diatas, dapat disimpulkan bahwa materi integral

dapat diaplikasikan ke pembelajaran lain khususnya di Program Studi Pendidikan

Biologi dengan mengemas materi integral sesuai dengan deskripsi mata kuliah

kalkulus di Program Studi Pendidikan Biologi. Diharapkan agar dapat memanfaatkan

materi integral sebagai sumber belajar alternatif dalam proses pembelajaran di

Program Studi Pendidikan Biologi. Sehingga dapat melatih mahasiswa untuk dapat


memecahkan masalah-masalah di Biologi dengan menggunakan pemodelan

matematika yang lebih baik dan sekaligus memotivasi untuk menumbuhkan rasa

percaya diri dalam belajar matematika.

C. DAFTAR PUSTAKA

-----------.(2007). Buku pedoman Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan. Indralaya.

Chandra, T.D. dan Rustanto Rahardi. 2008. Metode dan Model Matematika. Jakarta:

Universitas Terbuka.

Retta, Allen Marga. (2012). Pengembangan Materi Integral Berbasis Modul dalam

Pembelajaran Matematika di Program Studi Pendidikan Biologi. Prosiding

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, M.T. 1-10.

Yogyakarta: Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY.

Sanjaya, Wina. (2008). Perencanaan dan Desain Sistem Pembelajaran. Jakarta:

Kencana Prenada Media Group.

Soedjadi, R. (2000). Kiat Pendidikan Matematika di Indonesia. Jakarta: Direktorat

Jendral Pendidikan Tinggi Depdiknas.

Prosiding pada Seminar Pendidikan Nasional di Universitas PGRI Palembang

Education

Transcript of Prosiding pada Seminar Pendidikan Nasional di Universitas PGRI Palembang