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ALGUNOS PROBLEMAS SELECTOS DE FÍSICA

Dr. Dino Otero (dinootero@fibertel.com.ar) Facultad Regional Buenos Aires

UTN-2010-

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INDICE 3. Propósito de este libro 5. Velocidad – I 7. Choque Plástico – II 10. Conversión de energía – III 12. Choque plástico 2 – IV 14. Péndulo – V 20. Del proyecto a la solución – VI 25. Mezcla de Gases – VII 31. Ejercicios ejemplos – VIII 32. Entropía – IX 36. Óptica física – X 39. Anillos de Newton – XI 42. Corrientes de Foucault – XII 46. Comentarios finales. 47. Apéndice I: Errores. 51. Apéndice II: Sakur-Tectrode 53. Apéndice III: Energía Interna

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PROPÓSITO DE ESTE LIBRO

Este libro surgió como colaboración a un taller destinado a discutir y plantear la enseñanza de las ciencias en los primeros años de la universidad dentro de un programa del PROMEI1 en los años 2007-2008.

Trataremos aquí de discutir formas alternativas para plantear los problemas de física tratando de lograr un mayor interés y comprensión por parte del alumno apuntando, además, a las incumbencias relacionadas con su carrera de ingeniería.

La selección de los temas es relativamente arbitraria. Se ha buscado aquellos ejemplos que poseen algún tipo de sutileza o alguna solapada interpretación que los pueden hacer más atractivos para los alumnos (y para la satisfacción del docente que los debe enseñar).

Se presentan algunos ejemplos y se analizan las soluciones, evaluando las alternativas cuando los problemas lo permiten.

Se establecen cuáles son las dificultades más comunes del alumno y los usuales caminos erróneos que suele tomar.

Se trabajará sobre temas de física: mecánica elemental, termodinámica, teoría cinética, electricidad, magnetismo y óptica geométrica y física, correspondientes los conocimientos típicos de primero y segundo año.

Finalmente se han agregado tres apéndices para abordar temas especiales que ocasionalmente pueden generar dificultades. Esos apéndices están reservados exclusivamente para los profesores.

Agradezco al Ing. Ricardo Bosco y al Arq. Luis De Marco por el apoyo brindado para elaborar el material de este libro.

1 PROMEI es un proyecto plurianual destinado al mejoramiento de las carreras de ingeniería de universidades nacionales e institutos de las fuerzas armadas que culminaron el proceso de acreditación realizado por la CONEAU en el marco de las resoluciones ME-1232/01 y ME-013/04.

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(DESPROPÓSITO)

De ninguna manera se trata de “enseñar a enseñar”.

COMENCEMOS:

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1. VELOCIDAD.

INCUMBENCIAS

Se trata de: • Usar el concepto simple de velocidad para determinar los límites

temporales de transferencia de mensajes. Este es un tema muy importante en informática y en futuras aplicaciones profesionales.

• De manejar la notación de resultados acorde a la presentación de la información para una rápida comprensión. Es un requisito imprescindible para la presentación de informes técnicos.

• Hacer tomar conciencia al alumno de las enormes distancias temporales y el límite de la velocidad de la luz. Ubicarlo temporal y espacialmente en el mundo contemporáneo.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

• Manejo del concepto de velocidad. • Unidades de tiempo y distancia. • Notación científica.

PLANTEO DEL PROBLEMA

Se supondrá que todas las distancias que se proponen en el planteo son en línea recta y que la velocidad de las señales electrónicas tanto en los cables como en espacio, se mueven a la velocidad de la luz2: ˜ 299792458 m/seg. Se deberá calcular el tiempo mínimo que se tardaría en obtener respuesta desde los siguientes lugares:

• Por un cable coaxil donde el contestador está a un metro de distancia. • Desde Buenos Aires a Tokio (18374 km), Ushuaia (3171km), París

(11063km). • Desde la Tierra a la Luna (384000km), Marte (5,5x107 km), Estrella Alfa

Centauro (3,78x1013 km). Los resultados deben ser expresados con no más de tres dígitos y de la forma más clara, por ejemplo:125 días los expresará como 4 meses y 5 días. 0.0000000078 como 7,8 nanosegundos.

RESPUESTAS

2 Los conocimientos forman un conjunto integrado que sólo artificialmente se los separan en temas pseudo estancos para, en una primera instancia simplificarlos. Sin embargo no existe inconveniente para introducir conceptos aislados que sólo en asignaturas posteriores estarán razonablemente justificados.

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• Cable coaxil de un metro: 6,67 nseg • Buenos Aires a Tokio: 0,122 seg • Buenos Aires a Ushuaia: 21,2 mseg • Buenos Aires a París: 73,8 mseg • De laTierra a la Luna: 2,56 seg • De laTierra a Marte: 3,06 minutos • De laTierra a Estrella Alfa Centauro: 8 años

Parar obtener estos resultados basta conocer la velocidad de la luz con este grado de aproximación: 299800 km/seg.

DIFICULTADES

• Obviamente no existe una sola forma de expresar los resultados pero, en general debe tratarse que sean rápida y fácilmente comprensibles: a los alumnos les cuesta expresar su respuesta “recortando” el número a cifras “razonables”. Establecer la cantidad de dígitos suele ser un problema.

• Convertir adecuadamente las unidades de tiempo y longitud. Interpretar adecuadamente el enunciado. No se pide cuánto tarda en llegar la señal sino en cuánto se tarda en obtener respuesta.

• Acostumbrarse a presentar los resultados en forma concreta y clara pero conteniendo la información requerida.

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2. CHOQUE PLÁSTICO.

INCUMBENCIAS

• Utilizar los conceptos dinámicos para relacionarse con problemas cotidianos de choque plástico. Acostumbrar al alumno a emplear los conocimientos adquiridos para indagar el mundo que lo rodea.

• Nuevamente manejar diferentes unidades como km, m, horas, segundos y calcular potencias y raíces de dichas unidades. Esta incumbencia será crucial para cursar las asignaturas posteriores y en su posterior desempeño profesional.

• Verificar información difundida por los medios de comunicación. Aprender a estar atento a los enunciados que se difunden pudiendo discernir sobre su validez.

• Resolver los problemas por caminos diferentes. Esto capacita al alumno para enfrentar situaciones donde, por diversas razones conviene usar uno u otro camino para resolver un problema concreto.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

• Manejo del concepto de velocidad y aceleración. Ecuaciones de Newton • Conceptos de derivación e integración. • Concepto de energía cinética, potencial y conservación de energía.

PLANTEO DEL PROBLEMA

Frecuentemente se compara un choque en auto con la caída desde un

cierta altura, veamos algunos ejemplos: • Un edificio de 20 pisos tiene entre 50 y 60 metros. ¿A qué velocidad

(km/h) equivale una caída desde la terraza de dicho edificio? • Si en los cruces de bocacalle, la velocidad permitida para un auto es

de 14 km/h ¿A qué altura de caída equivale esa velocidad?

RESPUESTAS

Aquí tenemos dos caminos para resolverlo. Usando directamente la ley de Newton o utilizando el concepto de energía. Veamos el primer camino:

F=ma

• Se integra y se elimina la masa,

2

2

dtxdm

dtdvmmamg ===

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Y se obtiene

Donde se utilizó la condición inicial implícita no dicha en el enunciado que v(0) = 0. Integrando nuevamente

Donde se ha fijado el origen de coordenadas en x=0 en la terraza del edificio.

Este camino exige llegar a conocer el tiempo de caída para

obtener v(t). Despejando: Usando este resultado se tiene, • Para el edificio tendremos entre 112 y 123 km/h. • Para el cruce de calles tenemos una altura de 77 cm.

DIFICULTADES

• Tener presente los resultados de la teoría y aplicarlos adecuadamente.

• Descubrir que debe integrar dos veces la ecuación de Newton para obtener el tiempo y así calcular la velocidad o la altura.

• Simplificar la masa inercial con la masa gravitatoria sin considerar la enorme importancia que tuvo en el desarrollo de la física alcanzar este concepto.

Ahora usaremos el camino alternativo:

Se puede evaluar, por ejemplo, la energía potencial. Para ello se calcula el trabajo para llevar una masa desde la calle hasta la terraza:

Ahora el origen de coordenadas se fijó en la vereda. Usando que la energía

dtdt

xdmdtdtdvmdtgm

ttt

∫∫∫ ==0

2

2

00)()0()( tvvtvtg =−=

)()0()(2

2

txxtxgt=−=

)2()( gxxv =

∫∫ ===x

mgxmgdxldFW0

rr

∫∫ ===x

mgxmgdxldFW0

rr

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total debe conservarse, toda la energía potencial se convertirá en energía cinética:

Considerando que Energía potencial inicial = Energía cinética final:

y por supuesto a partir de esta ecuación se vuelve a obtener el resultado anterior, aunque de forma más concreta, en realidad porque el concepto de energía encierra una integración. Sin embargo si se desea conocer el tiempo que tarda en caer desde la terraza es más directo la ecuación de Newton:

• Ese tiempo resulta 10,2 seg.

DIFICULTADES

Las dificultades más comunes radican en

• El cambio de unidades • Recordar los conceptos elementales • Dominar el concepto de integración y derivación • Fijar adecuadamente el origen de coordenadas.

2

2vmgxm =

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3. CONVERSIÓN DE ENERGÍA

INCUMBENCIAS

• Capacitar al alumno para aplicar el concepto de conservación de

energía en disciplinas en las cuales la dinámica y la termodinámica son tratadas conjuntamente, como por ejemplo la termohidráulica, los fluidos, las toberas, etc.

• Fijar el concepto de equivalencia de energía. Durante los choques toda la energía cinética “ordenada” (que puede ser considerada concentrada en el centro de gravedad) se convierte en energía cinética desordenada de las moléculas: calor que eleva la temperatura de los cuerpos que chocaron. Ese calor podría a su vez convertirse en energía eléctrica.

• Acostumbrar al alumno a que los conocimientos no compartimientos estancos. Las unidades de energía cinética/potencial pueden ser convertidos en unidades de energía eléctrica.

• Inducirlo a pensar problemas concretos en relación con temas tecnológicos.

• El alumno debe tener presente que el Watt es una unidad de potencia (energía/tiempo) y que por razones prácticas los consumos se dan en energía consumida por hora.

• Generalmente no suele asociar los conocimientos que va adquiriendo con problemas de su vida cotidiana.

PLANTEO DEL PROBLEMA

• Joule diseñó un aparto para comprobar la equivalencia entre energía

potencial/cinética y energía calórica entregada a un fluído. A partir de su experimento concluyó que :

• La cantidad de calor producida por la fricción entre cuerpos, sean líquidos o sólidos siempre es proporcional a la cantidad de trabajo mecánico suministrado.

Supongamos que el calor generado en el choque de un coche pudiera se

utilizado totalmente para prender lamparitas de 75 Watts hora (equivalencia 1 Watt hora = 3600 Joule) (Si los alumnos han visto termodinámica saben que no todo el calor podrá convertirse en energía eléctrica y que dicha conversión depende directamente de la temperatura que alcancen las parte del coche!).

¿Cuánto tiempo se podrían prender una lamparita con la energía que disipa una persona que pesa 70 kg y con un auto que pesa una tonelada, en un choque a una velocidad de 100 km/h?

RESPUESTA

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Usando la fórmula,

y la conversión de unidades de energía, se obtienen 15 Wh para la persona y 214 Wh para el auto. En el primer caso la lamparita sólo se prenderá durante 20 minutos y en el segundo caso unas 2 horas y 51 minutos. Por supuesto nos hemos quedado sin el auto y sin el conductor …

DIFICULTADES

• El alumno debe tener presente que el Watt es una unidad de potencia (energía/tiempo) y que por razones prácticas los consumos se dan en energía consumida por hora.

• Generalmente no suele asociar los conocimientos que va adquiriendo con problemas de su vida cotidiana.

2

2mvE=

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4. CHOQUE PLÁSTICO II

INCUMBENCIAS

• Capacitar el alumno en el análisis de hipótesis del comportamiento de

fuerzas desconocidas, para la resolución de los problemas. • Investigar que sucede durante los choques. • Resolver problemas en base a hipótesis.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

• Manejo del concepto de velocidad y aceleración. Ecuaciones de Newton • Conceptos de derivación e integración.

PLANTEO DEL PROBLEMA

Supongamos ahora que un coche, pesa una tonelada, va a 100 km/h y choca contra una pared y toda la parte delantera se aplasta reduciéndose el largo del coche en un metro hasta que los restos se detienen totalmente.

Calcule el tiempo que tarda en detenerse. Suponiendo que la fuerza es

constante evalúe dicha fuerza. Vuelva a evaluarla considerando que cae linealmente a cero a medida que el coche se detiene:

F = F´t ¿Cuáles serían las correspondientes desaceleraciones en km/seg2 ?

Este problema representa una complejidad adicional pues requiere que el alumno descubra que le basta con conocer el comportamiento temporal de la fuerza (aceleración), el cual si no se da explícitamente puede ser supuesto, por ejemplo constante, para luego verificar experimentalmente cuál es la mejor suposición.

Nuevamente usando la ecuación de Newton: F = ma e integrando, se obtiene:

Ft = mat = mv

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e integrando nuevamente, (aquí t y x se integran hacia atrás!). Haciendo el cociente miembro a miembro: se obtiene que,

De donde se despeja t = 72 mseg. Ahora se puede evaluar la fuerza, por ejemplo usando Ft = mv, de donde se obtiene, 3,85x105 Newtons de fuerza.

• La desaceleración será de 385 km/seg2. Si la fuerza varía linealmente bastará hacer la integración, ahora F=F´t

(como antes la integración va desde el momento que se detuvo totalmente hasta el momento inicial en que comenzó a frenarse por el choque). Ahora la primer integración nos da,

e integrando de nuevo,

• Resulta, t=108 mseg.

DIFICULTADES

• En general el alumno no está acostumbrado a planteos reales donde el

camino a la solución puede pasar por plantear hipótesis y luego verificar su validez con alguna experiencia.

• Seguramente tendrá dificultad en avanzar en la solución para hallar el resultado simplificando la fuerza. También en integrar “hacia atrás”.

mxtmatF ==22

22

mvmx

FtFt

=2

2

vxt

=2

mvtF =′2

2

mxtF =′3

3

vxt

=⇒3

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DINÁMICA Y ERRORES

Ahora cambiaremos nuevamente el enfoque del problema. El alumno dispondrá de un conjunto de datos de los cuales podrá extraer la solución manejándolos adecuadamente. Un problema de este tipo debe ser guiado por el profesor. Los resultados son aproximados y el alumno deberá verificar y convencerse de la coherencia de los mismos.

5. EL PÉNDULO

OBJETIVOS

INCUMBENCIAS

• Capacitar al alumno en resolver problemas a partir de datos medidos experimentalmente. Aprender a evaluar errores y discernir sobre las posibilidades de un determinado método.

• Reforzar los conocimientos que adquirirán en las prácticas de laboratorio preparándolo para interpretar resultados con error.

• Elaborar gráficos e interpretarlos. • Resolver el problema por métodos exclusivos de los diseños

experimentales. • Que el alumno descubra limitaciones naturales en la posibilidad de

reducir errores.

PLANTEO DEL PROBLEMA

Se realizaron mediciones con un péndulo dejándolo oscilar desde una máxima amplitud X1=1dm. La gravedad se considera 9,81m/seg2. Luego se midieron las sucesivas amplitudes y los correspondiente tiempos como se indica en la figura y se obtuvieron los valores consignados en la tabla I:

Se miden las diferente amplitudes a medida que pasa el tiempo, y

se trata de determinar el período, la constante de rozamiento y la longitud

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TABLA I

Como primer paso el alumno deberá graficar los valores y evaluar el

gráfico obtenido.

Para mayor claridad se pueden marcar los valores medidos en un gráfico de la posible evolución x(t):

Tiempo (seg)

0 1,05 2,10 3,15 4,15 5,25 6,20 7,25 8,40 9,50

Xn(dm) 1 0,68 0,417 0,279 0,188 0,138 0,069 0,062 0,033 0,030

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Los datos de la tabla I están indicados con círculos llenos en los topes de la posible oscilación del péndulo. Manipulación de los datos: Haciendo la diferencia de tiempo entre cada máximo podemos estimar el valor del período T:

Valores observados: 1,05 – 1,05 – 1,05 – 1,00 – 1,10 – 0.95 – 1,05 – 1,15 – 1,10 Promedio = 1,06 (0,06) seg

Por otro lado se deberán usar los valores teóricos:

Los valores del período son, sin amortiguar

Amortiguado, Donde tenemos como único dato a g = 9,81m/seg2, la gravedad. El período T, la longitud “l” y la constante de amortiguamiento γ serán en realidad las incógnitas del problema. Amortiguación

El período se ve afectado por la amortiguación y conviene operar con ambas informaciones en paralelo. Ya se ha evaluado el período; ahora habrá que evaluar la amortiguación, construyendo una tabla similar. Alternativamente la amortiguación podría estimarse calculando por cuadrados mínimos la recta que surge de tomar logaritmos en:

Por otro lado, si bien la amplitud máxima y su posición se desplaza levemente por el efecto de la envolvente de decaimiento en una primera aproximación este efecto puede despreciarse:

glT π2=

244

γ

π

−=

gllT

tle

MáximaAmplitudtMáximaAmplitud 2

)0.(_)(_ γ

−=

20

La amortiguación de un péndulo esta dada por una exponencial

negativa. Como un método más simple que la utilización de cuadrados mínimos, se evaluará las constantes de decaimiento que surgen de cada par de datos, referidos al primer valor.

Las unidades de ? son metros/seg. Como la Amplitud Máxima(0) = 1 dm, usamos directamente los valores medidos para evaluar la constante de decaimiento, calculando en cada caso el logaritmo natural de la amplitud indicada en la tabla I, dividida por el correspondiente tiempo t:

-0,367 -0,417 -0,405 -0,403 -0,377 -0,431 -0,406 -0,369

El promedio con su dispersión resulta = -0,397 (0,022) = l2/γ Para determinar la longitud, usaremos ahora si se la reescribe así, puede reemplazarse directamente por el valor de amortiguación obtenido,

La ecuación que se obtiene es,

ltMáximaAmplitud

tMáximaAmplitud

2)0.(_)(_ln

γ−=

244

γ

π

−=

gllT

06,1397,81,9

2

4

22

2

2=

−=

−

=o

lllg

T π

γ

π

ml 278,0397,0

06,14

81,92

2

2 =+

=π

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Evaluación de resultados

Para analizar los resultados es necesario estimar los errores. Los errores de las magnitudes medidas son,

Para el período de 1,06: 0,057 Para la magnitud asociada a la amortiguación, 0,198: 0,056 Ahora debemos proceder a la propagación de errores utilizando la

expresión usada para evaluar la longitud.

?l = [ε (9,81) + ε (denominador)].l Donde e identifica al error relativo de cada magnitud,

ε (9,81) ~ 0

ε (denominador) = ∆ (denominador)/denominador

∆ (denominador) = ∆ (4p2/1,062) + ?(0,3972)

∆ (4p2/1,062) = 4p2/1,062ε (4p2/1,062)

ε (4p2/1,062) = ε (4p2) + 2 ε (1,062) = 2 ε (1,062) = 0,108

∆ (4p2/1,062) = 0,108 (4p2/1,062) = 3,8

∆ (0,3972) = 2ε (0,3972) 0,3972 = (2x0,022x0,3972)/0,397 = 0,017

∆ (denominador) = 3,8 + 0,017 = 3,82

ε (denominador) = 3,8/35,3 = 0,108

∆ = 0,108x27,8 cm = 3 cm Entonces, l = 27,8 ± 3,0 cm Veamos ahora el valor del período para un péndulo de estas

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características pero sin frotamiento: T = 1,058 seg. Es decir que sin la amortiguación, relativamente importante en este caso, se modifica muy poco el valor del período dentro de los límites de los errores con los que se está trabajando. Esto avala los resultados obtenidos mediante las aproximaciones propuestas.

DIFICULTADES

• El alumno toma contacto en este problema con la construcción de soluciones a partir de información indirecta.

• Le muestra también que aunque no se cumplan exactamente las condiciones para resolver el problema (por ejemplo la pequeña variación del período), dentro de los errores es posible encontrar una solución coherente.

• La principal dificultad se centra en organizar todo el trabajo de cálculo. Este ejercicio lleva la impronta de un trabajo experimental y los problemas propios del manejo de datos para arribar a un resultado coherente.

• Errores frecuentes en estos problemas están asociados a las unidades. • Muy seguramente en general no sabrán como encararlo y deberán ser

guiados. • El alumno descubre aquí porque el péndulo es útil para medir tiempos (y

no longitudes!).

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UN PROYECTO

Plantearemos ahora un problema relativamente elemental relacionado

con un proyecto concreto que en algún momento se llegó estimar como factible y quizás un mejoramiento tecnológico pudiera llegar a implementar.

INCUMBENCIAS

• Capacitar al alumno para encarar problemas relacionados con

proyectos concretos. • Crea el análisis crítico de las soluciones encontradas y de la

factibilidad real. • Unificar conceptos adquiridos en diferentes asignaturas (teorema de

Gauss y fuerza gravitatoria). • El alumno verá así como se comienza a pensar un proyecto con un

análisis muy simple que permitirá aceptarlo o rechazarlo.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

• Planteo de ecuaciones diferenciales de segundo orden en una variable • Teorema de Gauss. • Movimientos periódicos. Péndulo.

6. DEL PROYECTO A LA SOLUCIÓN

• Una vieja idea consiste en proponer que un tren se mueva por caída

libre dentro de un túnel como el que se muestra esquemáticamente en la figura

• Primero veamos como se comporta la gravedad “dentro” del planeta.

Para eso basta con aplicar Gauss:

24

El radio de la superficie pasa por el lugar donde se quiere evaluar la gravedad, las líneas de fuerza sigue la dirección de dicho radio:

Donde ρ (r) es la densidad que, en principio depende de r. Como la variación en r será pequeña (no se pueden realizar perforaciones demasiado

profundas), se puede considerar ρ constante. Por supuesto que se desprecia la pequeña cantidad de material retirada para construir el túnel y se asume a la Tierra con forma perfectamente esférica y homogénea. La dirección

de g será por razones de simetría hacia el centro de la Tierra, pues g(r) es constante sobre la superficie. Entonces se tiene:

En particular para r = ro,

•Ahora tenemos que evaluar la componente que efectivamente acelerará al

∫ ∫==r

o

SdgdrrrkernaMasarr2.4)(int_ πρ

rrgSdrgrkdrrkr

o

πρππρ 4)()(.34.4 32 rrr ===∫ ∫

3.)( rkrg ρ

=

20 81,9)(smrg =

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tren (problema de plano inclinado)

En la figura se señala el ángulo θ requerido para proyectar la aceleración. El

cos θ =x/r y ro es el radio terrestre (6371Km). h es la profundidad máxima, x mide la distancia recorrida desde el centro del túnel. La gravedad varía como

g(r) (a determinar) y r es el radio desde el túnel al centro de la Tierra. Donde gx es la componente de la gravedad en la dirección del túnel. Ahora ya podemos plantear la ecuación de Newton:

Donde el signo negativo aparece por el diferente sentido de la fuerza y la

coordenada x. Podemos poner kρ /3 en función de constantes conocidas, aprovechando que conocemos el valor de g sobre la superficie:

Esta es una típica ecuación de segundo orden con solución general:

3.

3.cos

3.cos).()( xk

rxrkrkrgrgx

ρρθ

ρθ ====

2

2

3.

dtxdmxkmmaF =−==

ρ

3.)( 0

0rkrg ρ

=

+

= t

rrgBt

rrgAsenx

0

0

0

0 )(cos)(

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Donde las constantes A y B se determinan con las condiciones iniciales. Supongamos por simplicidad que a t=0, v(0) = 0, entonces, derivando la expresión de x e igualando a cero resulta A = 0,

A t = 0 el tren se encuentra en ro luego la amplitud será x(0) = xo,

Usando Pitágoras podemos evaluar la profundidad máxima del túnel:

Como h<<r se puede aproximar (comprobar resolviendo la ecuación cuadrática),

Para la velocidad máxima tenemos,

El período es independiente de la amplitud pues en realidad estamos resolviendo un péndulo invertido:

Esto ya nos dice que el túnel sería bueno para distancias en las que se tarde más por métodos convencionales. Supongamos ahora un proyecto razonable, por ejemplo el viaje a Rosario. Son aproximadamente 300 km y, como el período es de 1 h 24 minut., el viaje de ida se haría en unos 45 minutos. Muy conveniente respecto del avión (con mucho menor gasto de combustible!). Pero veamos la velocidad máxima:

= t

rrgBx0

0 )(cos

= t

rrgxx0

00

)(cos

202)0( hhrx −=

0

20

2rxh≈

0

00

2/

)()()0(rrgx

dttdxxv

Tt

====

utoshorasegundosrg

rT min241.5064)(

20

0 === π

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V(máx) = 1340 km/h (que se daría justo en el centro del túnel). ¡Resulta muy elevada para un tren actual! Veamos por otra parte que la amplitud de 300 km nos da una profundidad de h =1328m! De donde resulta impracticable por el momento. Veamos un caso límite: el viaje a La Plata, para el cual 45 minutos es razonable. La velocidad máxima resulta de 223 km/h (también razonable) y la profundidad sería de 196m, lo cual resulta al menos pensable, considerando el ahorro de combustible. Obsérvese que partiría detenido (bastaría soltarlo y se detendría sólo en la estación. Seguramente necesitaría un poco de empuje para compensar el rozamiento.

DIFICULTADES

• El problema plantea el desafío de resolver una propuesta inédita donde en particular la fuerza de gravedad ya no es constante ni proporcional a la inversa del cuadrado de la distancia. Seguramente el alumno deberá ser inducido a utilizar el Teorema de Gauss.

• Generalmente es una dificultad apelar al uso de herramientas muy teóricas que el alumno utiliza muy esporádicamente, tendiendo más bien a usar recetas.

• El desarrollo de un problema que conduce a una ecuación diferencial ya conocida por el alumno mezcla la teoría con la práctica, alejándolo del uso de fórmulas preestablecidas.

• Para la resolución de un problema de estas características el alumno deberá ser guiado por el profesor, pero no debiera presentársele en una clase magistral. Se lo debería guiar a lo largo del problema.

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TERMODINÁMICA Daremos ahora algunos problemas relacionados con la termodinámica.

El manejo del álgebra y los números no es lo más complicado para el alumno sino la comprensión de los conceptos. No es de extrañar pues algunos de estos conceptos están aún en el tapete, como por ejemplo qué sucede realmente con la entropía del Universo.

7. MEZCLA DE GASES

INCUMBENCIAS

• Dominar el concepto de entropía. • Extender los conocimientos de termodinámica al campo estadístico. • Ejercitar al alumno en el empleo de la fórmula que relaciona la energía

interna con la entropía. • Introducirlo en el campo de la estadística y de la “Teoría” de la

Información mediante un problema termodinámico. • Hacerlo reflexionar sobre las fórmulas que le enseñan.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

• Concepto de estado de equilibrio termodinámico. • Concepto de variable de estado de equilibrio termodinámico. • Ecuación de estado de equilibrio. • Calor y trabajo. • Primer principio. • Concepto de entropía. • Segundo principio.

PLANTEO DEL PROBLEMA

•La purificación de gases es una técnica usual en la industria. Se gasta energía en separarlos y si por cualquier razón vuelven a mezclarse habrá que invertir nuevamente trabajo en separarlos. Veremos desde el concepto termodinámico de entropía que sucede cuando se mezclan gases distintos. •Los gases se encuentran en recipientes como indica la figura, a una temperatura y densidad que pueden considerarse gases ideales

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Por supuesto que la ecuación que rige el comportamiento de los gases es, PV = nRT. El gas “1” podría ser por ejemplo helio y el gas “2” nitrógeno. No hay posibilidad de reacciones químicas si se mezclan. Se tiene de gas helio, xn moles en un volumen xV) y de gas nitrógeno, (1-x)n moles en un volumen (1-x)V. En algún momento aparece una débil filtración en la pared que los separa. Se produce el pasaje de helio hacia donde está el nitrógeno y viceversa en un proceso cuasiestático irreversible. En cada instante el sistema puede considerarse en equilibrio termodinámico (al terminar el ejercicio discuta la necesidad o no de que el proceso sea cuasiestacionario y el significado de cada estado de equilibrio). Todo el sistema se encuentra térmicamente aislado, lo cual significa que la variación de energía interna es nula:

ΔU = 0 = ΔQ + ΔW

Preguntas:

• a)¿Cuál es la variación de la entropía luego de la mezcla de gases? • b) Grafique la variación de la entropía en función de x. • c)¿Cómo se generaliza a N recipientes con N gases? • d) Relacione los resultados obtenidos con la probabilidad de extraer un

determinado gas luego de la mezcla.

SOLUCIÓN

Las ecuaciones para cada gas son,

La variación de energía interna por estar aislado es nula: dU= TdS-PdV = 0. El gas helio pasa de una situación de equilibrio, ocupando un volumen xV a otra situación de equilibrio, ocupando un volumen V. Su variación de entropía puede calcularse a partir de, dS = PdV/T:

xnRTRTnPV ==′ 11 nRTxRTnPV )1(22 −==′

xVVxnR

VVdxnRVd

TPdSS

V

xV

V

xV

ln2

11 =

′′

=′==∆ ∫∫∫

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Un cálculo similar nos da para el nitrógeno,

Obsérvese que la entropía crece para ambos gases. La variación total de entropía será,

Como las fracciones x y (1-x) son menores que uno la variación de entropía resulta positiva. Es posible interpretar esa fracciones como la probabilidad p(helio) y p(nitrógeno), de sacar una molécula de los respectivos gases luego que se mezclaron. ¡Se unen así los conceptos de calor termodinámico (dQ =TdS) con el de probabilidad! La expresión de la entropía puede ahora escribirse como,

Se relaciona entoces el calor termodinámico con otro importante concepto: La Información. Tenemos aquí la entropía informacional que mide la falta de información de dónde está cada gas. La gráfica de ∆ S(x) muestra un máximo para x = ½, es decir cuando ambos compartimiento son iguales y se anula si alguno de los compartimiento ocupa todo el volumen. La interpretación es evidente, si alguno de los recipientes tiene volumen nulo la varición de la entropía también es nula y si los recipientes son iguales la variación es máxima.

VxVnRx

VVdnRx

VdTPdSS

V

Vx

V

Vx

)1(ln)1()1(

)1(

)1(

2

12

−−=

′′

−=

=′==∆

∫

∫∫

−

−

[ ])1ln()1(ln21 xxxxnRSSS −−+−=∆+∆=∆

)lnln( 2211 ppppnRS +−=∆

31

Podemos ahora generalizar la expresión considerando M gases y M compartimientos:

Y la posterior mezcla de todos ellos, la probabilidad de encontrar cada tipo de gas será pi = xi, con i = 1 a i = M y, el correspondiente aumento de entropía es,

Hemos puesto una constante arbitraria k pues esta es la fórmula que se utiliza para medir la información y esa constante es arbitraria. En particular para los gases la constante es proporcional al número de moles lo cual concuerda con una expresión extensiva para la entropía. La última expresión fue propuesta por Shannon para medir la falta de información. Si todos los compartimientos son iguales la entropía toma su máximo valor ∆ S = klnM. PARADOJA DE GIBBS

Este ejercicio tiene reservada una sorpresa. Si ambos gases son iguales ¿Cuál sera el resultado intuitivo de la variación de la entropía? Obviamente nulo. ¡Pero la fórmula empleada no hace referencia a si los gases son distintos o idénticos! Esta contradicción se conoce como la paradoja de Gibbs. Gibbs falleció antes de que se desarrollara la mecánica cuántica, sin embargo …

Gibbs logró darse cuenta que la relación entre la energía interna y la entropía debía ser diferente a la empleada. Efectivamente si se considera que dos moléculas de un mismo gas son indistinguibles se obtiene otra relación denominada fórmula de Sackur Tetrode que elimina la paradoja: si los gases son diferentes da el resultado hallado pero, si se trata del mismo gas no da variación de entropía (ver Apéndice II). DIFICULTADES

• Seguramente el alumno tendrá dificultad en asimilar que dos moléculas de nitrógeno son absolutamente indistinguibles. La profunda reflexión es que la mecánica del mundo microscópico se pone de manifiesto en el mundo macroscópico.

i

M

ii

M

i ppkppnRS lnln11∑∑ −=−=∆

32

• Sería de esperar que quisiera conocer más sobre el asunto pero aquí, la única solución que le queda es aprender mecánica estadística cuántica!

• Este es un ejemplo que los conocimientos científicos no están cerrados y siempre aparece una puerta que abre un nuevo camino. La física está llena de estos ejemplos y actualmente existen una cantidad de ellos que no tienen una buena explicación: “materia oscura”, “energía oculta”, deficiencia de neutrinos emitidos por nuestro Sol, etc.

EQUILIBRIO TERMODINÁMICO, REVERSIBILIDAD Y

PROCESOS CUASIESTACIONARIOS

Aunque sea difícil de creer, estos temas también circulan en la frontera actual de la ciencia. Nos pondremos de acuerdo en algunos conceptos para luego plantear problemas muy simples.

DEFINICIÓN DE EQUILIBRIO TERMODINÁMICO

• Las ecuaciones termodinámicas son “ecuaciones de estado de equilibrio”. Conviene tener muy claro que se entiende por este concepto. Para poder asegurar que el sistema está en equilibrio, se requieren las siguientes condiciones:

• El sistema debe estar constituido por un gran número de partículas (o en un concepto más fuerte, grados de libertad). Sin embargo cuando se fundamentan estadísticamente las ecuaciones basta que ese número sea >>10, por ejemplo 100!

• Las variables dinámicas de dichas partículas deben evolucionar erráticamente. Asegurar esta última condición también se encuentra en la frontera de la ciencia, pero afortunadamente existen condiciones externas que ayudan a caracterizarla.

• Por ejemplo, una condición importante es que el sistema no tenga forma de decirnos como ha llegado a la situación de equilibrio. Es decir el sistema ha perdido la memoria de su evolución y/o condiciones iniciales. Esto asegura que las partículas están evolucionando erráticamente.

• El sistema debe ser cerrado (no deben ingresar o salir partículas) y aislado (no debe entrar o salir radiación).

• Las condiciones anteriores se aplican a un espacio finito y a un tiempo limitado. Estas dos últimas condiciones colaboran a extender el concepto de equilibrio termodinámico a sistemas que globalmente no lo están.

• Las variable intensivas, por ejemplo la temperatura, la presión, la densidad, deben tomar el mismo valor en cualquier punto del sistema. El sistema es homogéneo respecto de dichas variables.

33

EVOLUCIÓN REVERSIBLE

• Las evoluciones reversibles se caracterizan por pasar por estados de equilibrio, donde la variación de las variables macroscópicas evolucionan más lentamente que las microscópicas.

• Las evoluciones cuasiestacionarias suelen confundirse con evoluciones reversibles pero si se presta atención se descubre que el paso lento de una situación a otra no es vía estados de equilibrio. Por ejemplo una barra con los extremos a diferente temperatura pasa al estado de equilibrio en un proceso irreversible aunque cuasiestacionario. La barra no es homogénea respecto de la temperatura. Sin embargo si se toman fetas transversales muy delgadas, la temperatura está bien definidad para cada feta pero evidentemente no están aisladas unas de otras.

34

8. ALGUNOS EJERCICIOS EJEMPLOS

INCUMBENCIAS

• Capacitar al alumno para la correcta aplicación de las fórmulas termodinámicas pudiendo establecer el grado de confiabilidad de los resultados.

• Capacitarlo para que utilice los conceptos adquiridos en problemas prácticos como motores, flujos dinámicos, mezclas químicas, problemas termohidráulicos.

• Esclarecer los conceptos básicos de la termodinámica, en particular el más esencial de todos: el estado de equilibrio.

• Que se pueda establecer cómo y cuándo aplicar ecuaciones termodinámicas.

• Que se diferencien bien las evoluciones reversibles de las irreversibles. • Que se comprendan los conceptos de macroestado y microestado de un

sistema.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

• Haber adquirido los conocimientos de dinámica de Newton. •De ejemplos de evoluciones reversibles y evoluciones irreversibles.

Aquí el alumno propondrá ejemplos que el docente deberá evaluar, posiblemente en una clase en conjunto. A su vez el propio docente dará ejemplos de ambos problemas completando la idea que puedan elaborar los alumnos.

Ejemplos

• Evoluciones reversibles con restricciones: El viento, cámara de combustión de un motor, el interior del Sol, etc

• Completamente irreversibles: Una explosión, torbellinos de la estela de un barco, tornado, etc

• Evolución reversible: inflar un globo, congelar agua, compresión adiabática, expansión isotérmica, etc

• Evoluciones irreversibles donde se pueden realizar aproximaciones reversibles localmente: Barra con extremos a diferentes temperaturas, mezcla de gases, mezcla de pinturas, germinación de una semilla, quemado de combustibles, etc.

35

Veremos ahora en detalle, otro ejemplo de evolución irreversible con aumento de entropía.

9. ENTROPÍA

INCUMBENCIAS

• Afirmar el concepto de entropía para utilizarlo en problemas complejos: flujos turbulentos, termohidráulica, generación de calor.

• Ejemplificar que cualquiera sean las condiciones, la evolución de un proceso irreversible aislado lleva al aumento de la entropía.

• Mostrar que la funcional

es siempre positiva. Esta funcional tiene mucha importancia en cálculos de entropía y teoría de la información.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

• Sólidos conceptos de termodinámica. Concepto de calor y variables de estado termodinámicas. Primero y segundo principio. Definición y uso de la entropía.

PROBLEMA

Consideraremos ahora los casos de cuerpos a distinta temperatura que se ponen en contacto. ¿Cuál será la variación de entropía si uno de los cuerpos tiene una masa suficiente para considerarlo una fuente térmica y, a) La fuente térmica está más fría que el otro cuerpo b) La fuente térmica está más caliente que el otro cuerpo.

SOLUCIÓN

El resultado final es que el cuerpo alcanza la temperatura de la fuente térmica pues por hipótesis es un reservorio infinito para dar o recibir calor.

[ ]xxCS v ln)1( −−=∆

36

Por ahora supondremos que la fuente está más fría que el cuerpo. La cantidad de calor que recibe del cuerpo, al alcanzarse el equilibrio es,

La variación de entropía de la fuente térmica estará dada por la cantidad

de calor que recibe dividido su propia temperatura,

Para evaluar la variación de entropía del cuerpo debemos considerar que su temperatura varía, entonces, suponiendo que todo el cuerpo varía lentamente su temperatura:

La variación de entropía total será la suma de ambas variaciones,

Hasta ahora tenemos un resultado acorde con lo esperado: la entropía

de la fuente crece pues recibe calor y la del cuerpo baja pues entrega calor. Pero, al sumar ambas ¿crece o baja? Para analizarlo observemos que llamando

Se tiene la expresión,

)( cfv

T

Tvcuerpofuente TTCdTCQQ

f

c

−−=−=∆−=∆ ∫

0>−

=∆

−=∆f

fcv

f

cuerpofuente T

TTC

TQ

S

0ln <===∆ ∫∫c

fT

Tv

vT

Tcuerpo T

TCdT

TC

TdQS

f

c

f

c

f

c

f

fcvcuerpofuente T

TT

TTCSSS ln−

−=∆+∆=∆

f

c

TTx=

[ ]xxCS v ln)1( −−=∆

37

De la gráfica de las funciones se observa que siempre x-1 ≥ lnx: De donde la entropía total es mayor que cero. El caso planteado corresponde a la la izquierda de x =1 pero el resultado también vale a la derecha, es decir si el cuerpo está más frío que la fuente. Ahora se trata de dos cuerpos que está a temperatura diferente y se los pone en contacto. Por simplicidad supondremos que tienen la misma masa y el mismo calor específico: Obviamente alcanzan la misma temperatura promedio

Repitiendo los cálculos anteriores,

Y la entropía total será,

Aquí hay que manipular un poco la fórmula para averiguar cómo se comporta la Entropía.

Pero como

fc TT>

2fc

p

TTT

+=

0ln1 <=∆c

pv T

TCS 0ln1 >=∆

f

pv T

TCS

cf

pvTotal TT

TCS

2

ln=∆

)2(41

222

22

fcfcfc

p TTTTTT

T ++=

+=

0)( 2 >− cf TT cfcf TTTT 222 >+

38

Luego,

Entonces

Se han planteado varios problemas donde se termina demostrando que

la entropía en un sistema aislado, al evolucionar espontáneamente, crece. Sin embargo debe recordarse que este es la base del segundo principio y de ninguna manera se lo ha “demostrado”.

DIFICULTADES

• Los problemas con aumento o conservación de entropía son siempre conceptualmente dificultosos para el alumno.

• Sea el siguiente ciclo termodinámico: La evolución desde (a) hasta (b) es completamente irreversible, ni P, ni V están bien definidos. ¿Cuál es la variación de la entropía luego de realizar el ciclo? ∆ S>0 ó ∆ S=0 ¿Por qué?

RESPUESTA: La variación de entropía es nula pues el sistema realizó un ciclo termodinámico volviendo al punto de partida. En dicho punto el sistema está en un estado de equilibrio. La entropía es una variable termodinámica dependiente, en este ejemplo de la presión y el volumen. Al volver al mismo punto debe tomara exactamente el mismo valor independientemente del camino que haya seguido. Por supuesto que los sistemas de los alrededores han variado su entropía y seguramente la han aumentado.

fcfcfcp TTTTTTT =+> )22(412

0ln2

>=∆cf

pvTotal TT

TCS

39

10. ÓPTICA FÍSICA

En los cursos se analizan con cierto detalle los fenómenos de

interferencia/difracción por un lado y de polarización por otro lado. Este tratamiento es posible porque usualmente los fenómenos de interferencia/difracción se dan con rayos paraxiales. Resulta esclarecedor analizar un caso emblemático donde ambos fenómenos se ponen de manifiesto: la experiencia de Winner.

INCUMBENCIAS

• Capacitar al alumno en el manejo de instrumentos ópticos haciéndole comprender los fenómenos fundamentales de la óptica física: interferencia y polarización.

• Dar una visión integral de los fenómenos de la óptica física que generalmente se exponen desacopladamente.

• Ejercitar en la composición vectorial de las perturbaciones ópticas. • Enfatizar la importancia de resolver este tipo de problemas mediante el

principio de superposición.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

• Sólidos conocimientos de óptica geométrica. • Ondas electromagnéticas. • Interferencia y polarización.

EL PROBLEMA

Analice cualitativamente que sucede cuando luz polarizada incide

formando 45 grados con un espejo. Considere polarización lineal, paralela al plano del espejo y polarización lineal contenida en el plano de incidencia como se muestra en la figura:

RESPUESTA: Si la luz está polarizada en el plano de incidencia interfiere consigo misma a distancias

λkx =2

40

y destructivamente a distancias

como se muestra en la figura.

•En la segunda figura se muestra como puede ponerse de manifiesto esta interferencia mediante una película sensible a la luz.

En cambio si la luz está polarizada en el plano de incidencia, la interferencia es ahora una suma vectorial,

Si la diferencia de fase es kλ queda polarizada circularmente y si es (k+1/2) queda linealmente polarizada. Es circular pues se suman vectores de igual amplitud.

λ2

122 += kx

41

DIFICULTADES

• La composición vectorial de las componentes del campo electromagnéticos son muy complicadas y el alumno tiene poca posibilidad visual de comprenderlas.

42

11. ANILLOS DE NEWTON

OBJETIVOS

INCUMBENCIAS

• Utilizar un ejemplo sencillo y relacionado con una práctica de laboratorio muy simple de implementar para exponer al alumno el concepto de tren de ondas.

• Introducir al alumno en el concepto de la interferencia del fotón consigo mismo.

• Esta es una excelente práctica para determinar el radio de curvatura de una lente.

• La solución rutinaria de los ejercicios de interferencia suelen olvidar el rango sobre el cual puede observarse el fenómeno. Las fórmulas predicen interferencia sobre cualquier distancia y esto suele confundir al alumno.

• Relacionar los conocimientos adquiridos con una experiencia de la vida diaria.

• Capacitar al alumno en la posibilidad de determinar espesores del orden de la longitud de onda mediante fenómenos de interferencia.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

• Sólidos conocimientos de óptica geométrica. • Ondas electromagnéticas. • Interferencia y polarización.

El dispositivo se muestra en la figura:

Los máximos y mínimos generados por la Interferencia de los rayos de luz que parten de C son, MÍNIMOS

MÁXIMOS

λλ kRrRrkd =⇒== 2

2

21

2

λλ RkrRrkd

212

21

4)12( 2

2 +=⇒=+=

43

PREGUNTA

Cuando se realiza la experiencia sólo se observan unos pocos anillos cercanos al centro ¿Cuál es la razón? ¿Dónde se localizan los anillos? Analice lo que sucede con aceite derramado sobre agua. ¿Dónde se localiza la interferencia en este último caso RESPUESTA: La interferencia la realiza una parte del tren de onda consigo mismo. Cuando el espesor de aire aumenta la interferencia se produce entre diferentes trenes de onda, incoherentes entre sí.

Los anillos se localizan en la superficie inferior de la lente plano-cóncava.

En el caso del aceite sobre agua se observan franjas coloreadas, porque cada longitud de onda cumple condiciones diferentes de interferencia. Cuando el viento riza la superficie estas franjas se mueven, deforman e incluso desaparecen.

También en este caso cuando el espesor del aceite supera un cierto límite, desaparece la interferencia por la misma razón que con los anillos de Newton. La interferencia está localizada en la superficie del aceite,

DIFICULTADES

• Los alumnos tienen dificultad en imaginar el comportamiento dual de la

luz aunque forzados a aprobar la asignatura aceptan los conocimientos recibidos sin complementarlos. La mejor representación de un “fotón” es con la imagen de un tren de onda en tres dimensiones:

Las zonas grisadas pueden ser por ejemplo la cresta positiva del campo

eléctrico y la clara la cresta negativa. El lóbulo del fotón aumenta su tamaño al desplazarse.

44

En la figura se muestra para una lámina delgada la zona de interferencia del fotón consigo mismo. Se dibujaron en distintos tonos de gris la parte del tren de onda reflejada de la refractada-reflejada-refractada.

Ahora con la lámina más gruesa la parte refractada reflejada refractada no llega a alcanzar a la parte reflejada.

45

12. CORRIENTES DE FOUCAULT

Un problema de los transformadores son las corrientes inducidas dentro del núcleo de hierro. Estas corrientes se denominan corrientes de Foucault. En el núcleo de hierro se originan, por la ley de Lenz, corrientes perpendiculares a la dirección del flujo de campo magnético. Estas corrientes generan pérdidas de potencia y calentamiento del núcleo originando serios problemas en el funcionamiento del transformador.

INCUMBENCIAS

• Capacitar al alumno en la solución de un problema práctico a partir de

conocimientos estrictamente teóricos. • Plantear un problema práctico fácilmente observable. • Utilizar los conocimientos de electromagnetismo para buscar una

solución. • Verificar que, usando algunas aproximaciones muy fuertes, es posible

comprender como puede resolverse el problema.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

• Leyes de electromagnetismo.

PREGUNTA: La densidad de corriente en el núcleo tendría el aspecto de la figura, donde se muestra el corte transversal del núcleo del transformador:

46

¿Cómo puede reducirse la pérdida de potencia originada en estas corrientes? Encuentre una expresión aproximada que demuestre la disminución de pérdida de potencia al introducir la mejora. RESPUESTA: La receta clásica, que puede verse en cualquier núcleo de transformador, es construirlo mediante placas adosadas como se indica en la figura donde además se muestran la nuevas corrientes inducidas: La circulación antes de la partición en láminas se realizaba por el núcleo que actuaba como conductor macizo con una sección a.d/2 en la zona más delgada y b.d/2 en la zona más ancha del núcleo, en promedio podemos considerar la sección como (a+b).d/2. La “longitud” promedio del circuito será, (a/2 +b/2).2 = a+b: Groseramente podemos estimar que para el núcleo sin laminar la resistencia es inversamente proporcional a la sección en que circula: (a+b)d/2. Y proporcional

47

a la longitud que recorre: a+b. Entonces la resistencia a esa corriente será proporcional a,

La corriente inducida por el flujo es proporcional al área: i~ab. Al partirlo, la sección para cada celda será aproximadamente,

y la longitud recorrida por la corriente dentro de cada celda será:

La resistencia ahora da el mismo resultado: 2/d. Pero las corrientes resultan, i~(ab)/n dentro de cada celda. Veamos como se comporta la potencia disipada en cada caso,

Y debido al efecto de laminarlo la potencia se reduce proporcionalmente al número de láminas. Basta el óxido natural para aislar cada lámina y que la corriente se divida en n corrientes.

DIFICULTADES

• Seguramente el alumno tendrá dificultades para establecer el circuito de la corriente dentro del núcleo de hierro.

ddba

baR 2

2)(

)(=

+

+≈

2

dnba

+

nba+

dabRiPcompacto

22 )(2

≈=

dnab

dnabn

RniP celdaceldaadola

22

2min

)(2)(2=≈=

48

• Acostumbrado a las “recetas” le costará encontrar como se comporta la corriente y la resistencia antes y después de laminar el núcleo.

• Puede sorprenderse que no necesite aislarse cada lámina para “particionar” la corriente.

49

COMENTARIOS FINALES

Ni remotamente se puede durante las clases abordar los numerosos

problemas que se les presentan a los alumnos para resolver problemas de física. Por ello conviene que el docente realice una cuidadosa selección tanto de los problemas de las prácticas como los de los parciales. Debe recordarse que la situación traumática por la que se pasa en el examen hará que el alumno recuerde muy bien lo que se le tomó y las correspondientes soluciones. El examen es un excelente momento para impartir conocimientos: se suele recordar la esquina donde uno choca su auto …

Se mezclan en física dificultades de la matemática con dificultades conceptuales. El docente de física debe estar atento a la resolución de ambas dificultades. La física ha tenido un desarrollo exponencial en la primera mitad del siglo XX y los nuevos formalismos sólo se incorporan parcialmente en el ciclo superior de física, sin embargo las noticias de la vida diaria ponen sobre el tapete muchas de las nuevas teorías: Lentes gravitatorias Superconductividad Funcionamiento del láser Holografías Microscopio de efecto túnel Antimateria. Supernovas. Teletransportación. Computadoras cuánticas, etc.

El profesor debe mantenerse actualizado con lecturas de divulgación científica y asistencia a seminarios para mantener diálogos con sus alumnos más allá de los correspondientes a la asignatura. Por otra parte la sensación del alumno puede ser en muchos casos: estoy aprendiendo una física obsoleta y para colmo igualmente difícil de comprender. ¿Cuál será la real utilidad que le podré dar en mi carrera? ¿Tiene relación con el resto de las asignaturas que debo cursar? ¿Cuál es el significado de este enjambre de fórmulas?

• ES NECESARIO CENTRAR EL ESFUERZO EN RESPONDER ADECUADAMENTE ESTAS CUESTIONES Y SIMULTÁNEAMENTE BUSCAR LOS CAMINOS MÁS SIMPLES Y DIDÁCTICOS PARA QUE PUEDAN RESOLVER NO SÓLO LOS PROBLEMAS DE LAS PRÁCTICAS SINO PROBLEMAS ELEMENTALES COTIDIANOS Y RELACIONADOS CON LA TECNOLOGÍA.

50

APÉNDICE I: “Errores”

El tema de los “errores” es fundamental en la interpretación de los resultados obtenidos en las ciencias físicas. El error de una medida está presente en forma implícita o explícita, de lo contrario el dato obtenido experimentalmente o mediante una fórmula carece de sentido. Una expresión como: “La mesa tiene aproximadamente un metro de largo” implica una probable medida visual. En ese caso se asume un error de 5 a 10 cm y, posiblemente no sepamos si pasa por el vano de la puerta … Otras expresiones con error implícito son: La velocidad de la luz es de 300000km/s, el radio de la Tierra es de 6400 km, etc. El error puede estar constituido por una simple cota y tener un gran valor, por ejemplo la velocidad máxima es de 100km/h o no importar el valor medio pero si la dispersión: velocidad mínima 50km/h y máxima 120km/h. En general los datos deben estar provistos del error pero no siempre se respeta esta regla, especialmente en la vida diaria donde, con suerte, el error está implícito aunque no siempre es fácil de establecer su valor.

Dispersión de la medición

En las mediciones clásicas los errores están fuertemente asociados al

aparato utilizado para medir. La distribución se asume Normal y por consiguiente el valor promedio y la dispersión son parámetros independientes que definen totalmente la distribución de errores.

En muchos trabajos se requiere establecer si un cierto evento de interés

se observa o no dentro de un cierto lote, región del espacio o intervalo de tiempo. Por ejemplo el número de glóbulos blancos (leucocitos), el número de moléculas en un mol, la cantidad de radiaciones emitidas por un radionucleido en una hora, los votantes que se presentaron en una mesa electoral, la cantidad de partículas nocivas por litro de aire, el número de bacterias por volumen de líquido, etc. En general se puede establecer una cierta probabilidad p que el evento suceda (por ejemplo aparición de un votante, detección de una radiación, etc) y una cierta probabilidad 1-p que no suceda. Este tipo de observaciones se denominan frecuenciales. Se deduce fácilmente que dado un cierto lote, región del espacio, intervalo de tiempo, la probabilidad de observar un cierto número de sucesos de interés tiene una distribución discreta de probabilidades binomial o de Bernoulli. Si la probabilidad p es pequeña se puede deducir a partir de la distribución binomial la distribución de Poisson. La distribución de Poisson depende de un solo parámetro: el valor promedio del número de sucesos positivos observados en el intervalo propuesto. Para observaciones frecuenciales entonces la dispersión de la medida depende del valor promedio y no del aparado usado para la observación:

><= nσ

51

Donde n es justamente el número de veces que se observó un cierto evento de interés. Puede demostrarse que, cuando <n> es suficientemente grande la distribución de Poisson converge a un distribución Normal pero que en este caso depende de un solo parámetro.

Veamos la importancia de esta propiedad. Supongamos que se dan los primeros resultados de las elecciones:

•Partido A: 41% •Partido B: 34% Estos valores así expresados dicen poco. Supongamos la posibilidad (1): Me dicen que corresponden a 10 mesas. Suponiendo que cada mesa tiene 300 votantes: 1) A, son 1230 ± 35 B, son 1020 ± 32 Claramente la diferencia es significativa. En cambio, posibilidad 2: Si los resultados corresponden a una mesa (300 votos): 2) A: 123 ±11

B: 102 ±10

La diferencia resulta marginal …

Veamos ahora como se pueden juzgar datos relacionados con una función. La herramienta clave es la distribución Xi-cuadrado.

AJUSTE DE FUNCIONES

El criterio más práctico es el ajuste por cuadrados mínimos y la

verificación utilizando la distribución de Xi-cuadrado:

Donde xi corresponde al valor de la medición iésima y <x> representa el valor promedio del conjunto de mediciones. s es la dispersión de los valores obtenidos en la medición. Para un conjunto de N datos,

Se tiene una distribuión Xi-cuadrado con n-1 grados de libertad. No es necesario que <x> sea una constante, puede ser una cierta función de algún parámetro relacionado con el número de orden “i”,

()ΤϕΕΤΘθ325.68 279.5698 5.88 22.2 ρεΩ∗ νΒΤ/Φ3 23.4883 Τφ0.746 0 0 1 325.68 284.7298 Τµ 23.4883 ΤΛ()2

2

σχ

><−=

xxii

()ΤϕΕΤΘθ344.88 172.1698 5.28 21.6 ρεΩ∗ νΒΤ/Φ3 21.3594 Τφ0.746 0 0 1 344.88 176.8498 Τµ 21.3594 ΤΛ()∑∑==

><−=

N

i

iN

ii

xx1

21

2

σχ

52

Donde t(i) puede, por ejemplo, representar el tiempo entre cada medición e “i” es el número de orden de la medida. Pero en este caso x[t(i)] suele surgir más de un valor esperado (por ejemplo el valor teórico de la función) que de un promedio. Entonces el Xi se convierte en un test de hipótesis. Existen tablas para verificar la confiabilidad de Xi. El uso de esos valores depende del contexto. Si se están fabricando tornillos de precisión se exigirá una confiabilidad del 90 o del 95 %, con lo cual sólo se aceptan tornillos con un valor de medida muy por debajo de la dispersión de fabricación. En cambio si se trata de establecer la altura promedio de los argentinos (investigación) se utiliza un 60% de confiabilidad, es decir la dispersión de una distribución normal. Los valores de confiabilidad de las tablas de Xi dependen del número de grados de libertad (ν ) de la función a verificar. Si se trata de un promedio ? = N-1, si se está ajustando una recta ν = N-2, una parábola ν = N-3, etc. Resulta que el valor de Xi para una confiabilidad del 60% es muy cercano al número de grados de libertad, por lo que,

es un buen criterio para aceptar los resultados. Si,

posiblemente se deba rechazar la hipótesis pero si,

tampoco es bueno, significa que, o los errores están subestimados o que la hipótesis es muy conservadora. Obsérvese que el Xi “mide” cuánto se desvía cada dato de la hipótesis en unidades de sigma. Veamos ejemplos gráficos: ¿Es correcto este ajuste?

[ ]()ΤϕΕΤΘθ392.16 733.4097 5.28 21.6 ρεΩ νΒΤ/Φ3 21.3359 Τφ0.7454 0 0 1 392.16 738.0897 Τµ 21.3359 ΤΛ()∑∑==

><−=

N

i it

iN

ii

itxx1

2)(1

2 )(σ

χ

11

2

≈∑=

ν

χN

ii

11

2

>>∑=

ν

χN

ii

11

2

<<∑=

ν

χN

ii

53

No se puede decidir hasta que no se establezcan los errores: Ahora tenemos los errores y 4 ajustes posibles:

a) Es razonable deja 3 puntos fuera del ajuste. b) Es malo deja 6 puntos afuera. c) También es posible, también deja afuera 3 puntos. d) Obviamente muy malo. Pero que sucede si los errores son ahora estos: a) Deja sólo dos datos afuera, como son 10 datos significaría que dentro de la dispersión cae el 80% de los datos: no es un buen ajuste. b) Deja también sólo dos datos afuera del ajuste. c) también deja dos datos afuera.

54

d) Esta constante deja 3 datos fuera del ajuste. Evidentemente la información que tenemos no da más que para ajustar una constante …

Por supuesto que estos razonamientos valen también para datos frecuenciales. En este caso el Xi vale:

APÉNDICE II: SAKUR-TETRODE

La paradoja de Gibbs no tiene solución dentro de la termodinámica clásica. Requiere, al menos, realizar un tratamiento de mecánica estadística. La suposición básica que permite resolverla y está bien justificada por la mecánica cuántica, es que las moléculas pertenecientes a un mismo gas son absolutamente indistinguibles. En el tratamiento de la mecánica estadística se puede encarar el problema de dos formas:

1) En el método clásico, estableciendo la probabilidad que una determinada molécula tenga su energía comprendida dentro de un cierto rango. Por supuesto para eso la molécula debe ser identificada respecto del resto de las moléculas. Es decir las moléculas son distinguibles. 2) Estableciendo la probabilidad que un cierto número de moléculas, no identificadas, sólo importa el número, tenga su energía comprendida dentro de un cierto rango. Ahora las moléculas son tratadas como indistinguibles. Obsérvese que no se requiere cuantificar la energía, la energía puede tomar valores continuos.

Si las moléculas son “distinguibles” se obtiene:

Fórmula que se utilizó en el tratamiento clásico de la mezcla de gases. En cambio si las moléculas son indistinguibles se obtiene (versión simplificada de la fórmula de Sackur Tetrode:

La sutil diferencia radica en que aparece el número de moles dentro del logaritmo. Por de pronto ahora se cumple una importante propiedad de la

[ ]()ΤϕΕΤΘθ392.16 657.6898 5.28 21.48 ρεΩ∗ νΒΤ/Φ3 21.3086 Τφ0.7465 0 0 1 392.16 662.3698 Τµ 21.3086 ΤΛ()[ ]∑∑

== ><><−

=N

i

iN

ii itn

itnn11

2

)()(

χ

+

=∆

00

lnlnVVnR

TTCS v

+

=∆

nVVnnR

TTCS V

0

0

0

lnln

55

entropía como variable extensiva: si se multiplica porλ el número de moles (a

T=cte) debe aparecer multiplicada porλ la expresión de la entropía,

Vamos ahora a la paradoja de Gibbs. Conviene hacer los cálculos con

cierto detalle para entender bien la diferencia entre dos gases iguales o dos gases distintos. Veamos las entropías de cada gas antes de la mezcla (la temperatura y presión se mantienen constantes):

Como la entropía es un potencial termodinámica su valor queda definido a menos de una constante. Si los gases son distintos [distinguible una molécula del gas (1) de otra del gas (2)], entonces se puede evaluar la entropía final de cada gas luego de mezclarlos:

entonces,

Y si reemplazamos por las fracciones molares y de volúmenes, tenemos:

),(lnln),(0

0

0

0 VnSnV

VnnRnV

VnnRVnS ∆===∆ λλλ

λλλλ

),(lnln),(00

VnSVVnR

VVnRVnS ∆=

≠

=∆ λλλλλλ

011

111 ln S

nVRnSi += 02

2

222 ln S

nVRnSi +=

011

11 ln SnVRnSf += 02

222 ln S

nVRnSf +=

22

112121 lnln)()(

VVRn

VVRnSSSSS iifftotal +=+−+=∆

[ ])1ln()1(ln)1(

ln)1(ln

xxxxnRxV

VRxnVxVxnRStotal

−−+−

=−

−+=∆

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Que coincide con la obtenida originalmente. Pero si los gases son idénticos entonces la entropía final será,

Porque no puedo identificar de que lado está cada molécula con ningún tipo de medición! (tampoco la propia naturaleza puede identificarlas con ningún tipo de interacción!). Haciendo la diferencia entre la entropía final y la inicial:

2

22

1

1121)21( lnlnln)(

nVRn

nVnR

nVnRSSSS iiftotal −−=+−=∆ +≡

Reemplazando por las fracciones molares y volumétricas:

Y ahora da un valor nulo como era de esperar. El que se hayan utilizado entropías “iniciales” y “finales” tiene una explicación también sutil. En realidad la solución completa de la paradoja requiere del formalismo cuántico. Dentro de dicho formalismo resulta obvio que dos moléculas de, por ejemplo helio, resultan idénticas. También dentro de dicho formalismo es posible definir entropía iniciales y finales en forma absoluta puesto que está definida la entropía nula, que se da a temperatura cero. La entropía nula corresponde a un estado cuántico puro, para el cual se conoce toda la información y además la temperatura es nula. Por ejemplo el electrón del átomo de hidrógeno en su orbital fundamental tiene temperatura nula y se conoce absolutamente todo lo que de él se puede conocer en dicho estado. Por otra parte la entropía cuántica se calcula sumando sobre estados discretos de energía, en cambio para la entropía clásica se tiene un continuo de estados y si se la quiere calcular en forma absoluta, diverge. Sin embargo la diferencia de entropías cancelan esa divergencia y son perfectamente calculables. Esa es la razón por la cual se agregó una constante a cada una de las entropías iniciales.

APÉNDICE III: Energía Interna.

Experiencia de Joule: La pesa cae con una energía cinética que puede considerarse concentrada en su centro de masa. Basta una coordenada para describir dicha energía. Esto es lo que se considera una energía “ordenada”. Las paletas mueven el agua que inicialmente gira relativamente “ordenada”, pero los torbellinos y roces generan movimientos caóticos en las moléculas y

020121

21)21( ln)( SSnn

VnnSf +++

+=+

0ln)1(lnln =−−−=nVRxn

nVnxR

nVn

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convierte esa energía “ordenada” en una mayor temperatura del fluido. El movimiento desordenado de las moléculas de agua es el responsable del aumento de temperatura. Este es el aparato usado por Joule, quién concluyó:

La cantidad de calor producida por la fricción entre cuerpos, sean líquidos o sólidos siempre es proporcional a la cantidad de trabajo mecánico suministrado. A nivel microscópico la energía cinética promedio de las moléculas de un gas define su temperatura. De acuerdo con la ley de Maxwell Boltzmann, para un gas ideal clásico, la relación entre la temperatura (T) de un gas y su energía cinética media es:

22

332 v

kmE

kT ==

donde ? es la constante de Boltzmann, <E> es la energía promedio de cada molécula, m es la masa de cada una de las moléculas del gas y <v> es la velocidad. En un viejo libro de física ya se aclara perfectamente el concepto de energía interna, Física General y Experimental, Peruca, Tomo I (1953), Ed.Labor: “En teoría cinética de la materia se da fácilmente la razón de la existencia de una energía interna en los cuerpos. Las moléculas de un cuerpo tienen energía cinética y energía de posición (cohesión). No forman parte de la energía interna de un cuerpo ni su energía cinética ni su energía de posición macroscópicas” Esta definición es perfectamente válida considerando incluso las fuerzas nucleares incorporando el concepto de la equivalencia masa-energía. También se tiene una definición muy similar aunque mucho más moderna en Wikipedia: “La energía interna de la materia o de un sistema, es el resultado de la energía cinética de las moléculas o átomos que lo constituyen, de sus energías de rotación, traslación y vibración, además de la energía

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potencial intermolecular.” Por supuesto faltaría aquí considerar la energía nuclear. Resulta muy didáctico el párrafo del clásico libro “Lectures on Physics”, Feynman, Leighton and Sand, Addison Wesley, 1966: “Cuando la fricción está presente no es cierto que la energía se pierda, aunque un objeto que se está deslizando se detenga y la energía cinética parezca que se ha perdido. La energía cinética no se ha perdido porque, por supuesto, los átomos se agitan con una mayor cantidad de energía cinética que antes, y aunque no podemos verla, podemos medirla determinando la temperatura.” Finalmente es muy esclarecedor el comentario del libro: FUNDAMENTOS DE LA FÍSICA, Vol 2, Raymond A. Seway, Jerry S Faughn, 2005. Traducción de: College Physics, 6th ed. Thomson Learning Ibero “La tendencia de la naturaleza moverse hacia un estado de desorden afecta la capacidad de un sistema para realizar trabajo. Considere una pelota que se lanza hacia una pared. La pelota tiene energía cinética, en un estado de orden; es decir, todos los átomos y moléculas de la pelota se mueven al unísono a la misma velocidad y en la misma dirección (aparte de movimientos internos aleatorios). Sin embargo, cuando la pelota llega a la pared, parte de su energía cinética se transforma en el movimiento interno aleatorio y desordenado de las moléculas de la propia pelota y de la pared, las temperaturas de la pelota y de la pared aumentan ligeramente. Antes de la colisión la pelota podía realizar trabajo. Podría meter un clavo en la pared, por ejemplo. Con la transformación de parte de la energía ordenada en energía interna desordenada, su capacidad para realizar trabajo se reduce. Esto es, la pelota rebota con menos energía cinética de la que originalmente tenía, debido a la colisión inelástica. … este proceso se conoce como “degradación” de la energía.”

CONTRIBUCIONES A LA ENERGÍA INTERNA

Como vimos la energía interna tiene dos componentes fundamentales: la cinética y la potencial. A nivel molecular la cinética es el movimiento desordenado de las partículas. Por ejemplo en el viento este movimiento desordenado es mucho mayor que el movimiento de arrastre del conjunto. Siguiendo a nivel molecular, las partículas tienen una interacción entre ellas que las mantiene unidas. En un gas ideal este tipo de energía interna no existe. En un gas de Van der Waals la energía potencial es muy débil, aunque responsable del efecto Joule-Thomson, por el cual un gas se enfría al expandirse. En un sólido predomina la energía potencial que en algunos casos puede ponerse de manifiesto al liberarse por procesos físicos (descongelamiento) o químicos (quemado, explosión, reacciones exotérmicas).

En grandes dimensiones, por ejemplo en las estrellas como nuestro Sol, la energía potencial está presente reuniendo tres fuerzas fundamentales: la gravitatoria, la electromagnética y la nuclear.

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En pequeñas dimensiones la energía potencial sólo se manifiesta como nuclear o electromagnética. Por ejemplo la fisión del uranio o un decaimiento radiactivo.

A un nivel más profundo, considerando la teoría relativista, aparece como la equivalencia masa energía, aquí toda la masa de la partícula puede convertirse en energía según la relación:

Volviendo al ejemplo de un coche que pesa una tonelada. Si toda su masa se convierte en energía, se obtendrían:

E = 9.1019joules = 2,5.1016 Watts hora = 25000000 Centrales térmicas de 1000MW O equivalentemente el funcionamiento de una central por 2854 años!

:

20cmE=