PROBABILITAS BESYARAT

PROBABILITAS BERSYARATPada beberapa percobaan random, misalkan kita hanya berminat menyelidiki hasil-hasil yang merupakan elemen-elemen dari suatu subset C1,dimana C1 C. Hal ini berarti ruang sampel yang efektif adalah C1. Untuk selanjutnya akan didefinisikan fhp dengan C1 sebagai ruang sampel yang baru.

Misalkan fhp P(C) ditentukan terhadap ruang sampel C, dan misalkan C1 C sedemikian hingga P(C1) > 0. Dalam hal ini yang akan dipandang adalah hasil-hasil percobaan random yang ada di C1, berarti C1 adalah ruang sampel yang baru.

Ambil C2 subset lain dari C. Relatif terhadap ruang sampel yang baru, akan didefinisikan probabilitas dari kejadian C2. Probabilitas ini disebut probabilitas bersyarat dari C2 diberikan C1. Notasi : P(C2| C1)

Karena C1 sekarang merupakan ruang sampel baru, maka elemen-elemen C2 yang berhubungan dengan ini hanya elemen-elemen C2 yang juga elemen C1 yaitu elemen-elemen dari C1 C2.P(C2| C1) didefinisikan sedemikian hingga P(C1| C1) = 1 dan P(C2| C1) = P (C1 C2| C1). Dalam hal ini berlaku :

Bagian kiri merupakan rasio terhadap ruang sampel yang baru, sedangkan bagian kanan adalah rasio terhadap ruang sampel lama.Berarti : (*)

(*) merupakan definisi dari probabilitas bersyarat kejadian C2 diberikan C1, dengan syarat P(C1) > 0.

Dapat ditunjukkan bahwa : a. b. dimana C2 , C3,himpunan-himpunan yang saling disjoin.c. Tugas : Buktikan !!Jadi, adalah fungsi himpunan probabilitas yang didefinisikan atas subset-subset dari C1, disebut fungsi himpunan probabilitas bersyarat relatif terhadap kejadian C1 atau fungsi himpunan probabilitas bersyarat diberikan C1.

Contoh 1:5 kartu diambil secara acak dan tanpa pengembalian dari setumpuk kartu permainan yang terdiri dari 52 kartu. Tentukan probabilitas bersyarat bahwa semua kartu yang diambil ialah sekop, relatif terhadap hipotesis bahwa paling sedikit ada 4 kartu sekop.Misal : : kejadian semua kartu yang terambil adalah sekop : kejadian minimal 4 sekop terambilJadi : =

Contoh 2:Sebuah mangkuk berisi 8 kepingan : 3 merah dan 5 biru. 2 kepingan diambil secara random tanpa pengembalian. Berapa probabilitas bahwa pengambilan pertama berwarna merah dan pengambilan kedua berwarna biru?

Misal : kejadian terambil kepingan merah, P(C1 ) = 3/8 : kejadian terambil kepingan biru, = 5/7

Berdasarkan rumus probabilitas bersyarat diperoleh : = Jadi = 3/8 . 5/7 = 15/56

6Aturan perkalian untuk probabilitas :

Aturan ini dapat diperumum untuk 3 kejadian atau lebih :

dst

Contoh:4 kartu diambil secara acak dan tanpa pengembalian dari setumpuk kartu bridge. Probabilitas untuk mendapat 1 sekop, 1 hati, 1 berlian dan 1 wajik adalah :

Teorema BayesMisalkan C1, C2,, Ck adalah kejadian-kejadian mutually exclusive and exhaustive , i = 1,2,,k. Misalkan kejadian2 tsb membentuk sebuah partisi dari C. C1, C2,, Ck tidak perlu equally likely. Misalkan C suatu kejadian di C dimana saling lepas (mutually exclusive). Sehingga berlaku :Berdasarkan aturan perkalian:

Sehingga diperoleh hukum probabilitas total :

Misalkan P(C) > 0. Dari definisi probabilitas bersyarat dan dengan menggunakan hukum probabilitas total diperoleh:

Persamaan di atas biasa disebut Teorema Bayes.

Contoh:Misalkan terdapat 2 mangkok yang berisi bola, sebut C1, dan C2. Mangkok C1 berisi 3 bola merah dan 7 bola biru. Mangkok C2 berisi 8 bola merah dan 2 bola biru. Pemilihan mangkok C1 dan C2 tergantung dari hasil pelemparan sebuah dadu. Apabila hasil pelemparan dadu muncul muka 5 atau 6, maka mangkok C1 yang terpilih.Kalau yang muncul muka yang lain maka mangkok C2 yang terpilih. Setelah mangkok terpilih selanjutnya dilakukan pengambilan secara acak sebuah bola dari mangkok tsb. Hitung probabilitas mangkok C1 yang terpilih apabila diketahui bola merah yang terambil atau probabilitas mangkok C2 yang terpilih apabila diketahui bola merah yang terambil.Misal C1 :kejadian mangkok 1 terpilih C2 : kejadian mangkok 2 terpilih C : kejadian terambil bola merahBerarti : P(C1) = 2/6 dan P(C2) = 4/6, P(C|C1) = 3/10 dan P(C|C2)= 8/10.Sehingga :

Probabilitas C1 dan C2 atau P(C1) dan P(C2) disebut probabilitas prior, sedangkan P(C1|C) dan P(C2|C) disebut distribusi posterior.

Kejadian Saling IndependenKadang-kadang terjadinya kejadian C1 tidak merubah probabilitas kejadian C2, yaitu misalkan P(C1) > 0, P(C2|C1) = P(C2). Dalam kasus ini, kejadian C1 dan C2 disebut independen. Berdasarkan aturan perkalian,

Misalkan terdapat 3 kejadian C1,C2 dan C3. Ketiganya disebut mutually independent jika dan hanya jika sepasang-sepasang independen, yaitu :

dan

Misalkan terdapat n kejadian, C1,C2,...Cn. Kejadian-kejadian tersebut mutually independent jika dan hanya jikadan adalah bilangan-bilangan positif yang berbeda, berlaku : Khususnya

Contoh :Sebuah koin dilempar beberapa kali secara independen.Misal Ci menyatakan kejadian munculnya muka pada lemparak ke-i, dan Ci* menyatakan munculnya belakang pada lemparan ke-i. Misal P(Ci)=1/3 dan P(Ci*) =2/3. Tentuka probabilitas muncul minimal 1 muka pada 4 kali lemparan.