2. Probabilitas (Peluang)Probabilitas atau Peluang adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dapat juga diartikan sebagai harga angka yang menunjukkan seberapa besarkemungkinan suatuperistiwa terjadi, di antarakeseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi.Probabilitas dilambangkan dengan P. Contoh 1: Sebuah mata uang logam mempunyai sisi dua (H & T) kalau mata uang tersebut dilambungkan satu kali, peluang untuk keluar sisi H adalah . Contoh 2: Sebuah dadu untuk keluar mata lima saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah 1/6 (karena banyaknya permukaan dadu adalah 6).Rumus :P (E) = X/NP = ProbabilitasE = Event (Kejadian)X = Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa)N = Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi

Probabilitas yang rendah menunjukkan kecilnyakemungkinan suatu peristiwa akan terjadi.Suatu probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam presentase. Probabilitas 0 menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi, sedangkan probabilitas 1 menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi.Ada tiga hal penting dalam probabilitas, yaitu:1. Percobaan adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.2. Hasil adalah suatu hasil dari sebuah percobaan.3. Peristiwa adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.2.1 Manfaat Probabilitas dalam PeneitianManfaat probabilitas dalam kehidupan sehari-hari adalah membantu kita dalam mengambil suatu keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi. Jika kita tinjau pada saat kita melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara lain: Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat. Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yang terkait tentang karakteristik populasi. Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasilpenelitian dari suatu populasi.2.2 Pendekatan ProbabilitasAda 3 (tiga) pendekatan konsep untuk mendefinisikan probabilitas dan menentukan nilai-nilai probabilitas, yaitu: (1). Pendekatan Klasik, (2). Pendekatan Frekuensi Relatif, dan (3). Pendekatan Subyektif.1) Pendekatan KlasikPendekatan klasik didasarkan pada sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi sama besar (equally likely). Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai suatu rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil (rasio peristiwa terhadap hasil).

Probabilitas suatu peristiwa = Jumlah kemungkinan hasil / Jumlah total kemungkinan hasil

Jika ada a kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A dan ada b kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A, serta masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing, maka probabilitas/peluang bahwa akan terjadi a adalah:P (A) = a/a+b ; dan peluang bahwa akan terjadi b adalah: P (A) = b/a+bContoh:Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jika yang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa ia merupakan wanita?

Jawab:P (A) = 15/10+15 = 3/5

2) Pendekatan RelatifBesarnya probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan. probabilitas dapat dinyatakan sebagai berikut:Probabilitas kejadian relatif = Jumlah peristiwa yang terjadi / Jumlah total percobaan atau kegiatanJika pada data sebanyak N terdapat a kejadian yang bersifat A, maka probabilitas/peluang akan terjadi A untuk N data adalah: P (A) = a/NContoh:Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan terserang flu pada musim dingin. Apabila lokakarya diadakan di Puncak, berapa probabilitas terjadi 1 orang sakit flu dari 400 orang karyawan yang ikut serta?

Jawab:P (A) = 5/400 = P (A) = 1/80

3) Pendekatan SubjektifBesarnya suatu probabilitas didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan. Penilaian subjektif diberikan terlalu sedikit atau tidak ada informasi yang diperoleh dan berdasarkan keyakinan.2.3 Konsep Dasar dan Hukum ProbabilitasDalam mempelajari hukum dasar probabilitas berturut-turut akan dibahas hukum penjumlahan dan hukum perkalian.

1) Hukum PenjumlahanHukum penjumlahan menghendaki peristiwa saling lepas (mutually exclusive) dan peristiwa/kejadian bersama (non mutually exclusive). Saling meniadakan (mutually exclusive)Apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan.Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang saling meniadakan:P (A U B) = P (A atau B)= P (A) + P (B)

Contoh:Probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah dadu adalah:P(2 U 5) = P (2) + P (5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 Kejadian Bersama (Non Mutually Exclusive)PeristiwaNon Mutually Exclusive (Joint)dua peristiwa atau lebih dapat terjadi bersama-sama (tetapi tidak selalu bersama).Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang tidak saling meniadakan:Dua KejadianP (A U B) =P(A) + P (B) P(A B)Tiga KejadianP(A UB UC) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C)

Peristiwa terjadinya A dan B merupakan gabunganantara peristiwa A dan peristiwa B. Akan tetapi karenaada elemen yang sama dalam peristiwa A dan B, Gabungan peristiwa A dan B perlu dikurangi peristiwadi mana A dan B memiliki elemen yang sama. Dengandemikian, probabilitas pada keadaan di manaterdapat elemen yang sama antara peristiwa A dan Bmaka probabilitas A atau B adalah probabilitas Aditambah probabilitas B dan dikurangi probabilitaselemen yang sama dalam peristiwa A dan B. Peristiwa Pelengkap (Complementary Event)Apabila peristiwa A dan B saling melengkapi, sehingga jika peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B pasti terjadi. Peristiwa A dan B dikatakan sebagai peristiwa komplemen.Rumusuntuk kejadian-kejadian yang saling melengkapi :P(A)+P(B) = 1 atau P(A) = 1 P(B)2) Hukum Perkalian Hukum Bebas (independent) Hukum perkalian menghendaki setiap peristiwa adalah independen, yaitusuatu peristiwa terjadi tanpa harus menghalangi peristiwa lain terjadi. Peristiwa A dan B independen, apabila peristiwa A terjadi tidak menghalangi terjadinya peristiwa B.P(A B) = P (A dan B) = P(A) x P(B)Contoh:Sebuah dadu dilambungkan dua kali, peluang keluarnya mata 5 untuk kedua kalinya adalah:P (5 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36 Peristiwa Bersyarat (Tidak Bebas) /(Conditional Probability)Probabilitas bersyarat adalah probabilitas suatu peristiwa akan terjadi dengan ketentuan peristiwa yang lain telah terjadi. Peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A telah terjadi.P(A dan B) = P(A x P(B|A) atau P(B dan A) = P(B) x P(A|B)Contoh :Dua kartu ditarik dari satu set kartu bridge, peluang untuk yang tertarik keduanya kartu as adalah sebagai berikut: Peluang as I adalah 4/52 -> P (as I) = 4/52

Peluang as II dengan syarat as I sudah tertarik adalah 3/51P (as II as I) = 3/51P (as I as II) = P (as I) x P (as II as I) = 4/52 x 3/51 = 12/2652 =1/2212.4 Diagram Pohon ProbabilitasDiagram pohon merupakan suatu diagram yang menyerupai pohon dimulai dari batang kemudian menuju ranting dan daun. diagram pohon dimaksudkan untuk membantu menggambarkan probabilitas atau probabilitas bersyarat dan probabilitas bersama. diagram pohon sangat berguna untuk menganalisis keputusan-keputusan bisnis dimana terdapat tahapan-tahapan pekerjaan.Contoh:

2.5 Ruang Sampel dan Titik SampelRuang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian.Ruang Sampel suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram pohon atau tabel.Titik Sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-kemungkinan yang muncul.Contoh:Pada percobaan melempar dua buah mata uang logam (koin) homogen yang berisi angka (A) dan gambar (G) sebanyak satu kali. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut.a) Dengan Diagram Pohon

Kejadian yang mungkin:AA : Muncul sisi angka pada kedua koinAG : Muncul sisi angka pada koin 1 dan sisi gambar pada koin 2b) Dengan Tabel

Ruang sampel = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}Banyak titik sampel ada 4 yaitu (A,A), (A,G), (G,A), dan (G,G)2.6 Teorema BayesDalam teori probabilitas dan statistika,teorema Bayesadalah sebuah teorema dengan dua penafsiran berbeda. Dalampenafsiran Bayes, teorema ini menyatakan seberapa jauh derajat kepercayaan subjektif harus berubah secara rasional ketika ada petunjuk baru.Dalampenafsiran frekuentisteorema ini menjelaskan representasi invers probabilitas dua kejadian. Teorema ini merupakan dasar dari statistika Bayes dan memiliki penerapan dalam sains, rekayasa, ilmu ekonomi (terutama ilmu ekonomi mikro), teori permainan, kedokteran dan hukum. Penerapan teorema Bayes untuk memperbarui kepercayaan dinamakan inferens Bayes.

atau

2.7 Prinsip Menghitung1) FaktorialFaktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu. Hasil perkalian semua bilangan bulat positif secara berurutan dari 1 sampai dengan n disebut n faktorial. Dari definisi faktorial tersebut, maka dapat dituliskan prinsip menghitung faktorial sebagai berikut :n ! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x 3 x 2 x 1n ! dibacan faktorialnb: 0! = 1dan 1! = 1Contoh:3! = 3 x 2 x 1 = 65! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 1202) PermutasiPermutasi digunakan untuk mengetahui jumlah kemungkinan susunan (arrangement) jika terdapat satu kelompok objek. pada permutasi berkepentingan dengan susunan atau urutan dari objek. Permutasi dirumuskan sebagai berikut :

atau

dimana :P = Jumlah permutasi atau cara objek disusunn = jumlah total objek yang disusunr/k = jumlah objek yang digunakan pada saat bersamaan, jumlah r/k dapat sama dengan n atau lebih kecil! = tanda dari faktorial

Contoh:Di kantor pusat D Ada 3 orang staff yang dicalonkan untuk menjadi mengisi kekosongan 2 kursi pejabat eselon IV. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk mengisi jabatan tersebut?jawab: Permutasi P (3,2), dengan n =3 (banyaknya staff) dan k =2 (jumlah posisi yang akan diisi)

Permutasi Unsur-unsur yang sama

Contoh:Tentukan permutasi atas semua unsur yang dibuat dari kata MATEMATIKA!Jawab: pada kata MATEMATIKAterdapat 2 buah M, 3 buah A, dan 2 buah T yang sama, sehingga permutasinya adalah:

Permutasi Siklis

Rumus banyaknya permutasi = (n-1)!Contoh:Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

3) KombinasiKombinasi didefinisikan sebagai susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian dari anggota himpunan itu tanpa memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut disebut kombinasi yang ditulis dengan lambang C. Bila himpunan itu terdiri atas n anggota dan diambil sebanyak r, tentu saja r lebih kecil atau sama dengan n, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat dengan cara kombinasi adalah : Kombinasi ditulis juga dengan cara : C(n,r) atau Cn,r

Kombinasi digunakan apabila ingin mengetahui berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya. Jumlah kombinasi dirumuskan sebagai berikut:

Contoh:Saat akan menjamu Bayern Munchen di Allianz arena, Antonio Conte (Pelatih Juventus) punya 20 pemain yang akan dipilih 11 diantaranya untuk jadi starter. Berapa banyak cara pemilihan starter tim juventus? (tidak memperhatikan posisi pemain).

Daftar Pustaka:

Suharyadi, & Purwanto S. K. (2007). Statistika: Untuk Ekonomi dan Keuangan Modern, Edisi 2. Jakarta: Penerbit Salemba Empat.

Dewi, Tiara. 2012. Probabilitas dan Statistika. http://tyarhashawol.blogspot.com/2012/12/probabilitas-dan-statistika_31.html