BAB IPENDAHULUAN

1.1 Persamaan diferensial Persamaan differensial adalah gabungan antara fungsi yang tidak diketahui secaraeksplisit dan turunan (diferensial)-nya. Dalam kuliah Fisika anda tentu masih ingatpersamaan gerak sistem pegas.

dengan m adalah massa pegas, k tetapan pegas, c koefisien redaman, dan x posisisebuah titik pada pegas. Karena x adalah fungsi dari t, maka persamaan diatas dapat ditulis juga sebagaim x"(t) + cx'(t) + kx(t) = 0atau dalam bentuk yang lebih ringkas,mx" + cx' + kx = 0.

1.2 Kelompok persamaan differensial Berdasarkan turunan tertinggi yang terdapat di dalam persamaannya, PDB dapatlagi dikelompokkan menurut ordenya, yaitu:a. PDB orde 1, yaitu PDB yang turunan tertingginya adalah turunan pertama.Contoh (i), (ii), dan (iii) di atas adalah PDB orde 1.b. PDB orde 2, yaitu PDB yang turunan tertingginya adalah turunan kedua.Contoh (iv) adalah PDB orde dua.c. PDB orde 3, yaitu PDB yang turunan tertingginya adalah turunan ketigaContoh (v) di atas adalah PDB orde tiga.d. dan seterusnya untuk PDB dengan orde yang lebih tinggi. PDB orde 2 ke atasdinamakan juga PDB orde lanjut.1.3 Klasifikasi persamaan differensiala. Persamaan differensial biasa untuk tunggal Runge kutta Prediktor- Korektorb. persamaan differensial biasa majemeukRunge kutta

BAB IITEORI DASAR

1. Metode Runge KuttaMetode runge kuttaMetode Runge-Kutta mencapai ketelitian suatu pendekatan deret taylor tanpa memerlukan kalkulasi turunan yang lebih tinggi. Bentuk persamaan umum iterasi Runge Kutta adalah

Dimanadengan

Runge Kutta Orde 1Jika m = 1, a1 = 1

Maka persamaan iterasi orde 1 yaitu

Runge Kutta Orde 2Jika m = 2

a. Jika menggunakan metode Heuna1 = a2 =p1= q11 = 1

sehingga persamaan iterasi orde 2 metode Heun

b. Jika menggunakan metode Raltsona1 =, a2 =p1= q11 = sehingga persamaan iterasi orde 2 metode Raltson

c. Jika menggunakan metode Poligona1 = 0, a2 = 1p1= q11 = sehingga persamaan iterasi orde 2 metode Poligon

Runge Kutta Orde 3Adapun persamaan iterasi orde 3 adalah

Runge Kutta Orde 4

Dengan

Aplikasi MetodeRunge-Kutta pada Perhitungan Potensial ListrikJika diketahui pada suatu atom hidrogen inti atom memiliki medan listrik dengan persamaan E = -3s-4 ds. Dan saat s(0) =1 dimana E(0) = 1, hitunglah potensial listrik yang ada dalam atom hidrogen tersebut. Perhitungan secara analitik

Dengan C adalah

Makadiperoleh;

volt

Perhitungan dengan metode Runge-Kutta

Rumus iterasi metode Runge-Kutta:

NXnYnK1K2K3K4Yn+1

01,01,0000,700,7150,7150,731,715

11,11,7150,730,7450,7450,762,460

21,22,4600,760,7750,7750,793,235

31,33,2350,790,8050,8050,824,040

41,44,0400,820,8350,8350,854,875

51,54,8750,850,8650,8650,885,740

61,65,7400,880,8950,8950,916,635

71,76,6350,910,9250,9250,947,560

81,97,5600,940,9550,9550,978,515

91,98,5150,970,9850,9851,009,500

2. Metode Prediktor-Korektor a. Cara metode prediktor- korektorMetode prediktor-korektor sebagaimana metode Runge-Kutta juga didasarkan pada persamaan (7-2) dengan beberapa modifikasi. Integrasi numerik dengan metode prediktor - korektor didasarkan pada interpolasi polinomial di titik xn+1 dan xn yang dinyatakan sebagai berikut:(7-6) x : variabel bebas y : variabel tidak bebas h : xn+1 - xn Persamaan (7-6) merupakan persamaan implisit untuk yn+1, karena yn+1 muncul sebagai argumen di sebelah kanan tanda sama dengan. Jika f(x,y) merupakan fungsi non linier, maka secara umum persamaan (7-6) tidak dapat diselesaikan secara eksak. Untuk itu yn+1 diselesaikan dengan cara iterasi. Dengan mempertahankan harga xn, kita dapatkan hasil pendekatan pertama pada sebagai berikut:

(7-7)

Selanjutnya dengan dilakukan iterasi pertama, dengan cara mensubstitusikannya ke dalam persamaan (7-6), sehingga didapatkan persamaan berikut:

(7-8) Iterasi kedua diperoleh dengan mensubstitusikan ke dalam persamaan (7-8). Secara umum iterasi akan menghasilkan persamaan berikut:(7-9) Iterasi dapat dihentikan jika persyaratan akurasi pada dua iterasi terdekat terpenuhi. b. Algoritma Metode Prediktor- Korektor

Algoritma metode Prediktor - Korektor: Step 1 : langkah prediksi (outer iteration) untuk n mulai dari 1 dan untuk persamaan y' = f(x,y), y(x0) = y0 dengan h = xn+1 - xn (ditentukan) dan xn = x0 + nh, hitung dengan persamaan (7-7)

Step 2 : langkah koreksi (inner iteration) untuk k = 1,2, hitung dengan persamaan (7-9), sampai persyaratan akurasi berikut dipenuhi:

Ulangi step 1 untuk n = n + 1.

Nilai ditentukan dengan mengingat 'error' pada persamaan (7-6) sebesar -(h3/12)y'''.Beberapa parameter yang harus ditentukan untuk menyelesaikan integrasi numerik dengan metode prediktor-korektor berdasar algoritma di atas adalah: nilai n (jumlah iterasi luar / outer iteration) nilai k (jumlah iterasi dalam / inner iteration)

Persamaan (7-7) bersifat eksplisit dan bertipe terbuka sering disebut dengan prediktor, sedangkan persamaan (7-6) bersifat implisit dan bertipe tertutup sering disebut korektor. Jika keduanya digunakan secara simultan seperti ditunjukkan di atas, maka metode yang dipakai disebut prediktor-korektor. Hasil persamaan korektor biasanya lebih akurat daripada hasil persamaan prediktor.

c. Penerapan Metode Prediktor Korektor

Ilustrasi 2: Penerapan metode Prediktor-Korektor: Diketahui :Ditanya : solusi untuk interval x = 0 sampai x = 0.2 dengan h = 0.1 Jawab : y'''(0) -2, maka error = -(h3/12)y''' 0.0002 Step 1 : untuk n = 1, dari persamaan (7-7) dihasilkan Step 2 : dari persamaan (7-9) dihasilkan dan

karena nilai maka iterasi dalam dihentikan dan nilai y1 = 0.8994 dapat dipakai untuk menghitung turunannya, yaitu: pada x1 = x0 +nh = 0.1 Step 1 : untuk n = 2 dari persamaan (7-7) dihasilkan

Step 2: dari persamaan (7-7) dihasilkan

karena nilai , maka iterasi dihentikan dan nilai y2 = 0.7960 dapat dipakai untuk menghitung turunannya, yaitu: pada x2 = x0 + nh =0.2 Solusi dengan metode prediktor-korektor hanya diberikan sampai dengan x = 0.2. Jika solusi diberikan sampai dengan x = 1, maka jika digambarkan akan mempunyai bentuk yang sama dengan kurva dalam Gambar 7.1. Solusi metode prediktor-korektor pada ilustrasi 2 lebih teliti dari solusi metode Runge-Kutta pada ilustrasi 1, karena pada ilustrasi 1, orde metode Runga-Kutta hanya dua, sedangkan pada ilustrasi 2, orde solusi ditunjukkan dengan jumlah iterasi dalam menentukan koreksinya, yaitu jumlah iterasi dalam, dalam hal ini berjumlah tiga, sehingga dapat dikatakan orde solusinya adalah tiga.

3. Solusi Sistem Persamaan Diferensial Biasa (Majemuk)a. Metode Runge kutta untuk PDB Metode Runge-Kutta untuk PDB tunggal dapat dikembangkan untuksolusi sistem PDB (majemuk). Berikut adalah contoh pengembangan metode Runge-Kutta untuk solusi sistemPDB dengan dua persamaan yangdinyatakan sebagai berikut: = = = = (7-10) f dan g merupakan fungsi t, x dan y yang biasanya sudah diketahui. Untuk selanjutnya didefinisikan

(7-11)dengan parameter-parameter metode Runge-Kutta orde 4 sebagai berikut:

(7-12)

(7-13)

(7-14)

(7-15)Harga x dan y pada adalah:

(7-16)

b. solusi PDB dengan metode Runge-Kutta Ilustrasi 3: Solusi sistem PDB dengan metode Runge-Kutta:Selesaikan persamaan berikut yang biasanya muncul dalam hubungannya dengan masalah difusi. C dan t masing-masing adalah variabel konsentrasi dan waktu. C'' + 2 t C' 0.5 C= 0(7-17)Interval solusi adalah t = 0 dan t = 0.5 dengan kondisi batas C = 1 dan C' = 0Jawaban:Beda waktu (time step) atau h ditentukan sebesar 0.1. Langkah selanjutnya adalah memodifikasi persamaan (7-17) menjadi sistem PDB orde 1 yang didefinisikan sebagai berikut: x = C, y = C', sehingga persamaan (7-17) dapat dimodifikasi menjadi seperti berikut:

(7-18) dengan kondisi x = 1 dan y = 0 pada t = 0. Berdasar pada persamaan (7-10), maka fungsi f dan g didefinisikan sebagai berikut:

(7-19) Pada pendekatan pertama digunakan nilai Dan . Selanjutnyadengan mensubstitusikannya dalam persamaan (7-13) s.d. (7-15) akan diperoleh:

yang akan memberikan nilai x dan y pada step berikutnya seperti dalam perhitungan berikut:

Hasil perhitungan selanjutnya sampai dengan iterasi kelima diberikan dalam tabel berikut ini. Tabel 7.2: Hasil 5 Iterasi Pertama pada Solusi Persamaan (7-17) dengan Menggunakan Metode Runge-Kutta(Sumber: Albarede, 1995)n= Iterasi012345

00.10.20.30.40.5

11.00251.00991.02191.03821.0582

00.04970.09770.14240.18240.2167

00.00500.00980.01420.01820.0217

0.05000.04910.04660.04260.03730.0312

0.00250.00740.01210.01640.02010.0232

0.04980.04800.04470.04000.03430.0279

0.00250.00740.01200.01620.02000.0231

0.04980.04810.04480.04010.03450.0281

0.00500.00980.01420.01830.02170.0245

0.04910.04660.04250.03730.03120.0247

1.00251.00991.02191.03821.05821.0813

0.04970.09770.14240.18240.21670.2447

Metode 456

Metodeprediktor-korektorsebagaimanametodeRunge-Kuttajugadidasarkanpadapersamaan (7-2) denganbeberapamodifikasi. Integrasinumerikdenganmetodeprediktor - korektordidasarkanpadainterpolasipolinomial di titikxn+1danxn yang dinyatakansebagaiberikut:

n = 1,2,......(7-6) [])y,x(f)y,x(f2 hyy1n1nnnn1n++=+++

x :variabelbebasy : variabeltidakbebash : xn+1 - xn

Persamaan (7-6) merupakanpersamaanimplisituntukyn+1, karenayn+1munculsebagaiargumen di sebelahkanantandasamadengan. Jikaf(x,y)merupakanfungsi non linier, makasecaraumumpersamaan (7-6) tidakdapatdiselesaikansecaraeksak. Untukituyn+1diselesaikandengancaraiterasi. Denganmempertahankanhargaxn, kitadapatkanhasilpendekatanpertamayn(0+)1 padayn+1 sebagaiberikut:

yn(0+)1 = yn+ hf ( xn,yn) (7-7)

Selanjutnyadenganf ( xn+1,yn(0+)1 ) dilakukaniterasipertama, dengancaramensubstitusikannyakedalampersamaan (7-6), sehinggadidapatkanpersamaanberikut: yn(1+)1 = yn+ h2 [f ( xn,yn) + f ( xn+1,yn(0+)1 ) ](7-8)

Iterasikeduadiperolehdenganmensubstitusikanf ( xn+1,yn(1+)1 )kedalampersamaan (7-8). Secaraumumiterasiakanmenghasilkanpersamaanberikut:

k =1,2,...... (7-9) )(()[])y,x(f)y,x(f2 hyy1k1n1nnnnk1n++=+++

Iterasidapatdihentikanjikapersyaratanakurasipadaduaiterasiterdekatterpenuhi.

AlgoritmametodePrediktor - Korektor:

1. Step 1 : langkahprediksi(outer iteration)untukn mulaidari1 danuntukpersamaany' = f(x,y), y(x0) = y0denganh = xn+1 - xn (ditentukan) danxn = x0 + nh, hitungyn(0+)1 denganpersamaan (7-7). 2. Step 2 : langkahkoreksi(inner iteration)untukk = 1,2, hitungyn(k+)1 denganpersamaan (7-9), sampaipersyaratanakurasiberikutdipenuhi:

3. Ulangi step 1 untukn = n + 1.

Nilaiditentukandenganmengingat'error'padapersamaan (7-6) sebesar(h3/12)y'''. Beberapa parameter yang harusditentukanuntukmenyelesaikanintegrasinumerikdenganmetodeprediktor-korektorberdasaralgoritma di atasadalah: nilain (jumlahiterasiluar / outer iteration) nilaik (jumlahiterasidalam / inner iteration)

Persamaan (7-7) bersifateksplisitdanbertipeterbukaseringdisebutdenganprediktor, sedangkanpersamaan (7-6) bersifatimplisitdanbertipetertutupseringdisebutkorektor. Jikakeduanyadigunakansecarasimultansepertiditunjukkan di atas, makametode yang dipakaidisebutprediktor-korektor. Hasilpersamaankorektorbiasanyalebihakuratdaripadahasilpersamaanprediktor.

Ilustrasi 2: PenerapanmetodePrediktor-Korektor:

Solusidenganmetodeprediktor-korektorhanyadiberikansampaidenganx = 0.2. Jikasolusidiberikansampaidenganx = 1, makajikadigambarkanakanmempunyaibentuk yang samadengankurvasebagaiberikut.

Materi 789

8.10. Metode Alternating-Direction Implicit (ADI) Untukpenjelasanmetodeini, dipilih PDP parabolik yang mendiskripsikanperambatanpanas 2-D dengan parameter persamaan u = u(x,y,t) dan u =u(i,j,n), dimana y =jy. Bentukpersamaantersebutadalahsebagaiberikut:

PBH eksplisitpersaman di ataspadalangkahwaktutnberbentuksebagaiberikut:

Untukmenjaminstabilitassolusipersamaan (8-47), makahubunganantarabedawaktu (t) danbedageometri (x) dan (y) dipelajariberikutini. Jikadidefinisikan

PBH implisituntukpersamaan (8-46) mempunyaibentuksebagaiberikut:

Persamaan (8-49) dengan x = ydapatdituliskansecaralengkapsebagaiberikut:

Sepertipadakasus 1-D, solusiimplisitsepertipadapersamaan (8-50)stabiluntuksembarangharga.Sistempersamaan linier yang terbentukkemudiandirepresentasikandalambentukmatriks. Metodeeliminasi Gauss tidakefektifdigunakanuntukmenyelesaikan SPL dalambentukmatrikstridiagonalsepertidalampersamaan (8-50). Sebagaialternative dapatdigunakanmetodeiterasi Gauss- Seidel.Metode ADI dapatmengatasikesulitanini. Prinsipmetode ADI adalahmengintrodusirlangkahwaktu (time step)setengahatau t/2.Selain itumetode ADIjugamengintrodusirduapersamaan. Persamaanpertamamempunyaibentukimplisitdalamarah x saja, sedangkanpersamaankeduaimplisitdalamarahysaja. Dengandemikian, jikamerupakannilaiaktual (intermediate value)padaakhirlangkahwaktupertama, makaakandidapatkan:

diikutioleh

Jikaditulisdalambentuklengkapdanpengaturanselanjutnyadengan x = yuntukpenyederhanaan, makapersamaan di atasakanmenjadi:

Solusipersamaan (8-53) menghasilkan u*yangselanjutnyaakandigunakanuntuksolusipersamaan (8-54) yang akanmenghasilkan ui,j,n+1pada akhir interval t.

Bab 9Dasar-dasarSolusiPersamaanDiferensialParsialdenganMetodeElemenHingga9.1.PendahuluanMetodeelemenhingga (MEH) merupakansalahsatutekniksolusipersamaandiferensialparsial (PDP) secaranumerik. Metodeinitelahberkembangdenganpesatmenjadibeberapavarian, sehinggamenjadicabangilmutersendiridalambidanganalisisnumeriklanjut. Berikuthanyadiberikandasar-dasar MEH yang dapatdiklasifikasikandalammetode residual terbobot (weighted residual method),metode subdomain, metodekolokasisertametodeGalerkin. 9.2. Metode Residual TerbobotUntukpenjelasanmetodeinidiambilcontoh PDP 2-D untukkasusadveksi-dispersi yang dinyatakansebagaiberikut:

Persamaan (9-3) menyatakankondisibatasberupakonsentrasi yang besarnyatertentu. Kondisibatasinidapatdiklasifikasikankedalamkondisibatastipe I (Dirichlet). Persamaan (9-4) menyatakankondisibatasberupafluxdispersi yang besarnyatertentu. KondisibatasinidapatdiklasifikasikankedalamkondisibatastipeII (Neumann). Untukmendekatisolusianalitikpersamaan (9-1), metode residual terbobotmengadopsifungsipendekatanberikut:

Charusmemenuhikondisibatas(9-3) padabatas domain aliran (1).Jika N , makapendekatandenganpersamaan (9-5) cenderungmenghasilkansolusieksakatausamadengansolusianalitik.Dalampersamaan (9-5), parameter-parameter berikutini,yaitu:

merupakanfungsi-fungsi basis yang bebas linier. C1(t), C2(t), , CN(t) adalahkoefisien-koefisientaktentu yang merupakanfungsidariwaktu (t). Selanjutnyaakanterlihat, bahwakoefisien-koefisieninidapatditentukanberdasarpersyaratan, bahwahanyamerupakansolusipendekatandaripersamaan (9-1) atau L(C) 0,olehkarena itumaka

merupakanfungsi-fungsi basis yang bebas linier. C1(t), C2(t), , CN(t) adalahkoefisien-koefisientaktentu yang merupakanfungsidariwaktu (t). Selanjutnyaakanterlihat, bahwakoefisien-koefisieninidapatditentukanberdasarpersyaratan, bahwahanyamerupakansolusipendekatandaripersamaan (9-1) atau L(C) 0,oleh karenaitumaka

Persamaan (9-7) disebut residual dandiperolehdengancaramensubstitusikedalampersamaan (9-1). Harga residual inidiusahakansekecilmungkindalamkeseluruhandomain aliran (R).

Persamaan (9-8) menyatakan residual rata-rata terbobotuntukmengukur residual dalam domain (R).Parameter W(x,y)merupakanfungsipembobotatau weighting function.Untukorde N, makaadafungsibobotsebanyak

Fungsi-fungsipembobotinidipilihdengansedemikianrupa,sehingga residual yang dihasilkannyaakanmempunyaihargasamadengannol, dengandemikianakanterdapat N persamaansebagaiberikut:

Jikapersamaan (9-1) disubstitusikedalampersamaan (9-10) dandenganmenggunakan formula Green untukmengeliminasisukudenganturunankedua,makaakandidapatkanpersamaanberikut:

Sukuterakhirdalampersamaan di atasdidapatdarikondisibatastipe II dalampersamaan (9-4). Jikapersamaan (9-5) disubstitusikedalampersamaan(9-11) akandiperolehsistempersamaandiferensialbiasa (PDB) atau ordinary differential equations (ODE) yang ditulisdalambentukmatrikssebagaiberikut:

padamana

Elemen-elemenmatrikskoefisien [A],[B] danvektor {F} masing-masingadalah:

Dari sinitampakjelasbahwa, jikafungsi-fungsi basis dalampersamaan (9-6) danfungsi-fungsipembobotdalampersamaan (9-9) diberikanataudiketahui, makaharga-harga yang dicaripadasemuaelemendapatdihitung. Jikapendekatanbedahinggaditerapkandalampersamaan (9-12) untukmendekatiturunanpertamaterhadapwaktu, makasistem PDB akanmenjadisistempersamaan linier padasetiaplangkahwaktu (time step). Sebagaicontoh,misal Ct adalahharga C padawaktu t dan Ct+tadalahhargaCpadawaktu t+ t, makaturunan C terhadap t dapatditentukandenganpendekatanbedahinggasebagaiberikut:

Substitusipersamaan (9-16) kedalampersamaan (9-12) akanmenghasilkan:

ataudapatdituliskansecarasimboliksebagaiberikut:

padamana

Persamaan (9-17) merupakansistempersamaan linier simultan yang dapatdiselesaikandenganmetodeiterasiatausolusilangsung. Akibathadirnyasukuuntukadveksidalampersamaanadveksi-dispersi, makamatrikskoefisien [A]bersifattidaksimetrisatauasimetris. Hal inidapatdilihatdaristrukturpersamaan (9-13). Dengandemikianmatrik [E]dalampersamaan (9-17)jugabukanmerupakanmatrikssimetris. KetidaksimetrisaninimerupakanperbedaanutamadalamMEH antara MEH untuksolusipersamaan transport massadan MEH untuksolusipersamaanaliran air tanah. Jikamatriks [E]asimetris, makasolusilangsungakanmembutuhkanlebihbanyakmemorikomputerdan step-step perhitungan yang lebihkompleks. Setelahmenyelesaikan Ct+tpadapersamaan (9-17), solusipendekatan C padawaktu t + tdapatdiperolehdengancaramensubstitusi C t+tkesebelahkanantandasamadengandalampersamaan (9-5). Penjelasan di atasmerupakanlangkah-langkahutamasolusipersamaanadveksidispersidenganmenggunakanMEHdenganmetode residual terbobot. Permasalahanselanjutnyaadalahbagaimanamenentukanfungsi-fungsi basis danfungsi-fungsipembobotuntukpenyederhanaanperhitunganmatrikskoefisien.9.3. Metode Subdomain Metode subdomain jugadikenaldenganmetodekolokasielemen. Berdasarmetodeini domain aliran (R) dibagimenjadibeberapaelemen (subdomain), yaitu: dengan (Ri), i = 1, 2, N.Setiapelemendiasosiasikandenganfungsipembobot yang didefinisikansebagaiberikut:

Denganketentuanini,makapersamaan (9-13) sampaidengan (9-15) dapatdisederhanakanmenjadi:

Materi 10,11,12Elemen Segitiga dan Fungsi Basis Linear

Gambar 1. Elemen Segitiga Linier dengan Node-node-nyaBerikut adalah gambaran elemen segitiga yang kemudian disimbolkan dengan . Misal node-node pada elemen segitiga di atas diberi nama dengan i, j, k, masing- masing dengan koordinat ( xi , yi ), ( x j , y j ) dan ( xk , yk ) . Fungsi-fungsi basis dalam hubungannya dengan ketiga node tersebut didefinisikan sebagai fungsi basis linier yang mempunyai ekspresi sebagai berikut:

Dimana :

adalahluaselemensegitiga.Denganfungsi-fungsibasisyang diberikan dalam persamaan diatas untuki jakandiperoleh :

Dari persamaan ini disubstitusikan kedalam persamaan berikut, sehingga Aij,Bij danFi dalam elemen segitiga akan dapat dihitung sebagai berikut :

2. adalah panjang sisi elemen segitiga bersamaan (yang berhimpitan) dengan panjang 2. Jika keduanya tidak mempunyai bagian yang saling berhimpitan, maka 2. = 0. Langkah selanjutnya adalah membentuk matriks [A], [B] dan vektor {F} dengan cara merangkai komponen-komponen pada setiap elemen dan terlihat bahwa matriks [A] adalah matriks asimetrik akibat hadirnya suku adveksi ke dalam sistem.Metode kolokasi merupakan metode penyelesaian masalah nilai batas dengan mengunakan fungsi polonomial sebagai dasar penyelesaian masalah tersebut. Masalah nilai batas pada persamaan deferensial biasa, pada umumnya dapat diselesaikan secara analitik, bukan secara numerik yang langsung langkah akhir dari penyelesaiannya mengunakan teknik integrasi. Namun demikian, tidak semua nilai batas dapat di selesaikan secara analitik. Dalam hal ini penyelesaian dapat dilakukan secara numerik.

Pada umumnya, metode numeris tidak mengutamakan jawaban yang tepat tetapi lebih pada mengusahakan perumusan metode yang menghassilkan jawaban pendekatan yang berbeda atau hampir sama dengan nilai yang sebenarnya dengan nilai tersebut sebesar suatu nilai yang dapat diterima berdasarkan pertimbangan yang cukup dapat memberikan penyelesaian pada masalah yang dihadapi.

Dari uraian yang diterangkan di atas, peneliti tertarik untuk meneliti mengunakan metode beda hinga (finite difference method) dan metode tembakan (shooting method) dalam pemecahan masalah nilai batas pada persamaan differensial biasa orde dua yang linear. Dari uraian tentang metode di atas yang digunakan dalam mencari penyelesaian maslah nilai awal, terdapat metode yang mempunyai tingkat ketelitian lebih dibandingkan metode lain. Oleh karna itu, peneliti tertarik untuk mengetahui lebih dalam mengenai efisiensi, kelemahan dan kelebihan metode beda dan metode tembakan kemudian membandingkannya.

Berdasar metode kolokasi atau lengkapnya metode kolokasi titik dipilih N titik, yaitu:

( xi , yi ), i

= 1,2, ... , N

dari dalam domain (R) yang selanjutnya disebut titik-titik

kolokasi. Fungsi-fungsi pembobot kemudian didefinisikan sebagai berikut:

Wi ( x , y ) = ( x xi ) . ( y yi )

Dimana i =1,2,....,N

( x xi ) dan ( y yi )

adalah fungsi dirac- yang menyebabkan

Wi ( x, y) 0 hanya

pada titik ( xi ,yi ) . Untuk suatu fungsi, misalnya a( x, y) , maka akan diperoleh:

( R ) a( x , y )Wi ( x , y ) dx dy = a( xi ,yi )

Berdasarkan persamaan diatas, maka persamaan (9-13) s.d. (9-15) dapat disederhanakan menjadi:

Harap dicatat, disini tidak dibutuhkan integrasi untuk memperoleh koefisien-koefisien tersebut, sehingga metode kolokasi atau kolokasi titik secara numerik tidak membutuhkan penanganan komputasi yang cukup rumit. Tingkat akurasinya hanya dipengaruhi oleh penentuan fungsi-fungsi basis dan lokasi titik-titik kolokasi. Basis titik-titik formula kuadratik Gauss dapat dipergunakan sebagai titik-titik kolokasi.

A. Pengertian Metode GalerkinDalammatematika, khususnyabidanganalisisnumerik, metodegalerkinmerupakanmetode yang digunakanuntukmengubahmasalah operator kontinu (sepertipersamaandifferensial) kemasalahdiskret.Metoda Galerkin juga dapat diartikan sebagai metoda elemen hingga yang dapat diterapkan pada berbagai jenis masalah seperti teori lendutan kecil dan besar, getaran linear dan tak linear, serta masalah stabilitas pelat baja dan struktur selaput (shell), asalkan model persamaan diferensiasi masalah yang dihadapi telah diketahui. Walaupun perumusan matematis dibalik metode Galerkin cukup rumit, interpretasi fisisnya relatif sederhana. Dalam prinsipnya, metoda ini mirip penerapannya dengan metode variasi ke ruang fungsi dengan mengubah persamaannya ke formusi lemah.

B. Metode GalerkinMetoda Galerkin dapat diartikan sebagai metoda elemen hingga yang dapat diterapkan pada berbagai jenis masalah seperti teori lendutan kecil dan besar, getaran linear dan tak linear, serta masalah stabilitas pelat baja dan struktur selaput (shell), asalkan model persamaan diferensiasi masalah yang dihadapi telah diketahui. Walaupun perumusan matematis dibalik metode Galerkin cukup rumit, interpretasi fisisnya relatif sederhana.Sistem struktur yang ditinjau pertama-pertama dianggap berada dalam keseimbangan. Dengan demikian, jumlah semua gaya dalam dan luar sama dengan nol. Keadaan seimbang suatu elemen yang sangat kecil kemudian dirumuskan dengan persamaan diferensial sebagai berikut :1 (u,v,w) px = 02 (u,v,w) py = 03 (u,v,w) pz = 0

3

Yang menyatakan keseimbangan semua gaya dalam arah X,Y, dan Z. Dalam persamaan yang ditunjukkan diatas :4

1, 2, 3 menunjukkan operator diferensialpadafungsiperpindahan. px, py, dan pz adalah gaya luar.Keseimbangan pada sistem struktur tersebut diperoleh dengan mengintegrasi persamaan diferensial dalam persamaan diatas untuk seluruh bagian struktur.Pada metode galerkin, metode galerkin menggunakan fungsi-fungsi basis dalam persamaan : 1(x,y),2(x,y),.....,N(x,y)

Persamaan ini pada metode galerkin, digunakan sebagai fungsi-fungsi pembobot. Berdasarkan metode galerkin domain (R) dibagi menjadi beberapa elemen, yaitu (Rm), m = 1, 2, ...... M. Selanjutnya titik-titik potong antar sisi elemen disebut dengan node. Kadang-kadang di dalam elemen juga terdapat node. Misal dalam seluruh domain (R) terdapat M elemen dan N node, maka persamaan dalam persamaan metode residual berbobot dapat dimodifikasi menjadi :

5

( 2,m) Adalah batas bersama antara (Rm) dan (2). Misal fungsi basis ke i, yaitu i(x,y) diasosiasikan dengan node ke i yang didefenisikan sebagai berikut:

( x j , y j ) adalah koordinat node j. Persamaan (9-31) mempunyai arti : i ( x , y ) = 1 pada node i dan i ( x , y ) = 0 pada node yang lain, i ( x , y ) = 1 pada elemen yang dihubungkan atau dibatasi oleh node i dan i ( x , y ) = 0 pada elemen-elemen lainnya.Dua ketentuan ini mempunyai beberapa keuntungan, yaitu :1. AijdanBij 0 hanyajika node idan j beradadalamelemen yang sama,2. PerhitunganAijdanBijtidakmelibatkanintegrasipadakeseluruhan domain (R), tetapihanyaintegrasipadaelemen-elemen yang mempunyai node idan j,3. Berdasarpersamaan (9-31), solusiCt +tdalampersamaan (9-12) menghasilkannilai-nilai yang tidakdiketahui (darisolusipendekatan Cpadawaktu t + t),sehinggatidakperlukembalikepersamaan (9-5). Dengan demikian kombinasi antara diskritisasi elemen hingga dengan metode Galerkin akan menyederhanakan proses perhitungan. Dalam hal ini terdapat keluwesan dalam pemilihan bentuk elemen, aturan node serta ekspresi fungsi-fungsi basis. Dua elemen utama yang sering dipergunakan untuk solusi persamaan adveksi-dispersi adalah elmen segitiga dans segiempat.

Contoh Soal ;6

Selesaikan persamaan diferensial berikut dengan metode galerkin :

JawabanGunakan fungsi dasar :

Dimana untuk fungsi dasar tersebut harus bebas lineardan memenuhi kondisi batas nol. Sehingga untuk solusi perkiraannya yaitu dalam bentuk :

Pergantian sisi kiri dari fungsi diatas akan menghasilkan residual

Taking into account the orthogonality of R with respect to u1(x) andu2(x), one arrives at the system

Substitution ofRinto this system and evaluation of the integrals yields the linear algebraic equations7

Dengan solusi :

Sehingga :

Tabel berikut menyajikan nilai-nilai pendekatan ini dan tepat solusi y = (sin x) / (sin 1) - x

Materi 13,14,159.6.2. Elemen Segiempat dan Fungsi Basis Linear1. Elemen Segiempat dan Fungsi Basis BilinearGambar berikut menunjukkan elemen segiempat (e) dengan panjang a dan lebar b. keempat node-nya diberi identifikasi masing-masing dengan I,j,k, dan m.

Elemen segiempat dalam sistem koordinat global dapat ditransformasi menjadi elemen segiempat standar dalam sistem koordinat lokal seperti pada Gambar 9.3. Pada elemen segiempat standar, koordinat keempat node adalah =1, =1. Transformasi koordinat dikerjakan sebagai barikut : (9-38)(x0,y0) adalah koordinat titik tengah elemen segiempat. Fungsi-fungsi basis elemen segiempat standar didefinisikan sebagai berikut : (9-39)Fungsi-fungsi basis ini berupa fungsi bilinear dalam dan . Dengan menggunakan formula transformasi integral ganda, komponen dan dalam elemen (e) dapat ditentukan sebagai :

(9-40) (9-41) dapat ditentukan dengan cara yang sama. Setelah perhitungan diselesaikan untuk semua elemen, langkah selanjutnya adalah merangkai elemen-elemen tersebut untuk pembentukan matriks , dan vector {F} global. Dengan demikian sistem persamaan (9-12) terbentuk untuk elemen-elemen segiempat.Ket :

9.6.3. Elemen Orde Tinggi dan Elemen HermiteFungsi kuadratik lengkap x, y mempunyai 6 koefisien, sehingga diperlukan 6 kondisiuntuk mendefinisikannya. Jika nilai-nilai fungsi pada 6 node setiap elemen diketahuiatau diberikan, maka kondisi yang diperlukan segera dapat dipenuhi. Dengandemikian dapat didesain 6 node dalam setiap elemen segitiga, yaitu 3 buah padasetiap perpotongan antar sisinya dan 3 buah node lagi pada masing-masing sisiseperti diilustrasikan dalam Gambar 9.4.

Penggunaan elemen segitiga dengan fungsi-fungsi basis liniernya memberi implikasi,bahwa nilai konsentrasi yang dicari pada setiap elemen didekati harganya denganmenggunakan fungsi yang linier, sehingga solusi pendekatan C juga merupakanfungsi linier. Untuk memperbaiki akurasi solusi pendekatan dipergunakan fungsikuadratik atau fungsi dengan orde yang lebih tinggi pada elemen-elemen orde tinggi.Elemen segitiga () dalam bidang xy seperti diilustrasikan pada Gambar 9.4ditranformasikan menjadi elemen segitiga standar () dalam bidang dengansistem koordinat lokal seperti diilustrasikan pada Gambar 9.5.

Transformasikoordinatdikerjakansebagaiberikut:

Padaelemensegitigastandar(),fungsikuadratik,lengkapmempunyaibentuk:

jikanilai fungsibasis kuadratiki(,)diasosiasikan dengannodeidalamelemen ()yang berharga 1padanode idan berharga0padakelima nodelainnya,maka akan diperoleh 6kondisi. Dengan 6 kondisi, maka 6 koefisieni(,)dapat ditentukansepertidituliskandalamTabel9.1.

Dengan persamaa (9-42), Jacobian transformasi dapat dihitung dan semua koefisienpersamaan(9-28)sampaidengan(9-30)dapatdiintegrasidalamkoordinatlokal.Integranberupapolinomialdalamdandenganordelebihrendahdari3.Elemenkubikdapatditurunkandengancarayangsamasepertielemenkudratik.Padaelemensegitigakubik,didefinisikan10nodeuntukmengekspresikannilaiyangdicaripadasetiapelemen,melaluipendekatandenganmenggunakanpolinomial kubik lengkap (lihat Gambar 9.6). Dengan menggunakan transformasi dalampersamaan(9-42),elemensegitiga()dalambidangxymenjadielemensegitiga standar()dalambidangdengansistemkoordinatlokal.Node-nodeyangrelevandiilustrasikanpadaGambar9.9.Fungsi-fungsibasisGalerkinorde3dalamsistemkoordinatlokaldiberikandalamTabel9.1. Denganfungsi-fungsibasisyangdiberikandalamTabel9.1,koefisienAij,BijdanFipadaelemensegitiga()dapatdihitungdenganmenggunakanintegrasinumerik.Integranberupapolinomialdalamdandenganorde4.FormulaintegrasiGaussseringkalidigunakanuntukkeperluanini. Disampingmenggunakan10node,adacaralainuntukmenentukan10koefisienpolinomialkubik.Sebagaicontoh,didefinisikan3nodeyangberupatitikpotongantarsisielemendansebuahnodeditengahelemensegitiga.Selanjutnyadiasumsikan,bahwanilai-nilaifungsidemikianjugaturunanparsialterhadapxdanydikeempatnodetersebutdapatatausudahditentukan,makaakanterdapat10kondisiuntukmenentukan10koefisien.Jeniselemensepertiinidisebutdenganelemenhermite,sepertidiilustrasikanpadaGambar9.8.

Setiapnodedititikpotongantarsisielemensegitigaberhubungandengan3fungsi basis dan 3 koefisien taktentu, sedangkan nodedi tengah elemen segitiga

berhubungandenganC4(t)dan4(x,y)sepertitertulisdalamTabel9.2.Semuafungsi basisberupapolinomialkubikdalamxdany. Sesuai dengan prinsip penentuan fungsi-fungsi basisyangtelahditerangkan sebelumnya,ditetapkan,padanode1nilai

Jikaekspresifungsi-fungsibasissudahdapatditentukanpadasetiapelemen,makakoefisien-koefisien dalam persamaan(9-12) dapat ditentukan dengan mudah.Selanjutnya3buahsolusiakandiperoleh,masing-masingberasosiasidengannode yangberupatitikpotongantarsisielemensegitiga.Solusiinimerupakannilaiyang dicarisertamerupakannilaiturunanparsialnyaterhadapxdanypadanodeyang bersangkutan.Solusiyangberasosiasidengannodeditengahelemenmerupakan nilaifungsipadanodetersebut.Solusiyangdiperolehdenganmenggunakanelemen hermitemempunyaiturunanparsialorde1yangkontinudinodeyangberupatitik potongantarisielemen.Halinimerupakankeunggulanelemenhermite.

JikapersamaanaliranairtanahdiselesaikanmenggunakanMEHdenganelemen- elemenlinier,makakecepatanaliranyangdidapatberdasarhukumDarcyakan bersifatdiskontinudisepanjangsisielemen-elemen,karenamedangradiensolusiNumerik bernilai konstan.Untuk mengatasi masalah ini,maka disarankan menggunakanelemenhermiteorde3,sehinggakontinuitasalirandapatdijamindanakurasisolusinumerikpersamaanadveksi-dispersidapatdiperbaiki.

9.9. Teknik Solusi Metoda Elemen Hingga 9.9.1. Karakteristik Sistem Elemen Hingga dan Metoda Solusi Langsung Pendekatan elemen hingga dapat digunakan baik untuk diskretisasi variabel ruang maupun variabel waktu. Dari penjelasan sebelumnya dapat dilihat, bahwa apapun jenis MEH yang digunakan, persamaan adveksi-dispersi akan ditransformasikan ke dalam sistem PDB dengan ekspresi sebagai berikut: [A] C + [B] dtdC+ F = 0 (9-59) Setelah langkah diskretisasi variabel waktu, sistem PDB akan menjadi sistem persamaan linier. Hasil-hasil perhitungan praktis menunjukkan, bahwa turunan terhadap waktu lebih mudah dilakukan dengan menggunakan pendekatan MBH (metoda beda hingga) daripada pendekatan MEH, padahal nilai nominal hasil kedua pendekatan selalu menunjukkan harga yang hampir sama. Pendekatan dengan MBH untuk dC/dt dalam persamaan (9-59) dapat dikerjakan sebagai berikut: tCCdtdCttt=+ (9-60) Konsentrasi C dalam suku pertama di sebelah kiri tanda sama dengan dalam persamaan (9-59) dapat diambil sebagai: C = Ct+ t + n (1 - ) Ct (9-61) adalah koefisien bobot yang mempunyai harga 0 < < 1. Dengan mensubstitusi persamaan (9-60) dan (9-61) ke dalam persamaan (9-59) akan diperoleh: [T] Ct+ t = R (9-62) pada mana: [T] = [A] + t]B[ (9-63) R = FC]A)[1(t]B[t (9-64) Misal distribusi konsentrasi Ct pada langkah waktu ke t dapat dihitung (pada t = 0 menggunakan kondisi awal), selanjutnya distribusi konsentrasi Ct + t pada langkah waktu ke (t + t) dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan (9-62). Dengan demikian proses langkah demi langkah bisa dibentuk. Dengan IX-22menggunakan terminologi MBH, jika = 0, maka solusi yang relevan adalah solusi eksplisit, sedangkan jika = , maka solusi yang paling tepat adalah solusi Crank-Nicolson serta jika = 1 solusi yang digunakan adalah solusi implisit. Matrik koefisien sistem elemen hingga untuk persamaan aliran air tanah bersifat sparse, symetric dan positive definite. Sistem persamaan linier tipe ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metoda dekomposisi LU. Sebaliknya, akibat hadirnya suku adveksi, matrik [T] dalam persamaan (9-62) bersifat definitely asymetric. Untuk itu dibutuhkan penanganan khusus menyangkut memori komputer. Dari pengalaman diketahui, bahwa solusi langsung mempunyai tingkatMateri 16,17,18SOLUSI PERSAMAAN NONLINEAR TUNGGAL

Solusi persamaan nonlinier tunggal pada dasarnya adalah mencari akar fungsi nonlinier tunggal, dengan ekspresi sebagai berikut:

f(x) = 0 (6-1)

contoh:

f(x) = x3 x 1 = 0 (6-2)

1. Metode - metode dengan Iterasi Titik Tidak Tetap

a. Metode Bagi Dua (Bisection Method)

Persyaratan metode bagi dua: Fungsi f(x) kontinu dalam interval [a0,b0], f(a0) f(b0) 0.

Algoritma metode bagi dua: Step 1: tentukan interval [a0,b0] sedemikian rupa, sehingga diperoleh f(a0) f(b0) 0. Step 2: untuk n = 0,1,2,, sampai terpenuhi, kerjakan:

tentukan m = (an + bn) / 2 Jika f(an) f(m) 0, tentukan an+1 = an dan bn+1 = m Jika tidak, tentukan an+1 = m dan bn+1 = bn ulangi untuk n yang lebih tinggi sampai f(x) = 0 dalam interval [an+1, bn+1]. b. Metode Regula Falsi

Persyaratan metode regula falsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval [a0,b0], f(a0) f(b0) 0.

Algoritma metode regula falsi: Step 1: tentukan interval [a0,b0] sedemikian rupa, sehingga diperoleh f(a0) f(b0) 0. Step 2: untuk n = 0,1,2,, sampai terpenuhi, kerjakan hitung w = [f(bn) an f(an) bn] / [f(bn) f(an)]

Jika f(an) f(w) 0, tentukan an+1 = an dan bn+1 = w Jika tidak, tentukan an+1 = w dan bn+1 = bn ulangi untuk n yang lebih tinggi sampai f(x) = 0 dalam interval [an+1, bn+1].

c. Metode Modified Regula Falsi

Persyaratan metode modified regula falsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval [a0,b0], f(a0) f(b0) 0, Tentukan F = f(a0), G = f(b0) dan w0 = a0.

Algoritma metode modified regula falsi: Step 1: tentukan interval [a0,b0] sedemikian rupa, sehingga diperoleh f(a0) f(b0) 0. Step 2: untuk n = 0,1,2,, sampai terpenuhi, kerjakan hitung wn+1 = (Gan Fbn) / (G - F)

Jika f(an) f(wn+1) 0, tentukan an+1 = an dan bn+1 = wn+1 dan G = f(wn+1) Jika tidak, tentukan an+1 = wn+1 dan F = f(wn+1) dan bn+1 = bn Jika f(wn) f(wn+1) > 0, tentukan G = G / 2 ulangi untuk n yang lebih tinggi sampai f(x) = 0 dalam interval [an+1, bn+1]. d. Metode Secant

Persyaratan metode secant: Fungsi f(x) kontinu dalam interval [x-1,x0].

Algoritma metode secant: Step 1: dalam interval [x-1,x0] kerjakan Step 2: untuk n = 0,1,2,, sampai terpenuhi, kerjakan hitung xn+1 = [f(xn) xn -1 f(xn -1)xn] / [f(xn) f(xn-1)] ulangi untuk n yang lebih tinggi sampai f(x) = 0 dalam interval [x-1,x0].

Untuk menghindari kemacetan perhitungan, dimana ada kemungkinan harga f(xn) = f(xn-1), maka akan lebih baik perhitungan xn+1 menggunakan rumus berikut ini:

suku [f(xn) f(xn -1)] / [xn xn-1] merupakan secant atau kemiringan atau gradien f(x) melalui titik {xn -1,f(xn -1)} dan titik {xn, f(xn)}, jika f(x) bersifat kontinu dan mempunyai turunan. Jika demikian halnya, maka akan lebih baik menggantikan [f(xn) f(xn -1)] / [xn xn-1] dalam koreksi dengan turunan f'(x), sehingga akan didapatkan formula berikut ini.

Formula ini kemudian dikenal dengan formula iterasi Newton berikut ini.

e. Metode Newton

Persyaratan metode Newton: Fungsi f(x) kontinu dan mempunyai turunan di titik x0.

Algoritma metode Newton: Step 1: untuk n = 0,1,2,, sampai terpenuhi, kerjakan hitung xn+1 = xn f(xn) / f(xn) ulangi untuk n yang lebih tinggi sampai f(x) = 0.

Metode Newton merupakan kasus khusus dalam metode iterasi titik tetap (fixed point iteration) yang akan dibahas selanjutnya. Metode iterasi titik tetap secara umum mempunyai bentuk sebagai berikut:

dengan demikian formula Newton dari segi metode iterasi titik tetap akan berbentuk:

Ilustrasi 1: solusi persamaan nonlinier dengan menggunakan metode iterasi:

Diberikan fungsi f(x) = x 0.2 sin x 0.5 yang mempunyai akar eksak di antara x0 = 0.5 dan x1 = 1.0, karena f(0.5) f(1.0) < 0, dan f(x) mempunyai turunan dalam interval [0.5,1].

Tabel 6.1: Hasil Iterasi Berdasar Beberapa Algoritma untuk Solusi Persamaan f(x) = x 0.2 sin x 0.5

2. Metode-metode dengan Iterasi Titik Tetap Dari persamaan (6-1) didapatkan persamaan berikut:

sehingga sembarang solusi persamaan (6-8), yaitu sembarang titik tetap (fixed point) dari g(x) merupakan solusi dari persamaan (6-1). Berikut ini akan diberikan beberapa metode iterasi titik tetap. a. Metode Iterasi Titik Tetap Persyaratan metode iterasi titik tetap agar diperoleh hasil yang optimal: Untuk titik awal x0, dapat dihitung secara suksesiv titik x1, x2, Urutan x1, x2, akan konvergen pada titik , Limit merupakan sebuah titik tetap dari g(x), yaitu = g() yang merupakan akar fungsi g(x). Algoritma metode iterasi titik tetap: Step 1: untuk n = 0,1,2,, sampai terpenuhi, kerjakan hitung xn+1 = g(xn) ulangi untuk n yang lebih tinggi sampai konvergen di

b. Metode Iterasi Steffensen Formula yang digunakan dalam metode iterasi Steffensen adalah:

Algoritma metode iterasi titik tetap Steffensen: Step 1: untuk fungsi iterasi g(x) kerjakan langkah berikut Step 2: untuk n = 0,1,2,, sampai terpenuhi, kerjakan tentukan xo = xn hitung x1 = g(xo), x2 = g(x1) hitung xo dan x1 berdasar persamaan (6-9) hitung r berdasar persamaan (6-10) hitung xn + 1 = x2 + x1 / ( r 1)

Contoh Kasus Solusi Persamaan Nonlinier Tunggal - Penentuan Titik Potong antara Fungsi Topografi dan Highwall

Permasalahan: Suatu tambang batubara terbuka (pit) direncanakan dengan besaran-besaran berikut: - Persamaan garis topografi: H(x) = -3(10-09) x3 + 2(10-05) x2 - 0.0591x + 362.06, dengan x (m) dan H(x) adalah posisi dari titik referensi dan ketinggian dari permukaan laut (m). - Kemiringan (dip) batubara dan highwall masing-masing adalah 6o dan 60o. - Koordinat titik A dan B adalah (10,361) dan (1510,100) Sebenarnya penentuan titik C didasarkan pada solusi persamaan linier yang pada kesempatan ini akan dibuktikan mempunyai koordinat (1629,306). Dengan data-data di atas diminta menentukan koordinat titik C.

Formulasi masalah:

Titik C merupakan perpotongan fungsi topografi dan fungsi highwall. Ekspresi fungsi topografi telah diberikan (H(x)). Fungsi highwall (F(x)) dapat ditentukan berdasar data koordinat titik B dan kemiringan highwall. Perpotongan kedua fungsi akan mempunyai harga absis (x ) dan ordinat (f(x)) yang sama di titik C. Hal ini dapat dilakukan dengan cara mencari solusi persamaan nonlinier tunggal. Fungsi topografi (H(x)) dan fungsi highwall (F(x)) dinyatakan sebagai berikut:

Solusi persamaan linier tinggal, yaitu persamaan dilakukan dengan cara iterasi titik tetap yang diberikan pada tabel berikut ini.

Materi 19STOKASTIK1. PengantarModel Stokastik adalahmodel matematikadimana gejala-gejala dapat diukur dengan derajat kepastian yang tidak stabil. Pada Model Stokastik disebut juga model probabilistik peluang dari masing-masing kejadian benar-benar di hitung, menyusun sebuah model stokastik cenderung lebih sulit dari model deterministik. Kaidah-kaidah peluang adalah alat matematika yang cukup vital dalam menyusun model stokastik. Contoh model stokastik adalah teori antrian dan teori permainan, dimana ini merupakan pengembangan daririset operasi modern.Dalam teori probabilitas, probabilitas menunjuk pada eksperimen yang terdiri dari procedure dan observasi. Konsep variabel acak memetakan hasil eksperimen tersebut ke dalam garis bilangan real. Sedangkan konsep proses stokastik (acakk) merupakan perluaan dari konsep variabel acak dengan memasukkan waktu. Kata proses dalam konks ini berarti fungsi dari waktu. Jadi proses stokastikk (acak) dapat diartikan sebagai fungsi stokastik dari waktu.Berkenaan dengan karakteristik persoalan yang hendak diselesaikan dengan pendekatan OR, maka dibedakan dua jenis permasalahan:(1) Deterministik, dicirikan oleh nilai-nilai parameternya yang pasti dantime-invariant,(2) Stokastik, dicirikan oleh ketidakpastian nilai parameter-parameternya dantime-variant.Contoh penerapan pemodelan stokastik adalah : Rantai Markov dengan Waktu Diskret, Proses Poisson,Rantai Markov dengan Waktu Kontinu, Proses BercabangDanProses Pembaruan dan Penerapannya.Pemetaan ruang sampel ke dalam fungsi sampel

2. Konsep Proses StokastikX(t,S1)

Fungsi sampelRuang sampelX(t,S3)X(t,S2)S1S2S1

Konsep Proses Stokastik Proses stokastik X(t) terdiri dari eksperimen dengan pengukuran probabilitas didefinisikan pada ruang sampel S dan fungsi yang menugaskan fungsi waktu x(t,s) untuk tiap outcome s dalam ruang sampel eksperimen tersebut. Fungsi sampel x(t,s) adalah fungsi waktu yang dihubungkan dengan outcome s dari eksperimen Ansambel dari proses stokastik adalah himpunan dari seluruh fungsi waktu yang mungkin dihasilkan dari suatu eksperimen.

3. Klasifikasi Proses Stokastik1. Proses stokastik: waktu kontinu dan amplitude kontinuXn+1 (t)

Dengan:t

A, konstan0

tt00Xn-1(t)Xn(t)

2. Proses stokastik: waktu diskrit dan amplitude kontinuXn+1 (t)

Dengan:t

A, konstan0

tt00Xn-1(t)Xn(t)

3. Proses stokastik: waktu kontinu dan amplitude diskritXn+1 (t)

Dengan:A, konstant0

tt00Xn-1(t)Xn(t)

4. Proses stokastik: waktu kontinu dan amplitude diskritXn+1 (t)

Dengan:A, konstant0

tt00Xn-1(t)Xn(t)

4. Contoh Soal StokastikContoh soalVariabel acak didefinisikan sebagai:X: jumlah mahasiswa yang memeproleh nilai A dalam MK Probabilitas dan Proses StokastikY: jumlah panggilan telepon yang dijawab dalam tiap jamZ: jumlah menit waktu untuk menjawab panggilan telepon berikutnyaTentukan tipe dari variabel acak tersebut ke dalam variabel acak diskrit atau kontinu

Solusi:Variabel acak XRange X himpunan nilai yang dapat dihitungMisal: Sx={1,2,3,4,5,6} mahasiswa

Variabel acak Ydiskrit

Range Yhimpunan nilai yang dapat dihitungMisal Sy={1,2,,10} panggilan teleponVariabel acak Zkontinu

Ruang sampel himpunan bilangan treal tak negatif

Contoh Model Stokastik Kejadian stokastik adalah kebolehjadian yang hanya dapat ditentukan distribusi frekuensinya. jadi kejadian stokastik ini tidak dapat ditentukan fungsinya dengan pasti, namun hanya berupa kisaran fungsi yang nilainya belum dapat ditetapkan. Contoh dari kejadian stokastik adalah jumlah daun yang berguguran setiap harinya. Helai-helai daunberguguran dari hari ke hari, namun belum dapat dipastikan berapa jumlahnya dan fungsi seperti apa yang dapat menggambarkan proses bergugurnya daun-daun tersebut. Kejadian stokastik ini dapat didekati dengan suatu fungsi interval yang bentuknya akan menyerupai, yaitu pada saat-saat tertentu mencapai nilai maksimal sedangkan saat yang lain mencapai titik minimal.

Contoh lain Stokastik1. Jumlah penumpang busSebagai contoh jumlah penumpang ketika pagi hari, mendekati jam kerja sangat banyak. Jumlah ini akan berangsur-angsur menurun ketika jam kerja sudah dimulai dan menjelang jam istirahat. Jumlah penumpang akan kembali naik ketika jam pulang kerja. Hal ini berlangsung hampir setiap hari, namun tidak dapat dipastikan fungsi apa yang mendekatinya.2. Jumlah pengunjung Grojogan SewuJumlah pengunjung Grojogan Sewu akan meningkat tajam pada saat liburan sekolah maupun weekend. Namun setiap harinya juga terdapat pengunjung yang jumlahnya tidak menentu. Dari jumlah pengunjung ini tidak dapat ditentukan fungsi yang pasti, namun dapat didekati dengan suatu fungsi interval yang bentuknya akan meningkat pada saat weekend ataupun liburan.3. Pengunjung warung makanPengunjung warung makan akan meningkat pada saat jam-jam makan siang dan istirahat, dan akan berangsur-angsur berkurang ketika jam makan sudah usai. Begitu seterusnya.

Kejadian stokastik ini dapat didekati dengan suatu fungsi interval yang bentuknya akan menyerupai fungsi seperti di bawah ini, yaitu pada saat-saat tertentu mencapai nilai maksimal sedangkan saat yang lain mencapai titik minimal.

Tipe formulasi1. Formulasi statis, termasuk persamaan aljabar atau fungsi dengan satu atau lebih variabel random, dapat berupa skalar atau vektor, berniali diskrit atau kontinyu dan berkendala atau tidak berkendala2. Formulasi dinamis, termasuk proses stokastik dengan variabel benas t yang mewakili waktu jika digunakan untuk model dinamis tak pasti

Teori Peluang Peluang adalah harapan terjadinya suatu kejadian yang dikuantitatifkan. Peluang berhubungan dengan gagasan atau konsep kesempatan atau kemungkinan. Kita katakan peluangnya besar artinya kesempatan atau kemungkinan terjadinya besar, sebaliknya peluang kecil artinya kesempatan terjadinya kecil.Definisi PeluangDefinisi Klasik = Jika suatu percobaan mempunyai k hasil percobaan yang berbeda dan masing-masing mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi maka :>peluang masing-masing kejadian tersebut adalah 1/k>peluang kejadian E = P(E) = m/k dimana m adalah hasil percobaanyang menyusun kejadian tersebutMenurut definisi klasik, peluang dapat ditentukan sebelum percobaan dilakukan.Definisi Modern / Frekuensi RelatifPeluang Kejadian E = P(E) = lim n> tak hingga ne/ n, dimana ne= jumlahkejadian E dalam percobaanMenurut definisi modern, peluang dapat ditentukan setelah percobaan dilakukan.Definisi SubjektifPeluang Subjektif artinya ialah peluang yang disampaikan oleh para pakar / expertsKonsep dasar Peluang :Ruang Contoh= himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan (dilambangkan dengan S) = kumpulan dari semua titik contohMisal : ruang contoh S bagi pengambilan kartuS = { Diamond, Club, Heart, Spade}S1= {Merah, Hitam}Kejadian= himpunan bagian dari ruang contohE = {Diamond}E1= {Merah}Kejadian dibagi dua :-Kejadian Sederhana = kejadian yang hanya memuat satu titik contohKejadian Majemuk / Komposit = kejadian yang memuat lebih dari satu titik contoh

5. KesimpulanDari uraian materi sebelumnya dapat disimpulkan:1. Model Stokastik adalahmodel matematikadimana gejala-gejala dapat diukur dengan derajat kepastian yang tidak stabil. Disebut juga model probabilistic peluang dari masing-masing kejadian benar-benar di hitung.2. Stokastik, dicirikan oleh ketidakpastian nilai parameter-parameternya dantime-variant.Contoh penerapan pemodelan stokastik adalah : Rantai Markov dengan Waktu Diskret, Proses Poisson,Rantai Markov dengan Waktu Kontinu, Proses BercabangDanProses Pembaruan dan Penerapannya.3. Klasifikasi proses stokastik yaitu: waktu kontinu dan amplitude kontinu, waktu diskrit dan amplitude kontinu, waktu kontinu dan amplitude diskrit, waktu kontinu dan amplitude diskrit.4. Kejadian stokastik adalah kebolehjadian yang hanya dapat ditentukan distribusi frekuensinya. jadi kejadian stokastik ini tidak dapat ditentukan fungsinya dengan pasti, namun hanya berupa kisaran fungsi yang nilainya belum dapat ditetapkan. Contoh dari kejadian stokastik adalah jumlah daun yang berguguran setiap harinya. Helai-helai daunberguguran dari hari ke hari, namun belum dapat dipastikan berapa jumlahnya dan fungsi seperti apa yang dapat menggambarkan proses bergugurnya daun-daun tersebut.