Principles of Least SquaresPrinciples of Least Squares

P e n d a h u l u a nP e n d a h u l u a n

Dalam surveying, setiap pengamatan harus memenuhipersyaratan geometrikpersyaratan geometrik

Syarat Geometrik Dalam Pengukuran Poligon: (n-2) x 180 = 0 ( untuk poligon tertutup) Jumlah jarak absis dalam satu loop harus sama dengan nol Jumlah jarak ordinat dalam satu loop harus sama dengan

nol Syarat Geometrik dalam pengukuran waterpass:

Jumlah beda tinggi dalam satu loop harus sama dengan nolgg p g

Jika syarat tersebut tidak terpenuhi maka hasilJika syarat tersebut tidak terpenuhi, maka hasilpengukuran harus di-adjust!

Kesalahan dalam surveying sebagaimana Kesalahan dalam surveying, sebagaimanakesalahan-kesalahan lain, akan mengikuti teoridistribusi normaldistribusi normal

VLL)Nilai definitif adalah nilai ukuran ditambah koreksi

VLL u +=Jika Nilai suatu obyek diukur beberapa kali, maka akan

LLV)

y p ,didapat beberapa persamaan koreksi

LLVLLV

==

)22

11

LLV)

Mnn LLV =

( ) 22 2/21 xeyxf ==2

( ) 22 2/1 veyvf ==( )2 eyvf ==

xyP =i

xyP i .

LLVLLV

==

))

11

vyPvyP==..

22

11

LLV =)

M22

P

y

22

Mnn LLV =

) vyP nn = .

( ) 22 2/21

veyvf ==

veP v = 1 221 2/ 2

P

veP

v

=1

.2

222 2/

1

veP v = .2

2 2/2

M

veP nvn = .21 22 2/

M

2

ii n

1 2 n

= veveveP nvvv .1...1..1 22222221 2/2/2/ L 222

1 ( ) ( )nvvv veP n = +++ .21 222

221 2/

L

2

( ) ( )nvvv veP n = +++1 222221 2/ L ( )veP .2

( )222( )22221 nvvv +++ L2222 vvvv +++ 21 nvvvv +++= L

222

21

2 vvvv +++= L21 nvvvv +++11 LLV =

)

( ) ( ) ( )2222 LLLLLLv +++= )L))11

( ) ( ) ( )21 nLLLLLLv +++=

0=dy 0=dx

Menyusun Persamaan normal,dengan melakukan diferensial

( ) ( ) ( )222212 nLLLLLLv +++= )L))( ) ( ) ( ) ( )

022

22

12

=+++= LLdLLdLLdvd n)L)) 0=+++=LdLdLdLd)L)))

( ) ( ) ( ) ( )2vd ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 01..21..21..2 21 =+++= nLLLLLLLd vd )L)))

( ) ( ) ( ) 0. 21 =+++ nLLLLLL )L))

( ) ( ) ( ) 0. 21 =+++ nLLLLLL )L))LLLLn +++= L) 21. nLLLLn +++ 21.

LLL +++n

LLLL n+++= L) 21n

( )1 ( ) ( )nvvv veP n = +++ .21 222

221 2/

L

2Bila koreksi memiliki bobot maka probabilitasnya menjadi

( ) ( )1 2222Bila koreksi memiliki bobot,maka probabilitasnya menjadi

( ) ( )nvwvwvw veP nn = +++ .21 222

22211 2/...

L

( ) ( )nvwvwvw veP nn = +++1 22222211 2/... L ( )veP .2

n +++==

2222

211

2

1.... nni

ii vwvwvwvw L minimum

( ) ( ) ( )222n ( ) ( ) ( ) +++==

2222

211

2

1.... nni

ii LLwLLwLLwvw

)L))

M l

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )0

. 22222

112

=+++= LLwdLLwdLLwdvwd nnii )L))Menyusun persamaan normal

0+++LdLdLdLd))))

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0121212 =+++ LLwLLwLLw )L))( )( ) ( )( ) ( )( ) 01..21..21..2 2211 =+++ nn LLwLLwLLw L

( )( ) ( )( ) ( )( ) 01..21..21..2 2211 =+++ nn LLwLLwLLw )L))

( ) ( ) ( ) 0... 2211 =+++ nn LLwLLwLLw )L))( ) ( ) ( )2211 nn........ 221121 nnn LwLwLwLwLwLw +++=+++ L

)L))

( ) ...... 221121 nnn LwLwLwwwwL +++=+++ LL) ( ) 221121 nnn

LLL( ) nnwww

LwLwLwL ++++++= L

L)21

2211 ..... ( )nwww +++ 21

LwLwLw +++ L( )n

nn

wwwLwLwLwL +++

+++= LL)

21

2211 .....

n Lw== ni

ii LwL 1

...

)

=

n

iiw

1i 1

Persamaan pengamatanPersamaan pengamatan

Persamaan pengamatan adalah persamaan yang Persamaan pengamatan adalah persamaan yang menghubungkan nilai pengamatan dengan parameter

independent beserta residu yang besarnya tidakdik h idiketahui.

S t di k t k hk t t tid k Satu persamaan digunakan untuk memecahkan satu parameter yang tidakdiketahui.

Untuk mendapatkan nilai yang unik/konsisten, maka jumlah persamaanh d j l h tharus sama dengan jumlah parameter.

Biasanya , persamaan yang digunakan lebih banyak daripada parameter yang ingin dipecahkan

512321 =+ xx

( )1KKKKKK2.05.12

21

21

==

xxxx

( )21

321 =+ xx5.12 21 = xx 5.11 =x 5.12 =x

5.12 21 = xx2.021 = xx 3.11 =x 1.12 =x

321 =+ xx2.021 = xx 6.11 =x 4.12 =x

Pemecahan persamaan dengan prinsip kuadrat terkecil

121 3 vxx =+ ( )( ) 22

21

221 3 vxx =+

321

221

2.05.12

vxxvxx

== ( )

( ) 2322122

221

2.0

5.12

vxx

vxx

==

3 ( ) ( ) ( )22122122131

2 2.05.123 +++==

xxxxxxvi

i

( )2( )2KKKKKKKK

( ) ( ) ( )2223 2 205123 +++ ( ) ( ) ( )2121211

2 2.05.123 +++==

xxxxxxvi

i

( ) ( ) ( ) ( )22122122131

221 2.05.123, +++==

=xxxxxxvxxf

ii

( ) ( ) ( ) ( )22122122131

221 2.05.123, +++==

=xxxxxxvxxf

ii

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 01.2.0.22.5.12.21.3.2, 2121211

21 =+++= xxxxxx

xxxf

1

( )f ( )( )

04.022648622, 2121211

21

=+++=

f

xxxxxxxxxf

( )02626

04.124.12, 211

21 == xx

xxxf

( )02.6.2.6 21 = xx ( )3KKKKKKKK

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 01.2.0.21.5.12.21.3.2, 2121212

21 =+++= xxxxxx

xxxf

2

( ) 04022324622, 21 +++++ xxf ( )( ) 06264,

04.0.2.23.246.2.2,

21

2121212

21

+=+++++=

xxf

xxxxxxx

f

( ) 06.2.6.4, 212

21 =+= xxxf

( )4KKKKKKKK03.1.3.2 21 =+ xx

02.6.2.6 21 = xx ( )4( )3KKKKKKKK

didapat

03.1.3.2 21 =+ xx51431=x 44291=x

( )4KKKKKKKKdidapat

Nil i t b t di kk d l (1)

5143.11 =x 4429.12 =xNilai tersebut dimasukkan dalam persamaan (1)

121

5123 vxx =+

321

221

2.05.12

vxxvxx

==

0857.05.14429.15143,1.20428.034429.15143.1

2

1

====+v

v

1286.02.04429.15143.1 3 == v

085700428.01

==

vv

007344490

00183184.02

21

==

vv

1286.00857.0

3

2

==

vv

01653796.0

00734449.023

2

==

vv

23

22

21

2 ++= i vvvv02571429.001653796.000734449.000183184.02 =++=

iv

5.11 =x 5.12 =xMasukkan nilai dan1

121 3 vxx =+

2yang didapat dari cara eliminasi biasa ke persamaan (1)

221

121

205.12

3

vxxvxx

vxx

==

+

321 2.0 vxx =

03515105.15.15.1.2

035.15.1

2

1

====+v

v

2.02.05.15.1 3 == v

05151512035.15.1 1==

==+v

v121512

3vxx

vxx=

=+

2.02.05.15.105.15.15.1.2

3

2

====

vv

321

221

2.05.12

vxxvxx

==

2

0

022

21

==

vv

04.023 =v23

22

21

2 ++=

i vvvv

04.004.0002 =++= iv

kesimpulankesimpulanJumlah koreksi kuadrat dengan menggunakan metodekuadrat terkecil lebih kecil daripada metode pemecahankuadrat terkecil lebih kecil daripada metode pemecahansistem persamaan linear biasa

02571429.001653796.000734449.000183184.02

23

22

21

2

=++=

++=

i

i

v

vvvv

2222 ++ vvvv

0 57 9.00 653796.00073 9.000 83 8.0 iv

04.004.0002

321

=++=

++=

i

i

v

vvvv

tugastugas

Buktikan bahwa pemecahan persamaan linear Buktikan bahwa pemecahan persamaan linear dengan menggunakan prinsip least squares lebihbaik daripada cara subtitusi biasabaik daripada cara subtitusi biasa

5.22 321 =++ xxx7347.2

21

21

==+

xxxx

1521035.22

321

321

=+=++

++

xxxxxxxxx

121 = xx 2043152

321

321

=+=+

xxxxxx