POSTULAT EUCLID

PLAYFAIR

I PENDAHULUAN

Geometri Euclides sering disebut juga geometri parabolik yaitu geometri yang mengikuti

satu himpunan proposisi yang didasarkan pada lima postulat Euclid yang telah didefinisikan

dalam bukunya The Elements Lebih khusus geometri Euclid berbeda dari jenis geometri lain

dalam dalil kelima sering disebut dengaan postulat paralel Non-Euclidean geometri

menggantikan postulat kelima ini dengan salah satu dari dua alternatif postulat dan mengarah ke

geometri hiperbolik atau geometri eliptik Ada dua jenis geometri Euclidean geometri bidang

yang merupakan dimensi Euclidean geometri-dua dan geometri padat yang merupakan dimensi

Euclidean geometri-tiga

Lima postulat Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut

1) Hal ini dimungkinkan untuk menggambar segmen garis lurus bergabung dengan dua titik

2) Hal ini dimungkinkan untuk selamanya memperpanjang himpunaniap segmen garis lurus

secara terus menerus dalam garis lurus

3) Mengingat himpunaniap segmen garis lurus adalah mungkin untuk

menggambarlingkaran memiliki segmen sebagai jari-jari dan satu titik akhir sebagai

pusatnya

4) Semua sudut kanan sama satu sama lain atau kongruen

5) Jika dua garis yang ditarik sehingga mereka berpotongan sepertiga sedemikian rupa

sehingga jumlah dari sudut interior pada satu sisi kurang dari dua sudut yang tepat maka

mereka dua baris jika diperpanjang cukup jauh harus berpotongan satu sama lain pada

sisi tertentu

Dalil kelima dikenal sebagai postulat paralel Paralel ini menyatakan bahwa postulat

diberikan himpunan tiap segmen garis lurus dan titik tidak bahwa segmen garis ada satu dan

hanya satu garis lurus yang melewati titik itu dan tidak pernah memotong baris pertama tidak

peduli seberapa jauh segmen garis yang diperpanjang Meskipun kelima postulat Euclid tidak

dapat dibuktikan sebagai teorema selama bertahun-tahun banyak bukti diklaim diterbitkan

Banyak usaha yang ditujukan untuk merumuskan teorema untuk mendalilkan ini karena

diperlukan untuk membuktikan hasil penting dan itu tidak tampak sebagai intuitif sebagai dalil-

dalil lainnya Lebih dari dua ribu tahun penelitian dalil kelima ditemukan untuk menjadi

independen dari empat lainnya Ini adalah postulat kelima ini yang harus terus untuk geometri

untuk dipertimbangkan Euclidean

II Postulat Euklides

Geometri Euklides adalah sebuah geometri klasik terdiri atas 5 postulat yang dinisbahkan

terhadap matematikawan Yunani Kuno Euklides

Geometri Euklides merupakan sistem aksiomatik di mana semua teorema (pernyataan yang

benar) diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas Mendekati buku awalnya Elemen

Euklid memberikan 5 postulat

Setiap 2 titik dapat digabungkan oleh 1 garis lurus

Setiap garis lurus dapat diperpanjang sampai tak terhingga dengan garis lurus

Diberikan setiap segmen garis lurus sebuah lingkaran dapat digambar memiliki

segmen ini sebagai jari-jari dan 1 titik ujung sebagai pusat

Semua sudut di kanan itu kongruen

Postulat paralel Jika 2 garis bertemu di sepertiga jalan di mana jumlah sudut dalam di

1 sisi kurang dari 2 sudut yang di kanan kedua garis itu harus bertemu satu sama lain

di sisi itu jika diperpanjang lebih jauh lagi

Postulat yang ke-5 membuka jalan bagi geometri yang sama seperti pernyataan berikut dikenal

sebagai aksioma Playfair yang terjadi di bidang datar

Melalui sebuah titik yang bukan pada garis lurus yang diberikan hanya satu garis saja

yang dapat ditarik dan tak pernah bertemu garis yang diberikan

III AKSIOMA PLAYFAIR

Euclid adalah seorang ahli logika ternama telah menyatakan bahwa perubahan

perkembangan teori geometri non Euclid dapat kontradiksi dengan postulat kesejajaran Euclid

peduli seberapa jauh segmen garis yang diperpanjang Meskipun kelima postulat Euclid tidak

dapat dibuktikan sebagai teorema selama bertahun-tahun banyak bukti diklaim diterbitkan

Banyak usaha yang ditujukan untuk merumuskan teorema untuk mendalilkan ini karena

diperlukan untuk membuktikan hasil penting dan itu tidak tampak sebagai intuitif sebagai dalil-

dalil lainnya Lebih dari dua ribu tahun penelitian dalil kelima ditemukan untuk menjadi

independen dari empat lainnya Ini adalah postulat kelima ini yang harus terus untuk geometri

untuk dipertimbangkan Euclidean

II Postulat Euklides

Geometri Euklides adalah sebuah geometri klasik terdiri atas 5 postulat yang dinisbahkan

terhadap matematikawan Yunani Kuno Euklides

Geometri Euklides merupakan sistem aksiomatik di mana semua teorema (pernyataan yang

benar) diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas Mendekati buku awalnya Elemen

Euklid memberikan 5 postulat

Setiap 2 titik dapat digabungkan oleh 1 garis lurus

Setiap garis lurus dapat diperpanjang sampai tak terhingga dengan garis lurus

Diberikan setiap segmen garis lurus sebuah lingkaran dapat digambar memiliki

segmen ini sebagai jari-jari dan 1 titik ujung sebagai pusat

Semua sudut di kanan itu kongruen

Postulat paralel Jika 2 garis bertemu di sepertiga jalan di mana jumlah sudut dalam di

1 sisi kurang dari 2 sudut yang di kanan kedua garis itu harus bertemu satu sama lain

di sisi itu jika diperpanjang lebih jauh lagi

Postulat yang ke-5 membuka jalan bagi geometri yang sama seperti pernyataan berikut dikenal

sebagai aksioma Playfair yang terjadi di bidang datar

Melalui sebuah titik yang bukan pada garis lurus yang diberikan hanya satu garis saja

yang dapat ditarik dan tak pernah bertemu garis yang diberikan

III AKSIOMA PLAYFAIR

Euclid adalah seorang ahli logika ternama telah menyatakan bahwa perubahan

perkembangan teori geometri non Euclid dapat kontradiksi dengan postulat kesejajaran Euclid

Seiring dengan kepercayaan ahli matematika bahwa geometri non Euclid hanya memungkinkan

untuk teori ruang dan yang menjelaskan segala sesuatunya secara fisik Tetapi posisi unik

geometri Euclid di abad 19 telah diserang oleh penemuan geometri non Euclid Dan banyak ahli

matematika sangat terguncang Ide tentang kealamian geometrid an posisi unik geometri Euclid

yang telah di lakukan sepanjang dua ribu tahunan akhirnya runtuh pada decade 1820-1830

Awal abad 19 ahli matematika yang berkompeten berhasil diyakinkan bahwa masalahnya

tentang postulat telah diselesaikan dan hanya sedikit memiliki kekurangan dalam

pembuktiannya Kegagalan setiap percobaan dalam membuktikan postulat kesejajaran tersebut

membawa pada perngakuan bahwa postulat kesejajaran tidaklah pasti Dan bahwa teori geometri

lainnya (non Euclid )bias saja digunakan Selanjutnya dalam bab ini akan dijelaskan 3 upaya

penting dalam membuktikan postulat kesejajaran Euclid

1 Struktur Geometri Bidang Euclid

Postulat sejajar Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut

ldquo Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian hingga jumlah dua sudut

interiornya (sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari 180deg Garis tersebut

akan bertemu pada satu sisi transversal tersebutrdquo Sejumlah asumsipostulat untuk geometri

bidang Euclid yaitu

1 Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan sama satu sama yang

lainnya

2 Jika kesamaan di tambahkan dengan kesamaan maka jumlahnya akan sama

3 Jika kesamaan di kurangi dengan kesamaan maka selisihnya akan sama

4 Keseluruhan akan lebih besar dari bagiannya

5 Bangun geometric dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran atau bentuknya

6 Setiap sudut memiliki bisector ( garis bagi )

7 Setiap segmen memiliki titik tengah

8 Dua titik hanya berada pada satu-satunya garis

9 Sembarang segmen dapat diperluas oleh suatu segmen yang sama dengan segmen

yang diberikan

10 Lingkaran dapat di gambarkan dengan sembarang titik pusat dan radius yang

diketahui

11 Semua sudut siku-siku sama besar

Ekivalensi Postulat Euclid Dan Playfair

Postulat Euclid ldquo Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian hingga jumlah dua

sudut interiornya (sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari 180deg Garis tersebut

akan bertemu pada satu sisi transversal tersebutrdquo Postulat Playfair ldquo Hanya ada satu garis sejajar

pada garis yang melalui titik bukan pada garis tersebutrdquo

Mengasumsikan postulat sejajar Euclid kita deduksi postulat Playfair

1) Diberikan garis l dan titik P bukan pada l

2) Akan ada garis melalui P sejajar l (corollary 3) misal m

3) Dari P ditarik garis tegak lurus l dengan kaki Q

4) Lukis garis n melalui P (nnem)

5) Jika 1 adalah siku-siku maka n berimpit dengan m (berlawanan dengan asumsi) maka 1

= lancip

Jadi 1 + Q lt 180deg

Mengasumsikan postulat Playfair kita deduksi postulat sejajar Euclid

1) Diberikan garis l dan m

2) l dan m di potong oleh garis transversal h di P dan Q sehingga membentuk sudut interior

1 dan 2

1 + 2 lt 180deg (postulat Euclid)

1 + 3 = 180deg jadi 2 2 sehingga RP ne m

Dilihat bagaimana berguna itu adalah memiliki persegi panjang empat-sisi poligon sudut

yang semua sudut siku-siku Persegi panjang berutang keberadaan mereka untuk paralel garis-

garis yang tidak memenuhi-dan fundamental ke paralel aksioma bahwa Euclid menyatakan

sebagai berikut Euclid paralel aksioma Jika garis lurus melintasi dua garis lurus membuat sudut

interior pada satu sisi bersama-sama kurang dari dua sudut kanan maka dua garis lurus akan

bertemu di sisi itu Gambar 21 mengilustrasikan situasi yang digambarkan oleh aksioma paralel

Euclid yang adalah apa yang terjadi ketika dua garis tidak sejajar Jika α + β kurang dari dua

sudut yang tepat maka L ANMD bertemu di suatu tempat di sebelah kanan

Gambar 21 Bila garis tidak sejajar

Oleh karena itu jika L ANMD tidak memenuhi di kedua sisi maka α + β = π

Dengan kata lain jika L dan M sejajar maka α dan β bersama-sama membuat

sudut lurus dan sudut yang dibuat oleh L M dan N adalah seperti yang ditunjukkan dalam

Gambar 22

Hal ini juga berarti bahwa setiap garis melalui persimpangan N ANMD tidak L

pertemuan membuat sudut π-α dengan N Oleh karena itu baris ini sama dengan M Artinya

jika sejajar dengan L melalui titik tertentu ada itu adalah unik Ini adalah sedikit lebih halus

untuk menunjukkan keberadaan Tol paralel melalui P titik tertentu tetapi salah satu cara adalah

dengan menarik prinsip yang disebut ASA (angle side angle ) yang akan dibahas dalam

Bagian 22 Misalkan garis L M dan N membentuk sudut seperti yang ditunjukkan pada

Gambar 22 dan bahwa L dan M tidak sejajar Kemudian pada setidaknya satu sisi N ada

segitiga yang sisi-sisinya segmen N antara L dan M dan segmen L dan M antara N dan titik di

mana mereka bertemu Menurut ASA segitiga ini sepenuhnya ditentukan oleh yang α sudut π-α

dan segmen N antara mereka Tapi kemudian suatu segitiga yang identik ditentukan di sisi lain

dari N dan karenanya L dan M juga bertemu di sisi lain Hasil ini bertentangan asumsi Euclid

(Tersirat dalam aksioma konstruksi dibahas dalam Bagian 11) bahwa ada garis unik melalui dua

titik Oleh karena itu garis L dan M berada di Bahkan paralel ketika sudut yang seperti yang

ditunjukkan pada Gambar 22

Dengan demikian baik keberadaan dan keunikan paralel mengikuti dari

Euclid paralel aksioma (keberadaan berikut sepele karena Euclid s paralel Aksioma tidak

diperlukan) Ternyata bahwa mereka juga menyiratkan hal itu sehingga aksioma paralel dapat

dinyatakan sebagai berikut ekuivalen Modern yang paralel aksioma Untuk setiap L line dan

titik P di luar L ada tepat satu line melalui P yang tidak memenuhi L Bentuk aksioma paralel

sering disebut aksioma Playfair setelah matematikawan Skotlandia John Playfair yang

digunakan dalam buku teks di 1795 Aksioma Playfair adalah sederhana dalam bentuk daripada

Euclid karena tidak tidak melibatkan sudut dan ini sering nyaman Namun kita sering perlu

garis sejajar dan sudut yang sama mereka menciptakan interior yang disebut alternatif sudut

(misalnya sudut α ditandai pada Gambar 22) Dalam situasi kita lebih suka menggunakan

aksioma paralel Euclid Sudut dalam segitiga Keberadaan paralel dan kesetaraan sudut interior

alternatif menyiratkan properti indah segitiga Angle jumlah segitiga Jika α β dan γ adalah

sudut segitiga apapun kemudian α + β + γ = π

Untuk membuktikan properti ini menggambar L line melalui satu titik dari segitiga

sejajar dengan sisi yang berlawanan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 23

Kemudian sudut di sebelah kiri bawah L adalah alternatif dengan α sudut dalam segitiga

sehingga sama dengan α Demikian pula sudut di sebelah kanan bawah adalah L sama dengan γ

V1 KESIMPULAN

Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari penyusunan makalah ini adalah Postulat

kelima Euclid sukar untuk dipahami dan diterima sehingga beberapa matematikawan berupaya

membuktikan dan menggantikan dengan postulat yang ekuivalen salah satunya dengan

menggunakan postulat Playfair

REFERENSI

Stillwell John 2005 The Four Pillars of Geometry San Francisco Springer

httpwwwartikatacomarti-345795-postulathtml diakses tgl 13 September 2012

httpidwikipediaorgwikiAksioma diakses tgl 15 September 2012

httptranslategooglecoidtranslatehl=idamplangpair=en|idampu=httpenwikipediaorgwikiAxi

om diakses tgl 15 September 2012

httpartikatacomarti-318240-aksiomahtml diakses tgl 16 September 2012

httpenwikipediaorgwikiEuclid diakses tgl 17 September 2012

httpchabyeofmathwordpresscomgeometri-non-euclid diakses tgl 17 September 2012

11 Semua sudut siku-siku sama besar

Ekivalensi Postulat Euclid Dan Playfair

Postulat Euclid ldquo Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian hingga jumlah dua

sudut interiornya (sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari 180deg Garis tersebut

akan bertemu pada satu sisi transversal tersebutrdquo Postulat Playfair ldquo Hanya ada satu garis sejajar

pada garis yang melalui titik bukan pada garis tersebutrdquo

Mengasumsikan postulat sejajar Euclid kita deduksi postulat Playfair

1) Diberikan garis l dan titik P bukan pada l

2) Akan ada garis melalui P sejajar l (corollary 3) misal m

3) Dari P ditarik garis tegak lurus l dengan kaki Q

4) Lukis garis n melalui P (nnem)

5) Jika 1 adalah siku-siku maka n berimpit dengan m (berlawanan dengan asumsi) maka 1

= lancip

Jadi 1 + Q lt 180deg

Mengasumsikan postulat Playfair kita deduksi postulat sejajar Euclid

1) Diberikan garis l dan m

2) l dan m di potong oleh garis transversal h di P dan Q sehingga membentuk sudut interior

1 dan 2

1 + 2 lt 180deg (postulat Euclid)

1 + 3 = 180deg jadi 2 2 sehingga RP ne m

Dilihat bagaimana berguna itu adalah memiliki persegi panjang empat-sisi poligon sudut

yang semua sudut siku-siku Persegi panjang berutang keberadaan mereka untuk paralel garis-

garis yang tidak memenuhi-dan fundamental ke paralel aksioma bahwa Euclid menyatakan

sebagai berikut Euclid paralel aksioma Jika garis lurus melintasi dua garis lurus membuat sudut

interior pada satu sisi bersama-sama kurang dari dua sudut kanan maka dua garis lurus akan

bertemu di sisi itu Gambar 21 mengilustrasikan situasi yang digambarkan oleh aksioma paralel

Euclid yang adalah apa yang terjadi ketika dua garis tidak sejajar Jika α + β kurang dari dua

sudut yang tepat maka L ANMD bertemu di suatu tempat di sebelah kanan

Gambar 21 Bila garis tidak sejajar

Oleh karena itu jika L ANMD tidak memenuhi di kedua sisi maka α + β = π

Dengan kata lain jika L dan M sejajar maka α dan β bersama-sama membuat

sudut lurus dan sudut yang dibuat oleh L M dan N adalah seperti yang ditunjukkan dalam

Gambar 22

Hal ini juga berarti bahwa setiap garis melalui persimpangan N ANMD tidak L

pertemuan membuat sudut π-α dengan N Oleh karena itu baris ini sama dengan M Artinya

jika sejajar dengan L melalui titik tertentu ada itu adalah unik Ini adalah sedikit lebih halus

untuk menunjukkan keberadaan Tol paralel melalui P titik tertentu tetapi salah satu cara adalah

dengan menarik prinsip yang disebut ASA (angle side angle ) yang akan dibahas dalam

Bagian 22 Misalkan garis L M dan N membentuk sudut seperti yang ditunjukkan pada

Gambar 22 dan bahwa L dan M tidak sejajar Kemudian pada setidaknya satu sisi N ada

segitiga yang sisi-sisinya segmen N antara L dan M dan segmen L dan M antara N dan titik di

mana mereka bertemu Menurut ASA segitiga ini sepenuhnya ditentukan oleh yang α sudut π-α

dan segmen N antara mereka Tapi kemudian suatu segitiga yang identik ditentukan di sisi lain

dari N dan karenanya L dan M juga bertemu di sisi lain Hasil ini bertentangan asumsi Euclid

(Tersirat dalam aksioma konstruksi dibahas dalam Bagian 11) bahwa ada garis unik melalui dua

titik Oleh karena itu garis L dan M berada di Bahkan paralel ketika sudut yang seperti yang

ditunjukkan pada Gambar 22

Dengan demikian baik keberadaan dan keunikan paralel mengikuti dari

Euclid paralel aksioma (keberadaan berikut sepele karena Euclid s paralel Aksioma tidak

diperlukan) Ternyata bahwa mereka juga menyiratkan hal itu sehingga aksioma paralel dapat

dinyatakan sebagai berikut ekuivalen Modern yang paralel aksioma Untuk setiap L line dan

titik P di luar L ada tepat satu line melalui P yang tidak memenuhi L Bentuk aksioma paralel

sering disebut aksioma Playfair setelah matematikawan Skotlandia John Playfair yang

digunakan dalam buku teks di 1795 Aksioma Playfair adalah sederhana dalam bentuk daripada

Euclid karena tidak tidak melibatkan sudut dan ini sering nyaman Namun kita sering perlu

garis sejajar dan sudut yang sama mereka menciptakan interior yang disebut alternatif sudut

(misalnya sudut α ditandai pada Gambar 22) Dalam situasi kita lebih suka menggunakan

aksioma paralel Euclid Sudut dalam segitiga Keberadaan paralel dan kesetaraan sudut interior

alternatif menyiratkan properti indah segitiga Angle jumlah segitiga Jika α β dan γ adalah

sudut segitiga apapun kemudian α + β + γ = π

Untuk membuktikan properti ini menggambar L line melalui satu titik dari segitiga

sejajar dengan sisi yang berlawanan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 23

Kemudian sudut di sebelah kiri bawah L adalah alternatif dengan α sudut dalam segitiga

sehingga sama dengan α Demikian pula sudut di sebelah kanan bawah adalah L sama dengan γ

V1 KESIMPULAN

Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari penyusunan makalah ini adalah Postulat

kelima Euclid sukar untuk dipahami dan diterima sehingga beberapa matematikawan berupaya

membuktikan dan menggantikan dengan postulat yang ekuivalen salah satunya dengan

menggunakan postulat Playfair

REFERENSI

Stillwell John 2005 The Four Pillars of Geometry San Francisco Springer

httpwwwartikatacomarti-345795-postulathtml diakses tgl 13 September 2012

httpidwikipediaorgwikiAksioma diakses tgl 15 September 2012

httptranslategooglecoidtranslatehl=idamplangpair=en|idampu=httpenwikipediaorgwikiAxi

om diakses tgl 15 September 2012

httpartikatacomarti-318240-aksiomahtml diakses tgl 16 September 2012

httpenwikipediaorgwikiEuclid diakses tgl 17 September 2012

httpchabyeofmathwordpresscomgeometri-non-euclid diakses tgl 17 September 2012

Euclid yang adalah apa yang terjadi ketika dua garis tidak sejajar Jika α + β kurang dari dua

sudut yang tepat maka L ANMD bertemu di suatu tempat di sebelah kanan

Gambar 21 Bila garis tidak sejajar

Oleh karena itu jika L ANMD tidak memenuhi di kedua sisi maka α + β = π

Dengan kata lain jika L dan M sejajar maka α dan β bersama-sama membuat

sudut lurus dan sudut yang dibuat oleh L M dan N adalah seperti yang ditunjukkan dalam

Gambar 22

Hal ini juga berarti bahwa setiap garis melalui persimpangan N ANMD tidak L

pertemuan membuat sudut π-α dengan N Oleh karena itu baris ini sama dengan M Artinya

jika sejajar dengan L melalui titik tertentu ada itu adalah unik Ini adalah sedikit lebih halus

untuk menunjukkan keberadaan Tol paralel melalui P titik tertentu tetapi salah satu cara adalah

dengan menarik prinsip yang disebut ASA (angle side angle ) yang akan dibahas dalam

Bagian 22 Misalkan garis L M dan N membentuk sudut seperti yang ditunjukkan pada

Gambar 22 dan bahwa L dan M tidak sejajar Kemudian pada setidaknya satu sisi N ada

segitiga yang sisi-sisinya segmen N antara L dan M dan segmen L dan M antara N dan titik di

mana mereka bertemu Menurut ASA segitiga ini sepenuhnya ditentukan oleh yang α sudut π-α

dan segmen N antara mereka Tapi kemudian suatu segitiga yang identik ditentukan di sisi lain

dari N dan karenanya L dan M juga bertemu di sisi lain Hasil ini bertentangan asumsi Euclid

(Tersirat dalam aksioma konstruksi dibahas dalam Bagian 11) bahwa ada garis unik melalui dua

titik Oleh karena itu garis L dan M berada di Bahkan paralel ketika sudut yang seperti yang

ditunjukkan pada Gambar 22

Dengan demikian baik keberadaan dan keunikan paralel mengikuti dari

Euclid paralel aksioma (keberadaan berikut sepele karena Euclid s paralel Aksioma tidak

diperlukan) Ternyata bahwa mereka juga menyiratkan hal itu sehingga aksioma paralel dapat

dinyatakan sebagai berikut ekuivalen Modern yang paralel aksioma Untuk setiap L line dan

titik P di luar L ada tepat satu line melalui P yang tidak memenuhi L Bentuk aksioma paralel

sering disebut aksioma Playfair setelah matematikawan Skotlandia John Playfair yang

digunakan dalam buku teks di 1795 Aksioma Playfair adalah sederhana dalam bentuk daripada

Euclid karena tidak tidak melibatkan sudut dan ini sering nyaman Namun kita sering perlu

garis sejajar dan sudut yang sama mereka menciptakan interior yang disebut alternatif sudut

(misalnya sudut α ditandai pada Gambar 22) Dalam situasi kita lebih suka menggunakan

aksioma paralel Euclid Sudut dalam segitiga Keberadaan paralel dan kesetaraan sudut interior

alternatif menyiratkan properti indah segitiga Angle jumlah segitiga Jika α β dan γ adalah

sudut segitiga apapun kemudian α + β + γ = π

Untuk membuktikan properti ini menggambar L line melalui satu titik dari segitiga

sejajar dengan sisi yang berlawanan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 23

Kemudian sudut di sebelah kiri bawah L adalah alternatif dengan α sudut dalam segitiga

sehingga sama dengan α Demikian pula sudut di sebelah kanan bawah adalah L sama dengan γ

V1 KESIMPULAN

Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari penyusunan makalah ini adalah Postulat

kelima Euclid sukar untuk dipahami dan diterima sehingga beberapa matematikawan berupaya

membuktikan dan menggantikan dengan postulat yang ekuivalen salah satunya dengan

menggunakan postulat Playfair

REFERENSI

Stillwell John 2005 The Four Pillars of Geometry San Francisco Springer

httpwwwartikatacomarti-345795-postulathtml diakses tgl 13 September 2012

httpidwikipediaorgwikiAksioma diakses tgl 15 September 2012

httptranslategooglecoidtranslatehl=idamplangpair=en|idampu=httpenwikipediaorgwikiAxi

om diakses tgl 15 September 2012

httpartikatacomarti-318240-aksiomahtml diakses tgl 16 September 2012

httpenwikipediaorgwikiEuclid diakses tgl 17 September 2012

httpchabyeofmathwordpresscomgeometri-non-euclid diakses tgl 17 September 2012

Bagian 22 Misalkan garis L M dan N membentuk sudut seperti yang ditunjukkan pada

Gambar 22 dan bahwa L dan M tidak sejajar Kemudian pada setidaknya satu sisi N ada

segitiga yang sisi-sisinya segmen N antara L dan M dan segmen L dan M antara N dan titik di

mana mereka bertemu Menurut ASA segitiga ini sepenuhnya ditentukan oleh yang α sudut π-α

dan segmen N antara mereka Tapi kemudian suatu segitiga yang identik ditentukan di sisi lain

dari N dan karenanya L dan M juga bertemu di sisi lain Hasil ini bertentangan asumsi Euclid

(Tersirat dalam aksioma konstruksi dibahas dalam Bagian 11) bahwa ada garis unik melalui dua

titik Oleh karena itu garis L dan M berada di Bahkan paralel ketika sudut yang seperti yang

ditunjukkan pada Gambar 22

Dengan demikian baik keberadaan dan keunikan paralel mengikuti dari

Euclid paralel aksioma (keberadaan berikut sepele karena Euclid s paralel Aksioma tidak

diperlukan) Ternyata bahwa mereka juga menyiratkan hal itu sehingga aksioma paralel dapat

dinyatakan sebagai berikut ekuivalen Modern yang paralel aksioma Untuk setiap L line dan

titik P di luar L ada tepat satu line melalui P yang tidak memenuhi L Bentuk aksioma paralel

sering disebut aksioma Playfair setelah matematikawan Skotlandia John Playfair yang

digunakan dalam buku teks di 1795 Aksioma Playfair adalah sederhana dalam bentuk daripada

Euclid karena tidak tidak melibatkan sudut dan ini sering nyaman Namun kita sering perlu

garis sejajar dan sudut yang sama mereka menciptakan interior yang disebut alternatif sudut

(misalnya sudut α ditandai pada Gambar 22) Dalam situasi kita lebih suka menggunakan

aksioma paralel Euclid Sudut dalam segitiga Keberadaan paralel dan kesetaraan sudut interior

alternatif menyiratkan properti indah segitiga Angle jumlah segitiga Jika α β dan γ adalah

sudut segitiga apapun kemudian α + β + γ = π

Untuk membuktikan properti ini menggambar L line melalui satu titik dari segitiga

sejajar dengan sisi yang berlawanan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 23

Kemudian sudut di sebelah kiri bawah L adalah alternatif dengan α sudut dalam segitiga

sehingga sama dengan α Demikian pula sudut di sebelah kanan bawah adalah L sama dengan γ

V1 KESIMPULAN

Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari penyusunan makalah ini adalah Postulat

kelima Euclid sukar untuk dipahami dan diterima sehingga beberapa matematikawan berupaya

membuktikan dan menggantikan dengan postulat yang ekuivalen salah satunya dengan

menggunakan postulat Playfair

REFERENSI

Stillwell John 2005 The Four Pillars of Geometry San Francisco Springer

httpwwwartikatacomarti-345795-postulathtml diakses tgl 13 September 2012

httpidwikipediaorgwikiAksioma diakses tgl 15 September 2012

httptranslategooglecoidtranslatehl=idamplangpair=en|idampu=httpenwikipediaorgwikiAxi

om diakses tgl 15 September 2012

httpartikatacomarti-318240-aksiomahtml diakses tgl 16 September 2012

httpenwikipediaorgwikiEuclid diakses tgl 17 September 2012

httpchabyeofmathwordpresscomgeometri-non-euclid diakses tgl 17 September 2012

Kemudian sudut di sebelah kiri bawah L adalah alternatif dengan α sudut dalam segitiga

sehingga sama dengan α Demikian pula sudut di sebelah kanan bawah adalah L sama dengan γ

V1 KESIMPULAN

Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari penyusunan makalah ini adalah Postulat

kelima Euclid sukar untuk dipahami dan diterima sehingga beberapa matematikawan berupaya

membuktikan dan menggantikan dengan postulat yang ekuivalen salah satunya dengan

menggunakan postulat Playfair

REFERENSI

Stillwell John 2005 The Four Pillars of Geometry San Francisco Springer

httpwwwartikatacomarti-345795-postulathtml diakses tgl 13 September 2012

httpidwikipediaorgwikiAksioma diakses tgl 15 September 2012

httptranslategooglecoidtranslatehl=idamplangpair=en|idampu=httpenwikipediaorgwikiAxi

om diakses tgl 15 September 2012

httpartikatacomarti-318240-aksiomahtml diakses tgl 16 September 2012

httpenwikipediaorgwikiEuclid diakses tgl 17 September 2012

httpchabyeofmathwordpresscomgeometri-non-euclid diakses tgl 17 September 2012

REFERENSI

Stillwell John 2005 The Four Pillars of Geometry San Francisco Springer

httpwwwartikatacomarti-345795-postulathtml diakses tgl 13 September 2012

httpidwikipediaorgwikiAksioma diakses tgl 15 September 2012

httptranslategooglecoidtranslatehl=idamplangpair=en|idampu=httpenwikipediaorgwikiAxi

om diakses tgl 15 September 2012

httpartikatacomarti-318240-aksiomahtml diakses tgl 16 September 2012

httpenwikipediaorgwikiEuclid diakses tgl 17 September 2012

httpchabyeofmathwordpresscomgeometri-non-euclid diakses tgl 17 September 2012