3

Bab 2

Daerah Euclid

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai daerah Euclid beserta struktur lain

yang terkait dengannya. Beberapa struktur aljabar tersebut selanjutnya akan

digunakan untuk melihat struktur gelanggang polinom.

2.1 Struktur Daerah Euclid

Keberadaan suatu fungsi bernilai bulat tak negatif yang memungkinkan

berlakunya algoritma pembagian di suatu daerah integral memunculkan suatu

definisi daerah Euclid.

Definisi 2.1.1 Suatu daerah integral D disebut daerah Euclid atau Euclidean

domain (ED) jika terdapat suatu fungsi sehingga

(i) untuk semua berlaku ,

(ii) untuk semua dengan terdapat dengan

sehingga atau .

Contoh 2.1.2 Berikut contoh-contoh daerah Euclid.

a. Himpunan bilangan bulat beserta fungsi dengan

.

b. Himpunan bilangan bulat Gauss (Gaussian integers) dengan bentuk

beserta suatu fungsi dengan

(Rujukan Durbin [2000], Section 37).

4

Pengkajian struktur daerah Euclid dibatasi pada kaitan daerah Euclid dengan

dua struktur aljabar lain yaitu daerah ideal utama dan daerah faktorisasi

tunggal. Berikut definisi dan contoh dari kedua struktur aljabar tersebut.

Definisi 2.1.3 Daerah integral D disebut daerah ideal utama atau principal

ideal domain (PID) jika setiap ideal pada D merupakan ideal utama (ideal yang

dibangun oleh satu unsur).

Contoh 2.1.4 Himpunan bilangan bulat juga merupakan suatu daerah ideal

utama karena setiap ideal pada dapat dibangun oleh satu unsur.

Definisi 2.1.5 Suatu daerah integral D disebut daerah faktorisasi tunggal

atau Unique Factorization Domain (UFD) jika memenuhi

(i) jika dan bukan unit, maka dapat ditulis sebagai perkalian

sejumlah hingga unsur-unsur tak terurai di D, yaitu dengan

unsur-unsur tak terurai ( ) dan unit di D,

(ii) jika dan dengan masing-masing dan

unsur-unsur tak terurai, unit di D, maka dan untuk suatu

dan .

Contoh 2.1.6 Gelanggang bilangan bulat merupakan suatu daerah

faktorisasi tunggal. Pernyataan ini sesuai dengan Teorema Dasar Aritmatika

(The Fundamental Theorem of Arithmetic) yang menyatakan bahwa setiap

bilangan bulat lebih dari 1 dapat ditulis sebagai hasiil kali bilangan prima

secara tunggal. Teorema ini dapat dilihat pada rujukan Durbin (2000), Section

13.

Ketiga struktur aljabar di atas merupakan struktur atau kelas khusus dari

daerah integral. Ketiganya berbeda, namun memiliki hubungan yang cukup

dinilai penting dalam pengkajian ini.

5

Berikut dua buah teorema yang menyatakan hubungan antara daerah Euclid,

daerah ideal utama, dan daerah faktorisasi tunggal.

Teorema 2.1.7 Jika D suatu daerah integral yang merupakan daerah Euclid

maka D daerah ideal utama.

Bukti

Misalkan D daerah integral yang merupakan daerah Euclid dan misalkan I

suatu ideal di D. Akan ditunjukkan bahwa setiap ideal di D merupakan ideal

utama. Untuk jelas I dibangun oleh unsur , sehingga

Misalkan . Karena D merupakan daerah Euclid, maka terdapat

pemetaan sehingga adalah

himpunan tak hampa yang memuat bilangan nonnegatif. Perhatikan bahwa A

tak hampa karena terdapat sehingga Karena

yang tak hampa, maka A memilki nilai minimum misalnya . Artinya, untuk

setiap berlaku . Selanjutnya, pilih sehingga

, maka untuk setiap berlaku . Ambil

sehingga menurut definisi daerah Euclid terdapat yang memenuhi

, dengan . Diketahui bahwa (karena

). Karena untuk setiap , maka

untuk setiap . Andaikan maka

, kontradiksi dengan . Dengan demikian, haruslah

. Diperoleh . Maka Sedangkan , karena Jadi,

Akibatnya, D merupakan daerah ideal utama.

Perlu dicatat bahwa kebalikan teorema ini tidak berlaku. Tidak setiap daerah

ideal utama merupakan daerah Euclid. Contohnya, himpunan bilangan

kompleks dengan merupakan suatu

daerah ideal utama namun bukan daerah Euclid (non-Euclidean PID).

Pembuktian dari contoh ini dapat dilihat pada rujukan Iwanto (2011) halaman

14.

6

Teorema 2.1.8 Setiap daerah ideal utama merupakan daerah faktorisasi

tunggal.

Bukti

Misalkan R suatu daerah integral yang merupakan daerah ideal utama. Akan

ditunjukkan bahwa R merupakan daerah faktorisasi tunggal.

i) Pertama, akan ditunjukkan bahwa sebarang unsur tak nol dan bukan unit

di R dapat dinyatakan sebagai perkalian sejumlah hingga unsur tak

terurai.

Misalkan, adalah unsur tak nol dan bukan unit di R. Jika tak terurai,

maka selesai. Misalkan komposit (terurai) sehingga terdapat dan

di R dengan dan bukan unit yang memenuhi . Artinya,

dan sebab . Jika maka

artinya haruslah unit, kontradiksi.

Jika dan tak terurai, selesai. Namun jika tidak, misalkan komposit

(sama halnya jika komposit), sehingga ada dan di R yang bukan

unit dan memenuhi sehingga dan dan

seterusnya sehingga jika merupakan hasilkali sejumlah tak hingga

unsur lain, maka diperoleh dan untuk

setiap Selanjutnya, misalkan . Ambil sebarang

, maka terdapat dan , sedemikian sehingga

dan . Tanpa mengurangi keumuman misalkan ,

maka sehingga dan . Untuk dan

berlaku dan . Perhatikan bahwa , maka

dan . Jadi, ideal di R.

Karena R merupakan daerah ideal utama maka terdapat sehingga

. Karena, , maka untuk suatu . Jadi,

. Diperoleh, . Padahal, . Diperoleh

kontradiksi. Maka haruslah ada sehingga untuk

setiap . Jadi, unsur sebarang dapat dinyatakan sebagai hasil

kali sejumlah hingga unsur tak terurai.

7

ii) Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa penulisan unsur tak nol dan bukan

unit di R sebagai perkalian sejumlah hingga unsur tak terurai adalah

tunggal.

Ambil . Misalkan dengan

dan adalah unsur-unsur tak terurai di R serta u dan v adalah

unit di R. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan . Perhatikan

bahwa , hal ini berarti . Akibatnya, untuk suatu

. Misalkan . Karena tak terurai, maka , dengan

unit. Jadi, diperoleh . Andaikan .

Karena R komutatif, dengan mengulangi proses, akan diperoleh

Karena haruslah

Persamaan terakhir menimbulksn kontradiksi karena tidak mungkin

unsur-unsur tak terurai membagi 1. Dengan demikian pengandaian di

atas salah dan haruslah .

Selanjutnya, untuk setiap terdapat sehingga

atau , dengan unit. Jadi, ( dan sekawan/

associated).

Seperti juga teorema sebelumnya, Teorema 2.1.8 ini pun tidak berlaku

sebaliknya. Tidak semua daerah faktorisasi tunggal merupakan daerah ideal

utama. Contohnya, yaitu

gelanggang polinom atas bilangan bulat. Himpunan polinom dengan konstanta

genap membentuk ideal di namun bukan merupakan ideal utama. Contoh

ini dapat dilihat di rujukan Durbin (2000), Section 41.

8

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa daerah Euclid merupakan

daerah ideal utama dan juga merupakan daerah faktorisasi tunggal. Hal ini

dapat digambarkan dalam bagan berikut.

2.2 Gelanggang Polinom atas Lapangan sebagai Daerah

Euclid

Berikut akan diuraikan mengenai gelanggang polinom dan kaitannya dengan

struktur aljabar yang telah dijelaskan pada Subbab 2.1.

Definisi 2.2.1 Misalkan R suatu gelanggang komutatif dengan unsur

kesatuan (untuk selanjutnya gelanggang R selalu dimaksudkan bersifat

komutatif juga dengan unsur kesatuan kecuali jika disebut lain). Polinom

dalam atas R berbentuk dengan

. Dengan definisi ini dapat dikatakan sebagai variabel tak

diketahui dan R sebagai gelanggang koefisien dari polinom tersebut. Jika

maka adalah derajat polinom dan disebut koefisien utama (leading

coefficient).

Polinom-polinom tersebut dihimpun dalam suatu gelanggang polinom

Contoh 2.2.2

adalah gelanggang polinom atas bilangan bulat, yaitu himpunan polinom

berbentuk dengan masing-masing

bilangan bulat.

Daerah EuclidDaerah Ideal

UtamaDaerah Faktorisasi

Tunggal

9

Contoh di atas merupakan suatu contoh gelanggang polinom atas gelanggang

(koefisien-koefisien dari polinom-polinomnya merupakan anggota suatu

gelanggang). Namun, jika kita melihat ke ruang yang lebih khusus daripada

gelanggang yaitu lapangan, akan ditemukan bahwa suatu gelanggang polinom

atas lapangan merupakan suatu daerah Euclid.

Misalkan F suatu lapangan. Kita dapat membentuk suatu gelanggang polinom

atas F yang berbentuk:

Karena F adalah suatu lapangan maka F merupakan daerah integral. Berikut

pembuktiannya. Ambil sebarang dengan dan akan dibuktikan

bahwa atau . Misalkan . Karena F lapangan dan maka

terdapat dengan demikian sehingga diperoleh

atau .

Selanjutnya, karena F adalah daerah integral maka merupakan daerah

integral. Perhatikan bahwa untuk setiap di dengan

dan

berlaku atau .

Misalkan pemetaan dengan untuk

setiap . Perhatikan bahwa

(i) Untuk setiap dengan

dan

berlaku .

Maka, .

Jadi,

10

(ii) Juga untuk setiap dengan

Untuk , pilih dan , maka berlaku

. Dalam hal ini, jelas .

Untuk , terapkan induksi matematika pada .

Misalkan sifat berlaku untuk . Selanjutnya, akan

dibuktikan juga sifat berlaku untuk dengan .

Misalkan dan

, dengan dan . Pandang dua kasus:

a) Jika .

Pilih dan . Diperoleh

dengan .

b) Jika .

Pandang .

Dalam hal ini, .

Menurut hipotesis induksi terdapat dan di yang

memenuhi hubungan dengan

atau .

Diperoleh

Tulis maka .

Dengan uraian di atas terbukti bahwa gelanggang polinom atas suatu

lapangan merupakan suatu daerah Euclid yang berarti juga merupakan

daerah ideal utama dan daerah faktorisasi tunggal.

2013-03-04T23:51:13-0800Digital Content