POKOK BAHASAN 2PERKALIAN TITIK DAN SILANG

Oleh: Nurul SailaSenin, 10 Oktober 2011

Selasa, 11 Oktober 2011

SUB POKOK BAHASAN:2.1 Hasil kali titik atau skalar2.2 Hasil kali silang atau

vektor2.3 Hasil kali tripel2.4 Himpunan vektor-vektor

reciprokal

2.1 Hasil Kali Titik atau SkalarHasil kali titik atau skalar dari dua vektor A

dan B, dinyatakan dg A . B, didefinisikan sbg hasil kali antara besarnya vektor A dan B dan cosinus sudut ɵ antara keduanya.

A . B = |A||B| cos ɵ, 0 ≤ ɵ ≤ πContoh:A adalah vektor yg besarnya 3 satuan dg

arah utara dan B adalah vektor yg besarnya 5 satuan dg arah 30⁰ ke utara dari timur.

Tentukan: A.B

Jawab:A.B = |A||B| cos ɵ

= 3.5 cos 60⁰ = 15 . ½

A.B = 7,5

Hukum2 Perkalian Titik:1. A . B = B . A2. A .(B . C) = (A . B) . C3. m(A.B) = (mA).B = A.(mB) = (A.B)m , m

skalar4. i.i = j.j = k.k = 1, i.j = j.k = k.i = 05. Jika A = A₁i+A₂j+A₃k, B = B₁i+B₂j+B₃k maka:

A.B = A₁B₁ + A₂B₂ + A₃B₃A.A = A₁² + A₂² + A₃² = |A|²

6. Jika A.B = 0 maka A B

Contoh 1:Buktikan: A.B = B.ABukti: A.B = |A||B| cos ɵ (definisi)

= |B||A| cos ɵ (sifat komutatif perkalian) = B.A (definisi)

Terbukti

Contoh 2Buktikan proyeksi A pd B adalah A.b, b adl vektor satuan searah B.

Bukti:Misal proyeksi A pd B adl C, mk:

C =|A| cos ɵ, ɵ sudut antara A dan B =|A| 1 cos ɵ =|A||b| cos ɵ (b vektor satuan searah B) = A.b

terbukti

Contoh 3Tentukan a shg A = 2i + aj +k B = 4i – 2j -2k Jawab:Jika A B maka :A.B = 0 Û(2i + aj+k).(4i-2j-2k) = 0 Û8-2a-2= 0Û2a = 6Û a= 3

Contoh 4Tentukan sebuah vektor satuan yg dg A = 2i – 6j -3k dan B = 4i + 3j - k

Jawab:Misal C= ai+bj+ck adalah vektor A dan B, maka vektor satuan yg dg A = 2i – 6j -3k dan B = 4i + 3j – k adalah vektor satuan searah C.

C= ai+bj+ck adalah vektor A dan B, maka:C.A = 0 Û 2a-6b-3c = 0 <1>C.B = 0 Û 4a +3b-c = 0 <2>

Dari <1> dan <2> diperoleh:a = ½ c, b = -⅓ c, shg C = c(½ i – ⅓j +k).Vektor satuan searah C adalah:

𝐶𝑐 = 𝑐ቀ12𝑖 − 13𝑗+ 𝑘ቁ𝑐ටቀ12ቁ2 +ቀ−13ቁ2 + 12 = 67൬12𝑖 − 13𝑗+ 𝑘൰

= 37𝑖 − 27𝑗+ 67𝑘

Tugas1. Untuk harga-harga a yg manakah A=ai-2j+k

dan B=2ai+aj-4k saling tegaklurus?2. Carilah sudut-sudut yg dibentuk oleh A =3i-

6j+2k dg sumbu-sumbu koordinat.3. Carilah proyeksi A =i–2j +k pada B=4i-

4j+7k

TERIMAKASIHSELAMAT MENGERJAKAN

Nurul Saila

Jawaban Tugas1. Untuk harga-harga a yg manakah A=ai-2j+k

dan B=2ai+aj-4k saling tegaklurus?Jwb:Jika AB, makaA.B = 0Û(ai-2j+k).(2ai+a-4k) = 0Û2a² -2a-4 = 0Û2(a²- a – 2) = 0Û(a-2)(a+1) = 0Û a-2 = 0 atau a+1 = 0 a = 2 atau a = -1

2. Carilah sudut-sudut yg dibentuk oleh A =3i-6j+2k dg sumbu-sumbu koordinat.

Jawab:

Misal , , berturut-turut adalah sudut yg dibentuk oleh A dg sumbu x, y dan z. i adalah vektor-vektor satuan yg searah dg sumbu x, maka:A.i = 7 . 1 cos <1>A.i = (3i-6j+2k).i = 3 <2>

ȁ�𝐴ȁ�= ඥ32 + (−6)2 + 22 = 7

Dari <1> dan <2> diperoleh:Cos = 3/7

= 0,4286 = 64,6⁰Dengan cara yg sama diperoleh:Cos = -6/7

= 149⁰Cos = 2/7

= 73,4⁰

3. Carilah proyeksi A =i–2j +k pada B=4i-4j+7k

Jawab:Proyeksi A pada B = A.b, b vektor satuan

searah B.

Proyeksi A pada B = (i-2j+k).(4/9 i- 4/9 j +7/9 k)

= 4/9 + 8/9 + 7/9 = 19/9.

𝑏= 𝐵ȁ�𝐵ȁ�= 4𝑖 − 4𝑗+ 7𝑘ඥ42 +ሺ−4ሻ2 + 72

= 49 𝑖 − 49𝑗+ 79𝑘