repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/37111/2/163114026_full.pdf · PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN...

PENYELESAIAN NUMERIS MODEL MATEMATIS KONTAMINASI

AIR TANAH DENGAN METODE VOLUME HINGGA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh :

Aji Asa Lelana Buwana

NIM: 163114026

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i

PENYELESAIAN NUMERIS MODEL MATEMATIS KONTAMINASI

AIR TANAH DENGAN METODE VOLUME HINGGA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh :


NIM: 163114026

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020


ii

NUMERICAL SOLUTION TO A MATHEMATICAL MODEL OF

GROUNDWATER CONTAMINATION USING FINITE VOLUME

METHODS

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Matematika

Mathematics Study Program

Written by


Student ID : 163114026

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2020


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

“Berkerja keraslah selagi kau bisa.”

“Berjuanglah untuk mencapai sesuatu yang baik dalam hidup.”

“Berjuanglah agar setiap hal yang kita buat dapat memberi makna bagi orang

lain.”

“Berjuanglah untuk bermanfaat dan berprestasi.”

“Maka sesungguhnya bersama kesulitan itu ada kemudahan.”(Q.S.Al-Insyirah:5)

“Bahwasanya seorang manusia tiada memperoleh selain apa yang di-

usahakannya.”(Q.S.An-Najm:39)

Skripsi ini saya persembahkan kepada orang tua tercinta,

Sri Kestining Lelana dan Umi Fauziah

Kakek dan Nenek,

Sanggar Waringin Sugiyono dan Surajimah

Adik-adik saya,

Arga Kumala Rachmawati, Atica Urie Larasati, dan Ambika Caya Perwita

Serta Keluarga Besar Kumaidi.


viii

ABSTRAK

Kontaminasi air tanah merupakan suatu hal yang dapat membahayakan bagi

kesehatan manusia. Air adalah kebutuhan pokok bagi kehidupan manusia, oleh ka-

rena itu sangatlah penting dicetuskan suatu model matematis untuk memperkirakan

penyebaran dari suatu zat polutan yang mencemari air tanah. Dalam memodelkan

kita menggunakan persamaan adveksi-difusi berdasarkan hukum kekekalan massa.

Tujuan dari peneletian ini adalah mencari tahu konsentrasi zat polutan yang tersebar

di dalam air tanah pada posisi dan waktu tertentu. Pada skripsi ini akan dibahas

bagaimana menyelesaikan persamaan adveksi-difusi menggunakan metode volume

hingga. Penyelesaian persamaan ini akan melibatkan skema yang dapat digunakan

untuk melihat konsentrasi zat polutan yang tersebar di dalam air tanah. Kemudian

metode tersebut akan dianalisis kestabilan, konsistensi, dan konvergensinya supaya

metode tersebut baik untuk digunakan.

Berdasarkan penelitian ini, skema yang dihasilkan berdasarkan persamaan

adveksi-difusi menghasilkan skema yang baik dengan tiga syarat yang didapatkan

pada analisis harus dipenuhi. Tiga syarat itu antara lain kestabilan, konsistensi, dan

konvergensi.

Kata kunci: Kontaminasi air tanah, hukum kekekalan massa, persamaan adveksi-

difusi, metode volume hingga, kestabilan, konsistensi, konvergensi.


ix

ABSTRACT

Groundwater contamination is one aspect that can be dangerous for human

health. Water is always needed in human life. Therefore it is important to create a

mathematical model for calculating the distribution of pollutants that pollute

groundwater. In gathering the data, the researcher used the advection-diffusion

equation based on the law of conservation of mass. The purpose of this research is

to find out the concentration of pollutants that are spread in the groundwater at a

certain position and time. This thesis will discuss how to solve the advection-

diffusion equation using the finite volume method. The solution of this equation

will be in the form of a scheme that can be used to see the concentration of

pollutants that are spread in groundwater. Moreover, this method will be analysed

regarding the stability, consistency, and convergence so that the method is good for

use.

Through this research, the scheme that was produced based on the advection-

diffusion equation produces a good scheme with the three circumstances in the

analysis must be accomplished. The three conditions are stability, consistency, and

convergence.

Keyword : groundwater contamination, consevation law, advection-difussion

equation, finite volume method, stability, consistency, convergence.


x

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa berkat rahmat dan karunia-Nya,

sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan lancar. Skripsi ini disusun

sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar sarjana sains dari Program Studi

Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini banyak pihak-pihak

yang terlibat. Oleh karena itu, pada kesempatan yang mulia ini penulis mengucap-

kan terimakasih kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi sekaligus Dosen Pembimbing Skripsi.

2. Bapak Hartono, S.Si, M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.

3. Bapak Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku Dosen Pembimbing Akademik.

4. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ.,

Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan S.Si., M.Si., Bapak Ricky Aditya,

M.Sc., selaku dosen-dosen Prodi Matematika yang telah memberikan

banyak pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.

5. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah

berdinamika bersama selama penulis berkuliah.

6. Kedua orang tua, kakek, nenek, adik-adik, dan seluruh anggota keluarga

Lelana yang telah mendukung saya selama proses pengerjaan skripsi.

7. Widya Savitriningtyas dan Theresia Ardya Resti Pradwiningtyas yang telah

senantiasa dengan sabar dan selalu setia memberikan semangat dan bantuan

kepada penulis dari semester dua hingga selesai.

8. Stanislaus Warih Priyo Tomo yang selalu setia menemani penulis dalam

proses penyusunan skripsi dan selalu mengejar-ngejar penulis untuk

menyelesaikan skripsi secara bersamaan.

9. Lady Wahyuningratri yang selalu memberikan semangat dan selalu

mengingatkan penulis dalam proses penyusunan skripsi.


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i

TITLE PAGE .................................................................................................. ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ....................................................................... v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................... vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI............................. vii

ABSTRAK ...................................................................................................... viii

ABSTRACT .................................................................................................... ix

KATA PENGANTAR ..................................................................................... x

DAFTAR ISI ................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................ 1

A. Latar Belakang ..................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ................................................................................ 2

C. Batasan Masalah .................................................................................. 3

D. Tujuan Penulisan .................................................................................. 3

E. Manfaat Penulisan ................................................................................ 3

F. Metode Penulisan ................................................................................. 3

G. Sistematika Penulisan ........................................................................... 4

BAB II PEMODELAN MATEMATIS DAN TOPIK-TOPIK TERKAIT ......... 6

A. Turunan................................................................................................ 6

B. Aturan Rantai ....................................................................................... 16

C. Integral ................................................................................................. 18

D. Integral Tentu ....................................................................................... 20

E. Klasifikasi Persamaan Diferensial ........................................................ 22

1. Persamaan Diferensial .................................................................... 22

2. Persamaan Diferensial Biasa........................................................... 22

3. Persamaan Diferensial Parsial ......................................................... 23

4. Tingkat Persamaan Diferensial Parsial (Orde)................................. 23


xiii

5. Persamaan Diferensial Biasa Linear................................................ 24

6. Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear .......................................... 24

F. Persamaan Diferensial Parsial .............................................................. 25

G. Karakteristik Persamaan Diferensial Parsial ......................................... 29

H. Pemodelan Matematis .......................................................................... 30

I. Metode Numeris Untuk Persamaan Diferensial .................................... 33

1. Hampiran Beda Maju ..................................................................... 34

2. Hampiran Beda Pusat ..................................................................... 34

3. Hampiran Beda Mundur ................................................................. 35

BAB III MODEL KONTAMINASI DAN METODE PENYELESAIANNYA 36

A. Persamaan Adveksi-Difusi Satu Dimensi ............................................. 36

1. Hukum Kekekalan Massa ............................................................... 36

2. Persamaan Adveksi ........................................................................ 38

3. Persamaan Difusi............................................................................ 39

4. Persamaan Adveksi-Difusi ............................................................. 39

B. Perumusan Hukum Kekekalan dengan Metode Volume Hingga ........... 40

C. Flux Numerik Persamaan Difusi ........................................................... 43

D. Flux Lax-Friedrichs Persamaan Adveksi .............................................. 44

E. Metode Upwind Untuk Persamaan Adveksi ......................................... 45

F. Persamaan Adveksi-Difusi dengan Metode Volume Hingga ................. 56

BAB IV ANALISIS KESTABILAN MODEL KONTAMINASI AIR TANAH 65

A. Galat Keseluruhan dan Konvergensi ..................................................... 65

B. Galat Pada Pemotongan Lokal .............................................................. 67

C. Kestabilan ............................................................................................ 67

D. Kondisi Courant-Friedrichs-Lewy ........................................................ 68

E. Simulasi Dan Pengamatan Galat ........................................................... 69

BAB V PENUTUP .......................................................................................... 83

A. Kesimpulan .......................................................................................... 83

B. Saran .................................................................................................... 84

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 85

LAMPIRAN .................................................................................................... 86


1

BAB I

PENDAHULUAN

Pada bab ini akan dibahas tentang latar belakang, rumusan masalah, batasan

masalah, tujuan, manfaat penulisan, metode yang digunakan dalam penulisan, dan

sistematika penulisan skripsi ini.

A. Latar Belakang

Pemodelan matematis seringkali digunakan untuk menyelesaikan suatu masa-

lah di sekitar kita. Salah satu dari masalah tersebut yaitu permasalahan air tanah

yang merupakan salah satu kebutuhan pokok bagi hidup manusia. Pada saat ini kon-

disi air tanah banyak mengalami permasalahan terutama berkaitan dengan kejerni-

han dan komposisi mineral. Perilaku manusia yang masih membuang sampah mau-

pun limbah sembarangan menyebabkan air tanah terkontaminasi oleh polutan.

Polutan merupakan salah satu ancaman bagi kesehatan manusia, sehingga perlu

adanya kajian yang membahas tentang proses transportasi polutan.

Pemodelan ini menggunakan metodologi persamaan adveksi-difusi satu di-

mensi sebagai model transportasi polutan yang akan diselesaikan dengan metode

volume hingga. Model persamaan adveksi-difusi dimaksudkan untuk menganalisis

pergerakan polutan di dalam tanah yang mengalami proses pengangkutan (adveksi)

dan proses penyebaran (difusi). Persamaan proses pengangkutan (adveksi) satu di-

mensi terhadap satu arah dengan variabel jarak 𝑥 dan variabel waktu 𝑡 adalah

(Saleem et al., 2019):

𝜕𝑞

𝜕𝑡= −��

𝜕𝑞

𝜕𝑥

dengan 𝑞 adalah konsentrasi (misalnya dalam satuan mg/l) unsur kimia, dan ��

adalah kecepatan (misalnya dalam satuan m/hari) aliran air tanah terhadap arah 𝑥.


2

Difusi adalah fenomena perpindahan massa yang menyebabkan distribusi

kimia menjadi seragam di satu tempat seiring dengan berjalannya waktu (Zheng

and Bennet, 2002). Karena difusi didefinisikan sebagai gradien dari gerakan suatu

konsentrasi, maka dengan hukum pertama Fick dalam keadaan stabil persamaan

difusi menjadi seperti berikut (Fetter, 2001):

𝜕𝑞

𝜕𝑡= 𝛽

𝜕2𝑞

𝜕𝑥2

dengan 𝛽 adalah satuan koefisien difusi (m2/hari). Kombinasi persamaan proses

pengangkutan (adveksi) dan persamaan proses penyebaran (difusi) menghasilkan

persamaan sebagai berikut:

𝜕𝑞

𝜕𝑡= 𝛽

𝜕2𝑞

𝜕𝑥2− ��

𝜕𝑞

𝜕𝑥

dengan kata lain persamaan tersebut merupakan persamaan adveksi-difusi.

Metode volume hingga merupakan salah satu metode numeris yang dapat

digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial. Metode ini juga

merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persa-

maan adveksi-difusi. Dalam hal ini metode volume hingga digunakan untuk menge-

tahui proses pergerakan polutan yang ada di dalam air tanah. Selanjutnya, proses

transportasi polutan akan disimulasikan dengan contoh soal dan dalam

pengerjaannya menggunakan perangkat lunak MATLAB R2014b. Kemudian

menganalisis apakah metode yang didapatkan tersebut bersifat stabil, konsisten, dan

konvergen.

B. Rumusan Masalah

Perumusan masalah yang akan dibicarakan dalam skripsi ini adalah:

1. Bagaimana penyelesaian model matematis transportasi kontaminasi air dengan

menggunakan metode volume hingga?

2. Bagaimana penerapan metode volume hingga dalam mengatasi permasalahan

kontaminasi air tanah?


3

C. Batasan Masalah

Skripsi ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut:

1. Model matematis transportasi kontaminasi air yang digunakan adalah persa-

maan adveksi-difusi satu dimensi.

2. Metode penyelesaian model yang akan digunakan adalah metode volume

hingga.

D. Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah, tujuan penulisan skripsi ini adalah:

1. Menentukan solusi penyelesaian dari model transportasi polutan dengan

menggunakan metode volume hingga.

2. Menganalisis apakah model yang didapatkan baik digunakan untuk mendeteksi

pergerakan dari suatu polutan di dalam air tanah.

E. Manfaat penulisan

Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah:

1. Dapat mengetahui penerapan pemodelan matematis dalam masalah

kontaminasi air tanah.

2. Mendapatkan model sederhana pada masalah kontaminasi air tanah.

3. Mengetahui pergerakan polutan yang ada di dalam tanah yang merupakan zat

yang berbahaya bagi kesehatan manusia.

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam skripsi ini merupakan metode studi

pustaka, yakni dengan membaca dan mempelajari buku-buku dan jurnal-jurnal

yang berkaitan dengan model matematis persamaan adveksi-difusi yang

diselesaikan dengan metode volume hingga.


4

G. Sistematika Penulisan

Skripsi ini mempunyai sistematika sebagai berikut.

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II PEMODELAN MATEMATIS DAN TOPIK-TOPIK TERKAIT

A. Turunan

B. Aturan Rantai

C. Integral

D. Integral Tentu

E. Klasifikasi Persamaan Diferensial

F. Persamaan Diferensial Parsial

G. Sifat-sifat Persamaan Difrensial

H. Pemodelan Matematis

I. Metode Numeris Untuk Persamaan Diferensial

BAB III MODEL KONTAMINASI DAN METODE PENYELESAIANNYA

A. Persamaan Adveksi-Difusi Satu Dimensi

B. Perumusan Hukum Kekekalan dengan Metode Volume Hingga

C. Flux Numerik Persamaan Difusi

D. Flux Lax-Friedrichs Persamaan Adveksi

E. Metode Upwind untuk Persamaan Adveksi

F. Persamaan Adveksi-Difusi dengan Metode Volume Hingga


5

BAB IV SIMULASI MASALAH KONTAMINASI AIR TANAH

A. Galat Keseluruhan dan Konvergensi

B. Galat Pada Pemotongan Lokal

C. Kestabilan

D. Kondisi Courant-Friedrichs-Lewy

E. Simulasi dan Pengamatan Galat

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA


6

BAB II

PEMODELAN MATEMATIS DAN TOPIK-TOPIK TERKAIT

Pada bab ini akan membahas tentang dasar-dasar teori yang dibutuhkan dalam

pembahasan tentang turunan, aturan rantai, integral, integral tentu, klasifikasi per-

samaan diferensial, sifat-sifat persamaan diferensial, pemodelan numeris, dan

metode numeris untuk persamaan diferensial.

A. Turunan

Dalam subbab ini akan dibahas tentang definisi turunan, teorema, dan contoh-

contoh tentang turunan.

Definisi 2.1 Turunan

Suatu fungsi 𝑓′ didefinisikan sebagai berikut

𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

disebut turunan dari fungsi 𝑓 terhadap 𝑥. Dengan domain 𝑓′ terdiri dari semua 𝑥 di

dalam domain 𝑓 yang limitnya ada (Anton et al, 2012).

Contoh :

Tentukan turunan terhadap 𝑥 dari fungsi

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2

b) ℎ(𝑥) =1

𝑥

Penyelesaian :

a) Penyelesaian untuk fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥2


7


𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

= limℎ→0

(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2

ℎ

= limℎ→0

𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥2

ℎ

= limℎ→0

2𝑥ℎ − ℎ2

ℎ

= limℎ→0

(2𝑥 + ℎ)

= 2𝑥 ∎

b) Penyelesaian untuk fungsi 𝑔(𝑥) =1

𝑥

𝑔(𝑥) = limℎ→0

𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

ℎ

= limℎ→0

1𝑥 + ℎ −

1𝑥

ℎ

= limℎ→0

𝑥 − (𝑥 + ℎ)

ℎ(𝑥 + ℎ)𝑥

= limℎ→0

−1

(𝑥 + ℎ)𝑥

= −1

𝑥2 ∎

Definisi 2.2

Suatu fungsi 𝑓 dikatakan memiliki turunan dititik 𝑎 jika

𝑓′(𝑎) = limℎ→0

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ

limitnya ada. Jika 𝑓 dapat diturunkan pada interval terbuka (𝑥, 𝑦), maka 𝑓 memiliki

turunan pada interval (x,y), dan juga pada interval (𝑥, ±∞), (±∞, 𝑦), dan


8

(±∞, ±∞). Pada kasus 𝑓 dapat diturunkan pada interval (±∞, ±∞) maka 𝑓

memiliki turunan dimana saja.

Contoh :

Tentukan turunan dititik 3 dari fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 3.

Penyelesaian :

𝑓′(3) = limℎ→0

𝑓(3 + ℎ) − 𝑓(3)

ℎ

= limℎ→0

((3 + ℎ)2 + 3 + ℎ + 3) − (32 + 3 + 3))

ℎ

= limℎ→0

(9 + 6ℎ + ℎ2 + ℎ + 6) − (15))

ℎ

= limℎ→0

(ℎ2 + 7ℎ + 15) − (15))

ℎ

= limℎ→0

(ℎ2 + 7ℎ)

ℎ

= limℎ→0

ℎ + 7

= 7 ∎

Teorema 2.3

Jika suatu fungsi 𝑓 memiliki turunan pada titik 𝑎, maka 𝑓 kontinu pada titik

𝑎.

Bukti :

Diberikan fungsi 𝑓 memiliki turunan pada titik 𝑎, berdasarkan definisi 2.2

bahwa 𝑓′(𝑎) ada dan diberikan oleh

𝑓′(𝑎) = limℎ→0

[𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ],


9

untuk menunjukkan bahwa 𝑓 adalah kontinu saat 𝑎, harus ditunjukkan terlebih

dahulu bahwa lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) atau yang ekuivalen dengan

lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = 0,

Karena ℎ = 𝑥 − 𝑎, maka didapatkan 𝑥 = ℎ + 𝑎 kemudian subsitusikan pada persa-

maan diatas. Sehingga harus dibuktikan bahwa

limℎ→0

[𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)] = 0

dengan menggunakan definisi 2.2 diperoleh

limℎ→0

[𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)] = limℎ→0

[𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ∙ ℎ]

= limℎ→0

[𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ] ∙ lim

ℎ→0 ℎ

= 𝑓′(𝑎) ∙ 0

= 0 ∎

Teorema 2.4

Turunan dari suatu fungsi konstan adalah nol, yaitu jika 𝑐 adalah bilangan

real maka

𝑑

𝑑𝑥[𝑐] = 0.

Bukti :

Andaikan 𝑓(𝑥) = 𝑐 dengan c suatu bilangan real. Dengan menggunakan definisi

diperoleh

𝑑

𝑑𝑥[𝑐] = 𝑓′(𝑥)


10

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

= limℎ→0

𝑐 − 𝑐

ℎ

= limℎ→0

0 = 0 ∎

Contoh :

Tentukan turunan dari fungsi berikut

1. 𝑓(𝑥) = 1

2. 𝑓(𝑥) = 𝜋

Penyelesaian :

Berdasarkan Teorema 2.4 diperoleh

1. 𝑓′(𝑥) = 𝑑

𝑑𝑥[1] = 0

2. 𝑓′(𝑥) = 𝑑

𝑑𝑥[𝜋] = 0 ∎

Teorema 2.5

Jika 𝑛 adalah suatu bilangan bulat positif, maka

𝑑

𝑑𝑥[𝑥𝑛] = 𝑛𝑥𝑛−1

Bukti :

Misalkan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛. Dengan define turunan dan rumus binomial untuk

merepresentasikan (𝑥 + ℎ)𝑛, maka didapat


11

𝑑

𝑑𝑥[𝑥𝑛] = 𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ] = lim

ℎ→0[(𝑥 + ℎ)𝑛 − 𝑥𝑛

ℎ]

= limℎ→0

[(𝑥𝑛 + 𝑛𝑥𝑛−1ℎ +

𝑛(𝑛 − 1)2! 𝑥𝑛−2ℎ2 + ⋯ + 𝑛𝑥ℎ𝑛−1 + ℎ𝑛) − 𝑥𝑛

ℎ]

= limℎ→0

[(𝑛𝑥𝑛−1ℎ +

𝑛(𝑛 − 1)2!

𝑥𝑛−2ℎ2 + ⋯ + 𝑛𝑥ℎ𝑛−1 + ℎ𝑛)

ℎ]

= limℎ→0

[𝑛𝑥𝑛−1 +𝑛(𝑛 − 1)

2!𝑥𝑛−2ℎ + ⋯ + 𝑛𝑥ℎ𝑛−2 + ℎ𝑛−1]

= 𝑛𝑥𝑛−1 + 0 + ⋯ + 0 + 0

= 𝑛𝑥𝑛−1 ∎

Contoh :

Tentukan turunan dari fungsi

1. 𝑓(𝑥) = 𝑥4

2. 𝑓(𝑥) = 5𝑥3

3. 𝑓(𝑥) = 12 𝑥5 + 3𝑥3 − 2

Penyelesaian :

1. 𝑓′(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥[𝑥4] = 4𝑥3

2. 𝑓′(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥[5𝑥3] = 15 𝑥2

3. 𝑓′(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥[12 𝑥5 + 3𝑥3 − 2] = 60𝑥4 + 9𝑥2 ∎


12

Teorema 2.6

Jika suatu fungsi 𝑓 dapat diturunkan terhadap 𝑥 dan 𝑐 adalah suatu bilangan

real, maka 𝑐𝑓 dapat juga diturunkan terhadap 𝑥 dan

𝑑

𝑑𝑥[𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥).

Bukti :

𝑑

𝑑𝑥[𝑐𝑓(𝑥)] = lim

ℎ→0[𝑐𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑐𝑓(𝑥)

ℎ]

= limℎ→0

𝑐 [𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ]

= 𝑐 limℎ→0

[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ]

= 𝑐𝑑

𝑑𝑥 𝑓(𝑥) ∎

Teorema 2.7

Jika suatu fungsi 𝑓 dan fungsi 𝑔 dapat diturunkan terhadap 𝑥, maka 𝑓 +

𝑔 dan 𝑓 − 𝑔 dan

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] =

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) +

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥),

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] =

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) −

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥).

Bukti :

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim

ℎ→0[(𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ)) − (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))

ℎ]


13

= limℎ→0

[(𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)) + (𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥))

ℎ]

= limℎ→0

[(𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥))

ℎ] + lim

ℎ→0[(𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥))

ℎ]

=𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) +

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥)

Dengan cara yang sama diperoleh 𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] =

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) −

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥) , maka

terbukti bahwa

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] =

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) ±

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥) ∎

Contoh :

Tentukan hasil dari turunan fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), dimana 𝑓(𝑥) = 2𝑥2

dan 𝑔(𝑥) = 𝑥3.

Penyelesaian :

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] =

𝑑

𝑑𝑥[2𝑥2] +

𝑑

𝑑𝑥[𝑥3]

= 4𝑥 + 3𝑥2 ∎

Teorema 2.8

Jika suatu fungsi 𝑓 dan fungsi 𝑔 dapat diturunkan terhadap 𝑥, maka

perkalian dari fungsi 𝑓 ∙ 𝑔 dan

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥) +

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)𝑔(𝑥).


14

Bukti :

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = lim

ℎ→0[(𝑓(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ)) − (𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥))

ℎ]

= limℎ→0

[𝑓(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) − (𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥))

ℎ]

= limℎ→0

[𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

ℎ+ 𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ]

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) ∙ limℎ→0

[𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

ℎ] + lim

ℎ→0𝑔(𝑥) ∙ lim

ℎ→0[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ]

= 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) ∎

Contoh :

Tentukan turunan dari 𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), dimana 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 1 dan 𝑔(𝑥) =

𝑥2 + 2.

Penyelesaian :

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥[(2𝑥3 − 1)(𝑥2 + 2)]

= (2𝑥3 − 1)𝑑

𝑑𝑥[𝑥2 + 2] +

𝑑

𝑑𝑥[2𝑥3 − 1](𝑥2 + 2)

= (2𝑥3 − 1)(2𝑥) + (6𝑥2)(𝑥2 + 2)

= (4𝑥4 − 2𝑥) + (6𝑥4 + 12𝑥2)

= 10𝑥4 + 12𝑥2 − 2𝑥 ∎


15

Teorema 2.9

Jika suatu fungsi 𝑓 dan fungsi 𝑔 dapat diturunkan terhadap 𝑥 dan 𝑔(𝑥) ≠ 0,

maka 𝑓

𝑔 dapat diturunkan terhadap 𝑥 dan

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)] =

𝑔(𝑥)𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥)] −

𝑑𝑑𝑥

[𝑔(𝑥)]𝑓(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2.

Bukti :

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)] = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥 + ℎ) −

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑓(𝑥)

ℎ ∙ 𝑔(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ)

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓(𝑥)

ℎ ∙ 𝑔(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ)

= limℎ→0

[𝑔(𝑥)𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ ] − [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

ℎ ]

𝑔(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ)

=limℎ→0

𝑔(𝑥) ∙ limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)ℎ − lim

ℎ→0𝑓(𝑥) ∙ lim

ℎ→0

𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)ℎ

limℎ→0


𝑔(𝑥 + ℎ)

=[lim

ℎ→0 𝑔(𝑥)] ∙

𝑑𝑑𝑥

[𝑓(𝑥)] − [limℎ→0

𝑓(𝑥)] ∙𝑑

𝑑𝑥[𝑔(𝑥)]

limℎ→0


𝑔(𝑥 + ℎ)

=𝑔(𝑥)

𝑑𝑑𝑥

[𝑓(𝑥)] − 𝑓(𝑥)𝑑

𝑑𝑥[𝑔(𝑥)]

[𝑔(𝑥)]2 ∎


16

Contoh :

Tentukan turunan dari 𝑦, dimana 𝑦 = 𝑥2−𝑥

𝑥+5

Penyelesaian :

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥[𝑥2 − 𝑥

𝑥 + 5] =

(𝑥 + 5)𝑑

𝑑𝑥[𝑥2 − 𝑥] − (𝑥2 − 𝑥)

𝑑𝑑𝑥

[𝑥 + 5]

(𝑥 + 5)2

=(𝑥 + 5)(2𝑥 − 1) − (𝑥2 − 𝑥)(1)

(𝑥 + 5)2

=10𝑥2 + 9𝑥 − 5 − 𝑥2 + 𝑥

(𝑥 + 5)2

=9𝑥2 + 10𝑥 − 5

(𝑥 + 5)2 ∎

B. Aturan Rantai

Dalam subbab ini akan membahas tentang definisi, teorema, dan contoh yang

berhubungan dengan aturan rantai (Larson and Edwards, 2009).

Teorema 2.10

Jika suatu fungsi 𝑔 dapat diturunkan terhadap 𝑥 dan fungsi 𝑓 dapat

diturunkan terhadap 𝑔(𝑥), maka komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 juga dapat diturunkan terhadap

𝑥, yang didefiniskan 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) yang dapat diturunkan terhadap 𝑥 dan 𝐹′

adalah hasil perkalian dari

𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥)

Jika

𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥),


17

sehingga 𝑦 = 𝑓(𝑢), maka

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢∙

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Bukti :

Misalkan 𝑢 = 𝑔(𝑥) adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap 𝑎 dan 𝑦 = 𝑓(𝑢)

adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap 𝑏 = 𝑔(𝑎). Jika ∆𝑥 adalah suatu ke-

naikan dari 𝑥, sedangkan ∆𝑢 dan ∆𝑦 juga merupakan suatu kenaikan yang ber-

sesuaian dengan 𝑢 dan 𝑦. Maka dapat dituliskan sebagai berikut

∆𝑢 = 𝑔′(𝑎)∆𝑥 + 𝜀1∆𝑥

= [𝑔′(𝑎) + 𝜀1]∆𝑥

dimana 𝜀1 → 0 sebagai ∆𝑥 → 0. Demikian pula dengan

∆𝑦 = 𝑓′(𝑏)∆𝑢 + 𝜀2∆𝑢

= [𝑓′(𝑏) + 𝜀2]∆𝑢

dimana 𝜀2 → 0 sebagai ∆𝑢 → 0. Jika disubstitusikan maka akan menjadi

∆𝑦 = [𝑓′(𝑏) + 𝜀2][𝑔′(𝑎) + 𝜀1]∆𝑥

∆𝑦

∆𝑥= [𝑓′(𝑏) + 𝜀2][𝑔′(𝑎) + 𝜀1]

dengan ∆𝑥 → 0, dari persamaan ∆𝑢 = [𝑔′(𝑎) + 𝜀1]∆𝑥 ditunjukkan bahwa ∆𝑢 → 0.

Jadi 𝜀1 → 0 dan 𝜀2 → 0 sebagai ∆𝑥 → 0. Maka dari itu

𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥

= lim∆𝑥→0

[𝑓′(𝑏) + 𝜀2][𝑔′(𝑎) + 𝜀1]

= 𝑓′(𝑏)𝑔′(𝑎)


18

= 𝑓′(𝑔(𝑎))𝑔′(𝑎) ∎

Contoh :

Tentukan 𝐹′(𝑥) jika 𝐹(𝑥) = √𝑥2 + 1

Penyelesaian :

Misalkan 𝑢 = 𝑥2 + 1 dan 𝑦 = √𝑢, maka

𝐹′(𝑥) =𝑑𝑦

𝑑𝑢∙

𝑑𝑢

𝑑𝑥

=1

2√𝑢 (2𝑥)

=1

2√𝑥2 + 1 (2𝑥)

=𝑥

√𝑥2 + 1 ∎

C. Integral

Dalam subbab ini akan dibahas tentang definisi dan contoh-contoh yang

berhubungan dengan integral.

Definisi 2.11

Suatu fungsi 𝐹 disebut antiderivatif dari fungsi 𝑓 pada interval terbuka, jika

𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 pada interval tersebut.


19

Contoh :

Fungsi 𝐹(𝑥) =1

3𝑥3 adalah antiderivatif dari 𝑓(𝑥) = 𝑥2 pada interval

(−∞, +∞), karena untuk setiap 𝑥 pada interval

𝐹′(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥[

1

3𝑥3] = 𝑥2 = 𝑓(𝑥).

Akan tetapi, 𝐹(𝑥) =1

3𝑥3 bukan satu-satunya antiderivatif dari 𝑓 pada interval

tersebut. Jika menambahkan suatu konstanta 𝐶, maka fungsi 𝐺(𝑥) =1

3𝑥3 adalah

antiderivatif dari 𝑓 pada interval (−∞, +∞), sehingga

𝐺′(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥[

1

3𝑥3 + 𝐶] = 𝑥2 + 0 = 𝑥2 = 𝑓(𝑥). ∎

Teorema 2.12

Jika 𝐹(𝑥) adalah antiderivatif dari fungsi 𝑓 pada interval 𝐼, maka 𝐺(𝑥)

adalah integral dari 𝑓 pada interval 𝐼 jika dan hanya jika 𝐺 memiliki bentuk

persamaan 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶, untuk setiap 𝑥 pada interval 𝐼 dan dimana 𝐶 adalah

suatu konstanta.

Bukti :

(⟹) Andaikan 𝐺 integral dari 𝑓, didefinisikan fungsi 𝐻 seperti berikut

𝐻(𝑥) = 𝐺(𝑥) − 𝐹(𝑥)

Ambil sebarang dua titik 𝑎 dan 𝑏 pada interval dengan (𝑎 < 𝑏), 𝐻 kontinu pada

[𝑎, 𝑏] dan terdiferensial pada [𝑎, 𝑏], sehingga

𝐻′(𝑐) =𝐻(𝑏) − 𝐻(𝑎)

𝑏 − 𝑎


20

dimana 𝑐 pada interval [𝑎, 𝑏]. Namun, 𝐻′(𝑐) = 0 sehingga didapatkan 𝐻(𝑎) =

𝐻(𝑏). Karena 𝑎 dan 𝑏 adalah sebarang titik pada interval terbuka, maka dapat

diketahui bahwa 𝐻 adalah fungsi konstan 𝐶. Dengan demikian,

𝐺(𝑥) − 𝐹(𝑥) = 𝐶 dan 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶.

(⟸) Jika 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) dan 𝐶 adalah konstanta, maka

𝐺′(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥[𝐹(𝑥) + 𝐶] = 𝐹′(𝑥) + 0 = 𝑓(𝑥)

sehingga didapatkan 𝐺 merupakan integral dari 𝑓. ∎

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari 𝑦′ = 5.

Penyelesaian :

Berdasarkan teorema didapat 𝑦 = 5𝑥 + 𝐶. ∎

D. Integral Tentu

Dalam subbab ini akan membahas tentang definisi, teorema, dan contoh-

contoh tentang integral tentu.

Definisi 2.13

Suatu fungsi 𝑓 dapat dikatakan terintegrasi pada interval tertutup [𝑎, 𝑏] jika

nilai limit dari

limmax ∆𝑥𝑘→0

∑ 𝑓(𝑥𝑘∗)∆𝑥𝑘

𝑛

𝑘=1

ada dan tidak bergantung pada titik 𝑥𝑘∗ dalam subinterval. Maka limitnya dinyatakan

dengan simbol


21

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= limmax ∆𝑥𝑘→0

∑ 𝑓(𝑥𝑘∗)∆𝑥𝑘

𝑛

𝑘=1

yang disebut integral tentu dari 𝑓 pada interval 𝑎 ke 𝑏. Nilai dari 𝑎 disebut batas

bawah dari limit integrasi dan 𝑏 disebut batas atas dari limit integrasi, sedangkan

fungsi 𝑓(𝑥) disebut integran.

Teorema 2.14

Jika suatu fungsi 𝑓 kontinu pada interval [𝑎, 𝑏], maka 𝑓 dapat diintegralkan

pada [𝑎, 𝑏], dan area 𝐴 yang berada diantara grafik fungsi 𝑓 pada interval [𝑎, 𝑏]

adalah

𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

.

Bukti dapat dilihat pada buku karangan Howard Anton et.al (2012) yang berjudul

Calculus (edisi kesepuluh).

Contoh :

Hitunglah ∫ 𝑥 𝑑𝑥2

1 .

Penyelesaian :

Fungsi 𝐹(𝑥) =1

2𝑥2 adalah intergal dari 𝑓(𝑥) = 𝑥 , sehingga

∫ 𝑥 𝑑𝑥2

1

= [ 1

2𝑥2 ]

1

2

= 1

2(2)2 −

1

2(1)2 = 2 −

1

2=

3

2 .


22

E. Klasifikasi Persamaan Diferensial

Dalam persamaan diferensial mempunyai beberapa klasifikasi yang

diantaranya (Ross, 2004)

1. Persamaan Diferensial

Definisi 2.15

Suatu persamaan yang melibatkan turunan fungsi dari satu atau lebih

variabel terikat dengan satu atau lebih variabel bebas disebut persamaan

differensial.

Contoh :

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 + 𝑥𝑦 (𝑑𝑦

𝑑𝑥)

2

= 0 (2.1)

𝑑3𝑥

𝑑𝑡3 + 2 𝑑2𝑥

𝑑𝑡2 + 𝑥 = sin 𝑡 (2.2)

𝜕𝑣

𝜕𝑡+

𝜕𝑣

𝜕𝑠= 𝑣 (2.3)

𝜕2𝑣

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑣

𝜕𝑦2 +𝜕2𝑣

𝜕𝑧2 = 0 (2.4)

2. Persamaan Diferensial Biasa

Definisi 2.16

Persamaan diferensial yang melibatkan turunan biasa dari suatu fungsi

yang memiliki satu atau lebih variabel terikat dengan tepat satu variabel bebas

disebut dengan persamaan diferensial biasa.


23

Contoh :

Persamaan diferensial biasa dapat dilihat pada persamaan (2.1) dan (2.2). Pada

persamaan (2.1) merupakan persamaan diferensial biasa dengan 𝑥 adalah variabel

bebas dan 𝑦 adalah variabel terikat. Sedangkan pada persamaan (2.2) merupakan

persamaan diferensial biasa dengan 𝑡 variabel bebas dan 𝑥 adalah variabel terikat.

3. Persamaan Diferensial Parsial

Definisi 2.17

Persamaan diferensial yang melibatkan turunan parsial dari suatu fungsi

yang memiliki satu atau lebih variabel terikat dengan tepat satu variabel bebas

disebut dengan persamaan diferensial parsial.

Contoh :

Persamaan (2.3) dan (2.4) merupakan persamaan diferensial pasial. Pada persamaan

(2.3) merupakan persamaan diferensial parsial dengan 𝑠 dan 𝑡 adalah variabel bebas

dan 𝑣 adalah variabel terikat. Sedangkan pada persamaan (2.4) merupakan

persamaan diferensial biasa dengan tiga variabel bebas yaitu 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 sedangkan

𝑣 adalah variabel terikat.

4. Tingkat Persamaan Diferensial Parsial (Orde)

Definisi 2.18

Urutan tingkatan tertinggi yang terlibat dalam persamaan diferensial disebut

dengan orde dari persamaan diferensial.


24

Contoh :

Persamaan diferensial (2.1) merupakan persamaan diferensial biasa orde dua. Pada

persamaan diferensial (2.2) merupakan persamaan diferensial biasa orde tiga.

Sedangkan persamaan diferensial (2.3) dan (2.4) merupakan persamaan diferensial

parsial orde satu dan orde 2.

5. Persamaan Diferensial Biasa Linear

Definisi 2.19

Persamaan diferensial biasa orde 𝑛 dikatakan linear, dalam variabel

terikat 𝑦 dan variabel bebas 𝑥, adalah suatu persamaan yang dapat dibentuk menjadi

𝑎0(𝑥) 𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛 + 𝑎1(𝑥) 𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1 + . . . + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥),

dimana 𝑎0 tidak sama dengan nol.

Contoh :

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 + 3 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 5𝑦 = 0 , (2.5)

𝑑4𝑦

𝑑𝑥4 + 𝑥 𝑑3𝑦

𝑑𝑥3 + 𝑥2 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥𝑒𝑥 (2.6)

Persamaan diferensial (2.5) dan (2.6) adalah linear. Kedua persamaan diferensial

tersebut memiliki variabel terikat yaitu 𝑦. Dapat diperhatikan bahwa 𝑦 dan berbagai

turunannya terjadi pada pangkat satu saja dan tidak ada perkalian dari 𝑦 dan atau

turunan dari 𝑦.

6. Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear

Definisi 2.20

Suatu persamaan diferensial yang tidak linear disebut dengan

persamaan diferensial nonlinear.


25

Contoh :

Berikut ini adalah persamaan diferensial biasa nonlinear

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 3

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 7𝑦2 = 0 (2.7)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 7 (

𝑑𝑦

𝑑𝑥)

3

+ 7𝑦 = 0 (2.8)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 3𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 7𝑦 = 0 (2.9)

Persamaan diferensial biasa (2.7) nonlinear karena variabel terikat 𝑦 ada pada

pangkat kedua dalam bentuk 7𝑦2. Kemudian persamaan diferensial biasa (2.8)

nonlinear karena terdapat 7 (𝑑𝑦

𝑑𝑥)

3

, pada suku tersebut melibatkan pangkat tiga pada

turunan pertamanya. Sedangkan pada persamaan diferensial biasa (2.9) nonlinear

karena terdapat 3𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑥 , dimana suku tersebut terdapat perkalian dengan variabel

terikat pada turunan pertamanya.

F. Persamaan Diferensial Parsial

Dalam subbab ini akan dibahas tentang definisi dari turunan parsial, notasi-

notasi yang digunakan dalam persamaan diferensial parsial, dan contoh-contoh dari

persamaan diferensial parsial (Larson et.al, 2009).

Definisi 2.21 Turunan parsial dari fungsi dua variabel

Jika 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), maka turunan parsial orde pertama dari 𝑓 terhadap 𝑥 dan

𝑦 adalah 𝑓𝑥 dan 𝑓𝑦 didefinisikan

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)

∆𝑥

𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)

∆𝑦

dimana nilai limitnya ada.


26

Contoh :

Carilah turunan parsial 𝑓𝑥 dan 𝑓𝑦 dari fungsi

1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑥2𝑦2 + 𝑥3𝑦

2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦3 + 𝑥2𝑦2 − 𝑦 − 5

Penyelesaian :

1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑥2𝑦2 + 𝑥3𝑦

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 1 + 2𝑥𝑦2 + 3𝑥2𝑦

𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2𝑦 + 𝑥3

2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦3 + 𝑥2𝑦2 − 𝑦 − 5

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑦3 + 2𝑥𝑦2

𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦2 + 2𝑥2𝑦 − 1 ∎

Notasi yang digunakan dalam turunan parsial orde pertama yaitu :

Untuk 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), maka turunan parsial dari 𝑓𝑥 dan 𝑓𝑦 dinotasikan sebagai

𝜕

𝜕𝑥𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑧𝑥 =

𝜕𝑧

𝜕𝑥

dan

𝜕

𝜕𝑦𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑧𝑦 =

𝜕𝑧

𝜕𝑦

Sedangkan turunan parsial pertama pada titik (𝑎, 𝑏) dinotasikan

𝜕𝑧

𝜕𝑥|

(𝑎,𝑏)= 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏) dan

𝜕𝑧

𝜕𝑦|

(𝑎,𝑏)

= 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏)


27

Definisi2.22 Turunan parsial dengan tingkat tinggi

Misalkan 𝑓 adalah suatu fungsi dari dua variabel yaitu 𝑥 dan 𝑦. Karena

turunan parsial 𝜕𝑓

𝜕𝑥 dan

𝜕𝑓

𝜕𝑦 juga merupakan suatu fungsi 𝑥 dan fungsi 𝑦, jika fungsi-

fungsi tersebut mempunyai turunan parsialnya sehingga didapatkan empat

kemungkinan dari turunan parsial tingkat dua yaitu:

1. Turunan kedua terhadap 𝑥

𝜕

𝜕𝑥(

𝜕𝑓

𝜕𝑥) =

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2= 𝑓𝑥𝑥

2. Turunan kedua terhadap 𝑦

𝜕

𝜕𝑦(

𝜕𝑓

𝜕𝑦) =

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2= 𝑓𝑦𝑦

3. Turunan pertama terhadap 𝑥 kemudian terhadap 𝑦

𝜕

𝜕𝑦(

𝜕𝑓

𝜕𝑥) =

𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥= 𝑓𝑥𝑦

4. Turunan pertama terhadap 𝑦 kemudian terhadap 𝑥

𝜕

𝜕𝑥(

𝜕𝑓

𝜕𝑦) =

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦= 𝑓𝑦𝑥 .

Pada kasus 3 dan 4 disebut dengan turunan parsial campuran.

Contoh :

Carilah turunan parsial kedua dari fungsi

1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥𝑦2 − 3𝑦 + 2𝑥2

2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦3 + 𝑥3𝑦


28

Penyelesaian :

1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥𝑦2 − 3𝑦 + 2𝑥2

Dari fungsi 𝑓 tersebut didapatkan

𝜕

𝜕𝑥𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑦2 + 4𝑥 dan

𝜕

𝜕𝑦𝑓(𝑥, 𝑦) = 10𝑥𝑦 − 3

Sehingga

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2=

𝜕

𝜕𝑥(

𝜕𝑓

𝜕𝑥) = 4

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2=

𝜕

𝜕𝑦(

𝜕𝑓

𝜕𝑦) = 10𝑥

𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑦(

𝜕𝑓

𝜕𝑥) = 10𝑦

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕

𝜕𝑥(

𝜕𝑓

𝜕𝑦) = 0

2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦3 + 𝑥3𝑦

Dari fungsi 𝑓 tersebut didapatkan

𝜕

𝜕𝑥𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦3 + 3𝑥2𝑦 dan

𝜕

𝜕𝑦𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2𝑦2 + 𝑥3

Sehingga

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2=

𝜕

𝜕𝑥(

𝜕𝑓

𝜕𝑥) = 2𝑦3 + 6𝑥𝑦

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2=

𝜕

𝜕𝑦(

𝜕𝑓

𝜕𝑦) = 6𝑥2𝑦

𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑦(

𝜕𝑓

𝜕𝑥) = 6𝑥𝑦2 + 3𝑥2

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕

𝜕𝑥(

𝜕𝑓

𝜕𝑦) = 6𝑥𝑦2 + 3𝑥2 ∎


29

G. Karakteristik Persamaan Diferensial Parsial

Bentuk umum persamaan diferensial parsial linear orde dua dengan dua

variabel bebas yaitu 𝑥 dan 𝑦 didapatkan

𝐴𝑢𝑥𝑥 + 𝐵𝑢𝑦𝑦 + 𝐶𝑢𝑥𝑦 + 𝐷 = 0

dimana 𝐴, 𝐵, 𝐶, dan 𝐷 merupakan fungsi dari 𝑥 dan 𝑦. Persamaan tersebut mem-

iliki beberapa sifat yang didefinisikan sebagai berikut (Debnath, 2012):

Definisi

Jika 𝐵2 − 4𝐴𝐶 > 0 , maka persamaan diferensial parsial tersebut adalah

hiperbolik.

Contoh :

1. Persamaan gelombang 𝑢𝑡𝑡 + 𝑐2𝑢𝑥𝑥 = 0, merupakan persamaan diferensial

parsial hiperbolik

2. Persamaan 2𝑢𝑥𝑥 − 6𝑢𝑥𝑦 + 2𝑢𝑦𝑦 = 0, merupakan persamaan diferensial

partial hiperbolik karena 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 20 > 0.

Definisi

Jika 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0 , maka persamaan diferensial parsial tersebut adalah

parabolik.

Contoh:

1. Persamaan panas 𝑢𝑡 + 𝛼2𝑢𝑥𝑥 = 0, merupakan persamaan diferensial

parsial parabolik.


30


parsial parabolik karena 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0.

Definisi

Jika 𝐵2 − 4𝐴𝐶 < 0 , maka persamaan diferensial parsial tersebut adalah

eliptik.

Contoh:

1. Persamaan Laplace 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0, merupakan persamaan diferensial

parsial eliptik.


parsial eliptik karena 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = −8 < 0.

H. Pemodelan Matematis

Pemodelan matematis adalah usaha perumusan matematika yang dirancang

untuk sistem dan fenomena atau kejadian alam di dunia nyata. Dalam suatu kejadian

nyata memodelkan secara matematis tidak hanya ada satu model saja, tetapi ada

beberapa model yang berbeda dalam satu kejadian. Akan tetapi perbedaan antar

model tidak terlalu signifikan, karena dalam suatu model dapat menggunakan

kombinasi beberapa model yang ada. Pada pemodelan matematis, model yang akan

dibuat harus dapat merepresentasikan kejadian nyata, dan dapat menstabilkan suatu

kondisi yang mempengaruhi model, seperti pada saat pengumpulan data. Langkah-

langkah dalam merumuskan suatu model matematis antara lain (Giordano et al,

2003)


31

1. Indentifikasi Masalah

Identifikasi masalah merupakan langkah awal yang harus dilakukan saat

membuat model matematis. Langkah ini merupakan bagian yang penting dalam

perumusan model, pada saat mengidentifikasi harus sesuai dengan masalah tersebut

agar memudahkan dalam langkah selanjutnya. Dalam langkah ini biasanya

menganalisis, mengelompokkan data dan mengidentifikasi aspek-aspek dari

permasalahan.

2. Membuat asumsi-asumsi

Langkah setelah pengidentifikasian adalah pembuatan asumsi-asumsi. Pada

umumnya dalam pembuatan model matematis tidak bisa menggunakan semua

faktor yang ada pada pengidentifikasian. Oleh karena itu dalam pembuatan model

matematis disederhanakan dengan mengurangi beberapa faktor yang

dipertimbangkan agar mempermudah dalam memodelkan. Faktor-faktor yang

tersisa harus dikaitkan satu sama lain, dan dengan mengasumsikan hubungan antar

faktor tersebut kompleksitas akan berkurang. Dalam pembuatan asumsi dibagi

menjadi dua bagian antara lain :

a. Mengklasifikasikan variabel

Hal-hal yang dihasilkan pada saat pengidentifikasian langkah pertama

disebut dengan variabel. Variabel diklasifikasikan menjadi tiga yaitu variabel

bebas, variabel terikat, dan tidak keduanya. Dalam variabel bebas ada beberapa

yang dapat diabaikan karena pengaruh dari variabel tersebut yang relatif kecil dan

faktor yang mempengaruhi berbagai variabel dengan cara yang hampir sama,

meskipun memiliki pengaruh penting. Misalnya, pertimbangan bentuk optimal

ruang sekolah, dimana para siswa dapat membaca tulisan di papan tulis dengan jelas

merupakan kriteria yang penting, selain itu pencahayaan juga merupakan hal

penting.

b. Menentukan keterkaitan antar variabel yang dipilih

Dalam menentukan keterkaitan antar variabel tidaklah mudah, pada

langkah awal tidak terlihat hubungan antara semua variabel. Kasus ini disarankan


32

untuk mempelajari submodel, yaitu dengan mempelajari satu atau lebih variabel

bebas secara terpisah. Setelah itu menghubungkan submodel secara bersamaan.

3. Memecahkan atau menyelesaikan model

Langkah ketiga adalah memecahkan atau menginterpretasikan model. Dalam

beberapa kasus model dapat terdiri dari persamaan matematika ataupun

ketidaksetaraan yang harus dipecahkan untuk mendapatkan suatu solusi. Saat

memecahkan masalah membutuhkan solusi terbaik atau optimal untuk model

tersebut. Jika masalah tersebut sangat sulit dan tidak bisa untuk dipecahkan atau

ditafsirkannya. Dengan demikian kembali ke langkah 2 dengan membuat asumsi

penyederhanaan tambahan agar memudahkan dalam pemecahan masalah.

4. Verifikasi model

Verifikasi model. Sebelum menggunakan model, harus dilakukan pengetesan

atau pengujian data. Ada beberapa hal dalam pengujian yang harus dilakukan

diantaranya adalah pertama, model tersebut harus sesuai dengan pengidentifikasian

pada lanngkah awal. Kedua, model tersebut harus mudah diaplikasikan atau praktis.

Ketiga, model tersebut harus dibuat sesuai dengan realita dengan kata lain model

tersebut harus realistik.

5. Implementasi model

Pengimplentasian model ini di harapkan dapat menjadi acuan dalam

pembuatan keputusan dan model ini dapat dimengerti dengan mudah. Selain itu

model tersebut dapat itu berguna bagi siapa pun. Selanjutnya, selain model yang

mudah digunakan akan lebih baik dilakukan langkah tambahan untuk memfasilitasi

pengumpulan dan input data yang diperlukan untuk menentukan keberhasilan atau

kegagalannya model tersebut.


33

6. Mempertahankan model

Langkah ini merupakan langkah terakhir dalam membuatan model. Pada

langkah ini model tersebut harus dipertahankan bedasarkan pengidentifikasian dan

asumsi-asumsi yang telah dibuat di langkah pertama dan ke dua.

I. Metode Numeris Untuk Persamaan Diferensial

Dalam subbab ini akan dibahas tentang turunan numeris dengan tiga

pendekatan numeris yaitu hampiran beda maju, hampiran beda tengah, dan

hampiran beda mundur.

Definisi 2.26

Turunan suatu fungsi didefinisikan sebagai berikut


𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

Bila fungsi 𝑓(𝑥) diberikan secara eksplisit, maka dapat ditentukan fungsi turun-

annya. Akan tetapi jika fungsi 𝑓(𝑥) tidak diketahui secara eksplisit dan hanya

diketahui beberapa titik saja. Pada kasus seperti itu tidak dapat menentukan nilai

turunan fungsi secara analatik. Meskipun fungsi 𝑓(𝑥) diketahui secara eksplisit

akan tetapi bentuknya terlalu rumit sehingga untuk menentukan fungsi turunannya

juga sulit. Sebagai contoh dari fungsi-fungsi yang sulit untuk diturunkan yaitu:

a. 𝑓(𝑥) =√sin(2𝑥2)+𝑥 tan(3𝑥)

sin 𝑥+𝑒𝑥−2𝑥

cos 𝑥

b. 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑒(3𝑥−2) ln(5𝑥2)

Untuk kasus pada fungsi (a) dan fungsi (b) turunan dari fungsi tersebut dapat dil-

akukan dengan menggunakan metode numeris. Dan nilai turunan yang diperoleh

merupakan nilai hampiran dengan galat yang diharapkan kecil.


34

Ada tiga pendekatan yang digunakan untuk menghitung turunan numeris

yaitu hampiran beda maju, hampiran beda pusat, dan hampiran beda mundur.

Misalkan diberikan nilai 𝑥 pada 𝑥0 − ℎ, 𝑥0, dan 𝑥0 + ℎ, serta nilai fungsi untuk

nilai-nilai 𝑥 tersebut. Sehingga titik-titik yang diperoleh adalah (𝑥−1, 𝑓−1), (𝑥0, 𝑓0),

dan (𝑥1, 𝑓1), yang dalam hal ini 𝑥−1 = 𝑥0 − ℎ dan 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ. Terdapat tiga pen-

dekatan dalam menghitung 𝑓′(𝑥0) yaitu:

1. Hampiran beda maju

Turunan fungsi 𝑓 dititik 𝑥0 dengan menggunakan hampiran beda maju

adalah

𝑓′(𝑥0) = limℎ→0

𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)

ℎ

≈𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)

ℎ

=𝑓1 − 𝑓0

ℎ

2. Hampiran beda pusat

Turunan fungsi 𝑓 dititik 𝑥0 dengan menggunakan hampiran beda pusat

adalah


𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ)

2ℎ

≈𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ)

2ℎ

=𝑓1 − 𝑓−1

2ℎ


35

3. Hampiran beda mundur

Turunan fungsi 𝑓 dititik 𝑥0 dengan menggunakan hampiran beda maju

adalah


𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥0 − ℎ)

ℎ

≈𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥0 − ℎ)

ℎ

=𝑓0 − 𝑓−1

ℎ


36

BAB III

MODEL KONTAMINASI AIR TANAH DAN

PENYELESAIANNYA

Bab ini akan membahas tentang pemodelan skema untuk persamaan ad-

veksi-difusi yang kemudian digunakan untuk model kontaminasi air tanah.

A. Persamaan Adveksi-Difusi Satu Dimensi

Dalam subbab ini akan dibahas tentang persamaan adveksi, persamaan difusi,

dan persamaan adveksi-difusi berdasarkan hukum kekekalan massa.

1. Hukum Kekekalan Massa

Dalam penurunan hukum kekekalan massa, notasi yang akan digunakan

adalah variabel waktu dinyatakan dengan 𝑡 dan variabel jarak dinyatakan dengan 𝑥.

Kemudian untuk menyatakan kecepatan pada posisi 𝑥 dan waktu 𝑡 adalah 𝑢(𝑥, 𝑡).

Sedangkan 𝑞(𝑥, 𝑡) menyatakan konsentrasi zat polutan. Dalam menurunkan

persamaan hukum kekekalan massa terdapat beberapa asumsi. Diasumsikan aliran

air berada dalam satu dimensi dan hanya melibatkan variabel ruang 𝑥 pada waktu

𝑡. Kemudian diasumsikan bahwa tempat air kedap atau tertutup rapat, aliran air

tenang tanpa gangguan dari luar dan kecepatan diabaikan. Maka dari itu massa akan

bergerak melewati titik 𝑥1 dan 𝑥2 karena massa bersifat kekal. Sedemikian

sehingga,

𝑀 = ∫ 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑥1

𝑥2 (3.1)

merepresentasikan massa total pelacak antara selang [𝑥1, 𝑥2] pada waktu 𝑡 dan

memiliki satuan massa (𝑔/𝑚2).

Total massa pada [𝑥1, 𝑥2] dapat berubah hanya karena flux atau aliran pertikel

pada [𝑥1, 𝑥2]. Andaikan 𝐹𝑖(𝑡) adalah posisi pelacak yang melewati titik 𝑥𝑖 dimana


37

𝑖 = 1,2. Saat 𝐹𝑖(𝑡) < 0 maka pelacak mengalir ke kiri, sedangkan saat 𝐹𝑖(𝑡) > 0

maka pelacak mengalir ke kanan, untuk setiap |𝐹𝑖(𝑡)| dengan satuan gram per detik.

Karena total massa pada [𝑥1, 𝑥2] berubah hanya saat flux di titik akhir, maka

diperoleh persamaaan

𝑑

𝑑𝑡∫ 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥

𝑥1

𝑥2= 𝐹1(𝑡) − 𝐹2(𝑡). (3.2)

Fungsi aliran 𝐹𝑖(𝑡) mempunyai kaitan dengan 𝑞(𝑥, 𝑡), sehingga akan didapatkan

suatu persamaan untuk 𝑞. Flux pada setiap titik 𝑥 dan waktu 𝑡 merupakan hasil dari

perkalian massa jenis 𝑞(𝑥, 𝑡) dan kecepatan 𝑢(𝑥, 𝑡), sehingga fungsi flux menjadi

flux pada (𝑥, 𝑡) = 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡). (3.3)

Pada hal ini, kecepatan menggambarkan seberapa cepat partikel yang

bergerak melewati titik 𝑥 (meter per detik), sedangkan massa jenis 𝑞

menggambarkan seberapa banyak partikel kimia yang ada di dalam aliran di setiap

𝑥 (gram per detik). Karena 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah fungsi yang diketahui, sehingga

persamaan (3.3) dapat dinyatakan menjadi

flux pada (𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑞, 𝑥, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡)𝑞. (3.4)

Secara umum nilai flux 𝑓(𝑞) bergantung pada nilai 𝑞 , maka persamaan (3.2) dapat

dinyatakan menjadi

𝑑


𝑥1

𝑥2= 𝑓(𝑞(𝑥1, 𝑡)) − 𝑓(𝑞(𝑥2, 𝑡)) (3.5)

pada sisi kanan dapat disederhanakan dengan notasi sebagai berikut

𝑑


𝑥1

𝑥2= −𝑓(𝑞(𝑥, 𝑡))|𝑥2

𝑥1 (3.6)

Diasumsikan 𝑞 dan 𝑓 adalah fungsi halus maka persamaan (3.5) dapat ditulis

menjadi

𝑑


𝑥1

𝑥2= − ∫

𝜕

𝜕𝑥𝑓(𝑞(𝑥, 𝑡))

𝑥1

𝑥2𝑑𝑥, (3.7)

atau


38

𝑑


𝑥1

𝑥2+ ∫

𝜕

𝜕𝑥𝑓(𝑞(𝑥, 𝑡))

𝑥1

𝑥2𝑑𝑥 = 0, (3.8)

berdasarkan sifat integral tentu maka persamaan (3.8) dapat dinyatakan menjadi

∫ [𝜕

𝜕𝑡𝑞(𝑥, 𝑡) +

𝜕

𝜕𝑥𝑓(𝑞(𝑥, 𝑡))]

𝑥1

𝑥2𝑑𝑥 = 0 (3.9)

Karena dari persamaan (3.9) integralnya harus sama dengan nol untuk semua 𝑥1

dan 𝑥2 , sehingga persamaan (3.9) menjadi

𝜕

𝜕𝑡𝑞(𝑥, 𝑡) +

𝜕

𝜕𝑥𝑓(𝑞(𝑥, 𝑡)) = 0. (3.10)

Persamaan (3.10) disebut bentuk diferensial dari hukum kekekalan massa. Sehingga

persamaan hukum kekekalan massa dapat dituliskan menjadi

𝑞𝑡 + 𝑓(𝑞)𝑥 = 0. (3.11)

2. Persamaan Adveksi

Dalam memodelkan persamaan adveksi, diasumsikan zat yang terkandung di

dalam aliran mempunyai konsentrasi sangat kecil, sehingga besarnya konsentrasi

tidak berpengaruh pada dinamika fluida. Dengan kata lain andaikan terdapat sebuah

polutan dalam aliran tersebut maka polutan tersebut akan ikut mengalir sampai ke

hilir tanpa adanya proses penyebaran sedikitpun. Berarti, kecepatan aliran 𝑢(𝑥, 𝑡)

adalah konstan. Sehingga persamaan (3.4) dapat ditulis menjadi

flux pada (𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑞, 𝑥, 𝑡) = ��𝑞, (3.12)

dari persamaan (3.11) didapat

𝑞𝑡 + (��𝑞)𝑥 = 0. (3.13)

Persamaan (3.13) adalah persamaan adveksi.


39

3. Persamaan Difusi

Dalam proses difusi, diasumsikan fluida dalam pipa tidak mengalir dan

kecepatan aliran adalah nol. Berdasarkan persamaan adveksi maka mengakibatkan

��𝑡 = 0 dan konsentrasi polutan tidak berubah terhadap waktu. Akan tetapi, jika

konsentrasi polutan tidak konstan pada ruang, maka seharusnya konsentrasi polutan

masih cenderung berubah secara perlahan karena molekul difusi. Kecepatan ��

harus dianggap sebagai kecepatan rata-rata, dengan kecepatan rata-rata 1023

molekul dalam setetes air. Namun molekul individu bergerak memantul di berbagai

arah, dan begitu pula molekul zat yang dilacak cenderung menyebar di air seperti

tinta yang menyebar dalam air. Hukum Fick tentang difusi menyatakan bahwa flux

bersih sebanding dengan gradien dari 𝑞 , yang ada di dalam ruang satu dimensi

adalah turunannya 𝑞𝑥 . pada titik ini, flux pada titik 𝑥 bergantung pada nilai 𝑞𝑥 dan

tidak bergantung pada nilai 𝑞 , sehingga dapat dinyatakan dengan

flux dari 𝑞 = 𝑓(𝑞𝑥) = −𝛽𝑞𝑥 (3.14)

Persamaan (3.14) merupakan Hukum Pertama Fick tentang difusi, dimana 𝛽 adalah

koefisien difusi. Dengan menggunakan flux (3.14) persamaan (3.10) menjadi

𝑞𝑡 = 𝛽𝑞𝑥𝑥 , (3.15)

persamaan (3.15) merupakan persamaan difusi.

4. Persamaan Adveksi-Difusi

Di dalam aliran fluida, secara umum akan dipengaruhi oleh proses adveksi

dan difusi terjadi secara bersamaan. Maka nilai fluxnya menjadi

𝑓(𝑞, 𝑞𝑥) = �� − 𝛽𝑞𝑥 , (3.16)

dan menghasilkan persamaan adveksi-difusi

𝑞𝑡 + ��𝑞𝑥 = 𝛽𝑞𝑥𝑥. (3.17)


40

B. Perumusan untuk Hukum Kekekalan dengan Metode Volume Hingga

Metode volume hingga adalah salah satu cabang dari metode numeris.

Metode tersebut digunakan untuk mewakili atau mengevaluasi persamaan diferen-

sial parsial. Dalam perumusan hukum kekekalan massa, metode volume hingga

bekerja dengan membagi domain spasial ke dalam interval (grid sel) dan

mengaproksimasi integral 𝑞 untuk masing-masing volume grid sel. Dalam satu

dimensi ruang, metode volume hingga didasarkan pada pengelompokan domain

suatu ruang ke dalam interval. Dengan kata lain pada setiap langkah waktu, nilai-

nilai integral tersebut diperbaharui dengan pendekatan terhadap flux di ujung

interval.

Misalkan grid sel ke-𝑖 dinyatakan dengan

𝐶𝑖 = (𝑥𝑖−

1

2

, 𝑥𝑖+

1

2

),

seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.1. Nilai 𝑄𝑖𝑛 merupakan perkiraan nilai

rata-rata 𝑖 pada interval waktu 𝑡𝑛

𝑄𝑖𝑛 ≈

1

∆𝑥∫ 𝑞(𝑥, 𝑡𝑛)𝑑𝑥 ≡

𝑥𝑖+1/2

𝑥𝑖−1/2

1

∆𝑥∫ 𝑞(𝑥, 𝑡𝑛)𝑑𝑥,

𝐶𝑖 (3.18)

dimana ∆𝑥 = 𝑥𝑖+

1

2

− 𝑥𝑖−

1

2

adalah panjang sel(titik).

Jika 𝑞(𝑥, 𝑡) adalah fungsi halus, maka integral dari persamaan (3.18)

menyatakan bahwa nilai 𝑞 di titik tengah dari interval ke 𝜗(∆𝑥2).


41

𝑄𝑖𝑛+1

𝑡𝑛+1

𝐹𝑖−1/2𝑛 𝐹𝑖+1/2

𝑛

𝑡𝑛

𝑄𝑖−1 𝑛 𝑄𝑖

𝑛 𝑄𝑖+1𝑛

Gambar 3.1. Metode volune hingga untuk memperbarui titik rata-rata 𝑄𝑖𝑛

dengan flux 𝑖 pada titik-titik ujung. Ditampilkan pada ruang 𝑥.

Karena ∑ 𝑄𝑖𝑛∆𝑥𝑁

𝑖=1 adalah aproksimasi dari integral 𝑞 pada seluruh interval [𝑎, 𝑏],

jika menggunakan metode hukum kekalan massa, maka jumlahan dari diskrit akan

berubah pada flux pada batas 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏.

Bentuk integral yang di dapatkan dari hukum kekekalan massa adalah

𝑑


𝐶𝑖= 𝑓 (𝑞 (𝑥

𝑖−1

2

, 𝑡)) − 𝑓 (𝑞 (𝑥𝑖+

1

2

, 𝑡)). (3.19)

Diberikan 𝑄𝑖𝑛 adalah rata-rata pada waktu 𝑡𝑛 , akan diperkirakan 𝑄𝑖

𝑛+1 pada rata-

rata waktu 𝑡𝑛+1 dengan selang waktu ∆𝑡 = 𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛. Integrasi dari persamaan

(3.19) terhadap waktu dari 𝑡𝑛 ke 𝑡𝑛+1 diperoleh

∫ 𝑞(𝑥, 𝑡𝑛+1)𝑑𝑥 − 𝐶𝑖

∫ 𝑞(𝑥, 𝑡𝑛)𝑑𝑥𝐶𝑖

= ∫ 𝑓 (𝑞 (𝑥𝑖−

12

)) 𝑑𝑡 −𝑡𝑛+1

𝑡𝑛

∫ 𝑓 (𝑞 (𝑥𝑖−

12

)) 𝑑𝑡𝑡𝑛+1

𝑡𝑛

.

Dengan menyederhanakan dan dibagi dengan ∆𝑥 didapatkan


42

1

∆𝑥∫ 𝑞(𝑥, 𝑡𝑛+1)𝑑𝑥

𝐶𝑖= ∫ 𝑞(𝑥, 𝑡𝑛)𝑑𝑥

𝐶𝑖

−1

∆𝑥[∫ 𝑓 (𝑞 (𝑥

𝑖−1

2

)) 𝑑𝑡 −𝑡𝑛+1

𝑡𝑛∫ 𝑓 (𝑞 (𝑥

𝑖−1

2

)) 𝑑𝑡𝑡𝑛+1

𝑡𝑛].(3.20)

Pada metode numeris diperoleh suatu persamaan

𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖

𝑛 −∆𝑡

∆𝑥(𝐹

𝑖+1

2

𝑛 − 𝐹𝑖−

1

2

𝑛 ) (3.21)

dimana 𝐹𝑖−

1

2

𝑛 adalah aproksimasi dari rata-rata flux pada 𝑥 = 𝑥𝑖−1/2

𝐹𝑖−

1

2

𝑛 ≈ 1

∆𝑡∫ 𝑓 (𝑞 (𝑥

𝑖−1

2

) , 𝑡) 𝑑𝑡𝑡𝑛+1

𝑡𝑛. (3.22)

Aproksimasi dari rata-rata flux yang didasarkan pada 𝑄𝑛 , maka akan didapatkan

semua metode diskrit atau metode beda hingga. Skema pada proses ini dapat dilihat

pada Gambar 3.1.

Dalam penyebaran dengan kecepatan terbatas, hal tersebut sesuai dengan

perkiraan dalam memperoleh 𝐹𝑖−

1

2

𝑛 berdasarkan pada nilai 𝑄𝑖−1𝑛 dan 𝑄𝑖

𝑛 adalah titik

rata-rata di kedua sisi yang dapat dilihat pada pembahasan (3.21). Didefinisikan

𝐹𝑖−

1

2

𝑛 sebagai berikut

𝐹𝑖−

1

2

𝑛 = ℱ(𝑄𝑖−1𝑛 , 𝑄𝑖

𝑛) (3.23)

dimana ℱ adalah suatu fungsi numeris pada flux. Persamaan (3.23) disubstitusikan

dalam persamaan (3.21) menjadi


𝑛 −∆𝑡

∆𝑥[ℱ(𝑄𝑖

𝑛 , 𝑄𝑖+1𝑛 ) − ℱ(𝑄𝑖−1

𝑛 , 𝑄𝑖𝑛)]. (3.24)

Secara umum metode dari persamaan tersebut adalah metode eksplisit dengan

menggunakan tiga titik, yang berarti bahwa nilai 𝑄𝑖𝑛+1 bergantung pada nilai dari

tiga titik 𝑄𝑖−1𝑛 , 𝑄𝑖

𝑛, dan 𝑄𝑖+1𝑛 pada tingkat waktu sebelumnya. Jumlahan dari semua

sel ∆𝑥𝑄𝑖𝑛+1 dari persamaan (3.21) diperoleh


43

∆𝑥 ∑ 𝑄𝑖𝑛+1𝐽

𝑖=𝐼 = ∆𝑥 ∑ 𝑄𝑖𝑛𝐽

𝑖=𝐼 −∆𝑡

∆𝑥(𝐹

𝐽+1

2

𝑛 − 𝐹𝐼−

1

2

𝑛 ) (3.25)

Dari persamaan (3.24) dapat dilihat bahwa aproksimasi beda hingga pada hukum

kekekalan massa 𝑞𝑡 + 𝑓(𝑞)𝑥 = 0, sehingga didapatkan

𝑄𝑖

𝑛+1−𝑄𝑖𝑛

∆𝑡+

𝐹𝑖+

12

𝑛 −𝐹𝑖−

12

𝑛

∆𝑥= 0 (3.26)

C. Flux Numerik untuk Persamaan Difusi

Persamaan (3.26) tersebut hanya dilihatkan untuk hukum kekekalan massa

dimana flux 𝑓(𝑥) yang hanya tergantung pada posisi dari 𝑞. Secara umum

pengerjaan atau langkah untuk aproksimasi sama seperti pengerjaan persamaan

(3.26) dan memiliki fungsi lebih umum. Misalnya jika flux bergantung secara

eksplisit pada 𝑥 atau flux bergantung turunan pada solusi seperti 𝑞𝑥. Sebagai contoh

adalah persamaan difusi pada persamaan (3.15), dimana flux (3.14) adalah

𝑓(𝑞𝑥 , 𝑥) = −𝛽(𝑥)𝑞𝑥.

Diberikan rata-rata dari dua sel 𝑄𝑖−1 dan 𝑄𝑖, maka numerik dari flux

ℱ(𝑄𝑖−1, 𝑄𝑖) antar sel didefiniskan sebagai

ℱ(𝑄𝑖−1, 𝑄𝑖) = −𝛽𝑖−

1

2

(𝑄𝑖−𝑄𝑖−1

∆𝑥), (3.27)

dimana 𝛽𝑖−

1

2

≈ 𝛽(𝑥𝑖−

1

2

).

Dalam fluk numerik ini memiliki interpretasi fisik secara alami dengan

kuantitas konservasi yang diukur dari 𝑞 mengalir dari satu sel ke sel tetangganya

dengan laju sebanding dengan perbedaan nilai 𝑄 dalam dua sel, dengan 𝛽𝑖−1/2

konduktivitas antar sel-sel. Fluk numerik tersebut merupakan versi makroskopis

dari hukum Fick atau hukum Fourier (hukum pendingin Newton).

Dengan menggunakan (3.27) dan (3.24) memberikan standar diskritisasi

beda hingga dari persamaan difusi sebagai berikut,


44


𝑛 +∆𝑡

∆𝑥2 [𝛽𝑖+

1

2

(𝑄𝑖+1𝑛 − 𝑄𝑖

𝑛) − 𝛽𝑖−

1

2

(𝑄𝑖𝑛 − 𝑄𝑖−1

𝑛 )]. (3.28)

Jika 𝛽 ≡ konstanta, persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi


𝑛 +∆𝑡

∆𝑥2 𝛽(𝑄𝑖−1𝑛 − 2𝑄𝑖

𝑛 + 𝑄𝑖+1𝑛 ), (3.29)

dan persamaan tersebut dapat dilihat bahwa persamaan difusi diaproksimasikan

dengan pendekatan numerik beda pusat.

Pada persamaan parabolik, secara umum metode secara eksplisit tersebut

tidak digunakan, karena pada persamaan parabolik hanya stabil jika ∆𝑡 = 𝜗(∆𝑥2).

Dalam persamaan parabolik lebih sering dilakukan mengaproksimasian dengan

metode implisit, seperti pada metode Crank-Nicolson,


𝑛 +∆𝑡

2∆𝑥2 [𝛽𝑖+

1

2

(𝑄𝑖+1𝑛 − 𝑄𝑖

𝑛) − 𝛽𝑖−

1

2


𝑛 )

+𝛽𝑖+

1

2

(𝑄𝑖+1𝑛+1 − 𝑄𝑖

𝑛+1) − 𝛽𝑖−

1

2

(𝑄𝑖𝑛+1 − 𝑄𝑖−1

𝑛+1)]. (3.30)

Sehingga dapat dilihat sebagai metode volume hingga, dengan flux

𝐹𝑖−1/2𝑛 = −

1

2∆𝑥[𝛽

𝑖−1

2


𝑛 ) + 𝛽𝑖−

1

2

(𝑄𝑖𝑛+1 − 𝑄𝑖−1

𝑛+1)]. (3.31)

D. Flux Lax-Friedrichs untuk Persamaan Adveksi

Pada metode Lax-Friedrichs klasik memiliki bentuk

𝑄𝑛+1 =1

2(𝑄𝑖−1

𝑛 + 𝑄𝑖+1𝑛 ) −

∆𝑡

2∆𝑥[𝑓(𝑄𝑖+1

𝑛 ) − 𝑓(𝑄𝑖−1𝑛 )]. (3.32)

Metode tersebut tidak tampak seperti skema (3.21). Akan tetapi, metode

tersebut dapat direpresentasikan ke dalam skema (3.21) dengan mendefinisikan

flux :

𝐹𝑖−1/2𝑛 = 𝐹(𝑄𝑖−1

𝑛 , 𝑄𝑖𝑛) =

1

2[𝑓(𝑄𝑖−1

𝑛 ) + 𝑓(𝑄𝑖𝑛)] −

∆𝑡

2∆𝑥(𝑄𝑖

𝑛 − 𝑄𝑖−1𝑛 ), (3.33)

dan


45

𝐹𝑖+1/2𝑛 = 𝐹(𝑄𝑖

𝑛 , 𝑄𝑖+1𝑛 ) =

1

2[𝑓(𝑄𝑖

𝑛) + 𝑓(𝑄𝑖+1𝑛 )] −

∆𝑡

2∆𝑥(𝑄𝑖+1

𝑛 − 𝑄𝑖𝑛). (3.34)

E. Metode Upwind Untuk Persamaan Adveksi

Metode upwind pada persamaan adveksi dengan koefisien konstan dapat

dilihat pada persamaan (3.13). Didefinisikan flux numeris sebagai berikut

𝐹𝑖−1/2𝑛 = ��𝑄𝑖−1

𝑛 . (3.35)

Dengan metode upwind orde satu dan dengan analogi didapatkan

𝑄𝑖


∆𝑡+ ��

𝑄𝑖𝑛−𝑄𝑖−1

𝑛

∆𝑥= 0. (3.36)

Persamaan (3.36) dapat ditulis menjadi


𝑛 −𝑢∆𝑡

∆𝑥(𝑄𝑖

𝑛 − 𝑄𝑖−1𝑛 ). (3.37)

Jika 𝑄𝑖𝑛 dianggap suatu nilai dari titik pada grid, maka didapatkan 𝑄𝑖

𝑛 ≈

𝑞(𝑥𝑖, 𝑡𝑛). Seperti pada metode volume hingga, 𝑞(𝑥, 𝑡) adalah konstan sepanjang

karakteristik.

𝑄𝑖𝑛+1 ≈ 𝑞(𝑥𝑖, 𝑡𝑛+1) = 𝑞(𝑥𝑖 − �� ∆𝑡, 𝑡𝑛)


46

𝑄𝑖𝑛+1

𝑡𝑛+1

𝑡𝑛

𝑄𝑖−1𝑛 𝑄𝑖

𝑛

𝑥𝑖 − �� ∆𝑡

Gambar 3.2. Interpretasi dari metode upwind untuk proses adveksi. Jika 𝑄𝑖𝑛

merupakan suatu nilai di titik grid, maka dapat dilacak kembali suatu karakteristik

dan interpolasinya.

𝑡𝑛+1

𝑡𝑛

𝑄𝑖−1𝑛 𝑄𝑖

𝑛

Gambar 3.3. Interpretasi dari metode upwind untuk proses adveksi. Jika 𝑄𝑖𝑛

merupakan suatu rata-rata dari grid, maka flux pada antar grid ditentukan oleh nilai

dari grid-grid yang berada pada sisi upwind.

Jika dilakukan perkiraan nilai dari sebelah kanan dengan interpolasi linear

antara grid 𝑄𝑖−1𝑛 dan 𝑄𝑖

𝑛, maka didapatkan suatu skema

𝑄𝑖𝑛+1 =

𝑢∆𝑡

∆𝑥𝑄𝑖−1

𝑛 + (1 −𝑢∆𝑡

∆𝑥) 𝑄𝑖

𝑛. (3.38)

Skema (3.38) adalah suatu penyerdehanaan dari metode upwind pada (3.36).

Supaya interpolasi ini sesuai realita, maka karakteristik jatuh diantara titik-titik

pada grid. Sedemikian sehingga,


47

0 ≤𝑢∆𝑡

∆𝑥≤ 1.

Pada Gambar 3.2 dan Gambar 3.3 menunjukkan bahwa dilihat dari sudut pandang

volume hingga, dimana nilai 𝑄𝑖𝑛 dilihat sebagai rata-rata sel dari 𝑞 diatas sel ke 𝑖

pada grid 𝐶𝑖. Jika kita memasukkan zat pada sel sehingga zat tersebut memiliki rata-

rata disetiap sel, pada waktu 𝑡𝑛. Hal ini mendefinisikan bahwa fungsi konstan pada

waktu 𝑡𝑛 dengan nilai 𝑄𝑖𝑛 pada sel 𝐶𝑖.

𝑡𝑛+1 𝑡𝑛+1

𝐾𝑖−1/2 𝐾𝑖−1/2

𝑡𝑛 𝑡𝑛

𝑥𝑖−1/2 𝑥𝑖+1/2 𝑥𝑖−1/2 𝑥𝑖+1/2


48

𝑄𝑖−1𝑛 𝑄𝑖−1

𝑛

𝑄𝑖𝑛 𝑄𝑖

𝑛

𝑄𝑖+1𝑛 𝑄𝑖+1

𝑛

(𝑎) (𝑏)

Gambar 3.4 Interpretasi dari propagasi gelombang-gelombang dari metode

upwind untuk persamaan adveksi. Gambar (𝑎) merepresentasikan jika �� > 0, se-

dangkan gambar (𝑏) merepresentasikan jika �� < 0.

Dari Gambar 3.4, pada grafik diatas pasangan terakhir menunjukkan data

pada waktu 𝑡𝑛, direpresentasikan sebagai fungsi konstan satu demi satu. Seiring

berjalannya waktu ∆𝑡 fungsi bergeser dengan jarak �� ∆𝑡 seperti yang ditunjukkan

pada pasangan grafik kedua. Pada grafik kedua dapat dilihat diskontinu dari 𝑥𝑖−1/2

sebagai gelombang 𝐾𝑖−1/2. Sedangkan pada pasangan grafik pertama menunjukkan

bahwa funsi konstan pada langkah waktu terakhir setelah proses adveksi.

Fungsi konstan satu demi satu bergerak kekanan dengan kecepatan ��, dan

melompat antara 𝑄𝑖−1𝑛 dan 𝑄𝑖

𝑛 dengan jarak �� ∆𝑡 mengarah pada sel 𝐶𝑖. Pada akhir

langkah waktu dapat dihitung rata-rata dari sel yang baru yaitu 𝑄𝑖𝑛+1. Untuk

menghitung 𝑄𝑖𝑛+1 harus merata-rata fungsi konstan pada sel tersebut yang di-

tunjukkan pada bagian grafik pasangan pertama Gambar 3.4. Didefinisikan

𝐾𝑖−1/2 ≡ 𝑄𝑖𝑛 − 𝑄𝑖−1

𝑛 yang dapat dilihat sebagai suatu gelombang yang bergerak

mengarah ke sel 𝐶𝑖 dengan kecepatan ��. Kemudian definisi tersebut disubstitusikan

pada persamaan (3.36), sehingga persamaan (3.36) menjadi


𝑛 −𝑢∆𝑡

∆𝑥(𝐾𝑖−1/2). (3.39)


49

Akan tetapi pada arah gelombang mempunyai dua arah yaitu kekanan (�� < 0) atau

kekiri (�� > 0).

Untuk (�� > 0), maka gelombang mengarah kekiri. Gelombang ini mengubah

nilai 𝑞 di setiap titik yang dilaluinya. Karena gelombang tersebut mengarah kekiri

maka dapat dituliskan menjadi −𝐾𝑖−1/2. Seiring bejalannya waktu gelombang ter-

sebut bergerak dengan jarak �� ∆𝑡 dan melewati suatu fraksi ��∆𝑡

∆𝑥 dari grid sel. Se-

hingga rata-rata dari sel tersebut dapat dimodifikasi oleh fraksi dari −𝐾𝑖−1/2 .

Sedemikian sehingga skemanya dapat dilihat pada skema (3.39).

Sedangkan untuk (�� < 0), maka gelombang akan mengarah kekanan. Karena

�� bernilai negatif maka flux numeris pada saat 𝑥𝑖−1/2 adalah :

𝐹𝑖−

1

2

𝑛 = �� 𝑄𝑖𝑛 (3.40)

maka metode upwind skemanya menjadi seperti berikut


𝑛 −𝑢∆𝑡

∆𝑥(𝑄𝑖+1

𝑛 − 𝑄𝑖𝑛). (3.41)

Skema (3.41) dapat dituliskan sebagai skema perambatan gelombang dengan

𝐾𝑖+1/2 ≡ 𝑄𝑖+1𝑛 − 𝑄𝑖

𝑛, sehingga skema tersebut menjadi


𝑛 −𝑢∆𝑡

∆𝑥(𝐾𝑖+1/2). (3.42)

Dari skema (3.35) dan skema (3.40) didapatkan sebuah kombinasi yang

menghasilkan satu skema metode upwind yang berlaku untuk �� bernilai positif

maupun �� benilai negatif. Skema dari kombinasi tersebut dapat dituliskan menjadi

𝐹𝑖−

1

2

𝑛 = ��− 𝑄𝑖𝑛 + ��+ 𝑄𝑖−1

𝑛 , (3.43)

dimana

��+ = max (��, 0), ��− = min (��, 0). (3.44)


50

Suatu versi propagasi gelombang yang dihasilkan dari metode upwind pada

skema (3.39) dan skema (3.42) dapat dikombinasikan menjadi skema yang lebih

umum sebagai berikut :


𝑛 −∆𝑡

∆𝑥(��+𝐾𝑖−1/2 + ��−𝐾𝑖+1/2). (3.45)

Contoh :

Akan dihitung distribusi transport 𝑞(𝑥, 𝑡) pada suatu pipa air dengan panjang

5 meter. Dengan solusi transportnya diatur oleh persamaan adveksi satu dimensi,

yaitu :

𝑞𝑡 + (��𝑞)𝑥 = 0

dimana 𝑡 > 0 dan 0 < 𝑥 < 5. Dengan syarat awal

𝑞(𝑥, 𝑡 = 0) = 𝑄𝑖0 = {

sin(𝑥) + 1 , −𝜋

2< 𝑥 <

3𝜋

20 ,lainnya

dimana ∆𝑥 = 0.5, ∆𝑡 = 0.1, dan �� = 1.

Hitunglah

a. 𝑄0(0)

, 𝑄0(1)

, 𝑄0(2)

, 𝑄0(3)

, 𝑄0(4)

, 𝑄0(5)

, 𝑄0(6)

, 𝑄0(7)

, 𝑄0(8)

, 𝑄0(9)

, 𝑄0(10)

.

Kemudian tentukanlah nilai-nilai dari batas awal dan batas akhir pada pipa

air tersebut.

b. Dengan menggunakan rumus 𝑄𝑖𝑛+1 yang didapatkan dari pembahasan ten-

tang persamaan adveksi hitunglah 𝑄0(1)

, 𝑄1(1)

, 𝑄2(1)

, 𝑄3(1)

, 𝑄4(1)

, 𝑄5(1)

,

𝑄6(1)

, 𝑄7(1)

, 𝑄8(1)

, 𝑄9(1)

, 𝑄10(1)


51

Penyelesaian :

Diketahui bahwa pipa air memiliki panjang 5 meter dengan ∆𝑥 = 0.5, se-

hingga dapat dilihat seperti Gambar 3.5 berikut.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 𝑥-meter

∆𝑥

Gambar 3.5 Ilustrasi pipa air dengan panjang 5 meter dan ∆𝑥 = 0.5

Dengan demikian pada saat 𝑡 = 0

a. 𝑄0(0)

= 𝑞(0,0) = sin(0) + 1 = 1

𝑄1(0)

= 𝑞(0.5 , 0) = sin(0.5) + 1 = 1.479

𝑄2(0)

= 𝑞(1 , 0) = sin(1) + 1 = 1.841

𝑄3(0)

= 𝑞(1.5 , 0) = sin(1.5) + 1 = 1.997

𝑄4(0)

= 𝑞(2 , 0) = sin(2) + 1 = 1.909

𝑄5(0)

= 𝑞(2.5 , 0) = sin(2.5) + 1 = 1.598

𝑄6(0)

= 𝑞(3 , 0) = sin(3) + 1 = 1.141

𝑄7(0)

= 𝑞(3.5 , 0) = sin(3.5) + 1 = 0.649

𝑄8(0)

= 𝑞(4 , 0) = sin(4) + 1 = 0.243


52

𝑄9(0)

= 𝑞(4.5 , 0) = sin(4.5) + 1 = 0.022

𝑄10(0)

= 𝑞(5 , 0) = 0

Sehingga didapatkan nilai pada batas awal yaitu 𝑞(0, 𝑡) = 1 untuk 𝑡 ≥ 0, dan

nilai pada batas akhir yaitu 𝑞(5, 𝑡) = 0 untuk 𝑡 ≥ 0.

Gambar 3.6 hasil simulasi penyelesaian menggunakan metode volume

hingga dengan ∆𝑥 = 0.5 saat 𝑡 = 0.

Hasil simulasi penyelesaian persamaan model transport pada pipa air

dengan metode volume hingga dengan mengggukan program MATLAB R2014b

ditunjukkan dalam Gambar 3.6 pada hasil simulasi persamaan adveksi satu di-

mensi dengan program pada saat 𝑡 = 0.


53

b. Pada saat 𝑡 = 0.1

Diketahui bahwa ∆𝑡 = 0.1 dan �� = 1, dengan menggunakan skema (3.36)

yang merupakan suatu skema dari persamaan adveksi. Karena dari jawaban

(a.) diperoleh nilai dari batas awal yaitu 𝑞(0, 𝑡) = 1 untuk 𝑡 ≥ 0. Sehingga

diperoleh:

𝑄0(1)

= 𝑞(0,1) = 1,

dengan demikian untuk 𝑖 = 1, 2, 3, 4, . . . , 9 diperoleh:

𝑄1(1)

= 𝑄1(0)

−(1)(0.1)

0.5(𝑄1

(0)− 𝑄0

(0))

= 1.479 −(1)(0.1)

0.5(1.479 − 1)

= 1.479 −1

5(0,479)

= 1.383

𝑄2(1)

= 𝑄2(0)

−(1)(0.1)

0.5(𝑄2

(0)− 𝑄1

(0))

= 1.841 −(1)(0.1)

0.5(1.841 − 1.479)

= 1.841 −1

5(0.368)

= 1.7674

𝑄3(1)

= 𝑄3(0)

−(1)(0.1)

0.5(𝑄3

(0)− 𝑄2

(0))

= 1.997 −(1)(0.1)

0.5(1.997 − 1.841)

= 1.997 −1

5(0.156)

= 1.9658

𝑄4(1)

= 𝑄4(0)

−(1)(0.1)

0.5(𝑄4

(0)− 𝑄3

(0))

= 1.909 −(1)(0.1)

0.5(1.909 − 1.997)

= 1.909 −1

5(−0.088)


54

= 1.9266

𝑄5(1)

= 𝑄5(0)

−(1)(0.1)

0.5(𝑄5

(0)− 𝑄4

(0))

= 1.598 −(1)(0.1)

0.5(1.598 − 1.909)

= 1.598 −1

5(−0.311)

= 1.6602

𝑄6(1)

= 𝑄6(0)

−(1)(0.1)

0.5(𝑄6

(0)− 𝑄5

(0))

= 1.141 −(1)(0.1)

0.5(1.141 − 1.598)

= 1.141 −1

5(−0.457)

= 1.2324

𝑄7(1)

= 𝑄7(0)

−(1)(0.1)

0.5(𝑄7

(0)− 𝑄6

(0))

= 0.649 −(1)(0.1)

0.5(0.649 − 1.141)

= 0.649 −1

5(−0.492)

= 0.7474

𝑄8(1)

= 𝑄8(0)

−(1)(0.1)

0.5(𝑄8

(0)− 𝑄7

(0))

= 0.243 −(1)(0.1)

0.5(0.243 − 0.649)

= 0.243 −1

5(−0.406)

= 0.3242

𝑄9(1)

= 𝑄9(0)

−(1)(0.1)

0.5(𝑄9

(0)− 𝑄8

(0))

= 0.022 −(1)(0.1)

0.5(0.022 − 0.243)

= 0.022 −1

5(−0.221)

= 0.0662


55

Karena nilai pada batas akhir yaitu 𝑞(5, 𝑡) = 0 untuk 𝑡 ≥ 0, maka didapat-

kan

𝑄10(1)

= 𝑞(0,1) = 0


hingga dengan ∆𝑥 = 0.5 saat 𝑡 = 0.1.




mensi dengan program pada saat 𝑡 = 0.1.


56


hingga dengan ∆𝑥 = 0.5 dan 𝑡 = 1.




mensi dengan program pada saat 𝑡 = 1. Seiring berjalannya waktu dapat dilihat

bahwa aliran air bergerak seperti gelombang sesuai dengan bentuk dari fungsi

sin (𝑥).

F. Persamaan Adveksi-Difusi dengan Metode Volume Hingga

Pada subbab ini akan dirumuskan persamaan adveksi-difusi dengan

menggunakan metode volume hingga. Pada subbab sebelumnya didapatkan skema

untuk persamaan difusi dan persamaan adveksi dengan menggunakan metode vol-

ume hingga. Pada subbab ini akan dilakukan kombinasi dari dua skema tersebut


57

sehingga didapatkan skema dari persamaan adveksi-difusi. Skema untuk persamaan

adveksi dengan metode volume hingga,seperti pada skema (3.36) didapatkan


𝑛 −𝑢∆𝑡

∆𝑥(𝑄𝑖

𝑛 − 𝑄𝑖−1𝑛 ),

atau dapat dituliskan seperti pada skema (3.37) menjadi

𝑄𝑖𝑛+1 − 𝑄𝑖

𝑛

∆𝑡+ ��

𝑄𝑖𝑛 − 𝑄𝑖−1

𝑛

∆𝑥= 0.

Sedangkan untuk skema dari persamaan difusi dengan menggunakan metode vol-

ume hingga yang didapatkan dari subbab sebelumnya yaitu pada skema (3.29) yang

berbentuk seperti berikut


𝑛 +∆𝑡

∆𝑥2𝛽(𝑄𝑖−1

𝑛 − 2𝑄𝑖𝑛 + 𝑄𝑖+1

𝑛 ),

atau dapat dituliskan menjadi


𝑛

∆𝑡=

∆𝑡



𝑛 ).

Demikian sehingga untuk persamaaan adveksi-difusi yang mempunyai ben-

tuk persamaan seperti pada persamaan (3.17) yang berbentuk seperti berikut

𝑞𝑡 + (��𝑞)𝑥 = 𝛽𝑞𝑥𝑥 ,

Dengan pendekatan menggunakan metode volume hingga didapatkan skema se-

bagai berikut:

𝑄𝑖


∆𝑡+ ��

𝑄𝑖𝑛−𝑄𝑖−1

𝑛

∆𝑥=

∆𝑡


𝑛 + 𝑄𝑖+1𝑛 ) (3.46)

Sehingga dapat dituliskan menjadi


𝑛 +��∆𝑡

∆𝑥(𝑄𝑖

𝑛 − 𝑄𝑖−1𝑛 ) =

∆𝑡2



𝑛 )


𝑛 −𝑢∆𝑡

∆𝑥(𝑄𝑖

𝑛 − 𝑄𝑖−1𝑛 ) +

∆𝑡2


𝑛 + 𝑄𝑖+1𝑛 ) (3.47)


58

Contoh :

Akan dihitung distribusi pergerakan dari suatu polutan 𝑞(𝑥, 𝑡) pada suatu

pipa air dengan panjang 5 meter. Dengan solusi dari distribusi pergerakan polutan

diatur oleh persamaan adveksi-difusi satu dimensi, yaitu :

𝑞𝑡 + (��𝑞)𝑥 = 𝛽𝑞𝑥𝑥

dimana 𝑡 > 0 dan 0 < 𝑥 < 5. Dengan syarat awal

𝑞(𝑥, 𝑡 = 0) = 𝑄𝑖0 = {

sin(𝑥) + 1 , −𝜋

2< 𝑥 <

3𝜋

20 ,lainnya

dimana ∆𝑥 = 0.5, ∆𝑡 = 0.1, �� = 1, dan 𝛽 = 1.

Hitunglah

a. 𝑄0(0)

, 𝑄0(1)

, 𝑄0(2)

, 𝑄0(3)

, 𝑄0(4)

, 𝑄0(5)

, 𝑄0(6)

, 𝑄0(7)

, 𝑄0(8)

, 𝑄0(9)

, 𝑄0(10)

.

Kemudian tentukanlah nilai-nilai dari batas awal dan batas akhir pada pipa

air tersebut.

b. Dengan menggunakan rumus 𝑄𝑖𝑛+1 yang didapatkan dari pembahasan ten-

tang persamaan adveksi-difusi. Hitunglah 𝑄0(1)

, 𝑄1(1)

, 𝑄2(1)

, 𝑄3(1)

, 𝑄4(1)

,

𝑄5(1)

, 𝑄6(1)

, 𝑄7(1)

, 𝑄8(1)

, 𝑄9(1)

, 𝑄10(1)

.

Penyelesaian :

Diketahui bahwa pipa air memiliki panjang 5 meter dengan ∆𝑥 = 0.5, ∆𝑡 =

0.1, �� = 1, dan 𝛽 = 1. Sehingga didapatkan pada saat 𝑡 = 0

a. 𝑄0(0)

= 𝑞(0,0) = sin(0) + 1 = 1


59

𝑄1(0)

= 𝑞(0.5 , 0) = sin(0.5) + 1 = 1.479

𝑄2(0)

= 𝑞(1 , 0) = sin(1) + 1 = 1.841

𝑄3(0)

= 𝑞(1.5 , 0) = sin(1.5) + 1 = 1.997

𝑄4(0)

= 𝑞(2 , 0) = sin(2) + 1 = 1.909

𝑄5(0)

= 𝑞(2.5 , 0) = sin(2.5) + 1 = 1.598

𝑄6(0)

= 𝑞(3 , 0) = sin(3) + 1 = 1.141

𝑄7(0)

= 𝑞(3.5 , 0) = sin(3.5) + 1 = 0.649

𝑄8(0)

= 𝑞(4 , 0) = sin(4) + 1 = 0.243

𝑄9(0)

= 𝑞(4.5 , 0) = sin(4.5) + 1 = 0.022

𝑄10(0)

= 𝑞(5 , 0) = 0

Sehingga didapatkan nilai pada batas awal yaitu 𝑞(0, 𝑡) = 1 untuk 𝑡 ≥ 0,

dan nilai pada batas akhir yaitu 𝑞(5, 𝑡) = 0 untuk 𝑡 ≥ 0


60


hingga dengan ∆𝑥 = 0.5 saat 𝑡 = 0.

Hasil simulasi penyelesaian model pergerakan polutan pada pipa air dengan

metode volume hingga dengan mengggukan program MATLAB R2014b ditunjuk-

kan dalam Gambar 3.9 pada hasil simulasi persamaan adveksi-difusi satu dimensi

dengan program pada saat 𝑡 = 0.

b. Pada saat 𝑡 = 0.1

Diketahui bahwa ∆𝑥 = 0.5, ∆𝑡 = 0.1, �� = 1, dan 𝛽 = 1, dengan

menggunakan skema (3.47) yang merupakan suatu skema dari persamaan

adveksi-difusi. Karena dari jawaban (a.) diperoleh nilai dari batas awal yaitu

𝑞(0, 𝑡) = 1 untuk 𝑡 ≥ 0. Sehingga diperoleh:

𝑄0(1)

= 𝑞(0,1) = 1,

dengan demikian untuk 𝑖 = 1, 2, 3, 4, . . . , 9 diperoleh :


61

𝑄1(1)

= 𝑄1(0)

−(1)(0.1)

0.5(𝑄1

(0)− 𝑄0

(0)) +

(1)(0.1)2

(0.5)2(𝑄0

(0)− 2𝑄1

(0)+ 𝑄2

(0))

= 1.479 −0.1

0.5(1.479 − 1) +

0.01

0.25(1 − 2.958 + 1.841)

= 1.479 − 0.0958 − 0.00468

= 1.378

𝑄2(1)

= 𝑄2(0)

−(1)(0.1)

0.5(𝑄2

(0)− 𝑄1

(0)) +

(1)(0.1)2

(0.5)2(𝑄1

(0)− 2𝑄2

(0)+ 𝑄3

(0))

= 1.841 −0.1

0.5(1.841 − 1.479) +

0.01

0.25(1.479 − 3.682 + 1.997)

= 1.841 − 0.0724 − 0.00824

= 1.760

𝑄3(1)

= 𝑄3(0)

−(1)(0.1)

0.5(𝑄3

(0)− 𝑄2

(0)) +

(1)(0.1)2

(0.5)2(𝑄2

(0)− 2𝑄3

(0)+ 𝑄4

(0))

= 1.997 −0.1

0.5(1.997 − 1.841) +

0.01

0.25(1.841 − 3.994 + 1.909)

= 1.997 − 0.0312 − 0.00976

= 1.956

𝑄4(1)

= 𝑄4(0)

−(1)(0.1)

0.5(𝑄4

(0)− 𝑄3

(0)) +

(1)(0.1)2

(0.5)2(𝑄3

(0)− 2𝑄4

(0)+ 𝑄5

(0))

= 1.909 −0.1

0.5(1.909 − 1.997) +

0.01

0.25(1.997 − 3.818 + 1.598)

= 1.909 + 0.0176 − 0.00892

= 1.918


62

𝑄5(1)

= 𝑄5(0)

−(1)(0.1)

0.5(𝑄5

(0)− 𝑄4

(0)) +

(1)(0.1)2

(0.5)2(𝑄4

(0)− 2𝑄5

(0)+ 𝑄6

(0))

= 1.598 −0.1

0.5(1.598 − 1.909) +

0.01

0.25(1.909 − 3.196 + 1.141)

= 1.598 + 0.0622 − 0.00584

= 1.654

Untuk iterasi selanjutnya dengan menggunakan bantuan dari software

MATLAB2014b, dilakukan looping pada program tersebut sehingga menghasilkan

:

𝑄6(1)

= 1.231 𝑄9(1)

= 0.074

𝑄7(1)

= 0.751 𝑄10(1)

= 0

𝑄8(1)

= 0.331


63


hingga dengan ∆𝑥 = 0.5, ∆𝑡 = 0.1, �� = 1 dan 𝛽 = 1, saat 𝑡 = 0.1.

Hasil simulasi penyelesaian model pergerakan polutan pada pipa air dengan

metode volume hingga dengan mengggukan program MATLAB R2014b ditunjuk-

kan dalam Gambar 3.10 pada hasil simulasi persamaan adveksi-difusi satu dimensi

dengan program pada saat 𝑡 = 0.1. Selanjutnya akan diperlihatkan hasil simulasi

penyelesaian model pergerakan dari polutan pada saat 𝑡 = 1, dapat dilihat pada

Gambar3.11.


64


hingga dengan ∆𝑥 = 0.5, ∆𝑡 = 0.1, �� = 1 dan 𝛽 = 1, saat 𝑡 = 1.


65

BAB IV

ANALISIS KESTABILAN MODEL KONTAMINASI

AIR TANAH

Pada bab ini akan diperlihatkan seberapa baik model matematis yang telah

didapatkan untuk mengetahui pergerakan dari polutan di dalam air yang berada di

bawah tanah. Simulasi tersebut dilakukan dengan skema yang didapatkan dari per-

samaan adveksi-difusi dengan metode volume hingga. Akan tetapi sebelum

menggunakan skema tersebut kita harus mengetahui kestabilan, kekonsistenan, dan

konvergensi dari skema persamaan adveksi-difusi yang didapatkan dengan

menggunakan metode volume hingga. Dalam hal itu harus dicari syarat-syarat dari

tiga komponen tersebut

A. Galat Keseluruhan dan Konvergensi

Pada suatu perumusan model pasti menginginkan hampiran yang baik

terhadap penyelesaian yang sebenarnya dan dapat mengetahui bagaimana

perbedaan galat dari keseluruhan antara penyelesaian sebenarnya dan hasil dari

perhitungan model tersebut. Dalam pembelajaran, penyelesaian yang halus

merupakan penyelesaian yang baik untuk mempertimbangkan nilai galat pada titik

tertentu (LeVeque, 1992).

𝐸𝑖𝑛 = 𝑄𝑖

𝑛 − 𝑞𝑖𝑛 . (4.1)

Untuk hukum kekekalan biasanya akan lebih baik ketika mempertimbangkan galat

relatif terhadap rata-rata sel pada penyelesaian sebenarnya,

��𝑖𝑛 = 𝑄𝑖

𝑛 − ��𝑖𝑛 (4.2)


66

Hal ini dapat disatukan sampai batas tertentu dengan menggunakan fungsi galat

𝐸𝑘(𝑥, 𝑡) = 𝑄𝑘(𝑥, 𝑡) − 𝑞(𝑥, 𝑡). (4.3)

Dimana 𝑘 = ∆𝑡, maka 𝐸𝑖𝑛 adalah titik dari nilai 𝐸𝑘 (𝑥𝑖, 𝑡𝑛) sedangkan ��𝑖

𝑛 adalah

rata-rata sel dari 𝐸𝑘 pada waktu 𝑡𝑛. Dengan demikian sehingga didapatkan sebuah

definisi sebagai berikut.

Definisi 4.1 Konvergensi metode numeris

Dapat dikatakan bahwa suatu metode tersebut konvergen pada suatu norm

tentu (norm ‖ ∙ ‖) jika

‖𝐸𝑘(∙ , 𝑡)‖ → 0 dimana 𝑘 → 0, (4.4)

Untuk setiap 𝑡 ≥ 0, dan untuk semua data awal 𝑞0 pada beberapa kelas.

Beberapa pertimbangan yang digunakan untuk menilai seberapa baik suatu f

metode dalam perhitungan numeris, salah satu syarat pentingnya adalah metode

yang dihasilkan harus konvergen. Misalnya solusi numeris harus menjadi satu

dengan solusi persamaan diferensial yang sebenarnya untuk suatu grid yang

dikecilkan atau nilai dari (∆𝑥, ∆𝑡) menuju nol. Dalam kekonvergensian dari metode

volume hingga ini ada dua kondisi yang dibutuhkan yaitu:

Metode tersebut harus konsisten dengan persamaan diferensial, yang

berarti bahwa metode tersebut menghasilkan nilai hampiran yang baik

secara lokal.

Metode tersebut harus stabil yang berarti suatu kesalahan kecil yang dibuat

di setiap langkah waktu tidak dapat berkembang cepat di langkah waktu

selanjutnya.


67

B. Galat Pada Pemotongan Lokal

Pada subbab ini akan dibahas tentang kekonsistentan suatu metode numeris

dengan mempertimbangkan galat pada suatu pemotongan secara lokal. Galat pada

pemotongan lokal 𝐿𝑘(𝑥, 𝑡) adalah suatu ukuran seberapa baik model persamaan

diferesial dengan persamaan diferensial lokal. Hal ini didefinisikan untuk

mengganti nilai dari perkiraan penyelesaian 𝑄𝑖𝑛 pada persamaan diferensial dengan

penyelesaian sebenarnya 𝑞(𝑥𝑖, 𝑡𝑛). Sehingga penyelesaian sebenarnya pada

persamaan diferensial parsial hanya perkiraan penyelesaian persamaan diferensial

dan seberapa baik persamaan diferensial tersebut memberikan indikasi bagaimana

penyelesaian yang tepat pada persamaan diferensial.

Definisi 4.3

Galat pemotongan lokal untuk metode tingkat dua secara umum didefinisikan

sebagai berikut

𝐿𝑘(𝑥, 𝑡) =1

𝑘[𝑞(𝑥, 𝑡 + 𝑘) − 𝐻𝑘(𝑞(∙ , 𝑡); 𝑥)] (4.5)

dimana 𝐻𝑘 adalah operasi untuk metode numeris

.

Definisi 4.4

Suatu metode numeris konsisten jika

‖𝐿𝑘(∙ , 𝑡)‖ → 0 dimana 𝑘→0 (4.6)

C. Kestabilan

Pada subbab ini akan dibahas tentang definisi-definisi dan syarat-syarat yang

menyatakan suatu metode numeris tersebut stabil pada setiap langkah waktu.


68

Definisi 4.2

Suatu metode dapat dikatakan stabil jika untuk setiap waktu 𝑇 ada suatu

konstanta (𝐶𝑠) yang didapatkan saat 𝑞0 dan nilai 𝑘0 > 0 sedemikian sehingga

‖𝐻𝑘𝑛‖ ≤ 𝐶𝑠 untuk setiap 𝑛𝑘 ≤ 𝑇, 𝑘 < 𝑘0. (4.10)

dimana 𝐻𝑘𝑛 adalah operasi numeris pada waktu 𝑡𝑛, dengan 𝑘 = ∆𝑡.

Kasus khususnya bahwa metode stabil jika

‖𝐻𝑘𝑛‖ ≤ 1

maka

‖𝐻𝑘𝑛‖ ≤ ‖𝐻𝑘‖𝑛 ≤ 1

untuk semua 𝑛, 𝑘.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa suatu metode dikatakan stabil

jika pada galat lokal tidak terlalu besar pada saat langkah waktu 𝑡𝑛 dalam metode

tersebut.

D. Kondisi Courant-Friedrichs-Lewy

Kondisi Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) merupakan syarat yang harus

dipenuhi atau syarat perlu untuk metode volume hingga atau metode beda hingga

agar stabil dan konvergen dengan solusi dari persamaan diferensial saat sel pada

grid dikecilkan atau ∆𝑥 menuju nol.

CFL berasal dari nama Courant, Friedrichs, dan Lewy. Mereka menulis salah

satu karya tentang metode beda hingga untuk persamaan diferensial parsial pada

tahun 1928. Mereka menggunaka metode beda hingga sabagai alat analitik untuk

membuktikan penyelesaian suatu persamaan diferensial parsial tertentu. Dimana

idenya adalah menentukan barisan dari hampiran penyelesaian (dengan metode

beda hingga), membuktikan bahwa barisan dari hampiran penyelesaian tersebut

konvergen saat grid diperkecil, dan diperlihatkan limit fungsinya pasti memenuhi


69

persamaan diferensial parsial, serta memberikan eksistensi dari penyelesaian.

Dalam membuktikan kekonvergensian barisan tersebut, mereka menemukan syarat

stabilitas yang diperlukan untuk metode numeris :

Kondisi CFL : suatu metode numeris dapat konvergen hanya jika domain

dependen numerisnya memuat domain dependen sebenarnya dari persamaan

diferensial parsial, sekurang-kurangnya limit dari ∆𝑡 dan ∆𝑥 menuju nol.

Domain dependen dari titik (��, 𝑡) didefinisikan sebagai berikut

𝐷(��, 𝑡) = {𝑥0}

dimana (��, 𝑡) adalah setiap titik pada 𝑞(𝑥, 𝑡) yang terikat pada satu titik data awal

yaitu 𝑥0. Pada sistem linear domain dependen 𝐷(��, 𝑡) terdiri dari titik �� − 𝜆𝑝𝑡, di-

mana 𝑝 = 1, 2, 3, ⋯ , 𝑚 karena data awal yang dapat mempengaruhi

penyelesaiannya di titik (��, 𝑡). Sehingga untuk domain dependen pada metode

numeris didefinisikan 𝐷𝑘(��, 𝑡), pada himpunan titik 𝑥 dengan data awal 𝑞0(𝑥)

dapat berpengaruh pada penyelesaian numeris pada titik (��, 𝑡).

Pada solusi transportasi air untuk persamaan adveksi (3.13) domain dependen

𝐷(��, 𝑡) adalah titik tunggal (�� − ��𝑡), maka kondisi CFL memerlukan

�� −𝑡

𝑟≤ �� − ��𝑡 ≤ �� +

𝑡

𝑟

dimana 𝑟 ≡∆𝑡

∆𝑥, dengan demikian

𝑣 ≡ |��∆𝑡

∆𝑥|

𝑣 adalah bilangan CFL atau biasanya disebut bilangan Courant. Dalam kondisi

yang diperlukan untuk kestabilan bilangan Courant tidak lebih besar dari satu.

Dengan demikian syarat untuk kondisi CFL pada proses transportasi adalah

|��∆𝑡

∆𝑥| ≤ 1

Sehingga didapatkan


70

∆𝑡 ≤∆𝑥

��

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa ∆𝑡 ≤∆𝑥

𝑢 merupakan syarat perlu untuk

kestabilan dan konvergensi dari metode tersebut.

E. Simulasi dan Pengamatan Galat

Dalam subbab ini akan membahas tentang hasil simulasi penyelesaian

numeris dengan menggunakan skema yang dihasilkan dari metode volume hingga.

Simulasi ini dilakukan dengan menggunakan bantuan MATLAB R2014b.

Berikut ini merupakan grafik hasil simulasi numeris dengan menggunakan

metode volume hingga untuk solusi eksak pertama. Dengan contoh suatu fungsi

yang dapat dicari solusi eksak yaitu

𝑞(𝑥, 𝑡) =1

√4𝑡 + 1𝑒

((𝑥−1−𝑢𝑡)2

𝛽(4𝑡+1)),

dengan kondisi awal

𝑞(𝑥, 𝑡 = 0) = 𝑒(

(𝑥−1)2

𝛽),

dimana �� = 0.8, 𝛽 = 0.005, ∆𝑥 = 0.025, dan ∆𝑡 = 0.0125 (Sanjaya F. and

Mungkasi S., 2017).


71

Gambar 4.1. Grafik simulasi numeris berdasarkan skema dari metode vol-

ume hingga dengan �� = 0.8, 𝛽 = 0.005, ∆𝑥 = 0.025, dan ∆𝑡 = 0.0125 pada saat

waktu 𝑡 = 2.5.

Tabel 4.1 Hasil simulasi numeris berdasarkan skema dari metode volume hingga

dengan �� = 0.8, 𝛽 = 0.005, ∆𝑥 = 0.025, dan ∆𝑡 = 0.0125 saat waktu 𝑡 = 2.5

pada pemotongan dimana 2.25 ≤ 𝑥 ≤ 3.775 .

x Solusi Numeris Solusi Eksak Error

2.3 0.0001 0.0001 0

2.325 0.0002 0.0001 1

2.35 0.0004 0.0002 1

2.375 0.0006 0.0003 1

2.4 0.001 0.0005 1

2.425 0.0016 0.0009 0.777778

2.45 0.0025 0.0015 0.666667

2.475 0.0038 0.0024 0.583333

2.5 0.0058 0.0038 0.526316


72

2.525 0.0085 0.0058 0.465517

2.55 0.0122 0.0088 0.386364

2.575 0.0172 0.013 0.323077

2.6 0.0237 0.0188 0.260638

2.625 0.0321 0.0265 0.211321

2.65 0.0425 0.0366 0.161202

2.675 0.0552 0.0493 0.119675

2.7 0.0703 0.065 0.081538

2.725 0.0877 0.0838 0.046539

2.75 0.1073 0.1055 0.017062

2.775 0.1287 0.1299 0.009238

2.8 0.1514 0.1563 0.03135

2.825 0.1746 0.1838 0.050054

2.85 0.1974 0.2113 0.065783

2.875 0.219 0.2373 0.077118

2.9 0.2383 0.2606 0.085572

2.925 0.2543 0.2798 0.091137

2.95 0.2663 0.2935 0.092675

2.975 0.2736 0.301 0.09103

3 0.2757 0.3016 0.085875

3.025 0.2727 0.2955 0.077157

3.05 0.2646 0.283 0.065018

3.075 0.252 0.2648 0.048338

3.1 0.2355 0.2423 0.028064

3.125 0.216 0.2166 0.00277

3.15 0.1945 0.1893 0.02747

3.175 0.1718 0.1617 0.062461

3.2 0.149 0.135 0.103704

3.225 0.1269 0.1102 0.151543

3.25 0.106 0.0879 0.205916

Rata-rata Error Relatif 0.258444

Berdasarkan Tabel 4.1 dapat dilihat bahwa rata-rata error pada pemotongan

dengan jarak 𝑥 = 3.25 didapatkan rata-rata error relatif yaitu 0.258444. Sedangkan

untuk rata-rata error relatif dari keseluruhan dengan program matlab didapatkan er-

ror 0.0471, dengan kata lain didapatkan rata-rata error relatif 4 persen.


73

Gambar 4.2 Grafik simulasi numeris berdasarkan skema dari metode vol-

ume hingga dengan �� = 0.8, 𝛽 = 0.005, ∆𝑥 = 0.025, dan ∆𝑡 = 0.0125 pada saat

waktu 𝑡 = 5.


dengan �� = 0.8, 𝛽 = 0.005, ∆𝑥 = 0.025, dan ∆𝑡 = 0.0125 saat waktu 𝑡 = 5 pada

pemotongan dimana 3.975 ≤ 𝑥 ≤ 4.975.


4.075 0.0002 0.0001 1

4.1 0.0003 0.0001 2

4.125 0.0004 0.0002 1

4.15 0.0006 0.0003 1

4.175 0.0008 0.0004 1

4.2 0.0012 0.0006 1

4.225 0.0016 0.0008 1

4.25 0.0022 0.0012 0.83333

4.275 0.0029 0.0017 0.70588


74

4.3 0.0039 0.0023 0.69565

4.325 0.0052 0.0032 0.625

4.35 0.0068 0.0044 0.54545

4.375 0.0088 0.0059 0.49153

4.4 0.0113 0.0079 0.43038

4.425 0.0143 0.0104 0.375

4.45 0.0179 0.0135 0.32593

4.475 0.0222 0.0174 0.27586

4.5 0.0273 0.0221 0.23529

4.525 0.0332 0.0277 0.19856

4.55 0.04 0.0344 0.16279

4.575 0.0477 0.0422 0.13033

4.6 0.0562 0.0511 0.0998

4.625 0.0656 0.0612 0.0719

4.65 0.0758 0.0725 0.04552

4.675 0.0867 0.0847 0.02361

4.7 0.0982 0.0979 0.00306

4.725 0.11 0.1118 0.0161

4.75 0.1221 0.1261 0.03172

4.775 0.1341 0.1405 0.04555

4.8 0.1458 0.1548 0.05814

4.825 0.1569 0.1685 0.06884

4.85 0.1673 0.1812 0.07671

4.875 0.1765 0.1926 0.08359

4.9 0.1844 0.2022 0.08803

4.925 0.1907 0.2098 0.09104

4.95 0.1953 0.2152 0.09247

4.975 0.1981 0.218 0.09128



dengan jarak 𝑥 = 4.975 didapatkan rata-rata error relatif yaitu 0.4059. Sedangkan

untuk rata-rata error relatif dari keseluruhan dengan program matlab didapatkan er-

ror 0.1272, dengan kata lain didapatkan rata-rata error relatif 12 persen.

Gambar 4.1 dan Gambar 4.2 merupakan simulasi numeris dengan metode

volume hingga. Jika grafik kedua solusi numeris tersebut dibandingkan, dari Gam-

bar 4.1 dapat dilihat bahwa simulasi numeris dengan 𝑡 = 2.5 menunjukkan nilai


75

konsentrasi zat polutan tertinggi pada 𝑥 = 3. Sedangkan Gambar 4.2 dapat dilihat

bahwa saat 𝑡 = 5 tingkat kepekatan zat polutan tertinggi pada 𝑥 = 5.

Dari Tabel 4.1 dan Tabel 4.2 merupakan hasil simulasi numeris dengan

pemotongan tiga puluh titik pada posisi 𝑥 yang dapat menunjukkan perbedaan an-

tara solusi numeris dan solusi eksak. Jika hasil dari simulasi dibandingkan berdasar-

kan rata-rata galat yang diberikan dari Tabel 4.2 dapat dilihat bahwa rata-rata galat

saat 𝑡 = 5 lebih besar dengan nilai rata-rata galat yaitu 0.4059.

Selanjutnya akan dibahas tentang simulasi numeris untuk penyelesaian kon-

taminasi air tanah dengan model yang dihasilkan dengan metode volume hingga.

Berdasarkan jurnal (Saleem et al., 2019), diketahui kecepatan aliran air �� = 0.15

meter per hari dan koefisien difusi 𝛽 = 8 meter kubik per hari. Dengan contoh suatu

fungsi yang dapat dicari solusi eksak yaitu

𝑞(𝑥, 𝑡) =1

√4𝑡 + 1𝑒

((𝑥−1−𝑢𝑡)2

𝛽(4𝑡+1)),

dengan kondisi awal

𝑞(𝑥, 𝑡 = 0) = 𝑒(

(𝑥−1)2

𝛽),

dimana ∆𝑥 = 317.46 meter, dan ∆𝑡 = 7 hari. Pada luas area 40 kilometer dalam

waktu 14.600 hari atau 40 tahun. Ditunjukkan pada Gambar 4.3 berikut.


76


ume hingga dengan �� = 0.15, 𝛽 = 8, ∆𝑥 = 317.46, dan ∆𝑡 = 7 pada saat waktu

𝑡 = 14600 hari.


dengan �� = 0.15, 𝛽 = 8, ∆𝑥 = 317.46, dan ∆𝑡 = 7 saat waktu 𝑡 = 14600 hari

pada luas area 5.4 kilometer.

X Solusi Numeris Solusi Eksak Error

952.38 0.0005 0.0002 1.5

1269.84 0.001 0.0007 0.428571

1587.3 0.0015 0.0019 0.210526

1904.76 0.002 0.0035 0.428571

2222.22 0.0022 0.0041 0.463415

2539.68 0.0022 0.0032 0.3125

2857.14 0.0019 0.0016 0.1875


77

3174.6 0.0015 0.0005 2

3492.06 0.0011 0.0001 10



dengan jarak 𝑥 = 3492.06 didapatkan rata-rata error relatif yaitu 1.72568. Se-

dangkan untuk rata-rata error relatif dari keseluruhan dengan program matlab

didapatkan error 0.4150, dengan kata lain didapatkan rata-rata error relatif 41.5 per-

sen.

Pada Gambar 4.3 dapat kita lihat bahwa dalam waktu empat puluh tahun

zat polutan akan menyebar pada luas area 5 kilometer hingga 6 kilometer dengan

konsentrasi zat polutan tertinggi pada jarak 2.222 kilometer. Sedangkan dari Tabel

4.3 dapat dilihat bahwa rata-rata error relatif yang dihasilkan dari metode tersebut

dengan pemotongan pada luas area 3.5 kilometer adalah 1.72568.


78


ume hingga dengan �� = 0.15, 𝛽 = 8, ∆𝑥 = 317.46, dan ∆𝑡 = 1 pada saat waktu

𝑡 = 14600 hari.


dengan �� = 0.15, 𝛽 = 8, ∆𝑥 = 317.46, dan ∆𝑡 = 1 saat waktu 𝑡 = 14600 hari

pada luas area 3.5 kilometer.

X Solusi Numeris Solusi Eksak Error

952.38 0.0006 0.0002 2

1269.84 0.0009 0.0007 0.285714

1587.3 0.0013 0.0019 0.315789

1904.76 0.0016 0.0035 0.542857

2222.22 0.0018 0.0041 0.560976

2539.68 0.002 0.0032 0.375

2857.14 0.002 0.0016 0.25

3174.6 0.002 0.0005 3


79

3492.06 0.0018 0.0001 17






sen.

Sedangkan pada Gambar 4.4 dapat kita lihat bahwa dalam waktu empat

puluh tahun zat polutan akan menyebar pada luas area 5 kilometer hingga 6 kilo-

meter dengan konsentrasi zat polutan tertinggi pada jarak 2.222 kilometer. Jika kita

membandingkan antara Gambar 4.3 dan Gambar 4.4 dapat dilihat dengan jelas

berdasarkan grafik yang diperoleh bahwa solusi numeris lebih baik saat

menggunakan ∆𝑡 = 1. Sedangkan jika kita lihat Tabel 4.3 dan Tabel 4.4 dapat

mendukung dari perbandingan grafik tersebut bahwa rata-rata error yang dihasilkan

lebih kecil saat ∆𝑡 = 1.


80


ume hingga dengan �� = 0.15, 𝛽 = 8, ∆𝑥 = 31.746, dan ∆𝑡 = 0.7 pada saat waktu

𝑡 = 14600 hari.


dengan �� = 0.15, 𝛽 = 8, ∆𝑥 =317.46

10, dan ∆𝑡 =

7

10 saat waktu 𝑡 = 14600 hari pada

jarak 793.65 meter.


31.746 0.00000014 0.00000014 0

63.492 0.00000019 0.00000019 0

95.238 0.00000025 0.00000026 0.038461538

126.984 0.00000033 0.00000034 0.029411765

158.73 0.00000044 0.00000045 0.022222222

190.476 0.00000058 0.0000006 0.033333333

222.222 0.00000076 0.00000079 0.037974684

253.968 0.00000099 0.00000103 0.038834951


81

285.714 0.00000129 0.00000135 0.044444444

317.46 0.00000167 0.00000175 0.045714286

349.206 0.00000215 0.00000226 0.048672566

380.952 0.00000277 0.00000291 0.048109966

412.698 0.00000355 0.00000373 0.048257373

444.444 0.00000454 0.00000476 0.046218487

476.19 0.00000577 0.00000605 0.046280992

507.936 0.0000073 0.00000765 0.045751634

539.682 0.00000921 0.00000964 0.044605809

571.428 0.00001157 0.00001209 0.043010753

603.174 0.00001448 0.00001509 0.040424122

634.92 0.00001804 0.00001877 0.038891849

666.666 0.00002238 0.00002324 0.037005164

698.412 0.00002765 0.00002865 0.034904014

730.158 0.00003401 0.00003517 0.032982656

761.904 0.00004165 0.00004298 0.030944625

793.65 0.0000508 0.00005231 0.028866374

Rata-rata Error Relatif 3.62129E-02





sen.

Jika dilakukan perbandingan Gambar 4.3 dan Gambar 4.5, secara visual

terlihat jelas bahwa pendekatan yang dihasilkan jauh lebih baik saat ∆𝑥 dikecilkan

menjadi sepersepuluhnya atau 31.746. Sedangkan jika kita membandingkan ber-

dasarkan Tabel 4.3 dan Tabel 4.5 terlihat jelas bahwa rata-rata error yang

dihasilkan dari metode tersebut lebih baik saat ∆𝑥 diperkecil. Sedemikian sehingga

hal tersebut memenuhi syarat bahwa metode tersebut stabil karena galat lokal yang

dihasilkan pada langkah-langkah dengan menggunakan metode volume hingga

tidak terlalu besar. Saat ∆𝑥 diperkecil berdasarkan syarat kondisi CFL supaya

metode tersebut stabil maka ∆𝑡 harus diperkecil, sehingga galat lokal yang

dihasilkan juga mengecil atau menuju nol maka hal tersebut memenuhi bahwa


82

metode tersebut konsisten. Karena metode tersebut stabil dan konsisten maka

metode volume hingga yang digunakan memenuhi syarat konvergensi. Dengan

demikian metode tersebut baik untuk pendekatan dari model matematis kontami-

nasi air tanah.


83

BAB V

PENUTUP

Pada bab ini akan diberikan kesimpulan dari pembahasan pada bab-bab

sebelumnya serta akan diberikan saran untuk penelitian selanjutnya.

A. Kesimpulan

Pada skripsi ini, penulis telah merumuskan sk ema untuk memperkirakan

pergerakan dari polutan yang ada di dalam tanah. Skema tersebut dimodelkan

dengan menggabungkan dua persamaan yaitu persamaan adveksi dan persamaan

difusi yang dapat disebut dengan persamaan adveksi-difusi. Pada proses tersebut

penulis memodelkan berdasarkan hukum kekakalan massa sehingga persamaan

adveksi-difusi dapat diselesaikan. Pada bab-bab sebelumnya dapat dilihat bahwa

penulis dalam memodelkan skema menggunakan metode numeris yaitu metode

volume hingga. Dari skema tersebut dapat dilihat bahwa skema tesebut memiliki

kestabilan, kekonsistenan, dan kekonvergensian dengan syarat :

1. Metode dikatakan stabil jika untuk setiap waktu 𝑇 ada suatu konstanta 𝐶𝑠

dan nilai 𝑘0 > 0 sedemikian sehingga

‖𝐻𝑘𝑛‖ ≤ 𝐶𝑠 untuk setiap 𝑛𝑘 ≤ 𝑇, 𝑘 < 𝑘0

2. Konsistensi metode numeris jika

‖𝐿𝑘(∙ , 𝑡)‖ → 0 dimana 𝑘→0

3. Konvergensi dari model tersebut jika memenuhi dua syarat yaitu model

tersebut stabil dan konsisten sehingga model tersebut akan konvergen ke

suatu nilai.

Selain dari ketiga syarat itu masih terdapat suatu kondisi yang disebut kon-

disi CFL. Kondisi CFL merupakan syarat perlu supaya metode tersebut stabil dan

konvergen. Dari kondisi tersebut didapatkan syarat yaitu ∆𝑡 ≤∆𝑥

𝑢 yang merupakan

syarat perlu untuk kestabilan dan kekonvergensian. Sehingga metode untuk model


84

tersebut cukup baik digunakan jika kita menggunakan syarat-syarat tersebut dalam

pengaplikasian untuk melacak pergerakan dari suatu polutan yang ada di dalam

tanah. Supaya metode tersebut memiliki kestabilan, kekonsistenan, dan

kekonvergensian.

B. Saran

Pada skripsi ini, penulis sadar bahwa masih banyak kekurangan dalam

penulisan skripsi. Oleh karena itu penulis berharap kelak ada yang melanjutkan

penelitian ini. Mungkin para peneliti selanjutnya dapat menggunakan metode lain

selain metode volume hingga, sehingga dapat membandingkan mana metode yang

lebih baik untuk memodelkan secara matematis pergerakan polutan yang ada di

dalam tanah. Pada skripsi ini skema yang dihasilkan hanya terbatas oleh satu

dimensi saja, penulis berharap kelak ada yang melanjutkan pada dimensi yang lebih

tinggi.


85

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H., Bivens, I., Davis, S. (2012). Calculus Early Transcendental, (tenth

edition). United States of America : Wiley.

Coleman, M. P. (2005). An Introduction to Partial Differential Equations with

MATLAB. Boca Raton: CRC Press.

Debnath, L. (2012). Nonlinear Partial Differential Equations for Scientist and

Engineers, (third edition). New York. Springer.

Fetter, C. W. (2001). Applied Hydrogeology, (fourth edition). Upper Saddle

River: Prentice Hall.

Larson, R., and Edward, B. (2009). Calculus of A Single Variable, (ninth edition).

Belmont: Brooks Cole.

LeVeque, R. J. (1992). Numerical Methods for Conservation Laws, (second edi-

tion). Basel: Birkhauser Verlag.

LeVeque, R. J. (2004). Finite-Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cam-

bridge: Cambridge University Press.

Munir, R. (2008). Metode Numerik. Bandung: Informatika Bandung.

Rosloniec, S. (2008). Fundamental Numerical Methods for Electrical Engineer-

ing. Berlin: Springer.

Ross, S. L. (2008). Differential Equations. Delhi: Wiley.


86

Saleem, H. A., Subyani, A. M., Elfeki, A. (2019). Solute transport model for

groundwater contamination in Wadi Bani Malik, Jeddah, Saudi Arabia.

Arabian Journal of Geosciences. 12:148.

Sanjaya, F. and Mungkasi, S. (2017). A simple but accurate explicit finite differ-

ence method for the advection-diffusion equation. IOP Conf. Series:

Journal of Physics. Conf. Series 909.

Stewart, J. (2008). Calculus Early Transcendentals. Boston: Pearson Education.

Torrilhon, M. dan Xu, K. (2006). Stability and consistensi of kinetic upwinding

for advection-diffusion equations. IMA Journal of Numerical Analysis.

686:722

Wou, Krispianus Krisantus Tena. (2018). Penyelesaian Masalah Konduksi Panas

Pada Media Heterogen Menggunakan Metode Beda Hingga. Skripsi.

Yogyakarta.

Yoman, Ardianus Roy. (2014). Metode Volume Hingga Untuk Persamaan

Adveksi. Skripsi. Yogyakarta.

Zheng, C. and Bennet, G. D. (2002). Applied Contamination Transport Model-

ling, (second edition). Alabama: Wiley Interscience.


http://repository.usd.ac.id/30644/




87

LAMPIRAN

Berikut ini adalah code pada program MATLAB R2014b untuk solusi

numeris dengan menggunakan volume hingga.

A. CODE MATLAB MASALAH PADA CONTOH PENERAPAN

SKEMA PERSAMAAN ADVEKSI

1. Skema metode upwind untuk persamaan adveksi saat 𝒕 = 𝟎

% penyelesaian contoh pada persamaan adveksi dengan

menggunakan volume hingga

%'dengan skema yang didapat dari metode upwind'

% by Aji Asa Lelana Buwana

clc

clear

close all

dx=0.5; % delta x (ruang)

x=0:dx:5; % domain ruang

n=length(x); % banyaknya titik ruang

qL=0*x;% vektor penyimpanan nilai q lama

qB=0*x;% vektor penyimpanan nilai q baru

dt=0.1; % delta t (waktu)

u=1; % kecepatan aliran air

% Nilai awal q saat t=0

for i=1:n;

if x(i)<= 3*pi/2

qB(i)=sin(x(i))+1;

else x(i)> 3*pi/2

qB(i)=0;


end

end

plot(x,qB)

title('Grafik transport pipa air')

xlabel('x')

ylabel('q(x,t)')

hold on

grid on

ylim([-1,3])

pause(0.1) % program akan berhenti setiap 0.1 detik

takhir=0; % waktu akhir

Nt=takhir;

for j=1:Nt;

% perhitungan nilai q saat t=dt

qL=qB

for i=2:n-1

qB(i)=qL(i)-((u*dt./dx)*(qL(i)-qL(i-1)));

end

qB(n)=qB(n-1);

plot(x,qB)


xlabel('x')

ylabel('q(x,t)')

hold on

ylim([-1,3])

pause(0.1)

t=j

end

2. Skema metode upwind untuk persamaan adveksi saat 𝒕 = 𝟏


menggunakan voluma hingga




clc

clear

close all









for i=1:n;

if x(i)<= 3*pi/2

qB(i)=sin(x(i))+1;

else x(i)> 3*pi/2

qB(i)=0;

end

end

plot(x,qB)


xlabel('x')

ylabel('q(x,t)')

hold on

grid on

ylim([-1,3])



Nt=takhir;

for j=1:Nt;


qL=qB

for i=2:n-1


end


qB(n)=qB(n-1);

plot(x,qB)


xlabel('x')

ylabel('q(x,t)')

hold on

ylim([-1,3])

pause(0.1)

t=j

end

3. Skema metode upwind untuk persamaan adveksi saat 𝒕 = 𝟏𝟎





clc

clear

close all









for i=1:n;

if x(i)<= 3*pi/2

qB(i)=sin(x(i))+1;

else x(i)> 3*pi/2

qB(i)=0;

end


end

plot(x,qB)


xlabel('x')

ylabel('q(x,t)')

hold on

grid on

ylim([-1,3])



Nt=takhir;

for j=1:Nt;


qL=qB

for i=2:n-1


end

qB(n)=qB(n-1);

plot(x,qB)


xlabel('x')

ylabel('q(x,t)')

hold on

ylim([-1,3])

pause(0.1)

t=j

end

B. CODE MATLAB MASALAH PADA CONTOH PENERAPAN

SKEMA PERSAMAAN ADVEKSI-DIFUSI

1. Skema metode volume hingga untuk persamaan adveksi-difusi saat 𝒕 =

𝟎


% penyelesaian contoh pada persamaan adveksi-difusi dengan


%'dengan skema yang didapat dari metode volume hingga'


clc

clear

close all







u=1; % koefisien adveksi atau kecepatan aliran air

B=1; % koefisien difusi

% Nilai awal q saat t = 0

for i=1:n;

if x(i)<= 3*pi/2

qB(i)=sin(x(i))+1;

else x(i)> 3*pi/2

qB(i)=0;

end

end

plot(x,qB)

title('Grafik pergerakan polutan pada pipa air')

xlabel('x')

ylabel('q(x,t)')

hold on

grid on

ylim([-1,3])

pause(0.1)% program akan berhenti setiap 0.1 detik


Nt=takhir;


% Nilai perhitungan dengan skema metode volume hingga

for j=1:Nt;


qL=qB

for i=2:n-1

qB(i)=qL(i)-((u*dt./dx)*(qL(i)-qL(i-

1)))+((dt./dx)^2)*B*(qL(i-1)-2*qL(i)+qL(i+1));

end

qB(n)=qB(n-1); % Nilai q ke-n sama dengan q sebelumnya

plot(x,qB)


xlabel('x')

ylabel('q(x,t)')

hold on

ylim([-1,3])

pause(0.1)

t=j

end


𝟏





clc

clear

close all











for i=1:n;

if x(i)<= 3*pi/2

qB(i)=sin(x(i))+1;

else x(i)> 3*pi/2

qB(i)=0;

end

end

plot(x,qB)


xlabel('x')

ylabel('q(x,t)')

hold on

grid on

ylim([-1,3])



Nt=takhir;


for j=1:Nt;


qL=qB

for i=2:n-1


1)))+((dt./dx)^2)*B*(qL(i-1)-2*qL(i)+qL(i+1));

end


plot(x,qB)


xlabel('x')

ylabel('q(x,t)')


hold on

ylim([-1,3])

pause(0.1)

t=j

end


𝟏𝟎





clc

clear

close all

;dx=0.5; % delta x (ruang)









for i=1:n;

if x(i)<= 3*pi/2

qB(i)=sin(x(i))+1;

else x(i)> 3*pi/2

qB(i)=0;

end

end


plot(x,qB)


xlabel('x')

ylabel('q(x,t)')

hold on

grid on

ylim([-1,3])



Nt=takhir;


for j=1:Nt;


qL=qB

for i=2:n-1


1)))+((dt./dx)^2)*B*(qL(i-1)-2*qL(i)+qL(i+1));

end


plot(x,qB)


xlabel('x')

ylabel('q(x,t)')

hold on

ylim([-1,3])

pause(0.1)

t=j

end

C. CODE MATLAB SIMULASI KONTAMINASI AIR TANAH

1. Skema kontaminasi air saat 𝒕 = 𝟐. 𝟓





% by Sudi Mungkasi dan Aji Asa Lelana Buwana

clc

clear

close all

dx=0.025;% delta x (ruang)

L=9; % panjang area

x=0:dx:L; % domain ruang


qL=zeros(1,n);% vektor penyimpanan nilai q lama

qB=zeros(1,n);% vektor penyimpanan nilai q baru

ex=zeros(1,n);%vektor penyimpanan nilai eksak


T=2.5; % rentang waktu

t=0:dt:T; %domain waktu

m=length(t); %banyaknya titik dalam waktu

%parameter

u=0.8; % koefisien adveksi atau kecepatan aliran air

B=0.005; % koefisien difusi


for i=1:n;

qB(i)=exp(-((x(i)-1)^2)/B);

end

figure(1)

plot(x,qB)

title('Grafik pergerakan polutan pada air')

xlabel('x')

ylabel('q(x,t)')

grid on


hold off

% Perhitungan dengan skema volume hingga

for j=1:m-1;


qL = qB;

%mengitung pada solusi ujung

qB(1)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(1)-1-

u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));

qB(n)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(n)-1-

u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));

%perhitungan numeris

for i=2:n-1

qB(i)=qL(i) - u*dt/dx*(qL(i)-qL(i-1)) +

(dt/dx)^2*B*(qL(i-1)-2*qL(i)+qL(i+1));

end

% solusi eksak

for i=1:n;

ex(i)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(i)-1-

u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));

end

plot(x,qB,'blue',x,ex,'red')

grid on

pause(0.001)

% error

error=abs((ex-qB)/ex);

end

xlabel('posisi x')

ylabel('konsentrasi q(x,t)')


legend('solusi numeris', 'solusi eksak')

disp('=================================')

disp(' Snumeris Seksak Error')

disp('=================================')

disp([qB(1:160)' ex(1:160)' error(1:160)'])

2. Skema kontaminasi air saat 𝒕 = 𝟓






clc

clear

close all


L=9; % panjang area







T=5; % rentang waktu

t=0:dt:T; %domain waktu

m=length(t); %banyaknya titik dalam waktu

%parameter


B=0.005; % koefisien difusi


for i=1:n;

qB(i)=exp(-((x(i)-1)^2)/B);

end

figure(1)

plot(x,qB)


xlabel('x')

ylabel('q(x,t)')

ylim([-0.1,1])

grid on


hold off



for j=1:m-1;

qL = qB;


qB(1)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(1)-1-

u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));

qB(n)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(n)-1-

u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));


for i=2:n-1


(dt/dx)^2*B*(qL(i-1)-2*qL(i)+qL(i+1));

end

% solusi eksak

for i=1:n;

ex(i)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(i)-1-

u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));

end


grid on

pause(0.001)

% error


end

xlabel('posisi x')




disp('=================================')


disp('=================================')

disp([qB(1:240)' ex(1:240)' error(1:240)'])


3. Skema kontaminasi air saat ∆𝒕 = 𝟕





clc

clear

close all


L=40000; % panjang area






dt=7; % delta t (waktu)


t=0:dt:T; % domain waktu

m=length(t);% banyaknya titik waktu

%parameter




for i=1:n;

qB(i)=exp(-((x(i)-1)^2)/B);

end

figure(1)

plot(x,qB)


xlabel('x')

ylabel('q(x,t)')

grid on



hold off


for j=1:m-1;

qL = qB;


qB(1)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(1)-1-

u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));

qB(n)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(n)-1-

u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));


for i=2:n-1


(dt/dx)^2*B*(qL(i-1)-2*qL(i)+qL(i+1));

end

% solusi eksak

for i=1:n;

ex(i)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(i)-1-

u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));

end

plot(x,qB,'blue',x,ex,'k')

grid on

pause(0.001)

% error


end

xlabel('posisi x')


title('Grafik penyebaran polutan dalam air tanah')


disp('=================================')



disp('=================================')

disp([ qB(1:25)' ex(1:25)' error(1:25)'])

4. Skema kontaminasi air saat ∆𝒕 = 𝟏





clc

clear

close all








dt=7; % delta t (waktu)




%parameter




for i=1:n;

qB(i)=exp(-((x(i)-1)^2)/B);

end

figure(1)

plot(x,qB)



xlabel('x')

ylabel('q(x,t)')

grid on


hold off


for j=1:m-1;

qL = qB;


qB(1)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(1)-1-

u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));

qB(n)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(n)-1-

u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));


for i=2:n-1


(dt/dx)^2*B*(qL(i-1)-2*qL(i)+qL(i+1));

end

% solusi eksak

for i=1:n;

ex(i)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(i)-1-

u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));

end


grid on

pause(0.001)

% error


end

xlabel('posisi x')





disp('=================================')


disp('=================================')

disp([ qB(1:25)' ex(1:25)' error(1:25)'])

5. Skema kontaminasi air saat ∆𝒕 = 𝟕/𝟏𝟎 dan ∆𝒙 = 𝟑𝟏𝟕. 𝟒𝟔/𝟏𝟎





clc

clear

close all

dx=317.46/10;% delta x (ruang)







dt=7/10; % delta t (waktu)




%parameter




for i=1:n;

qB(i)=exp(-((x(i)-1)^2)/B);


end

figure(1)

plot(x,qB)


xlabel('x')

ylabel('q(x,t)')

grid on


hold off


for j=1:m-1;

qL = qB;


qB(1)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(1)-1-

u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));

qB(n)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(n)-1-

u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));


for i=2:n-1


(dt/dx)^2*B*(qL(i-1)-2*qL(i)+qL(i+1));

end

% solusi eksak

for i=1:n;

ex(i)=1/sqrt(4*t(j)+1)*exp(-((x(i)-1-

u*t(j))^2)/(B*(4*t(j)+1)));

end


grid on

pause(0.001)

% error



end

xlabel('posisi x')




disp('=================================')


disp('=================================')

disp([ qB(1:25)' ex(1:25)' error(1:25)'])


repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/37111/2/163114026_full.pdf · PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN...

Documents

Transcript of repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/37111/2/163114026_full.pdf · PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN...