BAB 6

PILIHAN KONSUMEN

6.1 Preferensi: Aksioma-aksioma perilaku konsumen

Bagaimana seorang konsumen dengan keterbatasan pendapatan yang dimiliki mampu

menentukan produk atau jasa yang akan dibelinya? Ini adalah isu mendasar dalam

mikroekonomi. Kita akan melihat bagaimana konsumen mengalokasikan pendapatannya

untuk membelanjakan atas produk dan menjelaskan keputusan alokasi ini dalam menentukan

permintaan atas produk atau jasa yang diinginkan.

6.1.1 Definisi:

Commodity bundle adalah sebuah vektor x = [x1x2 ... xn]T, dengan xi dinotasikan sebagai

kuantitas pada komoditas ke-i dan n adalah banyaknya komoditas. Himpunan commodity

bundle adalah orthant nonnegatif pada Rn dan disebut ruang komoditas. Himpunan

commodity bundle yang konsumen inginkan untuk dikonsumsi disebut himpunan konsumsi.

Sebagaimana tujuan kita, kita seharusnya mengambil himpunan konsumsi pada orthant

nonnegatif kecuali kalau kita mengkhususkan yang sebaliknya.

6.1.2 Definisi:

Misalkan x dan y adalah commodity bundle. Dikatakan x lebih lemah dibandingkan y jika

dan hanya jika x lebih sedikit diinginkan dibandingkan y dan ditulis x ≽ y. Relasi ≽ disebut

relasi pereferensi lemah (weak preference relation). Dikatakan bahwa x disebut lebih disukai

(strictly preferred) dari y jika dan hanya jika x lebih lemah dibandingkan y tetapi y tidak

lebih lemah dari x, dituliskan dalam simbol

x ≻ y jika dan hanya jika x ≽ y tetapi y ≱� x.

Dikatakan bahwa x dan y sama disukai (equally preferred) jika dan hanya jika x≽y dan y≽x.

Dalam kasus ini, konsumen disebut indifferent antara x dan y ditulis x~y.

6.1.3 Definisi:

Untuk setiap x R+n

, himpunan indiferen pada x adalah himpunan

IS( x )={y∈R+n|y ~ x}

Himpunan preferensi relatif pada x adalah himpunan

PS( x )={y∈R+n|y≥x }

6.1.4 Teorema:

(i) x dan y adalah sama disukai (equally preferred) jika dan hanya jika IS(x)=IS(y).

(ii) x dan y tidak sama disukai (notequally preferred) jika dan hanya jika IS( x )∩IS( y )=φ .

6.1.5 Aksioma-aksioma perilaku konsumen

Konsumen diasumsikan mempunyai relasi preferensi yang memenuhi aksioma-aksioma:

Aksioma 1. (Kelengkapan) Untuk semua x,y R+n

, berlaku x≽y atau y≽x

Aksioma 2. (Transitivitas) Untuk semua x,y,z R+n

, berlaku x≽y, y≽z x≽z

Aksioma 3. (Kesinambungan) Jika ⟨ xk : xk∈R+n , k=1 , 2 ,⋯⟩ adalah barisan sedemikian

sehingga xk≽y (k =1, 2, ...) dan xkx0, maka x0≽y.

Aksioma 4. (Nonsatiasi) Jika x,y R+n

sedemikian sehingga xy dan xy ,maka x≻y.

Aksioma 5. (Strict Convexity). Jika x,y R+n

sedemikian sehingga xy dan x≽y ,maka

θx+(1-θ)y ≻y untuk semua 0<θ<1.

6.1.6 Keterangan

1) Aksioma 1 menyatakan bahwa relasi preferensi terdefinisi pada semuacommodity bundle.

Dengan mengambil y=x, aksioma 1 mengimplikasikan refleksifitas yaitu x≽x untuk semua x

dalam ruang komoditas.

Prinsip ini, mengatakan bahwa setiap individu selalu dapat menentukan keadaan mana yang

lebih disukainya di antara dua keadaan. Bila A dan B adalah dua keadaan produk yang

berbeda, maka individu selalu dapat menentukan secara tepat satu diantara kemungkinan

yang ada.

2) Aksioma 2 menjamin bahwa relasi preferensi konsisten.

Prinsip ini, menerangkan mengenai konsistensi seseorang dalam menentukan dan

memutuskan pilihannya bila dihadapkan oleh beberapa alternatif produk. Dimana jika

seorang individu mengatakan “produk A lebih disukai daripada B”, dan “produk B lebih

disukai daripada C”, maka ia pasti akan mengatakan bahwa “produk A lebih disukai daripada

C”.

3) Aksioma 3 menjelaskan bahwa jika seorang individu mengatakan produk A lebih disukai daripada B”, maka setiap keadaan yang mendekati produk A pasti juga lebih disukai daripada B. Jadi ada suatu kekonsistenan seorang konsumen dalam memilih suatu produk yang ajan dikonsumsinya.

4) Aksioma 4 mengatakan bahwa “kelebihan lebih disukai daripada kurang”.

5) Aksioma 5 menjamin kondisi yang baik bahwa jika x dan y adalah dua commodity bundle pada himpunan indiferensi IS(x), maka ¿ adalah kuat disukai antara x atau y untuk semua 0<θ<1 yaituθx+(1-θ)y adalah sebuah titik interior pada himpunan preferensi PS(x)(=PS(y)).

6.2. Fungsi Utilitas

Dalam analisis pada perilaku konsumen, relasi preferensi konsumen pada umumnya direpresentasikan oleh sebuah fungsi nilai riil U yang terdefinisi pada ruang komoditas dimana U(x) U(y) jika dan hanya jika x≽y.U menempatkan sebuah bilangan riil untuk setiap commodity bundle x dan besarnya U(x) menyatakan preferensi-preferensi konsumen (urutan pada komoditas). Dengan demikian sebuah fungsi disebut fungsi utilitas dan secara formal didefinisikan

6.2.1 Definisi:

Sebuah fungsi U : R+n→R disebut fungsi utilitas jika dan hanya jika memenuhi kondisi:

a) U(x) U(y) jika dan hanya jika x≽y;b) U(x) >U(y) jika dan hanya jika x≻y;c) U(x) = U(y) jika dan hanya jika x~y;

Pertanyaan tentang eksistensi fungsi utilitas yang merepresentasikan sebuah relasi preferensi yang diberikan dijawab oleh teorema berikut.

6.2.2 Teorema:

Sebuah relasi preferensi yang memenuhi aksioma kelengkapan, transitivitas, kesinambungan dan nonsatiasi bisa ditunjukkan oleh sebuah fungsi utilitas kontinu.

Bukti: Debreu [1959];Varian[1978]

6.2.3 Remarks:

1) Sebuah fungsi utilitas merepresentasikan sebuah relasi preferensi yang tidak tunggal. Sebagai contoh, diberikan fungsi utilitas U yang mengikuti fungsi yang direpresentasikan relasi preferensi yang sama karena fungsi ini menjaga urutan dari commodity bundle.

V(x)= 5 U(x)+3, W(x)=ln U(x), G(x)=eU(x)

Secara umum, jika F fungsinya menaik maka fungsi komposisiV=F ∘U sama baiknya dengan U dalam merepresentasikan relasi preferensi karena

x≽y U(x) U(y) V(x) = F[U(x)] F[U(y)] = V(y)

V disebut transformasi monoton terhadap U karena nilai fungsi V menaik jika dan hanya jika nilai fungsi U menaik.

2) Jika relasi preferensi tidak memenuhi aksioma kontinuitas maka relasi preferensi tidak mungkin direpresentasikan oleh fungsi utilitas. Sebagai contoh seperti pada relasi preferensi yang juga disebut lexicographic preferences (atau L-preferences) yang urutannya mengikuti urutan yang digunakan dalam kamus. Dikatakan bahwa x adalah L-preferred untuk y jika dan hanya jika

x1 y1

atau x1 = y1,x2 y2

atau x1 = y1,x2 = y2,x3 y3

atau dan seterusnya

sebagai bukti bahwa L-preference tidak dapat direpresentasikan oleh fungsi utilitas, lihat Debreu [1959] atau Varian[1978].

3) Aksioma nonsatiasi dapatkembali dikemukakan dalam batas fungsi utilitas U. Dengan demikian jika xy dan xy maka U(x) >U(y).

4) Aksioma nonsatiasi juga mengimplikasi bahwa kenaikan konsumsi pada komoditas ketika ada konstanta lain yang menaikkan utilitas. Sehingga jika U adalah fungsi utilitas yang turunan parsialnya ada maka

U i ' (x )>0 ,i=1, 2 , ⋯, n

Ui’(x) disebut utilitas marjinal pada komoditas ke-i di x.

5) Dalam batas fungsi U, aksioma strict convexity dapat kembali dikemukakan yakni:

Jika x,y R+n

sedemikian sehingga jikaxy dan U(x) U(y), makaθx+(1-θ)y ≻y untuk semua θϵ (0,1)

Ini ekuivalen dengan mengatakan bahwa U adalah strictly quasconcave (Definisi 5.7.3).

Kondisi ini dipenuhi setiap fungsiU : R++n →R yang turunan parsial keduanya kontinu dan

mempunyai Matriks Hessian definit negatif untuk setiap x R++n

karena dalam kasus ini

U adalah strictly concave pada R++n

(Teorema 5.6.23) dan strictly quasconcave (Teorema 5.7.10)

6.3 Maksimisasi Utilitas (UM)

Diberikan seorang konsumen dengan fungsi utilitas U dan modal y>0. Misalkan ada n komoditas dan pj adalah harga komoditas ke-j, dimana pj> 0, untuk setiap j=1, 2, ..., n. Usaha konsumen untuk memaksimalkan utilitas bergantung pada kendala modal yaitu masalah pilihan konsumen ditunjukkan masalah berikut:

Masalah-UM: Max U(x) s.t. pTx ≤ y, p > 0, y> 0, x Rn (6-1)

x 0.

Sebuah solusi optimal pada masalah-UM yang disebut utility-maximizer.

6.3.1 Teorema

Misalkan fungsi utilitas U dalam malasah-UM (6-1) terdiferensial pada himpunan konveks terbuka D memuat Rn.

a) Jika xU adalah utility-maximizer, maka xU memenuhi kondisi Kuhn–Tucker.b) Jika U adalah quasiconcave pada D dan xU memenuhi kondisi Kuhn–Tucker, maka xU

adalah utility-maximizer.

Bukti:

a) Sesuai teorema 5.13.6,

6.3.2 Remark. Eksistensi dan keunikan pada Utility-Maximizer.

Dengan mengasumsikan bahwa U terdiferensial (karena kontinu) pada R+n

, masalah-UM pada teorema 6.3.1 mempunyai maximizer karena himpunan kelayakan {x Rn |pTx ≤ y, x0} adalah kompak (Teorema 5.2.4). Jika dalam penjumlahan U adalah strictly quasiconcave maka menurut Teorema 5.7.21, xU adalah utility-maximizer tunggal.

Kondisi Kuhn-Tucker pada Masalah Maksimisasi utilitas

6.3.3 Teorema

Diberikan masalah-UM:

Max U(x) s.t. pTx ≤ y, p > 0, y> 0, x Rn

x 0.

dimana U adalah terdiferensialkan pada sebuah himpunan konveks terbuka D yang memuat

R+n

. Jika xU adalah utility-maximizer, maka ada suatu skalar U sedemikian sehingga

a) U j '( xU )−λU p j≤0 , j=1 , 2 , ⋯, n (6-2)

b) [U j ' (xU )−λU p j ] x j

U=0 , j=1 , 2 , ⋯, n (6-3)

c) λU [ y−pT xU ]=0 (6-4)

d) λU≥0 (6-5)

e) pT xU≤ y (6-6)

f) xU≥0 (6-7)

Bukti: Dengan menuliskan kembali masalah sebagai

Max U(x) s.t. – pTx + y 0,

x 0.

dan menggunakan teorema 5.15.1.

6.3.4 Corollary

Diberikan Masalah-UM dalam teorema 6.3.3 untuk membuat utilitas menjadi maksimal pada xU, ini syarat perlu bahwa

a) Untuk setiap dua pembelanjaan komoditas ke-i dan ke-j berlaku,

U i '( xU )pi

=U j ' ( xU )

p j (6-8)b) pTxU = y.

Bukti:

a) Jika komoditas ke-i dan ke-j dibeli maka x iU>0 , x j

U>0 . Kemudian dari (6-3)

U i ' (xU )−λU pi=0 ,

U j '( xU )−λU p j=0 ,

Sehingga

U i '( xU )pi

=λU=U j ' ( xU )

p j (6-10)

b) Dari nonsatiasi, harga-harga positif dan (6-10), ini mengikuti λU>0 . Sehingga dari

(6-4),

pTxU = y.

6.3.5 Remarks

1) Kondisi (6-8) mengatakan bahwa pada utilitas maksimum, utilitas dibagi harga per-unit diidentifikasi untuk semua pembelanjaan komoditas. Dan jika

U i '( xU )pi

>U j ' (x

U )p j

,

Maka utilitasdapat ditingkatkan dengan mengambil modal yang sama dengan mengalokasikan kembali secara sederhana dari i ke j.

2) Dari (6-10), dengan melihat bahwa langrange multiplierλU adalah utilitas marjinal dibagi

harga per-unit untuk setiap pembelanjaan komoditas. Dari teorema 5.16.1,

∂U ( xU )∂ y

=λU

Dengan demikian λU

juga merupakan utilitas marjinal pada pendapatan. Ini merujuk pada utilitas marjinal dibagi harga per-unit untuk setiap pembelanjaan komoditas yang identik

dengan utilitas marjinal pada pendapatan. Karena λU>0 , maka meningkatnya utilitas sama

dengan meningkatnya pendapatan. Ini tidak berefek karena peningkatan pendapatan dapat digunakan untuk membeli lebih banyak komoditas yang juga meningkatkan utilitas.

3) Bagian kedua pada corollary 6.3.4 mengatakan bahwa pada utilitas maksimum, seluruh modal digunakan.

Utilitas 2-komoditas pada Masalah Maksimisasi

Max U(x1,x2) s.t. p1x1+p2x2≤ y

x1,x2 0

Utilitas maksimaldiperoleh dengan memilih kurva indiferensi yang paling tinggi yang menyinggung himpunan fisibel (gambar 6.2). Ini mencapai xU dimanabudget linemenyinggung kurva indiferensi.Pada titik ini slope pada budget line dan kurva indiferensi sama. Slope pada budget line adalah

dx2

dx1

=−p1

p2 (6-11)

Slope pada kurva indiferensi U(x1,x2) konstan,

dx2

dx1

=−U1 '( x1 , x2)U2 '( x1 , x2) (6-12)

Oleh karena itu

U1 '( x1 , x2)p1

=U2 ' (x1 , x2 )

p2

Ini adalah kondisi pada (6-8).

Jika U adalah strictly quasiconcave maka kurva indiferensi melengkung seperti pada gambar 6.2.

Oleh karena ituutility-maximizeryang tunggal diperoleh. Syarat turunan kedua sedemikian sehingga kurva indiferensi memenuhi kondisi

dx22

dx1

2

>0

(6-13)

Karena utility-maximizer memenuhi budget constraint sebagai sebuah persamaan, ini adalah solusi pada masalah

Max U(x1,x2) s.t. p1x1+p2x2= y

Berdasarkan teorema 5.9.6, kondisi (6-13) ekuivalen dengan kondisi bahwa

det ¿¿ (6-14)

dan cukup untuk memaksimumkan dimana L” adalah matriks Hessian pada

L=U (x1 , x2 )+λ( p1 x1+ p2 x2− y )

ketidaksamaan (6-14) dapat ditulis kembali sebagai

det [ 0 −p1 −p2

−p1 ¿ ¿U 21 {} # U rSub { size 8{22} } ¿]>0

(6-15)

6.3.6 Contoh: Diberikan Masalah maksimisasi utilitas

Max U(x1,x2) = (x1+1)1/3(x2+1)1/2

s.t. x1+3x2≤ 21x1,x2 0.

Karena kendalanya linier, kendala Arrow-Hurwicz-Uzawa memiliki kualifikasi. Oleh karena itu kondisi Kuhn-Tucker diperlukan untuk memaksimumkan. Kondisi Kuhn-Tucker adalah

(a)

(1/3)( x1+1 )−2/3( x2+1 )1/2− λ≤0

(1/2)( x1+1 )1/3( x2+1 )−1/2−3 λ≤0

(b)

[(1/3)( x1+1 )−2/3( x2+1 )1/2−λ ] x1=0

[(1/2)( x1+1)1/3 ( x2+1)−1/2−3 λ ]x2=0

(c) λ (−x1−3 x2+21)=0

(d) λ≥0

(e) −x1−3 x2+21≥0

(f) x1,x2 0.

Ini jelas dari (a) bahwa λ≠0 , oleh karena itu λ>0 . Maka dari (c) diperoleh

−x1−3 x2+21=0

Kasus 1. x1= 0, x2 = 0. Hal ini diatur berdasarkan persamaan (6-16)

Kasus 2. x1> 0, x2 = 0. Dari (6-16), diperoleh x1= 21. Oleh karena itu dari (b) menjadi

(1/3)( x1+1 )−2/3( x2+1 )1/2− λ=0

Dengan menyelesaikan untuk λ dan mensubtitusikan ketidaksamaan yg kedua di bagian(a)

dan catatan bahwax2 = 0, diperoleh

(1/2)( x1+1 )1/3−3 (1/3)( x1+1 )−2/3≤0(1/2)( x1+1 )−1≤0x1≤1

Yang kontradiksi dengan x1= 21. Oleh karena itu kasus ini tidak mungkin.

Kasus 3. x1= 0, x2 > 0. Ini juga bisa ditunjukkan, dengan mengikuti prosedur pada kasus 2 bahwa kasus ini tidak mungkin.

Kasus 4. x1> 0, x2 > 0. Dari (b), diperoleh

(1/3)( x1+1 )−2/3( x2+1 )1/2− λ=0 (6-17)

(1/2)( x1+1 )1/3( x2+1 )−1/2−3 λ=0 (6-18)

Persamaan (6-16), (6-17), dan (6-18) menghasilkan solusi

x1U=9 , x2

U=4 , λU=(1 /3 )(5 )−1/6(2 )−2/3

Tinjau bahwa pada himpunan konveks terbuka D = {x ϵ R2|x1, x2 > -1}, U kontinu pada

turunan pertama dan kedua. Catatan juga bahwa R+2 ⊆D dan himpunan fisibel

X={x∈R2|x1+3x2≤21, x≥0} adalah konveksdan ini adalah subhimpunan D. Mudah untuk menunjukkan bahwa matriks Hessian pada U definit negatif pada D dan oleh karena itu juga pada X. Berdasarkan Teorema 5.6.23, U adalah strictly concave pada X. Ini menunjukkan bahwa adalah the unique global maximizer.

6.4 Fungsi Permintaan Marshallian dan Fungsi Utilitas tidak Langsung

Andaikan bahwa, masalah maksimisasi utilitas pada teorema 6.3.3, semua n komoditas dibeli

(yakni xU> 0) dan xUtunggal. KarenaλU>0 , (xU,λU

) harus memenuhi kondisi Kuhn-Tucker dimana direduksi menjadi persamaan:

F0 ( λ , x ; p , y )= y−pT x=0F1 ( λ , x ; p , y )=U 1 '( x )−p1 λ=0⋮Fn( λ , x ; p , y )=Un ' (x )−pn λ=0 (6-19)

Sistem (6-19)mempunyai n+1 persamaan-persamaan di dalam n+1 peubah-peubah

x1 , x2 , ⋯, xn , λ dann+1parameter-parameter p1 , p2 , ⋯, pn , y . Matriks Jacobian pada sistem (6-19) adalah

J=[(F0 )λ' (F0 )1

' ⋯ (F0)n'

(F1 )λ' (F1 )1

' ⋯ (F1)n'

⋮ ⋮ ⋮(Fn )λ

' (Fn )1' ⋯ (Fn)n

' ]=[ 0 p1 ⋯ pn

p1 U11 ' ⋯ U 1n '⋮ ⋮ ⋮pn Un 1 ' ⋯ Unn ' ]

(6-20)

Jikapenjumlahan, Uterdiferensial secara kontinudua kali padaR++n

dan J adalah nonsingular

pada [ λU , xU ; p , y ]T maka dengan teorema fungsi implisit (Teorema 4.13.9),x iU=Di

U ( p , y )

dimanaDiU

terdiferensial secara kontinu pada persekitaran [ p , y ]T .

Kondisi ini terpenuhi jika U terdiferensial secara kontinu dua kali dan matriks Hessian-nya definit negatif. Dalam kasus ini, U adalah strictly concave, oleh karena itu setiap utility-maximizeradalah tunggal untuk setiap pasang (p,y). Selain itu matriks Hessian adalah simetri dan menjadi definit negatif yang nonsingular. Ini menunjukkan bahwa matriks Jacobian nonsingular.

6.4.1 Definisi:

Misalkan masalah-UM mempunyai utility-maximizer tunggal xU untuk setiap pasang harga-

pendapatan (p,y). FungsiDiU

terdefinisi pada orthant positifRn+1 dengan

x iU=Di

U ( p , y )

disebut fungsi permintaan Marshallian.

6.4.2 Definisi:

Misalkan adalah xUutility-maximizer tunggal terhubung dengan pasangan harga-pendapatan (p,y). Fungsi U1 terdefinisi pada orthant positif Rn+1 dengan

U ( p , y )=U ( xU )

disebut fungsi utilitas tidak langsung.

6.4.3 Remarks:

Fungsi utilitas tidak langsung mengindikasi utilitas maksimum yang dapat dicapai pada tingkat harga dan pendapatan yang diberikan.

Dikemukakan pada Remark 6.2.3 (1) bahwa jika F adalah fungsi naik bilangan riil dan U

adalah fungsi utilitas yang merepresentasikan relasi preferensi, maka komposisiV=F ∘U juga merepresentasikan relasi preferensi yang sama. Kita seharusnya mengharapkan agar U dan V menyebabkan keidentikan fungsi permintaan Marshallian.

6.4.4 Teorema:

Diberikan masalah maksimisasi utilitas:

UM-1: Max U(x) UM-2: Max V(x)

s.t. pTx ≤ y, s.t. pTx ≤ y,x 0. x 0.

Dimana V(x) = F[U(x)] dan F adalah sebuah fungsi naik pada U(x). Misalkan UM-1 mempunyai utility-maximizer tunggal xU untuk setiap pasang harga-pendapatan (p,y) maka xU

adalah utility-maximizer tunggal pada UM-2.

Bukti: Karena adalah xU adalah utility-maximizer tunggal pada UM-1, untuk setiap yang xxU fisibel, kita mempunyai

U(x) <U(xU) F[U(x)] <F[U(xU)] V(x) <V(xU)

dengan demikianxU adalah utility-maximizer tunggal pada UM-1.

6.4.5 Corollary:

Misalkan U dan V adalah fungsi utilitas sedemikian sehinggaV(x) = F[U(x)], dimana F adalah fungsi naik. Maka keidentikan fungsi permintaan Marshallian disebabkan oleh U dan V.

6.4.6 Contoh

Misalkan UM-1 pada masalah contoh 6.3.6

Max U(x1,x2) = (x1+1)1/3(x2+1)1/2

s.t. x1+3x2≤ 21x1,x2 0.

Misalkan UM-2 adalah masalah-UM dengan U yang diganti dengan V didefinisikan sebagai:

V(x1,x2) = ln U(x1,x2) = (1/3) ln(x1+1)+(1/2) ln(x2+1)1/2

Kondisi Kuhn-Tucker pada UM-2 adalah:

a)

13( x1+1)

−λ≤0b) ( 1

3( x1+1 )− λ)x1=0

12( x2+1)

−3 λ≤0 ( 12( x2+1)

−3 λ) x2=0

c) λ (−x1−3 x2+21)=0 d) λ≥0

e) −x1−3 x2+21≥0 f)x1,x2 0.

Ini jelas dari a) bahwa λ>0 , oleh karena itu dari (c) diperoleh

−x1−3 x2+21=0

Dengan mempertimbangkan berbagai kasus seperti dalam contoh 6.3.6, dengan menyimpulan

bahwa solusi optimal harus memenuhi x1> 0, x2> 0. Oleh karena itu, diperoleh sistem persamaan

− 13( x1+1)

−λ=0

− 12( x2+1)

−3 λ=0

−x1−3 x2+21=0

Dengan menyelesaikan sistem ini diperoleh x

1V=9 , x2V=4

. Sehingga

x1U=x

1V , x2U=x

2V

Menetapkan Teorema 6.4.4.

6.4.7 Teorema:

Fungsi permintaan Marshallian homogen derajat nol pada tingkat harga dan pendapatan.

Bukti:

Kita hendak menunjukkan bahwa > 0, DiU (αp , αy )=Di

U ( p , y ). Mempertimbangkan masalah maksimisasi utilitas berikut:

UM-1: Max U(x) UM-2: Max V(x)

s.t. pTx ≤ y, s.t. pTx ≤ y, x 0. x 0.

Misalkan x1 dan x2 adalah solusi optimal pada UM-1 dan UM-2, berturut-turut yakni,

x i1=D i

U( αp, αy ) , x i2=Di

U ( p , y ), i=1 , 2 , ⋯, n

UM-1 dan UM-2 adalah masalah-masalah yang ekuivalen karena mempunyai fungsi obyektif yang identic dan himpunan fisibel yang sama. Oleh karena itu, x1 = x2 yakni

DiU (αp , αy )=x i

1= x i2=Di

U ( p , y ), i=1 , 2 , ⋯, n

6.4.8 Remark

Sifat pada fungsi permintaan Marshallian dikemukakan dalam teorema 6.4.7 yaitu sering digambarkan sebagai permintaan konsumen yang bebas dari uang ilusi.

6.4.9 Teorema

Fungsi utilitas tidak langsung U1 memiliki sifat berikut:

a) U1 homogen derajat nol pada tingkat harga dan pendapatan yaitu:

U1 (αp,αy )=U 1( p , y ) untuk setiap > 0b) U1 tidak naik terhadap tingkat harga yaitu jika pendapatan y tetap konstan maka

p1≤p2⇒ U1 ( p1 , y )≥U1 ( p2 , y )c) U1 tidak turun terhadap pendapatan yaitu jika tingkat harga p tetap konstan maka

y1≤ y2⇒ U1 ( p , y1 )≥U1 ( p , y2 )d) U1 adalah bersifat quasiconvex terhadap tingkat harga yaitu jika pendapatan y tetap

konstan maka

U1 ( p1 , y )≥U 1( p2 , y ) , 0≤θ≤1⇒ U 1[ θp1+(1−θ) p2 , y ]≤U 1( p1 , y )

Bukti:

a) Dari definisi, perhatikan bahwa

U1 (αp,αy )=U [D1U (αp , αy ) ,⋯, Dn

U (αp,αy ) ]=U [D1U ( p , y ) ,⋯, Dn

U ( p , y ) ]=U1 ( p , y )

b) Misalkan S1={x|( p1 )T x≤ y ,x≥0}, S2={x|( p2 )T x≤ y ,x≥0}

Misalkan xS2. Karena x≥0 dan p1≤ p2, diperoleh

( p1 )T x≤( p2 )T x≤ y

Karena, xS2yakni S2S1. Ini mengimplikasi bahwa maksimum pada U atas S2 tidak melebihi maksimum pada U atas S1 yaitu

U1( p2 , y )≤U1 ( p1 , y )c) Buktinya miirp dengan bukti pada bagian b)d) Mempertimbangkan masalah maksimisasi utilitas berikut:

UM-1: Max U(x)

s.t. ( p1 )T x≤ y ,x≥0

UM-2: Max U(x)

s.t. ( p2 )T x≤ y ,x≥0

UM-3: Max U(x)

s.t. ( p3 )T x≤ y , p3=θp1+(1−θ ) p2 , θ∈[0,1 ]x≥0

Misalkan x1, x2 dan x3 adalah utility-maximizers berturut-turut dalam UM-1, UM-2, dan UM-3. Maka didefinisikan

U ( x1 )=U1( p1 , y ), U ( x2 )=U1 ( p2 , y ) , U ( x3 )=U 1( p3 , y )UM-3 dapat ditulis ulang sebagai berikut:UM-3.1: Max U(x)

s.t. θ( p1 )T x+(1-θ )( p2 )T x≤θy+(1- θ) y ,

x≥0

Kasus 1. θ( p1 )T x3≤θy . Ini mengimplikasi bahwa ( p1 )T x3≤ y ,yaitu x3 adalah fisibel

dalam UM-1, oleh karena itu U ( x3 )≤U ( x1 ) atau

U1 [θp1+(1−θ) p2 , y ]≤U1 ( p1 , y )Kasus 2.

0<θ ( p1 )T x3−θy≤(1-θ ) y−(1-θ)( p2 )T x3

Oleh karena itu (1-θ )( p2 )T x3<(1-θ ) y atau ( p2 )T x3< y .Maka x3 adalah fisibel dalam UM-2, sehingga U(x3) ≤U(x2)

Atau U1 [θp1+(1−θ ) p2 , y ]≤U1 ( p2 , y )≤U1 ( p1 , y ) .

6.4.10 Remark

Dengan mengambil =1/p1, Teorema 6.4.7 membolehkan untuk menuliskan

DiU ( p1 , p2 ,⋯, pn , y )=Di

U (1 ,p2

p1

,⋯,pn

p1

,yp1

) , i=1 , 2, ⋯, n

Sementara teorema 6.4.9 a) membolehkan menuliskan

U1 ( p1 , p2 ,⋯, pn , y )=U1(1 ,p2

p1

,⋯,pn

p1

,yp1

).

Dengan demikian permintaan dan utilitas tidak langsung bergantung hanya pada tingkat harga relatif dan pendapatan riil.

6.4.11 Definisi:

Misalkan fungsi permintaan Marshallian diberikan sebagai x i=Di ( p , y ). Elastisitas tingkat harga pada permintaan dan elastisitas pendapatan pada permintaan didefinisikan sebagai

ε ij=p j

x i

∂ x i

∂ p j (elastisitas tingkat harga) (6-12)

6.4.12 Teorema:

ε i1+εi2+⋯+εin+εiy≡0 (6-13)

Bukti:Latihan (Petunjuk: Gunakan Teorema Euler)

6.5. Minimisasi Pengeluaran

Pilihan konsumen mingkin juga dapat ditinjau sebagai masalah minimisasi pengeluaran. Seorang konsumen dapat dipuaskan dengan utilitas pasti pada tingkat u dan mungkin mencob a untuk meminimalkan pengeluaran. Dengan menggunakan beberapa notasi yang sama dan asumsi sebelumnya, masalah minimisasi pengeluaran diformulasikan sebagai berikut:

Masalah-EM: Min E( x )=pT x, p>0,x∈ Rn

s.t. U(x) ux≥0 .

Solusi optimal pada masalah-EM disebut expenditure-minimizer. (Dengan mengasumsikan bahwa u range(U) yang bisa diberikan, tanpa kerugian umum, menjadi bentuk [0,b) dimana b bisa tak hingga dan U (0)=0. Meskipun jika u=0, maka masalah-EM mempunyai solusi trivial xE=0. Oleh karena itu dengan mengasumsikan bahwa u(0,b). Untuk waktu yang sebaik-baiknya, dengan mengambil b yang tak hingga sehingga uR++.)

6.5.1 Teorema:

Diberikan masalah-EM

Min E( x )=pT x, p>0,x∈ Rn

s.t. U(x) u, u>0x≥0 .

Dimana U terdiferensialkan dan bersifat quasiconcave pada Rn dan u diberikan. Maka xE

adalah expenditure-minimizer jika dan hanya jika memenuhi kondisi Kuhn-Tucker.

Bukti:

()Dengan memilih x0>xE maka U(x0)>U(xE) u, oleh sebab itu U(x0) – u> 0. Selain itu

untuk setiap x X={xRn |U(x0) – u> 0,x≥0 }, Ui’(x) >0, dengan nonsatiasi. Menurut teorema 5.13.10, kendala Kuhn-Tucker. Oleh karena itu, xE memenuhi kondisi Kuhn-Tucker.

()Fungsi obyektif linier adalah terdiferensialkan dan bersifat concave (atau quasiconcave)

pada R+n

. Fungsi kendala terdiferensialkan dan bersifat quasiconcavepada R+n

. Menurut teorema 5.17.2, adalah xE solusi optimal.

Kondisi Kuhn-Tucker pada Masalah Minimisasi Pengeluaran

6.5.2 Teorema:

Diberikan masalah-EM:

Min E( x )=pT x, p>0,x∈ Rn

s.t. U(x) u, u>0x≥0 .

dimana U adalah terdiferensialkan dan bersifat quasiconcavepada R+n

dan u adalah tingkat utilitas yang diberikan. Jika xE adalah expenditure-minimizer, maka ada suatu skalar E

sedemikian sehingga

a) −p j+λE U j '( xE )≤0 , j=1 , 2 , ⋯, n (6-30)

b) [−p j+λE U j '( x E) ]x jE≤0 , j=1 , 2 , ⋯, n (6-31)

c) λE [U ( x E)−u ]=0 (6-32)

d) λE≥0 (6-33)

e) U ( x E)≥u , (6-34)

f) xE≥0 (6-35)

Bukti: Dengan menuliskan kembali masalah sebagai

Min −E( x )=−pT x,s.t. U(x) – u0,

x≥0 .

dan menggunakan teorema 5.15.1.

6.5.3 Corollary:

Diberikan Masalah-UM dalam teorema 6.5.2 untuk membuat pengeluaran menjadi minimal pada xE, ini syarat perlu bahwa

a) Untuk setiap dua pembelanjaan komoditas ke-i dan ke-j berlaku,

U i '( x E)p i

=U j ' ( xE)

p j

;(6-36)

b) U ( x E)=u . (6-37)

Bukti:

a) Jika komoditas ke-i dan ke-j dibeli maka x iE>0 , x j

E>0 . Kemudian dari (6-31)

−p j+λE U i '( x E)=0 ,

−p j+λE U j '( xE )=0 ,

Sehingga

p i

U i '( x E)=λE=

p j

U j ' ( x E) (6-38)atau

U i '( x E)p i

=U j ' ( xE)

p j

b) Karena harga-harga barang dan utilitas marjinal positif, maka untukλE>0 dari (6-4), diperoleh

U ( x E)=u .

6.5.4 Remarks

1) Kondisi (6-38) mengatakan bahwa pada pengeluaran minimum,harga dibagi utilitas denganutilitas marjinal diidentifikasi untuk semua pembelanjaan komoditas. Dan jika

p i

U i '( x E)>

p j

U j '( x E)

Maka pengeluaran dapat diturunkan dengan mengambil tingkat utilitas yang sama, yaitu dengan mengalokasikan kembali pengeluaran dari i ke j.

2) Dari (6-38) bahwa langrange multiplierλE adalah harga marjinal pada utilitas untuk setiap

pembelanjaan komoditas. Kita juga dapat meninjau pada λE

melalui teorema 5.16.1. Kita dapat menuliskan masalah-EM sebagai

Min −E( x )s.t. –U(x) ≤ –u,

x≥0 .

Menurut teorema 5.16.1,

∂(−E (x E))∂(−u )

= λE;

∂E( x E)∂u

=λE ;

Dengan demikian harga marjinalpada utilitas untuk setiap pembelanjaan komoditas diidentifikasi untuk harga marginal pada utilitas untuksetiap pembelanjaan komoditas yang simultan.

3) Bagian kedua pada corollary 6.5.3 mengatakan bahwa pada pengeluaran minimum, memberikan tingkat utilitas yang dicapai. Dan jika tingkat utilitas yang diberikan tidak dicapai maka pengeluaran bisa berkurang dengan berkurangnya konsumsi.

4) Dalam maksimisasi utilitas, strict quasiconcave pada fungsi obyektif mengimplikasi ketunggalan pada utility-maximizer. Dalam masalah minimisasi pengeluaran, fungsi obyektif linear bersifat quasiconcave tetapi tidak bersifat strictly quasiconcave. Meskipun strict quasiconcave pada U masih menjamin ketunggalan pada expenditure-minimizer. Ini ditunjukkan pada teorema selanjutnya.

6.5.5 Teorema:

Fungsi utilitas dalam masalah-EM terdiferensialkan dan bersifat strictly quasiconcave makaexpenditure-minimizer adalah tunggal.

6.5.6 Contoh:

Diberikan Masalah maksimisasi utilitas pada contoh 6.3.6

Max U(x1,x2) = (x1+1)1/3(x2+1)1/2

s.t. x1+3x2≤ 21x1,x2 0.

denganutility-maximizer adalah xU=[9 4]T dengan utilitas maksimum pada U(xU)=u*=(10)1/3(5)1/2. Diberikan masalah-EM dimana tingkat utilitas yang diberikan adalah u*:

Min x1+3x2

s.t (x1+1)1/3(x2+1)1/2 u*

x1,x2 0.

Kondisi Kuhn-Tucker adalah

(a)

−1+( λ/3 )(x1+1 )−2/3( x2+1)1/2≤0

−3+( λ/2 )(x1+1)1/3( x2+1 )−1/2≤0

(b)

[−1+( λ/3 )(x1+1)−2/3 (x2+1)1/2 ] x1=0

[−3+( λ/2 )( x1+1)1/3( x2+1)−1/2 ] x2=0

(c) λ [(x1+1)1/3( x2+1 )1/2−u¿ ]=0

(d) λ≥0

(e) ( x1+1)1/3 ( x2+1)1/2≥u¿

(f) x1,x2 0.

Dari kondisi ini, kita dapat menunjukkan bahwa kasus berikut tidak mungkin: (1) x1= 0,x2= 0

(2) x1> 0,x2= 0 (3)x1= 0,x2> 0. Kasus x1> 0,x2> 0mewakili untuk persamaan-persamaan

−1+( λ/3 )(x1+1 )−2/3( x2+1)1/2=0

−3+( λ/2 )(x1+1)1/3( x2+1 )−1/2=0

( x1+1 )1/3( x2+1 )1/2−(10)1/3 (5)1/2=0

menghasilkan solusi x1E=9 , x2

E=4 , λE=3(10 )2/3(5 )1 /6 .

6.6 Fungsi Permintaan Hicksian dan Fungsi Pengeluaran Tidak Langsung

Andaikan bahwa dalam masalah-EM pada teorema 6.5.2, untuk semua n komoditas yang

dibeli berlaku (yaitu xE>0) dan xE tunggal. Karena λE

>0 ,maka (xE,λE

) harus memenuhi kondisi Kuhn-Tucker yang mereduksi persamaan-persamaan:

G0( λ , x ; p , y )=U ( x )−u=0G1( λ , x ; p , y )=−p1+λU 1 '( x )=0⋮Gn( λ , x ; p , y )=−p1+ λUn ' ( x )=0 (6-42)

Sistem (6-42) dengan n+1 persamaanx1 , x2 , ⋯, xn , λ dalam n+1 variabelp1 , p2 , ⋯, pn , u . Matriks Jacobian dari (6-42) adalah

J=[ 0 U1 ' ⋯ U n 'U1 ' λU 11 ' ⋯ λU 1 n '

⋮ ⋮ ⋮Un ' λU n 1 ' ⋯ λU nn ' ]

(6-43)

Sistem (6-19) mempunyai n+1 persamaan-persamaan di dalam n+1 peubah-peubah

x1 , x2 , ⋯, xn , λ dan n+1 parameter-parameter p1 , p2 , ⋯, pn , y . Matriks Jacobian pada sistem (6-19) adalah

J=[(F0 )λ' (F0 )1

' ⋯ (F0)n'

(F1 )λ' (F1 )1

' ⋯ (F1)n'

⋮ ⋮ ⋮(Fn )λ

' (Fn )1' ⋯ (Fn)n

' ]=[ 0 p1 ⋯ pn

p1 U11 ' ⋯ U 1n '⋮ ⋮ ⋮pn Un 1 ' ⋯ Unn ' ]

Asumsi bahwa U terdiferensialkan dua kali secara kontinu pada

Asumsi bahwa U terdiferensialkan secara kontinudua kali pada R++n

dan J adalah

nonsingular pada [ λU , xU ; p , y ]T maka dengan teorema fungsi implisit (Teorema 4.13.9),

maka ada sebuah fungsi terdiferensial secara kontinuDiU

sedemikian sehinggax iE=Di

E( p , u )

pada persekitaran [ p , y ]T .

Kondisi ini terpenuhi jika U terdiferensial secara kontinu dua kali dan matriks Hessian-nya definit negatif. Dalam kasus ini, U adalah strictly concave, oleh karena itu setiap expenditure-minimizer adalah tunggal untuk setiap pasang (p,u) (teorema 6.5.5). Selain itu matriks

λU ''( x ) adalah simetri dan nonsingular. Ini menunjukkan bahwa matriks Jacobian (6-43) nonsingular (masalah 1.23).

6.6.1 Definisi:

Misalkan masalah-EM mempunyai expenditure-minimizer tunggal xE untuk setiap pasang harga-utilitas (p,u). Fungsi pendapatan Hicksianadalah fungsi bernilai riil yang terdefinisi pada orthant positif Rn+1 dengan

x iE=Di

E( p , u )

6.6.2 Definisi:

Misalkan adalah xEexpenditure-minimizer tunggal terhubung dengan pasangan harga-utilitas (p,u).Fungsi pengeluaran tidak langsungadalah fungsi bernilai riil E1 terdefinisi pada orthant positif Rn+1 dengan

E1 ( p ,u )=E( x E)=pT x E

6.6.3 Remarks:

Fungsi pengeluaran tidak langsung mengindikasikan bahwa pengeluaran minimum dapat dicapai pada tingkat harga dan utilitas yang diberikan.

6.4.4 Teorema:

Fungsi pendapatan Hicksian adalah fungsi homogen derajat nol pada tingkat harga

Bukti:

Dengan menunjukkan bahwa untuk setiap >0, DiE(αp ,u )=Di

E( p ,u ).Dengan mempertimbangkan pasangan masalah minimisasi pengeluaran berikut:

EM-1: Min αpT x, EM-2: Min pT x,s.t. U(x) u, s.t. U(x) u,

x≥0 . x≥0 .

Catatan bahwa EM-1 dan EM-2 mempunyai himpunan fisibel yang sama dan αpT x¿≤αpT x

jika dan hanya jika pT x¿≤pT x . Oleh karena itu, xE adalah sebuah minimizer pada EM-1 jika

dan hanya jika itu juga minimizer pada EM-2. Dalam EM-1 x iE=Di

E(αp, u )dan dalam EM-2

x iE=Di

E( p , u ).Denganexpenditure-minimizer yang tunggal, diperoleh DiE(αp ,u )=Di

E( p ,u ).

6.6.5 Teorema:

Fungsi pengeluaran tidak langsung E1 mempunyai sifat berikut:

a) E1adalah homogen linier terhadap tingkat harga yaitu jika utilitas u konstan maka

DiE(αp ,u )=αD i

E( p , u ), untuk setiap >0.b) E1adalah tidak menurun terhadap tingkat harga yaitu jika tingkat utilitas u tetap

konstan maka p1≤p2⇒E1( p1 , u)≤E1( p2 ,u ) ;

c) E1adalah menaik terhadap utilitas yaitu jika tingkat harga p tetap konstan maka

u1<u2⇒E1 ( p ,u1)≤E1( p , u2 )d) E1adalah concave terhadap tingkat harga yaitu jika tingkat utilitas tetap konstan maka

E1 [θp1+(1−θ ) p2 , u ]≥θE1 ( p1 ,u )+(1−θ)E1 ( p2 , u) , 0<θ<1 ;e) E1kontinu terhadap tingkat harga positif yaitu jika tingkat utilitas tetap konstan maka

E1kontinu untuk semua p > 0.

6.6.6 Teorema (Lemma Shephard untuk Konsumen)

x jE=

∂ E1 ( p , u )∂ p j

, j=1 , 2 , ⋯, n .

6.6.7 Remark: Teorema 6.6.6 mirip dengan Lemma Shephard dalam teori perusahaan (teorema 7.6.6)

6.6.8 Teorema:

Fungsi pendapatan Hicksian untuk barang ke-j adalah tidak menaik terhadap tingkat harga barang ke-j yaitu

∂ x jE

∂ p j

≤0 , j=1 , 2 , ⋯, n .

6.6.9 Remarks:

(1) Jika matriks Hessian padaE1 adalah definit negatif maka anggota-anggota diagonal matriksnya negatif (Teorema 1.12.7). Oleh karena itu

∂ x jE

∂ p j

<0

Yaitu permintaan pada barang ke-j menurun dengan menaiknya pj.tanda

(2) Sementara itu teorema 6.6.8 adalah pasti tentang tanda

∂ x jE

∂ p j pada bukan ungkapan pasti

yang dibuat tanda

∂ x jE

∂ p j

,i≠ j. Meskipun kita membuktikan dalam teorema selanjutnya bahwa

terdapat i≠ j sedemikian sehingga

∂ x jE

∂ p j

≥0.

6.6.10 Teorema:

Untuk setiap j, terdapat i≠ j sedemikian sehingga

∂ x jE

∂ p j

≥0.

6.6.11 Teorema:(Reciprocity Condition).

Jika fungsi pengeluaran tidak langsung mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu maka

∂ x jE

∂ p i

=∂ x i

E

∂ p j

, i , j=1 , 2, ⋯, n .

Bukti: Dengan menurunkan persamaan pada teorema 6.6.6 terhadap p, diperoleh

∂ x jE

∂ p i

=∂2 E1 ( p , u )∂ p i p j

=∂2 E1 ( p ,u )∂ p j pi

=∂ xi

E

∂ p j

6.6.12 Contoh:

Anggap masalah-UM pada contoh 6.4.14. Jika konsumen mengharapkan pengeluaran minim yang diberikan pada tingkat utilitas u maka masalah-EM yaitu

Min E(x) = p1x1+p2x2

s.t (x1+1)1/3(x2+1)1/2 ux1,x2 0.

Kondisi Kuhn-Tucker adalah

(a)

−p 1+( λ /3)( x1+1 )−2/3( x2+1 )1/2≤0

−p2+( λ /2 )( x1+1)1/3 ( x2+1)−1/2≤0

(b)

[−p 1+( λ /3)( x1+1 )−2/3( x2+1 )1/2 ]x1=0

[−p 2+( λ /2)( x1+1 )1 /3 ( x2+1)−1 /2 ]x2=0

(c) λ [ (x1+1)1/3( x2+1 )1/2−u ]=0

(d) λ≥0

(e) ( x1+1)1/3 ( x2+1)1/2−u≥0

(f) x1,x2 0.

Dari bagian (b) ini mengikuti bahwa solusi-solusi interior R+2

(yaitu x1,x2> 0), perhatikan bahwa

−p 1+λ3

( x2+1 )1/2

( x1+1 )2/3=0

−p2+λ2

( x1+1 )1/3

( x2+1 )1/2=0

Persamaan ini mengimplikasi bahwa λ≠0 ,oleh karena itu dari (c)

( x1+1)1/3 ( x2+1)1/2−u=0

Ketiga persamaan ini menghasilkan fungsi permintaan Hicksian:

x1E=(2 p2

3 p1)3 /5

u6/5−1

x2E=(3 p1

2 p2)

2/5

u6/5−1

Dengan jelas, fungsi permintaan Hicksian adalah homogen derajat nol terhadap tingkat harga.

Fungsi pengeluaran tidak langsung diperoleh dengan mensubtitusi fungsi permintaan Hicksian ke dalam definisi:

E1 ( p1 , p2 ,u )=p1 x1E+p2 x2

E

=5 ( p1

2 )2/5

(p2

3 )3/5

u6 /5−p1−p2

Ini jelas bahwa fungsi pengeluaran tidak langsung adalah homogen linear terhadap tingkat harga.

Membuktikan lemma Shephard untuk konsumen (teorema 6.6.6):

∂E1( p1 , p2 , u )∂ p1

=( p1

2 )−3/5

(p2

3 )3/5

u6/5−1=x1E

∂E1( p1 , p2 , u )∂ p2

=( p1

2 )2/5

( p2

3 )−2/5

u6 /5−1=x2E

Juga membuktikan teorema 6.6.8

∂ x1E

∂ p1

=−(72)1/5 p2

3 /5 u6/5

5 p13 /5 <0 ,

∂ x2E

∂ p2

=−(72)1/5 p1

2/5 u6/5

5 p27 /5 <0.

Dengan menurunkan x1E

dan x2E

terhadap p2 dan p1 , berturut-turut:

∂ x1

∂ p1

=(72)1/5 u6 /5

5 p13 /5 p2

2/5 ,

∂ x2

∂ p2

=(72)1/5 u6 /5

5 p13 /5 p2

2/5 .

Ini membuktikan reciprocity condition.

6.6.13 Remark:

Contoh terdahulu bersama dengan contoh 6.4.14 menunjukkan bahwa fungsi permintaan Hicksian yang dibedakan dengan fungsi permintaan Marshallian. Pada fungsi permintaan Marshallian ada pendapatan tetapi tidak utilitas sebagai salah satu uraian sementara pada fungsi pendapatan Hicksian ada utilitas tetapi tidak pendapatan sebagai salah satu uraian. Selain itu fungsi permintaan Marshallian homogen derajat nol terhadap tingkat harga dan pendapatan sementara fungsi permintaan Hicksian homogen derajat nol hanya terhadap tingkat.

6.7 Hubungan antara Maksimisasi Utilitas dan Minimisasi Pengeluaran

Pertimbangkan masalah-UM

Max U(x) s.t. pTx ≤ y, p > 0, y> 0, x Rn (6-47)

x 0.

Misalkan xU adalah utility-maximizer yang tunggal dan misalkan u = U(xU) utilitas maksimum. Dengan mempertimbangkan masalah-EM dengan u sebagai tingkat utilitas:

Min pT x,s.t. U(x) u p > 0, y> 0, x Rn (6-48)

x≥0 .

Dari masalah-EM, dengan catatan bahwa xE 0 dan

U(xE) u = U(xU) (6-49)

Karena xU adalah fisibel di dalam masalah-EM, maka diperoleh

pT xE≤pT xU= y .

Ini mengimplikasi bahwa xE adalah fisibel dalam masalah-UM yang mengakibatkan

U(xU) U(xE)

Kondisi (6-49) dan (6-51) mengimplikasi bahwa U(xU) = U(xE). Oleh karena itu xE adalah maximizer pada masalah-UM dan dengan ketunggalan pada utility-maximizer, xU = xE. Yang menghasilkan bukti dari teorema berikut:

6.7.1 Teorema:

Misalkan xU adalah utility-maximizer yang tunggal pada masalah-UM (6-47) dan misalkan u=U(xU) dalam masalah-EM (6-48). Jika xE adalah expenditure-minimizer dalam masalah-EM maka xU = xE.

6.7.2 Remark:

Demikian pula, memungkinkan memulai dari masalah-UM dan himpunan y=U(xE), dimana xE adalah expenditure-minimizer. Maka kita juga adapat menunjukkan bahwa xE adalah expenditure-minimizer yang berkorespondensi masalah-UM dengan budget y. Dengan mengemukakan hasil ini dalam teorema selanjutnya dan meninggalkan buktinya sebagai latihan.

6.7.3 Teorema:

Misalkan xE adalah expenditure-minimizer yang tunggal pada masalah-EM (6-48) dan misalkan y =pTx dalam masalah-UM (6-47). Jika xU adalah utility-maximizer dalam masalah-UM maka .

Bukti: Latihan

6.7.4 Teorema (Identitas)

(a)E1 [ ( p ,U1 ( p , y )]≡ y

(b) U1 [ ( p , E1 ( p ,u ) ]≡u

(c)x jU≡D j

E [ ( p ,U1 ( p , y )]≡x jE

(d)x jE≡D j

U [ ( p , E1 ( p ,u ) ]≡x jU

6.7.5: Teorema (Identitas Roy)

x jU≡−

∂U1( p , y )∂ p j

∂U1( p , y )∂ y

j=1 , 2 , ⋯, n .

6.7.6 Remarks:

(1) Diberikan fungsi utilitas tidak langsung, kita bisa memperoleh (a) fungsi permintaan marshallian dengan menggunakan Identitas Roy, (b) fungsi pengeluaran tidak langsung dengan menggunakan teorema 6.7.4 dan (c) fungsi permintaan Hicksian dengan menggunakan Lemma Shephard. Sebagai contoh misalkan

U1 ( p , y )= y2

4 p1 p2

.

maka

∂U1 ( p , y )∂ p1

=− y2

4 p12 p2

,∂U1( p , y )

∂ p2

=− y2

4 p1 p22

,

∂U1 ( p , y )∂ y

= y2 p1 p2

Sehingga diperoleh

x1E=

∂E1( p ,u )∂ p1

=( p1 )−1/2( p2 u )1/2=( p2 u

p1)1/2

x2E=

∂E1( p ,u )∂ p2

=( p1 u)1 /2 ( p2 )−1/2=( p1 u

p2)1/2

Gambar 6.4 menunjukkan fungsi yang diberikan Fungsi utilitas tidak langsung (dinotasikan IUF), dalam kotak gelap dengan tanda panah yang mengindikasikan bagaimana Fungsi pengeluaran tidak langsung (IEF), Fungsi permintaan Marshallian (MDF) dan Fungsi Permintaan Hicksian (HDF) yang berasal.

IUF MDF

IEF HDF

Teorema 6.7.4

Lemma Shephard

Identitas Roy

Gambar 6.4

(2)Diberikan fungsi pengeluaran tidak langsung kita bisa memperoleh (a) fungsi permintaan Hicksian dengan menggunakan lemma Shephard, (b) fungsi utilitas tidak langsung melalui teorema 6.7.4 dan (c) fungsi permintaan Marshallian dengan menggunakan Identitas Roy (Gambar 6.5). Andaikan diberikan fungsi pengeluaran tidak langsung:

E1 ( p ,u ) ]=2( p1 p2u )1/2

Dengan menggunakan lemma Shephard, diperoleh fungsi permintaan Hicksian:

x1E=(1/2 )(2 )( p1 )

−1/2( p2 u )1/2=( p2 u

p1)1/2

x2E=(1/2 )(2 )( p1 u)1/2 ( p2 )

−1/2=( p1 u

p2)1/2

Dari teorema 6.7.4, diperoleh

2[ ( p1 p2 U1 ( p , y )]1/2= y

Sehingga diperoleh fungsi permintaan Marshallian:

x1U=−

− y2

4 p1

2 p2

y2 p1 p2

= y2 p1

, x1U=−

− y2

4 p1 p2

2

y2 p1 p2

= y2 p2

.

IUF MDF

IEF HDF

Teorema 6.7.4

Lemma Shephard

Identitas Roy

IUF MDF

IEF HDF

Teorema 6.7.4

Lemma Shephard

Identitas Roy

Gambar 6.5

(3) Anggap fungsi permintaan Hicksian diberikan. Maka kita bisa memperoleh (a) fungsi permintaan pengeluaran tidak langsung dengan menggunakan definisi, (b) fungsi utilitas tidak langsung dengan menggunakan teorema 6.7.4 dan (c) fungsi permintaan Marshallian dengan menggunakan Identitas Roy (Gambar 6.6). Dengan mempertimbangkan contoh terdahulu. Sebagai permulaan anggap fungsi permintaan Hicksian

x1E=( p1 )

−1/2( p2 u )1/2 , x2E=( p1 u)1/2 ( p2)

−1 /2

Yang menghasilkan fungsi pengeluaran tidak langsung dengan menggunakan definisi ini:

E1( p ,u ) ]=p1 x1E+ p2x2

E

=( p1)( p1)−1/2( p2u )1/2+( p2)( p1u )1/2( p2)

−1/2

=2( p1 p2u)1 /2

Dengan diperolehnya fungsi pengeluaran tidak langsung, memungkinkan diperoleh fungsi utilitas tidak langsung dan fungsi permintaan Marshallian di dalam (2) di atas.

Gambar 6.6

6.7.7 Teorema: (Slutsky)

∂ x jU

∂ pi

=∂ x j

E

∂ pi

+∂ x j

U

∂ yxi

U

Bukti: Dari teorema 6.7.4 diperoleh

x jE=x j

U=D jU ( p , y ),dimana y=E1( p ,u) .

Dengan menurunkannya terhadap pj (menggunakan Chain Rule), diperoleh

∂ x jU

∂ p i

=∂ x j

E

∂ pi

+∂ x j

U

∂ y∂ y∂ pi

=∂ x j

E

∂ pi

+∂ x j

U

∂ y∂E1( p ,u )∂ pi

=∂ x j

E

∂ pi

+∂ x j

U

∂ yxi

E(Teorema 6. 6 .6)

=∂ x j

E

∂ pi

+∂ x j

U

∂ yxi

U (Karena x iE=x i

U )

Hasil mengikuti terminologi sebelumnya.

6.7.8 Remarks:

(1) Dengan mengemukakan bahwa tidak adanya ketidaklaziman mengenai fakta bahwa

x iE=x i

Utetapi

∂ x jU

∂ pi

≠∂ x j

E

∂ pi

Ini menerangkan fakta bahwa dalam mengambil turunan parsial, parameter-parameter yang berbeda adalah tetap. Mengingat bahwa

x jU≡D j

U ( p , y )≡D jE( p ,u )≡x j

E

Hanya jikau=U1( p , y ) .

(2)Untuk membantu pembaca mengerti persamaan Slutsky perhatikan perubahan kecil pada permintaan Marshallian yang berkaitan dengan perubahan kecil pada tingkat harga, sebut saja dpi. Dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan Slutsky dengan dpi, diperoleh

∂ x jU

∂ pi

dp i=∂ x j

E

∂ p i

dpi−∂ x j

U

∂ yxi

U dp i(6-52)

dx jU=dx j

E−∂ x j

U

∂ yx i

U dpi(6-53)

Ini berguna untuk menggambarkan perubahan dalam kasus dua dimensi (gambar 6.7). Andaikan adalah xU adalah utility-maximizer yang berhubungan dengan harga p1 dan p2 dan pendapatan y. Budget line ditunjukkan sebagai garis BB. Jika meningkat untuk

p1¿=p1+dp1 ,

budgetline akan membelok padaBB*.Utility-maximizerbaru adalah yang menghasilkan perubahan permintaan Marshallian

dxU=xU∗¿−xU¿ atau dx j

U=x j

U∗¿−xjU , j=1 , 2 , .

¿

Permintaan Hicksian baruxE* menetapkan u yang konstan, oleh karena itu ini terletak pada kurva indiferensiIS(xU)(=IS(xE)) dan bisa diperoleh dengan memindahkan budget line baruBB* sehingga garisnya menyinggung IS(xU). Sehingga catatan bahwa

xU∗¿− xU= xE∗¿−xU

+xU∗¿−x

E∗¿¿¿¿¿ (6-54)

yaitu

(3) Dengan adanyax iU

pada pengaruh pendapatan terminologinya dapat dianggap sebagai bobot. Jika komoditas ke-i adalah bagian kecil daripada consumption bundle, maka pengaruh pendapatan pada perubahan pi juga kecil.

6.7.9 Contoh: Pertimbangkan masalah-UM berikut:

Max (1/3) lnx1+(1/2) lnx2

s.t. p1x1+ p2x2≤ yx1,x2 0.

Dengan fungsi pendapatan Marshallian adalah:

x1U=D1

U ( p1 , p2 , y )= y2 p1

,(6-57)

x2U=D2

U ( p1 , p2 , y )= y2 p2

,(6-57a)

Fungsi utilitas tidak langsung adalah

U1(p1,p2,y) = (1/3) ln[y/(2p1)]+(1/3) ln[y/(2p2)].

Misalkan u adalah tingkat utilitas maksimum yaitu

u = U1(p1,p2,y) = (1/3) ln[y2/(4p1p2)]

Perubahan Pada Permintaan Marshallian

=Pengaruh Subtitusi

+Pengaruh

Pendapatan

Masalah-EM yang berhubungan dengan tingkat utilitas yang diberikan yaitu:

Min p1x1+p2x2

s.t (1/3) lnx1+(1/2) lnx2 ux1,x2 0.

Fungsi permintaan Hicksian adalah:

x1E=D1

E( p1 , p2 ,u )=( p1)−1/2 ( p2 )

1 /2 (e )3u /2 ,(6-59)

x2E=D2

E( p1 , p2 ,u )=( p1)1/2 ( p2)

−1 /2 (e )3u /2 , (6-60)

Dengan mensubtitusi u dari pers. (6-58) ke dalam pers (6-59) dan (6-60) dan dengan menyederhanakannya, diperoleh

x1E= y

2 p1

=x1U , x2

E= y2 p2

=x2U

(6-57)

x2U=D2

U ( p1 , p2 , y )= y2 p2

,(6-57a)

Yang dikemukakan dalam teorema 6.7.1.

Ini akan sama dengan mengambil kesimpulan dari (6-16) bahwa

∂ x1E

∂ p i

=∂ x1

U

∂ p i atau

∂ x2E

∂ p i

=∂ x2

U

∂ p i

karenax jE

dan x jU

bukan fungsi dengan peubah yang sama. Dari contoh,

∂ x1E

∂ p1

=− y

4 p12≠− y

2 p12=∂ x1

U

∂ p1

dengan memeriksa persamaan Slutsky untuk j = 1 dan i = 1;

∂ x1E

∂ p1

−∂ x1

U

∂ yx i

U=− y

4 p12−

12 p1

y2 p1

=− y2 p1

2

=∂ x1

U

∂ p i

identitas Roy dapat juga diperiksa dan ditinggalkan sebagai latihan.