05-May-14

1

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I

1. Pendahuluan

Pengertian Persamaan Diferensial

Metoda Penyelesaian

Contoh-contoh Aplikasi

05-May-14

2

1.1. Pengertian Persamaan Differensial

Secara Garis Besar Persamaan Differensial dibagi menjadi

2 yaitu :

PD Biasa PD Parsial

Persamaan Differensial Biasa mempunyai satu variabel bebas ,

sedangkan Persamaan Differensial Parsial mempunyai Variabel

Bebas lebih dari satu

= cos

+ 4 = 0

2 + 2 = 2 + 2 2

=

2

2

Contoh

PD Biasa

PD Parsial

05-May-14

3

Persamaan Differensial Biasa atau Parsial mempunyai orde

dimana orde menunjukan elemen turunan yang paling tinggi

dalam suatu Persamaan Differensial.

Persamaan Differensial Biasa atau Parsial dapat

mempunyai satu sifat yaitu Linier atau non linier.

Persamaan Differensial dapat muncul dibanyak bidang

teknik atau yang lain

Contoh

Contoh jika suatu populasi (mis : manusia, bakteri, hewan dll)

tumbuh pada laju =

sama dengan jumlah populasi

sekarang, maka model populasinya dapat dituliskan sebagai

berikut :

=

Dan kalau diselesaikan model ini akan mendapatkan

persamaan

=

05-May-14

4

Benda Jatuh Bebas : = = .

Aliran Fluida keluar tangki : = .

Rangkaian listrik LCR : + + 1

=

Vibrasi suatu masa pada pegas : + = 0

Beberapa penerapan Persamaan Differensial :

Dalam materi ini, PD orde 1 mengandung hanya y dan

mungkin mengandung y dan fungsi yang dibentuk oleh x,

sehingga dapat dituliskan sbb :

, , = 0 atau dapat dituliskan sbb:

y = f(x,y)

05-May-14

5

Penyelesaian Persamaan Differensial

1. Penyelesaian secara analitik (exact)

2. Penyelesaian secara Numerik (Iteratif)

2. Penyelesaian Persamaan Differensial secara Analitik

Konsep Penyelesaian :

Penyelesaian PD orde 1 yang diberikan pada interval

terbuka a < x < b adalah fungsi y = h(x) yang mempunyai

turunan y = h(x) dan memenuhi definisi untuk semua x

didalam interval.

05-May-14

6

Contoh

Verifikasi bahwa y = x2 adalah solusi dari PD xy = 2y untuk

semua x.

y = x2 maka y = 2x

Substitusi y = 2 x dalam PD

xy = 2y,

x(2x) = 2y

2x2 = 2y

y = x2

Kadang-kadang suatu penyelesaian PD akan membentuk sebagai

suatu fungsi implisit, secara implisit diberikan dalam bentuk :

, = 0

Contoh.

Fungsi y dari x secara implisit dituliskan sebagai

x2 + y2 -1 = 0, (y > 0),

yang merepresentasikan setengah lingkaran pada setengah

bidang, adalah suatu penyelesaian implisit dari PD yy = -x, pada

interval -1 < x < 1

05-May-14

7

Suatu PD mungkin akan mempunyai banyak solusi. Hal ini

seharusnya tidak mengherankan karena kita mengetahui

bahwa dari calculus bahwa integrasi memberikan konstanta

sembarang.

Contoh

Persamaan y = cos x dapat diselesaikan dengan calculus.

Integrasi memberikan kurva sinus : y = sin x + c dengan nilai c

adalah sembarang.

a. Metoda Pemisahan Variabel

Banyak Persamaan Differensial Biasa (PDB) orde 1 dengan manipulasi secara aljabar dapat disederhanakan bentuknya menjadi :

g(y)y = f(x)

Karena y = dy/dx, kita dapat menuliskan lebih sesuai dalam bentuk

g(y) dy = f(x)dx

Bentuk ini dikatakan sebagai bentuk persamaan yang sudah dipisahkan variabelnya.

Bentuk penyelesaiannya :

= +

05-May-14

8

Contoh

Selesaikan PD berikut :

9yy + 4x = 0

Dengan memisahkan variabel-variabelnya maka menjadi :

9y dy = -4x dx

Dengan mengintegrasikan pada kedua sisinya kita

mendapatkan :

9

2 2 = 22 + maka

2

9 +

2

4=

Contoh

Selesaikan PD berikut :

y = 1 + y2

Dengan memisahkan variabel dan mengintegralkan kita

mendapatkan :

1 + 2=

tan = +

y = tan (x + c)

05-May-14

9

Cxxdx

Cxxdxx

Cxxdxx

Cxxdx

Ca

axaxdx

Ca

axaxdx

n

xdxx

Cxdx

nn

cotcsc

csccotcsc

sectansec

tansec

sincos

cossin

1

2

2

1

Cxxx

dx

Cxx

dx

Cxx

dx

Cxx

dx

Ck

edxe

kxkx

arcsec1

arctan1

arcsin1

ln

2

2

2

Contoh permasalahan Nilai awal

Selesaikan permasalahan PD dengan nilai awal sbb :

y + 5x4y2 = 0 y(0) = 1

Penyelesaian :

2= 54

- 1

= 5 +

=1

5

05-May-14

10

Lanjutan

Dari hasil ini dan nilai awal kita mendapatkan :

0 = 1

= 1, c = -1 maka =

1

5+1

Dengan melakukan pengujian :

+ 542 = 54

5 + 1 2+ 54

1

2 + 1 2= 0

Contoh

Selesaikan PD berikut

=

y(1) = 3

Penyelesaian dengan pemisahan dan integrasi dan

penggunaan kondisi nilai awal memberikan :

y dy = x dx y2 = x2 + c

. 32 = . 12 + c dan c = 4

Maka y2 x2 = 8

05-May-14

11

b. Metoda Penyederhanaan pemisahan variabel.

PD orde 1 tertentu tidak dapat dipisahkan tetapi dapat dibuat terpisah dengan suatu perubahan variabel yang sederhana. Membentuk PD orde 1 menjadi :

=

Dimana g adalah suatu fungsi dari y/x.

Contoh (y/x)3, sin (y/x) dll.

Bentuk persamaan menyarankan kepada kita untuk menyusun persamaan sbb :

=

Lanjutan

Maka

y = xu.

Hasil penurunan total memberikan :

y = u + xu dimana u = du/dx

Dari persamaan ini disubtitusikan ke persamaan g menjadi

u + xu = g(u),

sekarang kita dapat memisahkan variabel u dan x, mendapatkan:

=

05-May-14

12

Integrasi pada kedua sisi dan dalam hasilnya menggantikan u

dengan y/x, kita mendapatkan solusi umum

Contoh

Selesaikan 2xyy y2 +x2 = 0

Dengan membagi dg x2, kita mendapatkan

2

,

2

+ 1 = 0

2

,

2

+ 1 = 0

Jika mengatur u = y/x dan menggunakan nilai turunannya,

persamaan tersebut menjadi :

2 + 2 + 1 = 0

Maka

2 + 2 + 1 = 0

05-May-14

13

Dengan memisahkan variabel, kita mendapatkan : 2

1 + 2=

Dengan pengintegrasian

1 + 2 = +

Jadi 1 + 2 =

Dengan menggantikan u dengan y/x, di dapatkan:

2 + 2 = ,

Contoh

Selesaikan PDB dengan nilai awal

=

+

232

dan = 0

Penyelesaian :

Kita mengatur u = y/x. Maka y =ux, y = xu + u, dan persamaan menjadi :

+ = + 222

Kita menyederhanakan secara aljabar dan mengintegrasikan :

= 22, 1

22 = 2 +

05-May-14

14

Lanjutan

Karena u = y/x, inimemberikan

= = 22 + 2

Karena sin = 0, kondisi awal menghasilkan c = 0. Maka

jawabannya adalah

= 22

Kadang-kadang dari suatu bentuk persamaan differensial

menyarankan pensubtitusian sederhana yang lain, seperti

contoh berikut mengilustrasikannya :

Contoh 3 :

2 4 + 5 + 2 + 3 = 0

Penyelesaian : Kita mengatur x 2y = v. Maka

= 1

21

dan persamaan tersebut menjadi bentuk

05-May-14

15

2 + 5 = 4 + 11

Dengan memisahkan variabel dan dengan mengintegrasikan, kita mendapatkan :

1 1

4 + 11 = 2

dan

1

4 4 + 11 = 2 +

Karena v = x 2y, persamaan ini akan dituliskan

4 + 8 + 4 8 + 11 =