PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA...
Transcript of PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA...
PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI
DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA
Tugas Akhir
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Fransisca Amelia Putri Karina
NIM: 133114015
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
SOLUTION OF ONE AND TWO-DIMENSIONAL HEAT EQUATIONS
USING FINITE DIFFERENCE METHODS
Final Paper
Presented as Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains
Mathematics Study Program
Written by:
Fransisca Amelia Putri Karina
Student ID: 133114015
MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
I'UGAS AKHIR
PENYELESAIAN PERSAIIAAFI IIANAS SATti Drll{ D[iA DIh,{trNSI
SE NGAI{ Mf, }l G G UNAfufu\* }{ETOD E BEDA HI}{G GA
Oleh:
Fransisca Ainelia Putri Kar"ina
Ntrh{: I33l I4015
/,
1tslp-+* reoeynKof$Y
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
TUGAS AKHIR
PE T'I Y E T,ESA IA |t.i PE R SA N.,I AA i\ PA]!\IAS SATLJ DATq DTIA DIIIIII,NS I
DENGAN &TE s{CG [-]I{A}CAI{ EIET'ODE BEDA T{IF{ GGA
Dipersiapkan dan ditulis oieh:
Fransisca Arnelia Putri Karina
NIM: 133114015
Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji
pada tanggal 4 Oktotrer 2018
dan dinyatakan memeftrhi syarat
Susunan Paititia Penguji
Nama Lengkap
Ketua : Ir. Petrus Kanisius Fui'rvadi, M.l'.
Sekretaris : Lli*tono, Ph.D.
, ,/.,
":1-1 aAnggota : Sucli Mungkasi. S.Si.. M.N{atli Sc., Ph.D. i .f;.jtt*-:.*&.{,/
Yog3,'akarta,4f .OnoU*r 20 I IIrakultas Sailrs dan 'Ileknoiogi
ilniversitas Sanata Dhanna
l)ekan,
,044-
iv
S.Si." M.Matli,Sc.. Ph D.)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
“Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apapun juga, tetapi
nyatakanlah dalam segala hal keinginanmu kepada Allah dalam doa dan
permohonan dengan ucapan syukur (Filipi 4:6)”
Karya ini kupersembahkan kepada
Tuhan Yesus Kristus yang senantiasa menyertai dan
memberi kekuatan,
kedua orang tua tercinta dan adik-adik tersayang.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
ABSTRAK
Panas merupakan salah satu elemen penting yang terdapat dalam dunia ini.
Energi panas dapat berpindah-pindah apabila di dalam suatu media terdapat
perbedaan suhu. Pada tugas akhir ini akan dibahas tentang proses perpindahan
panas pada penampang satu dimensi dan dua dimensi. Dalam penelitian ini objek
yang akan diteliti adalah penampang batang homogen untuk permasalahan satu
dimensi dan penampang lempeng persegi homogen untuk permasalahan dua
dimensi. Tujuan dari penelitian dan penulisan tugas akhir ini adalah menghitung
distribusi suhu pada penampang batang homogen satu dimensi dan menghitung
distribusi suhu pada penampang lempeng persegi homogen dua dimensi. Dalam
perhitungan distribusi suhu akan melibatkan persamaan diferensial parsial. Teknik
yang akan dipakai untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial adalah
metode numerik. Konduksi panas pada penampang batang homogen dan lempeng
persegi telah ditentukan oleh persamaan panas satu dimensi dan dua dimensi.
Secara matematis, kedua persamaan tersebut merupakan persamaan
diferensial parsial parabolik. Kedua persamaan tersebut akan diselesaikan dengan
menggunakan pendekatan metode beda hingga skema eksplisit. Perhitungan
distribusi suhu dilakukan dengan menentukan nilai-nilai syarat awal dan syarat
batas. Selanjutnya, perhitungan distribusi suhu tersebut akan disimulasikan
menggunakan program MATLAB, dengan demikian akan diperoleh hasil dan
kesimpulan.
Kata kunci: persamaan panas, metode beda hingga, penampang batang homogen,
penampang lempeng persegi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRACT
Heat is one of the important elements found in this world. Heat energy can
move around if there is a temperature difference in a medium. In this final project,
the process of heat transfer in one-dimensional and two-dimensional cross
sections will be discussed. In this research, the object to be studied is a
homogeneous cross section for one-dimensional problems and a homogeneous
square plate section for two-dimensional problems. The purpose of this research
and final project is to calculate the temperature distribution on a one-dimensional
homogeneous cross section and calculate the temperature distribution on a two-
dimensional homogeneous square plate cross section. The calculation of
temperature distribution will involve partial differential equations. The technique
that will be used to solve partial differential equations is numerical method. Heat
conduction in a homogeneous cross section and square plate has been determined
by one-dimensional and two-dimensional heat equations.
Mathematically, the two equations are parabolic partial differential
equations. Both of these equations will be solved using the explicit finite
difference method. Calculation of temperature distribution will be done by
determining the values of the initial conditions and boundary conditions.
Furthermore, the calculation of temperature distribution will be simulated using
the MATLAB program, thus results and conclusions will be obtained.
Keywords: heat equation, finite difference method, homogeneous cross section,
square plate cross section.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERNYATAAI\ KEASLIAN KARYA
Saya rnenyatakan dengan sesunggulmya. bahu,a tugas akhir yang saya tulis ini
ticlak rlernuat karya atau bagian karya orang lain. kecuali yang disebutkan dalarn
Daftar Pustaka, sebagairnana layaknya karya ilrniah.
Yogyakalta, .-8.. o*,ooer 2018
Fransisca Amelia Putri Karina
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERNYATAAN PERSETUJ UAN
PUBLIKASI KAIIYA ILNIIAH UNTUK KEPENTINGAN
AKADENTIS
Yang bertanda tangan di barveh ini. saya nrahasiswa Universitas Sanata Dhaltna:
Nama : Fransisca Amelia Putri Kalina
NIM :13311-+015
Demi pengernbangan ilmu pcngetahuan. saya rnembet'ikan kepada Petpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilniah saya yang ber-judul:
PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIN,IENSI
DENGAN MENGGUNAI(AN NIETODE BEDA HINGGA
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan dernikian. saya memberikan
kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk tnenyimpan, urengalihkan
ke clalam bentuk rneclia lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,
mendistribusikan sccara terbatas dan mempublikasikannya cli Internet atau meclia
lain untuk kepentingan akadernis tanpa perlu meminta ijin dari saya traupun
memberikan royalti kepacla saya selarna tetap mencantumkan nalna saya sebagai
penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat clengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggaf , . . 8. ..Oktober 201 8
Yang menyatakan,
ix
Fransisca Amelia Putri Karina
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yesus Kristus, atas berkat dan rahmat
melimpah yang selalu diberikan kepada penulis sehingga penulis dapat
menyelesaikan tugas akhir ini. Tugas akhir ini disusun sebagai salah satu syarat
untuk mendapatkan gelar Sarjana Sains dari Program Studi Matematika, Fakultas
Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Dalam penulisan tugas akhir ini, banyak rintangan yang penulis hadapi.
Namun demikian, dengan penyertaan Tuhan dan dukungan yang diberikan dari
berbagai pihak pada akhirnya tugas akhir ini dapat diselesaikan. Oleh karena itu,
penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas Sains
dan Teknologi sekaligus dosen pembimbing,
2. Bapak YG. Hartono, S.Sc., M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Program Studi
Matematika, Universitas Sanata Dharma,
3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing Akademik,
4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si.,
Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan,
S.Si., M.Si. selaku dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan
ilmu-ilmu yang sangat berguna dalam penulisan tugas akhir ini,
5. kedua orang tua tercinta (Ignatius Triatmoko Ari Handoko dan Emiliana
Sriningsih) dan kedua adik tercinta (Cicilia Afira Putri Karina dan Aloysius
Andrian Herlambang H),
6. teman-teman tercinta, mahasiswa/i Program Studi Matematika angkatan 2013
yang selalu kompak dan mendukung satu sama lain, Novita Tania, S.Si. dan Ni
Luh Putu Stephanie S.Psi. yang selalu memberikan semangat tiada henti,
7. Benediktus Romario Anugerah Agung Gumelar atas dukungan dan
kesabarannya yang sangat luar biasa,
8. keluarga besar Alexander Triyanto dan keluarga besar Hadisusanto, atas doa
dan semangatnya, serta
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9. seu-rua pihak yang ticlak dapiit disebutkan satu persatu.
Semoga segala bentuk dukungan. bantuan, clan perhatian .vang telah diberikan
ntendapat balasan dari Tr-Lhan Yesus Kristus. Penulis tnenyadari bahr,r,a tugas akhir
ini masih ban-vak rnemiliki kekurangan. Oleh kiirena itu. penulis mengharapkan
ktitik clan saran demi rnenyempurnakair tugas akhir ini. Scn"roga tugas akhir ini
clapat berrnanlaat bagi para pernbaca.
Yogyakarta, ..3... oktober 2018
Penulis
KarinaFrarilsisca Amelia
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .................................................................................................... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ................................................. ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ......................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN .................................................................................... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................................. v
ABSTRAK .................................................................................................................. vi
ABSTRACT ............................................................................................................... vii
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................... viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ........................................................... ix
PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH .................................................... ix
KATA PENGANTAR ................................................................................................. x
DAFTAR ISI .............................................................................................................. xii
DAFTAR GAMBAR ................................................................................................ xiv
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................ 1
A. Latar Belakang .................................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ............................................................................................... 2
C. Batasan Masalah .................................................................................................. 2
D. Tujuan Penulisan ................................................................................................. 2
E. Metode Penulisan ................................................................................................ 2
F. Manfaat Penulisan ............................................................................................... 3
G. Sistematika Penulisan .......................................................................................... 3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
BAB II FUNGSI, TURUNAN, DAN INTEGRAL ..................................................... 5
A. Turunan Fungsi .................................................................................................... 5
B. Persamaan Diferensial ......................................................................................... 6
C. Pendekatan Numeris untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial ....................... 8
D. Integral ............................................................................................................... 19
BAB III METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN PANAS SATU DIMENSI
............................................................................................................................... 22
A. Penurunan Persamaan Panas ............................................................................. 22
B. Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Satu Dimensi ........................... 25
C. Skema Eksplisit Persamaan Panas Satu Dimensi .............................................. 27
BAB IV METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN PANAS DUA DIMENSI
............................................................................................................................... 40
A. Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Dua Dimensi ............................ 40
B. Skema Eksplisit Persamaan Panas Dua Dimensi .............................................. 43
C. Hasil Simulasi untuk Persamaan Panas Dua Dimensi ....................................... 46
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .................................................................... 48
A. Kesimpulan ........................................................................................................ 48
B. Saran .................................................................................................................. 48
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................ 50
LAMPIRAN ............................................................................................................... 51
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Tiga pendekatan perhitungan turunan numerik ............................... 11
Gambar 3.1 Ilustrasi aliran panas dalam suatu ruang. (Sumber: Oneil,2014) ..... 22
Gambar 3.2 Kondisi suhu awal pada contoh 3.1. ................................................ 35
Gambar 3.3 Hasil simulasi dari penyelesaian contoh 3.1 dengan menggunakan
metode beda hingga dimana dan saat detik. ...................... 35
Gambar 3.4 Kondisi suhu awal pada contoh 3.2 ................................................. 38
Gambar 3.5 Hasil simulasi dari penyelesaian contoh 3.2 dengan menggunakan
metode beda hingga dimana dan saat detik. ...................... 39
Gambar 4.1 Hasil simulasi dari penyelesaian persamaan panas dua dimensi
dengan menggunakan metode beda hingga........................................................... 47
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
Dalam bab ini akan dibahas mengenai latar belakang, rumusan masalah,
batasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan juga
sistematika penulisan yang akan dilakukan pada penulisan tugas akhir ini.
A. Latar Belakang
Panas adalah salah satu elemen penting yang dibutuhkan dalam kehidupan
manusia. Panas merupakan salah satu energi yang dapat berpindah-pindah.
Perpindahan panas merupakan masalah yang kompleks, karena di dalamnya
melibatkan banyak parameter. Perpindahan panas adalah ilmu yang menjelaskan
tentang perpindahan energi yang bisa terjadi karena adanya perbedaan suhu di
antara material. Proses perpindahan panas mengalir dari daerah yang memiliki
suhu lebih tinggi ke daerah yang memiliki suhu lebih rendah. Perpindahan panas
dapat terjadi dengan tiga cara, yaitu: konduksi, konveksi, dan radiasi. Konduksi
adalah proses perpindahan dari daerah yang bersuhu tinggi ke daerah yang
bersuhu rendah dalam satu medium (padat, cair atau gas) secara hantaran.
Konveksi adalah perpidahan panas yang terjadi karena adanya aliran. Radiasi
adalah proses perpindahan dari benda bersuhu tinggi ke benda yang bersuhu
rendah secara pancaran.
Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai proses perpindahan panas.
Benda yang akan dipakai untuk penelitian adalah sebuah batang homogen yang
pada batas-batas dan titik-titik tertentu telah diketahui suhunya. Penelitian ini
akan dilakukan untuk persamaan panas satu dimensi, yaitu
dan persamaan panas dua dimensi
(
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
dengan adalah kepadatan batang, adalah konstanta panas spesifik pada batang,
adalah konstanta untuk konduktivitas termal batang, dan adalah variabel
bebas untuk domain ruang, adalah variabel bebas untuk waktu dan
adalah fungsi yang bergantung pada dan , serta adalah fungsi yang
bergantung pada dan .
B. Rumusan Masalah
Rumusan masalah dalam tugas akhir ini adalah:
1. Bagaimana memperoleh persamaan panas satu dimensi?
2. Bagaimana menyelesaikan persamaan panas satu dimensi secara numeris
dengan menggunakan metode beda hingga?
3. Bagaimana menyelesaikan persamaan panas dua dimensi secara numeris
dengan menggunakan metode beda hingga?
C. Batasan Masalah
Dalam tugas akhir ini akan dicari penyelesaian numeris dari persamaan
panas pada dimensi satu dan dimensi dua. Model yang berdimensi lebih tinggi
tidak dibahas. Penyelesaian numeris dari persamaan panas hanya menggunakan
satu metode numeris yaitu metode beda hingga.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah:
1. mencari persamaan panas satu dimensi beserta perluasannya untuk dua
dimensi,
2. mencari penyelesaian numeris dari persamaan model yang didapat dengan
metode beda hingga.
E. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam penyusunan tugas akhir ini
adalah studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku dan jurnal. Selain itu,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
dilakukan juga praktik simulasi numeris dengan menggunakan program
MATLAB.
F. Manfaat Penulisan
Manfaat penulisan tugas akhir ini adalah penulis mendapatkan
pengetahuan baru, dengan mengetahui bagaimana cara memperoleh persamaan
panas. Dengan adanya penulisan ini, diharapkan pembaca juga dapat lebih
memahami tentang masalah konduksi panas yang ada dalam dunia nyata.
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan dalam tugas akhir ini adalah:
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Metode Penulisan
F. Manfaat Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II FUNGSI, TURUNAN, DAN INTEGRAL
A. Turunan Fungsi
B. Persamaan Diferensial
C. Pendekatan Numeris untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial
D. Integral
BABIII METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN PANAS SATU
DIMENSI
A. Penurunan Persamaan Panas
B. Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Satu Dimensi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
C. Skema Eksplisit Persamaan Panas Satu Dimensi
BAB IVMETODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN PANAS DUA DIMENSI
A. Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Dua Dimensi
B. Skema Eksplisit Persamaan Panas Dua Dimensi
C. Hasil Simulasi untuk Persamaan Panas Dua Dimensi
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
BAB II
FUNGSI, TURUNAN, DAN INTEGRAL
Dalam bab ini akan ditulis landasan teori yang akan digunakan untuk
menulis tugas akhir ini. Bab ini akan terdiri dari 4 subbab, yaitu: Turunan Fungsi,
Persamaan Diferensial, Pendeketan Numeris, dan Integral.
A. Turunan Fungsi
Definisi 2.1
Fungsi adalah suatu relasi khusus antara elemen-elemen dalam suatu
himpunan dengan elemen-elemen dalam himpunan . Kekhususannya terletak
dalam dua hal, yaitu:
(1) Setiap elemen dalam himpunan berelasi dengan suatu elemen
dalam himpunan .
(2) Elemen dalam himpunan yang berelasi dengan elemen dari
himpunan itu adalah tunggal.
Definisi 2.2
Turunan fungsi didefinisikan sebagai berikut :
Aturan Rantai
Jika dan mempunyai turunan, maka fungsi komposisi juga
mempunyai turunan, yaitu
( )
Jika dan , maka dengan notasi Leibniz, dapat
diturunkan terhadap , yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
B. Persamaan Diferensial
Definisi 2.3
Persamaan adalah suatu relasi yang menyatakan dua kuantitas atau besaran
bernilai sama.
Contoh 2.1
(1) 5 – 3 = 1 + 1
(2)
Definisi 2.4
Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabel-variabel
tak bebas dan turunan-turunannya terhadap variabel-variabel bebas.
Contoh 2.2
Persamaan sistem pegas massa
dengan adalah massa, tetapan pegas, koefisien redaman, dan posisi
massa. Karena adalah fungsi dari , maka persamaan diatas dapat ditulis juga
sebagai
atau dalam bentuk yang lebih ringkas lagi,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
.
Definisi 2.5
Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang melibatkan
turunan biasa beserta satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel
bebas.
Contoh2.3
(1)
(2) y’ =
(3)
+
(4)
(5)
Variabel bebas untuk contoh (1) sampai (5) adalah , sedangkan peubah (variabel)
terikatnya adalah , yang merupakan fungsi dari , atau ditulis sebagai .
Definisi 2.6
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang
melibatkan turunan parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih
dari satu variabel bebas.
Contoh 2.4
(1)
(yang dalam hal ini
(2)
(yang dalam hal ini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Variabel bebas untuk contoh (1) adalah dan , sedangkan peubah (variabel)
terikatnya adalah yang merupakan fungsi dari dan , atau ditulis sebagai
. Sedangkan peubah bebas untuk contoh (2) adalah , , dan ,
sedangkan peubah terikatnya adalah , yang merupakan fungsi dari , , dan ,
atau ditulis sebagai .
Persamaan diferensial parsial diklarifikasikan menjadi tiga jenis, yaitu
eliptik, hiperbolik dan parabolik. Diketahui persamaan diferensial parsial orde
dua, sebagai berikut:
dimana
Persamaan diferensial parsial tersebut dikatakan:
eliptik jika
hiperbolik jika
parabolik jika .
C. Pendekatan Numeris untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial
Definisi 2.7
Andaikan dan semua turunannya , kontinu di dalam selang
[ ] Misalkan [ ], maka untuk nilai-nilai disekitar dan
[ ], dapat dijabarkan (diekspansi) ke dalam deret Taylor:
.
Contoh 2.5
Tentukan ekspansi fungsi = ke dalam deret Taylor di sekitar =1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Penyelesaian:
Tentukan turunan terlebih dahulu sebagai berikut:
= ,
= ,
= ,
= ,
= ,
dan seterusnya.
Berdasarkan Definisi 2.3, dihampiri dengan deret Taylor sebagai berikut:
Bila dimisalkan = , maka
.
Penurunan Numeris dengan Menggunakan Tiga Jenis Hampiran
Dipandang fungsi . Akan ditentukan hampiran untuk turunan
fungsi tersebut menggunakan hampiran beda maju, beda mundur, dan beda pusat.
1. Hampiran Beda Maju
Menggunakan beda maju, turunan terhadap variabel didefinisikan oleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
atau untuk tertentu,
.
2. Hampiran Beda Mundur
Menggunakan beda mundur, turunan terhadap variabel didefinisikan
oleh
atau untuk tertentu,
.
3. Hampiran Beda Pusat
Menggunakan beda pusat, turunan terhadap variabel didefinisikan oleh
atau untuk tertentu,
.
Tafsiran geometri dari ketiga jenis hampiran diatas diperlihatkan pada Gambar
2.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
(a) (b)
(c)
Gambar 2.1 (a) Hampiran beda maju. (b) Hampiran beda mundur. (c) Hampiran
beda pusat.
Penurunan Rumus Turunan dengan Deret Taylor
Misalkan diberikan titik-titik yang dalam hal ini
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦 𝑓 𝑥
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦 𝑓 𝑥
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦 𝑓 𝑥
𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
dan
kemudian akan dihitung yang dalam hal ini dengan
ketiga pendekatan yang telah disebutkan sebelumnya (maju, mundur, pusat).
1. Hampiran Beda Maju
Uraikan di sekitar :
(2.3)
yang dalam hal ini,
Untuk nilai-nilai di dan persamaan rumusnya menjadi :
(2.4)
yang dalam hal ini
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
2. Hampiran Beda Mundur
Uraikan di sekitar :
(2.5)
yang dalam hal ini,
Untuk nilai-nilai di dan persamaan rumusnya menjadi :
(2.6)
yang dalam hal ini
.
3. Hampiran Beda Pusat
Kurangkan persamaan (2.3) dan persamaan (2.5) :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
yang dalam hal ini,
Untuk nilai-nilai di dan persamaan rumusnya menjadi :
yang dalam hal ini
Menentukan Orde Galat
Pada penurunan rumus turunan numerik dengan deret Taylor, rumus galat
dalam penurunan rumus turunan numerik dapat langsung diperoleh. Tetapi dengan
polinom interpolasi harus dicari rumus galat tersebut dengan bantuan deret Taylor.
Contoh 2.6
Tentukan rumus galat dan orde dari rumus turunan numeris hampiran beda
pusat:
Nyatakan (galat) sebagai ruas kiri persamaan, lalu ekspansi ruas kanan dengan
deret Taylor di sekitar :
(2.7)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
*(
)
(
)+
(
)
(2.8)
Jadi, hampiran beda pusat memiliki galat
, dengan
orde
Teorema 2.1 (Teorema Sisa)
Jika [ ] dan fungsi [ ] memenuhi syarat – syarat:
( i ) kontinu pada [ ]
( ii ) ada untuk setiap [ ], maka untuk setiap
[ ] ada titik yang terletak di antara dan sehingga
(2.9)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
atau dapat disingkat menjadi
dimana
dan
disebut polinomial Taylor dan disebut sisa, nilai koreksi atau kesalahan
Taylor. Bukti dari teorema sisa deret Taylor dapat dilihat pada buku karangan
Darmawijaya (2011).
Teorema 2.2 (Deret Taylor)
Jika [ ] dan fungsi [ ] memenuhi sifat – sifat:
( i ) Fungsi kontinu pada [ ]
( ii ) ada, [ ] maka untuk nilai – nilai di sekitar
dapat diperluas ke dalam deret Taylor:
[ ]
Jika di misalkan maka dapat juga ditulis sebagai
[ ]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Deret di dalam teorema (2.5) tersebut dinamakan deret Taylor fungsi di sekitar
titik disebut deret Maclaurin, yaitu
[ ]
Contoh 2.7
Deretkan fungsi ke dalam deret Taylor di sekitar titik
Penyelesaian:
Tentukan turunan terlebih dahulu sebagai berikut
oleh karena itu
Jika dimisalkan , maka
Contoh 2.8
Deretkan masing-masing fungsi dan
ke dalam deret Maclaurin
Penyelesaian:
a) Beberapa turunan sudah dihitung pada contoh 2.9. Deret Maclaurin dari
adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
b) Untuk menentukan deret Maclaurin dari , kita harus menentukan
turunan terlebih dahulu sebagai berikut:
maka diperoleh
Sehingga deret Maclaurin dari adalah
c) Untuk menentukan deret Maclaurin dari
, tentukan terlebih dahulu turunan
dari
sebagai berikut:
sehingga deret Maclaurin dari
adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
∑
D. Integral
Definisi 2.8
Fungsi disebut suatu anti turunan dari pada interval jika untuk
semua dalam .
Contoh 2.9
Sebagai contoh definisi di atas, misalkan , maka
. Jadi, jika fungsi yang didefinisikan oleh , maka
dikatakan bahwa merupakan turunan dari , dan adalah anti turunan dari .
Anti turunan dinotasikan dengan sebagaimana digunakan oleh
Leibniz, kita seringkali akan memakai istilah integral tak tentu sebagai ganti anti
turunan (Purcell, 1981).
Contoh 2.10
Cari anti turunan dari
Penyelesaian:
∫
1. Integral Tentu
Untuk menghitung luas di bawah kurva , dapat dilakukan dengan
aproksimasi, yaitu dengan membagi interval [ ] oleh partisi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
ke dalam subinterval yaitu [ ] [ ] [ ]
Panjang subinterval interval ke- ditulis dengan Selanjutnya
dipilih sebarang dari [ ] [ ] [ ]dengan . Total
luas di bawah kurva dapat dihitung dengan
∑
yang disebut jumlahan Riemann fungsi pada
interval [ ], sebagai pendekatan luas daerah di bawah kurva dan di
atas sumbu . Semakin banyak subinterval seragam yang diguanakn artinya
, maka semakin baik pula aproksimasi luasan tersebut dan semakin dekat
dengan luasan yang sebenarnya. Dengan demikian, luas daerah =
∑
Definisi 2.9
Misalkan suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [ ]. Jika
∑
Ada, maka nilai limit tersebut dinamakan integral tentu dari ke , dan ditulis
sebagai
∫
∑
2. Teorema Dasar Kalkulus
Teorema 2.3(Teorema Nilai Rata-Rata)
Jika suatu fungsi kontinu pada interval [ ] maka ada µ di antara dan
sehingga
∫
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
∫
Teorema 2.4 (Teorema Dasar Kalkulus I)
Jika suatu fungsi yang kontinu pada selang tertutup [ ], maka fungsi
yang ditentukan oleh
∫
dapat diturunkan pada [ ] dan merupakan suatu antiturunan , artinya
∫ [ ]
Teorema 2.5 (Teorema Dasar Kalkulus II)
Jika suatu fungsi yang kontinu pada selang tertutup [ ] dan suatu
anti turunan khusus, sehingga , maka
∫
Ketiga teorema diatas telah di buktikan dan dapat dilihat pada buku karangan
Thomas (2010).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
BAB III
METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN PANAS SATU DIMENSI
Dalam bab ini akan dibahas mengenai metode numeris untuk persamaan
panas satu dimensi. Subbab yang ada dalam bab ini, yaitu: Penurunan Persamaan
Panas, Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Satu Dimensi, dan Skema
Eksplisit Persamaan Panas Satu Dimensi.
A. Penurunan Persamaan Panas
Persamaan panas disebut juga sebagai persamaan difusi.Persamaan panas
bisa didapatkan dengan merumuskan persamaan aliran panas. Aliran panas
diilustrasikan pada Gambar 3.1.
Gambar 3.1 Ilustrasi aliran panas dalam suatu ruang. (Sumber: Oneil,2014)
Sebuah batang dengan massa jenis konstan, yaitu . Memiliki penampang
seragam dengan area A. Permukaan lateral dari batang tersebut terisolasi, jadi
tidak ada panas yang keluar di seluruh permukaan ini. Letakkan sumbu
sepanjang , pada batang dan asumsikan bahwa pada waktu yang diberikan,
suhunya sama sepanjang setiap penampang yang tegak lurus dengan sumbu ,
walaupun mungkin bervariasi dari satu penampang ke penampang lain. Akan
diturunkan persamaan untuk , suhu pada penampang dari batang pada ,
pada waktu . Dalam konteks difusi, disebut fungsi distribusi densitas.
Misal adalah konstanta panas spesifik pada material batang, yang
menyatakan berapa jumlah energi panas yang dibutuhkan untuk satuan unit massa
suatu benda dalam menaikkan suhu 1 derajat pada batang. Ruas batang antara
dan mempunyai massa . Jika suhunya akan dinaikkan dari ke
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
, maka energi yang diperlukan sebanyak . Jadi total energi
yang terbutuhkan adalah
∫
.
Jumlah energi panas dalam ruas pada waktu dapat meningkat dengan dua
cara: energi panas mengalir ke dalam segmen sampai ujung batang (hal ini
mengubah fluks dari energi) dan atau ada sumber energi panas lain dalam ruas
batang. Tingkat perubahan dari suhu dalam ruas terhadap waktu adalah
Fluks=
∫
.
Asumsikan untuk saat ini tidak ada sumber atau energi yang hilang dalam batang,
maka
Fluks =∫
(3.1)
Sekarang misalkan adalah jumlah dari energi panas per-satuan
daerah yang mengalir melintasi penampang melintang pada pada waktu , ke
arah yang meningkat. Maka fluks dari energi ke dalam ruas antara dan
pada waktu adalah tingkat aliran ke dalam ruas melintasi daerah pada ,
dikurangi tingkat dari aliran keluar ruas melintasi daerah pada (Gambar
3.1). Sehingga didapatkan
Fluks =
atau dapat ditulis sebagai berikut
Fluks= . (3.2)
Sekarang ingat kembali hukum pendingin Newton, yang menyatakan
bahwa energi panas mengalir dari daerah yang lebih hangat ke daerah yang lebih
dingin dan banyak energi panas berbanding dengan perbedaan suhu di antara
kedua titik. Hal ini berarti
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Konstanta positif dari disebut juga konduktivitas panas dari batang. Tanda
negatif pada persamaan ini berdasarkan fakta bahwa energi mengalir dari ruas
yang lebih hangat ke ruas yang lebih dingin. Substitusi ke dalam
persamaan (3.2) untuk memperoleh
Fluks = (
)
Tulis persamaan di atas sebagai
Fluks =∫
(
)
. (3.3)
Dari persamaan (3.1) dan (3.3) untuk fluks, didapat
∫
∫
(
)
Ruas kanan pindah ke ruas kiri, sehingga didapat
∫
∫
(
)
Selanjutnya konstanta yang sama dikeluarkan
∫ [
(
)]
Bagi persamaan di atas dengan dan tulis persamaan tersebut sebagai
∫ [
(
)]
(
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
dimana
merupakan koefisien difusi.
B. Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Satu Dimensi
Dalam mencari solusi suatu persamaan diferensial parsial, metode yang
sering digunakan adalah metode beda hingga. Hal ini disebabkan mudahnya
mendekati persamaan diferensial parsial dengan pendekatan deret Taylor-nya dan
diperoleh persamaan beda maju, beda mundur, dan beda pusat.
Misalkan dikethaui dan Dipandang persamaan panas
satu dimensi, yaitu:
(3.4)
atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Persamaan diferensial parsial di atas akan ditentukan jenisnya dengan cara
klasifikasi persamaan diferensial parsial orde dua. Di sini dan dari
persamaan (3.4) adalah dan , diperoleh
sehingga persamaan (3.4) merupakan persamaan diferensial parsial yang berjenis
parabolik. Persamaan (3.4) sering disebut sebagai persamaan panas satu dimensi
karena hanya memiliki satu variabel ruang yaitu , dengan merupakan
konstanta positif, adalah variabel waktu, dan adalah fungsi yang
menyatakan suhu yang bergantung pada dan .
Turunan pertama variabel tak bebas terhadap variabel bebas
dinotasikan dengan
dan turunan kedua variabel tak bebas terhadap
variabel dinotasikan dengan
.
1. Keakuratan Skema Beda Maju
Dipandang deret Taylor di sekitar titik , yaitu
Karena
adalah bilangan yang sangat kecil,
sehingga dapat diabaikan dan diperoleh
(3.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
dengan
. Yang berarti rumus turunan
beda maju mempunyai keakuratan , yaitu memiliki keakuratan tingkat satu.
2. Keakuratan Skema Beda Pusat
Dipandang deret Taylor dan di sekitar titik ,
yaitu
(3.6)
(3.7)
Persamaan (3.6) dan (3.7) dijumlahkan
Karena
adalah bilangan yang sangat kecil, sehingga dapat
diabaikan dan diperoleh
(3.8)
dengan
. Yang berarti rumus turunan beda maju
mempunyai keakuratan , yaitu memiliki keakuratan tingkat dua.
C. Skema Eksplisit Persamaan Panas Satu Dimensi
Dipandang persamaan panas satu dimensi, yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
atau dapat ditulis
dengan syarat awal
dan syarat batas
Penampang batang homogen satu dimensi dengan panjang , akan dibagi
ke dalam interval dengan masing-masing panjang dan tiap -interval dari
panjang Domain diambil menjadi persegi (untuk persamaan
panas dan gelombang). Titik-titik menjadi
Sementara, untuk titik-titik menjadi
Terakhir, ditulis
(3.9)
Suatu diskretisasi beda hingga untuk persamaan panas tersebut dengan
menggunakan skema beda maju terhadap waktu dan beda pusat terhadap ruang,
yaitu:
(3.10)
Dengan menggunakan persamaan (3.9), skema eksplisit untuk persamaan panas
dapat dituliskan kembali menggunakan persamaan (3.10). Sehingga didapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
(3.11)
Perhatikan bahwa diubah menjadi dan .
Jadi,
[
]
[
]
Selanjutnya kedua ruas dikali dengan , diperoleh
[
]
[
] (3.12)
Misalkan
, maka persamaan (3.12) menjadi
[
] (3.13)
Kedua ruas dijumlahkan dengan , maka diperoleh
[
]
atau
(3.14)
dimana dan .
Dalam menyelesaikan persamaan panas, diperlukan syarat tambahan yaitu syarat
awal dan syarat batas. Persamaan (3.9) memenuhi syarat awal yaitu:
dimana , untuk
Persamaan (3.9) juga memenuhi syarat-syarat batas, yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Syarat Kestabilan Metode Beda Hingga Skema Eksplisit (FTCS) untuk
Persamaan Panas
Dalam subbab ini akan di analisis skema eksplisit metode beda hingga
untuk persamaan panas yang sudah diperoleh dengan menggunakan skema beda
maju terhadap waktu dan skema beda pusat terhadap ruang. Disini .
Analisis Stabilitas Fourier-von Neumann
Ingat kembali persamaan (3.13), yaitu:
[
]
dengan syarat awal
dan syarat batas
dimana
Misalkan
(3.15)
Substitusikan persamaan (3.15) ke dalam persamaan (3.13), sehingga diperoleh
Selanjutnya kedua ruas dikalikan dengan
sehingga diperoleh
= [ ]
= [ ]
= [ ]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Perhatikan bahwa
sehingga
( )
( )
Solusi dari persamaan (3.13) dengan syarat-syarat batas dan
adalah
dimana
( (
))
dengan
Syarat Kestabilan Solusi
Solusi dikatakan stabil jika
| |
| ( (
))|
dengan menggunakan sifat nilai mutlak, diperoleh
( (
))
( (
))
( (
))
Perhatikan bahwa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
(
)
sehingga
Jadi, syarat kestabilan solusi harus memenuhi pertidaksamaan
Sehingga jika diketahui, maka sebaiknya dipilih sedemikian sehingga:
Contoh 3.1
Diberikan untuk ,
{
Diambil dan
Hitunglah:
a)
b) Dengan rumus dan hasil yang diperoleh di a), hitunglah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Penyelesaian:
a) Pada saat detik
0
10(2) = 20
10(4) = 40
10(6) = 60
10(8) = 80
10(10) = 100
-10(12) + 200 = 80
-10(14) + 200 = 60
-10(16) + 200 = 40
-10(18) + 200 = 20
-10(20) + 200 = 0
b) Penyelesaian dengan menggunakan persamaan (3.14) dan jawaban pada a).
Dihitung terlebih dahulu untuk
. Di sini
Dengan demikian
. Saat diperoleh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
= 20 +
(40 – 2(20) + 0) = 20
=
= 40 +
(60 – 2(40) + 20) = 40
=
= 60 +
(80 – 2(60) + 40) = 60
=
= 80 +
(100 – 2(80) + 60) = 80
=
= 100 +
(80 – 2(100) + 80) = 90
=
= 80 +
(60 – 2(80) + 100) = 80
=
= 60 +
(40 – 2(60) + 80) = 60
=
= 40 +
(20 – 2(40) + 60) = 40
=
= 20 +
(0 – 2(20) + 40) = 20
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Gambar 3.2 Kondisi suhu awal pada contoh 3.1.
Gambar 3.3 Hasil simulasi dari penyelesaian contoh 3.1 dengan menggunakan
metode beda hingga dimana dan saat detik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Kondisi awal distribusi suhu ditunjukkan pada Gambar 3.2. Hasil simulasi
dari penyelesaian model konduksi panas pada batang homogen dengan metode
beda hingga menggunakan program MATLAB untuk contoh 3.1 ditunjukkan pada
Gambar 3.3. Hasil simulasi persamaan panas satu dimensi tersebut berhenti pada
saat akhirnya adalah detik, kurva suhu menuju secara seragam.
Contoh 3.2
Diberikan untuk 0 ,
,
.
Diambil dan .
Hitunglah:
a)
b) Dengan rumus dan hasil yang diperoleh di a), hitunglah
c) Dengan rumus dan hasil yang diperoleh di b), hitunglah
Penyelesaian:
a) Pada saat detik
b) Penyelesaian dengan menggunakan persamaan (3.14) dan jawaban pada a).
Dihitung terlebih dahulu untuk
. Di sini dan
. Dengan demikian
. Saat , diperoleh:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
= 100 +
(100 – 2(100) +100) = 100
=
= 100 +
(100 – 2(100) + 100) = 100
=
= 100 +
(100 – 2(100) + 100) = 100
=
= 100 +
(100 – 2(100) + 100) = 100
=
= 100 +
(100 – 2(100) + 100) = 100
=
= 100 +
(100 – 2(100) + 100) = 100
=
= 100 +
(100 – 2(100) + 100) = 100
=
= 100 +
(100 – 2(100) + 100) = 100
=
= 100 +
(100– 2(100) + 100) = 100
c) Untuk
= 100 +
(100 – 2(100) +0) = 75
=
= 100 +
(100 – 2(100) + 100) = 100
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
=
= 100 +
(100 – 2(100) + 100) = 100
=
= 100 +
(100 – 2(100) + 100) = 100
=
= 100 +
(100 – 2(100) + 100) = 100
=
= 100 +
(100 – 2(100) + 100) = 100
=
= 100 +
(100 – 2(100) + 100) = 100
=
= 100 +
(100 – 2(100) + 100) = 100
=
= 100 +
(0– 2(100) + 100) = 75
Gambar 3.4 Kondisi suhu awal pada contoh 3.2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Gambar 3.5 Hasil simulasi dari penyelesaian contoh 3.2 dengan menggunakan
metode beda hingga dimana dan saat detik.
Kondisi awal distribusi suhu ditunjukkan pada Gambar 3.4. Hasil simulasi
dari penyelesaian model konduksi panas pada batang homogen dengan metode
beda hingga menggunakan program MATLAB untuk contoh 3.2 ditunjukkan pada
Gambar 3.5. Hasil simulasi persamaan panas satu dimensi tersebut berhenti pada
saat akhirnya adalah tik, kurva suhu menuju secara seragam.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
BAB IV
METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN PANAS DUA DIMENSI
Dalam bab ini akan dibahas mengenai metode numeris untuk persamaan
panas dua dimensi. Subbab yang ada dalam bab ini, yaitu: Metode Beda Hingga
untuk Persamaan Panas Dua Dimensi, Skema Eksplisit Persamaan Panas Dua
Dimensi, dan Hasil Simulasi.
A. Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Dua Dimensi
Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang metode beda hingga untuk
persamaan panas satu dimensi. Dalam bab ini akan dibahas tentang metode beda
hingga untuk persamaan panas dua dimensi, dimana terdapat dua dimensi ruang
yaitu dan .
Dipandang persamaan panas dua dimensi, yaitu
(
) (4.1)
dengan dan adalah konstanta positif.
1. Keakuratan Skema Beda Maju
Dipandang deret Taylor di sekitar titik , yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Karena
adalah bilangan yang sangat
kecil, sehingga dapat diabaikan dan diperoleh
(4.2)
dengan
. Yang berarti rumus
turunan beda maju mempunyai keakuratan , yaitu memiliki keakuratan
tingkat satu.
2. Keakuratan Skema Beda Pusat
Dipandang deret Taylor dan di sekitar titik
, yaitu
(4.3)
(4.4)
Persamaan (4.3) dan (4.4) dijumlahkan
Karena
adalah bilangan yang sangat kecil, sehingga dapat
diabaikan dan diperoleh
(4.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
dengan
. Yang berarti rumus turunan beda maju
mempunyai keakuratan , yaitu memiliki keakuratan tingkat dua.
Dipandang deret Taylor dan di sekitar titik
, yaitu
(4.6)
(4.7)
Persamaan (4.6) dan (4.7) dijumlahkan
Karena
adalah bilangan yang sangat kecil, sehingga dapat
diabaikan dan diperoleh
(4.8)
dengan
. Yang berarti rumus turunan beda maju
mempunyai keakuratan , yaitu memiliki keakuratan tingkat dua.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
B. Skema Eksplisit Persamaan Panas Dua Dimensi
Dipandang persamaan panas dua dimensi, yaitu:
( )
atau dapat ditulis
(
)
dengan syarat batas
dan syarat awal
Penampang batang homogen dua dimensi dengan panjang panjang dan
tinggi , akan dibagi ke dalam dan interval dengan masing-masing panjang
, dan tiap -interval dari panjang Domain diambil menjadi persegi
. Titik-titik menjadi
Titik-titik menjadi
Sementara itu, titik-titik menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Terakhir, ditulis
( ) (3.9)
Suatu diskretisasi beda hingga untuk persamaan panas tersebut dengan
menggunakan skema beda maju terhadap waktu dan beda pusat terhadap ruang,
yaitu:
(
)
(3.10)
Dengan menggunakan persamaan (3.9), skema eksplisit untuk persamaan panas
dapat dituliskan kembali menggunakan persamaan (3.10). Sehingga didapat
( )
( ( ) ( )
( ) ( )
)
(3.11)
Perhatikan bahwa diubah menjadi , diubah
menjadi , dan .
Jadi,
(
) (
)
Selanjutnya kedua ruas dikali dengan , diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
(
) (
) (3.12)
Selanjutnya kedua ruas ditambahkan dengan , sehingga diperoleh
(
)
Kemudian kumpulkan variabel-variabel yang sejenis
(
)
((
) (
))
(
)
((
) (
))
dimana
(
)
Kedua ruas dikurangi
, didapatkan
(
)
Keluarkan variabel
(
)
Sehingga diperoleh syarat kestabilan
(
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Solusi akhirnya adalah
((
) )
((
) (
))
(3.13)
dimana , dan .
Dalam menyelesaikanpersamaan panas, diperlukan syarat tambahan yaitu
syarat awal dan syarat batas. Misalnya diambil syarat awal :
dan misalkan diketahui syarat-syarat batas :
dimana , untuk dan , untuk
C. Hasil Simulasi untuk Persamaan Panas Dua Dimensi
Dalam subbab ini akan diperlihatkan hasil dari permasalahan panas dua
dimensi, yang telah disimulasikan dengan menggunakan program MATLAB.
Hasil simulasi tersebut ditunjukkan dalam Gambar 4.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Gambar 4.1 Hasil simulasi dari penyelesaian persamaan panas dua dimensi
dengan menggunakan metode beda hingga.
Gambar di atas merupakan penyelesaian dari persamaan panas melalui plat
dimensi 1x1 dengan material perak yang mempunyai , , dan
. Penyelesaian ini berdasarkan kondisi batas ,
, , dan nilai awal . Untuk
mencapai suhu steady, plat membutuhkan waktu setidaknya 1070 detik. Sebagai
catatan, dalam simulasi di atas, digunakan , , dan
. Di sini, titik A (0.25, 0.25) diberi warna merah, titik B (0.5, 0.5) diberi
warna hijau, dan titik C (0.75, 0.75) diberi warna biru.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini merupakan bab terakhir dari tugas akhir ini. Dalam bab ini, subbab
yang ada yaitu kesimpulan dan saran.
A. Kesimpulan
Perpindahan panas merupakan suatu proses, dimana perpindahan energi
tersebut mengalir dari suhu yang tinggi ke suhu yang lebih rendah. Proses
perpindahan panas tersebut dapat diketahui dengan melihat distribusi suhunya.
Perhitungan distribusi suhu diperlukan persamaan diferensial, solusi persamaan
diferensial dapat dicari dengan berbagai macam metode. Namun demikian, pada
tugas akhir ini metode yang digunakan adalah metode beda hingga. Pada BAB III
dibahas tentang solusi dari permasalahan panas satu dimensi, dimana bahan
penelitiannya adalah batang homogen. Penampang batang homogen satu dimensi
ini memiliki panjang interval yang berhingga dan titik-titik tertentu telah diketahui
suhunya. Pada BAB IV dibahas tentang solusi dari permasalahan panas dua
dimensi, bahan penelitiannya adalah plat perak. Perhitungan pada BAB III dan
BAB IV dilakukan dengan cara mengolah nilai dari titik-titik yang telah diketahui,
untuk mendapatkan nilai di titik-titik selanjutnya. Perhitungan tersebut
selanjutnya disimulasikan menggunakan program MATLAB. Berdasarkan
perhitungan manual ataupun menggunakan program, hasil analisis yang diperoleh
adalah semakin banyak interval yang digunakan maka distribusi suhu semakin
akurat. Namun demikian, hal tersebut memerlukan selang waktu perhitungan
komputasi yang cukup lama.
B. Saran
Tugas akhir ini membahas tentang penyelesaian masalah konduksi panas
pada media homogen satu dimensi dan dua dimensi. Dalam tugas akhir ini,
penyelesaian masalah konduksi panas tersebut diselesaikan dengan menggunakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
metode beda hingga. Untuk program MATLAB dua dimensi hanya dikerjakan
menggunakan metode beda maju terhadap waktu satu langkah (metode Euler).
Penulis mengharapkan pada waktu yang akan datang, akan ada yang melanjutkan
tugas akhir ini dengan menggunakan metode lain yang lebih akurat. Untuk
program MATLAB dua dimensi bisa dicoba menggunakan metode Runge-Kutta
orde kedua terhadap waktu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
DAFTAR PUSTAKA
Darmawijaya, S. (2011). Barisan dan Deret. Yogyakarta: Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Gadjah Mada.
Mohamed, A.M. (2016). Heat Diffusion in 2D Square Plate Using Finite
Difference Method with Steady-State Solution. Numerical Analysis-Course
Project. (https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/55058-
2d-heat-equation-using-finite-difference-method-with-steady-state-solution)
Munir, R. (2008). Metode Numerik. Bandung: Informatika Bandung.
O’Neil, P.V. (2014). Beginning Partial Differential Equations. New Jersey: John
Wiley & Sons, Inc.
Purcell, E J. (1981). Kalkulus dan Geometri Analitis, edisi ketiga. Jakarta:
Erlangga.
Suparno, P. (2009). Pengantar Termofisika. Yogyakarta: Universitas Sanata
Dharma.
Tarwidi, D. dan Pudjaprasetya, S.R. (2013).Godunov Method for Stefan Problems
with Enthalpy Formulations.East Asian Journal on Applied Mathematics,
3(2): 107-119.
Thomas, G. B. (2010). Thomas’ Calculus Early Transcendentals. Boston: Pearson
Education.
Wou, K. K. T. (2018). Penyelesaian Masalah Konduksi Panas Pada Media
Heterogen Menggunakan Metode Beda Hingga.Yogyakarta.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
LAMPIRAN
Di bawah ini di lampirkan beberapa program MATLAB yang digunakan
pada saat mengerjakan tugas akhir ini
A. Program Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Satu Dimensi
dengan
1. Contoh kasus dimana ujung-ujung batang kawat homogen dipertahankan
pada suhu 00C.
clc
clear
dx=2;
x=0:dx:60;
n=length(x);
uL=0*x;
uB=0*x;
dt=0.0005*dx;
k=1;
s=k*dt/dx^2;
for i=1:n
if x(i)<=30
uB(i)=10*x(i);
else x(i)>30
uB(i)=-10*x(i)+600;
end
end
plot(x,uB)
hold on
ylim([0 300])
pause(0.1)
tFinal=1;
Nt=tFinal/dt;
for j=1:Nt
uL=uB;
for i=2:n-1
uB(i)=s*(uL(i+1)-2*uL(i)+uL(i-1))+uL(i);
end
uB(1)=0;
uB(n)=0;
plot(x,uB)
title('grafik persamaan panas satu dimensi')
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
xlabel 'x'
ylabel 't'
hold on
grid on
ylim([0 300])
pause(0.1)
t=j*dt;
end
2. Contoh kasus dimana ujung-ujung batang kawat homogen dipertahankan
pada suhu 00C, dengan kondisi suhu awal 100
0C.
clc
clear
close all
dx=2;
x=0:dx:20;
n=length(x);
uL=0*x;
uB=0*x;
dt=0.05*dx;
k=1;
s=k*dt/dx^2;
for i=1:n
uB(i)=100;
end
plot(x,uB)
ylim([0 200])
pause(0.1)
tFinal=100;
Nt=tFinal/dt;
for j=Nt;
uL=uB;
for i=2:n-1
uB(i)=k*s*(uL(i+1)-2*uL(i)+uL(i-1))+uL(i);
end
uB(1)=0;
uB(n)=0;
plot(x,uB)
title('grafik persamaan panas satu dimensi')
xlabel 'x'
ylabel 't'
hold on
grid on
ylim ([0 200])
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
pause(0.1)
t=j*dt;
end
B. Program Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Dua Dimensi
clear;
close all;
clc;
%% 1-Inputs section
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% Please select your material, enter your parameters and your
initial conditions %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %%% -- Aluminum -- %
** Uncomment if needed ** % name=('Aluminium'); %
Material name % conductivity = 204.3; %
thermal conductivity (j/m.C.sec) % spacific_heat = 910; %
specific heat (j/kg.C) % denisty = 2700.0; %
density (kg/m^3)
% %%% -- Copper -- %
** Uncomment if needed ** % name=('Copper'); %
Material name % conductivity = 401; %
thermal conductivity (W/m.K) % spacific_heat = 390; %
specific heat (J/kg K) % denisty = 8940; %
density (kg/m^3)
%%% -- Silver -- name=('Silver'); %
Material name conductivity = 629; %
thermal conductivity (W/m.K) spacific_heat = 233; %
specific heat (J/kg K) denisty = 10490; %
density (kg/m^3)
% %%% -- Custom Material -- %
** Uncomment and enter your values if needed **
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
% name=('Custom Material'); %
Material name % conductivity = ; %
thermal conductivity (W/m.K) % spacific_heat = ; %
specific heat (J/kg K) % denisty = ; %
density (kg/m^3)
%% Lx= 1; % plate width (m) Ly= 1; % plate length (m) Nx=40; % nodes in x direction Ny=40; % nodes in y direction
T_initial= 100;%0 % Initial temperature in all
nodes ( the whole plate ) T_east = 100;%150 % temperature on the upper
side ( at y=0 "Dirichlet Conditions" ) T_west = 100;%300 % temperature on the lower
side ( at y=Ly "Dirichlet Conditions" ) T_north = 100;%50 % temperature on the left
side ( at x=0 "Dirichlet Conditions" ) T_south = 0;%100 ; % temperature on the right
side ( at x=Lx "Dirichlet Conditions" )
t_end=100 ; % final time for visual
simulation (sec) dt=0.6 ; % time step (1 sec)
tolerence = 0.5; % tolerence for numerical
simulation (0.5 deg Celesius) tolerence_ss=0.001; % tolerence for steady state
section (0.1 deg Celesius)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% From here, You don't need to modify
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% 2- Constants Section
k=1;
% iteration counter err_SS_max(k)=1;
% initial error err_SS_min(k)=1;
% initial error dx=Lx/Nx;
% delta x dy=Ly/Ny;
% delta y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
n_time=round(t_end/dt);
% number of iterrations for time alpha = conductivity/(spacific_heat*denisty);
% alpha (1/sec) T_max=max([T_east T_west T_north T_south T_initial]);
% Max T to set axes limits in plotting T_min=min([T_east T_west T_north T_south T_initial]);
% Min T to set axes limits in plotting Solution_type=questdlg('Which method you want to solve the time
derivative with ?','Question','Euler','2nd order Runge-
Kutte','Euler'); % solve with 2nd order
Runge Kutte in time or 2 to solve with Euler
if dt<= 1/(2*alpha*((1/dx^2)+(1/dy^2)))
% test the stability condition else fprintf('Error, the stability condition is not met\nPlease
return to "Inputs Section" and choose a "dt" smaller than %f
\n',1/(2*alpha*((1/dx^2)+(1/dy^2)))) return end message=msgbox('Your computer is now solving the problem, Please
wait..... '); % Busy message % ----------------- Initial Conditions for finite difference
section --------------- T=zeros(Nx+2,Ny+2,75000); % set max
iterations 75,000 due to memory limitations (T variable takes
maximum 1GB in memory) T(:,1,:)=T_south; T(:,Ny+1,:)=T_north; T(:,Ny+2,:)=T_north; % Redundant, it
has no effect in calculations but is required in plotting
section T(Nx+1,:,:)=T_east; T(Nx+2,:,:)=T_east; % Redundant, it
has no effect in calculations but is required in plotting
section T(1,:,:)=T_west; T(:,:,1)=T_initial; % ------------------- Initial Conditions for steady state
section ------------------- Tss=zeros(Nx+2,Ny+2); Tss2=zeros(Nx+2,Ny+2); Tss(:,1)=T_south; Tss2(:,1)=T_south; Tss(:,Ny+1)=T_north; Tss2(:,Ny+1)=T_north; Tss(:,Ny+2)=T_north; Tss2(:,Ny+2)=T_north; %
Redundant, it has no effect in calculations but is required in
plotting section Tss(Nx+1,:)=T_east; Tss2(Nx+1,:)=T_east; Tss(Nx+2,:)=T_east; Tss2(Nx+2,:)=T_east; %
Redundant, it has no effect in calculations but is required in
plotting section Tss(1,:)=T_west; Tss2(1,:)=T_west;
%% 3- Steady-State section
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
while err_SS_max(k)>=tolerence_ss || err_SS_min(k)>=tolerence_ss
for i=2:Nx %
looping for j=2:Ny Tss2(i,j)=0.25*(Tss(i+1,j)+Tss(i,j+1)+Tss(i-
1,j)+Tss(i,j-1)); end end k=k+1;
% update k err_SS_max(k)=abs(max(max(Tss2-Tss)));
% calculate error err_SS_min(k)=abs(min(min(Tss2-Tss)));
% calculate error Tss=Tss2;
% update T end
%% 4- Finite difference section (Using 2nd order Runge Kutte or
Euler in time)
k=1; switch Solution_type case'2nd order Runge-Kutte' err_R_k_max(k)=100; % initial
error err_R_k_min(k)=100; % initial
error while err_R_k_max(k)>=tolerence || err_R_k_min(k)>=tolerence for i=2:Nx for j=2:Ny k1=alpha*(((T(i-1,j,k)-
2*T(i,j,k)+T(i+1,j,k))/dx^2)+((T(i,j-1,k)-
2*T(i,j,k)+T(i,j+1,k))/dy^2)); Tk=T(:,:,k)+k1*dt; k2=alpha*(((Tk(i-1,j)-
2*Tk(i,j)+Tk(i+1,j))/dx^2)+((Tk(i,j-1)-
2*Tk(i,j)+Tk(i,j+1))/dy^2)); T(i,j,k+1) =T(i,j,k)+(dt/2)*(k1+k2); end end k=k+1; err_R_k_max(k)=abs(max(max(T(:,:,k)-Tss)));
%calculate error err_R_k_min(k)=abs(min(min(T(:,:,k)-Tss)));
%calculate error if round(err_R_k_max(k),5)==round(err_R_k_max(k-1),5) &&
err_R_k_max(k)~= 0 % Test solution convergence errordlg('The solution is not converging, Please choose a
larger tolerence','Tolerence Error'); close(message) return
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
end if round(err_R_k_min(k),5)==round(err_R_k_min(k-1),5) &&
err_R_k_min(k)~= 0 % Test solution convergence errordlg('The solution is not converging, Please choose a
larger tolerence','Tolerence Error'); close(message) return end end
case'Euler' err_E_max(k)=100; % initial error err_E_min(k)=100; % initial error while err_E_max(k)>=tolerence || err_E_min(k)>=tolerence for i=2:Nx for j=2:Ny T(i,j,k+1) =T(i,j,k)+dt*alpha*(((T(i-1,j,k)-
2*T(i,j,k)+T(i+1,j,k))/dx^2)+((T(i,j-1,k)-
2*T(i,j,k)+T(i,j+1,k))/dy^2)); end end k=k+1; err_E_max(k)=abs(max(max(T(:,:,k)-Tss)));
%calculate error err_E_min(k)=abs(min(min(T(:,:,k)-Tss)));
%calculate error if round(err_E_max(k),5)==round(err_E_max(k-1),5) &&
err_E_max(k)~= 0 % Test solution convergence errordlg('The solution is not converging, Please choose a
larger tolerence','Tolerence Error'); close(message) return end if round(err_E_min(k),5)==round(err_E_min(k-1),5) &&
err_E_min(k)~= 0 % Test solution convergence errordlg('The solution is not converging, Please choose a
larger tolerence','Tolerence Error'); close(message) return end end
case [] close(message) msgbox('Error, Please re-run the code and choose Euler or
2nd order Runge-Kutte to continue the solution') return end T=T(:,:,1:k); %
delete the unused assigned zero layers SStime=k*dt; %
steady state time close(message) %
close the busy message
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
%% 5- Printed results section
fprintf('This is the solution of the heat equation through out a
plate of diamensions %i X %i of material %s \n',Lx,Ly,name); fprintf('The solution is based on "Dirichlet Boundry
Conditions" with initial values \n') fprintf('T(x,0,t)=%i , T(x,%i,t)=%i , T(0,y,t)=%i , T(%i,y,t)=%i
, T(x,y,0)=%i \n',T_south,Ly,T_north,T_west,Lx,T_east,T_initial) fprintf('The plate takes %i seconds to reach steady-state
temperature with tolerence %0.2f \n',round(SStime),tolerence); fprintf('Now, Simulation is running with final time %i seconds
and step %0.2f second \n',t_end,dt)
%% 6- Plotting section
x=zeros(1,Nx+2);y=zeros(1,Ny+2); %Generate the plate for i = 1:Nx+2 x(i) =(i-1)*dx; end for i = 1:Ny+2 y(i) =(i-1)*dy; end
% %%% -------------- Constant plot ----------------
subplot(2,2,3) hold on title(sprintf('Temperature at steady state time : %i seconds
',round(SStime))) surf(x,y,Tss) plot3( Lx/4, Ly/4,T_max,'ko','markerfacecolor','r') % plot red
point plot3( Lx/2, Ly/2,T_max,'ko','markerfacecolor','g') % plot
green point plot3(3*Lx/4,3*Ly/4,T_max,'ko','markerfacecolor','b') % plot
blue point plot3( Lx/4, Ly/4,T_min,'ko','markerfacecolor','r') % plot red
point plot3( Lx/2, Ly/2,T_min,'ko','markerfacecolor','g') % plot
green point plot3(3*Lx/4,3*Ly/4,T_min,'ko','markerfacecolor','b') % plot
blue point cb=colorbar; caxis([T_min T_max]); view(90,-90); xlim([0 Lx+dx]); xlabel('Length'); ylim([0 Ly+dy]); ylabel('Width'); zlim([T_min T_max]); zlabel('Temprature'); drawnow hold off
subplot(2,2,4) hold on
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
title(sprintf('Temperature at steady state time : %i seconds
',round(SStime))) scatter(k,Tss(floor(Nx/4),floor(Ny/4)),'ko','markerfacecolor','r
'); val=(sprintf(' T = %0.2f ',Tss(floor(Nx/4),floor(Ny/4)))); text(k,Tss(floor(Nx/4),floor(Ny/4)),val,'HorizontalAlignment','L
eft'); scatter(k,Tss(floor(Nx/2),floor(Ny/2)),'ko','markerfacecolor','g
'); val=(sprintf(' T = %0.2f ',Tss(floor(Nx/2),floor(Ny/2)))); text(k,Tss(floor(Nx/2),floor(Ny/2)),val,'HorizontalAlignment','r
ight'); scatter(k,Tss(floor(3*Nx/4),floor(3*Ny/4)),'ko','markerfacecolor
','b'); val=(sprintf(' T = %0.2f
',Tss(floor(3*Nx/4),floor(3*Ny/4)))); text(k,Tss(floor(3*Nx/4),floor(3*Ny/4)),val,'HorizontalAlignment
','Left'); axis tight; xlabel('Time Iterations'); ylim([T_min T_max]); ylabel('Temperature'); legend('Red Point','Green Point ','Blue Point
','Location','northwest') drawnow hold off
%%% ------------ Animated plot ----------
for j=1:n_time
subplot(2,2,1) surf(x,y,T(:,:,j)) hold on title(sprintf('Temperature at time : %i seconds ',round(j*dt))) plot3( Lx/4, Ly/4,T_max,'ko','markerfacecolor','r') % plot red
point plot3( Lx/2, Ly/2,T_max,'ko','markerfacecolor','g') % plot
green point plot3(3*Lx/4,3*Ly/4,T_max,'ko','markerfacecolor','b') % plot
blue point plot3( Lx/4, Ly/4,T_min,'ko','markerfacecolor','r') % plot red
point plot3( Lx/2, Ly/2,T_min,'ko','markerfacecolor','g') % plot
green point plot3(3*Lx/4,3*Ly/4,T_min,'ko','markerfacecolor','b') % plot
blue point cb=colorbar; caxis([T_min T_max]); view(90,-90); xlim([0 Lx+dx]); xlabel('Length'); ylim([0 Ly+dy]); ylabel('Width'); zlim([T_min T_max]); zlabel('Temprature'); drawnow hold off
subplot(2,2,2) hold on
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
title(sprintf('Temperature at time : %i seconds ',round(j*dt))) scatter(j,T(floor((Nx+2)/4),floor((Ny+2)/4),j),'r.'); scatter(j,T(ceil((Nx+2)/2),ceil((Ny+2)/2),j),'g.'); scatter(j,T(ceil(3*(Nx+2)/4),ceil(3*(Ny+2)/4),j),'b.'); axis tight; xlabel('Time Iterations'); axis tight; ylabel('Temperature'); legend('Red Point','Green Point ','Blue Point
','Location','northwest') drawnow hold off
end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI