PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA...

74
PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: Fransisca Amelia Putri Karina NIM: 133114015 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2018 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Transcript of PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA...

Page 1: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI

DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA

Tugas Akhir

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Fransisca Amelia Putri Karina

NIM: 133114015

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2018

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 2: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

ii

SOLUTION OF ONE AND TWO-DIMENSIONAL HEAT EQUATIONS

USING FINITE DIFFERENCE METHODS

Final Paper

Presented as Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by:

Fransisca Amelia Putri Karina

Student ID: 133114015

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

2018

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 3: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

I'UGAS AKHIR

PENYELESAIAN PERSAIIAAFI IIANAS SATti Drll{ D[iA DIh,{trNSI

SE NGAI{ Mf, }l G G UNAfufu\* }{ETOD E BEDA HI}{G GA

Oleh:

Fransisca Ainelia Putri Kar"ina

Ntrh{: I33l I4015

/,

1tslp-+* reoeynKof$Y

iii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 4: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

TUGAS AKHIR

PE T'I Y E T,ESA IA |t.i PE R SA N.,I AA i\ PA]!\IAS SATLJ DATq DTIA DIIIIII,NS I

DENGAN &TE s{CG [-]I{A}CAI{ EIET'ODE BEDA T{IF{ GGA

Dipersiapkan dan ditulis oieh:

Fransisca Arnelia Putri Karina

NIM: 133114015

Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji

pada tanggal 4 Oktotrer 2018

dan dinyatakan memeftrhi syarat

Susunan Paititia Penguji

Nama Lengkap

Ketua : Ir. Petrus Kanisius Fui'rvadi, M.l'.

Sekretaris : Lli*tono, Ph.D.

, ,/.,

":1-1 aAnggota : Sucli Mungkasi. S.Si.. M.N{atli Sc., Ph.D. i .f;.jtt*-:.*&.{,/

Yog3,'akarta,4f .OnoU*r 20 I IIrakultas Sailrs dan 'Ileknoiogi

ilniversitas Sanata Dhanna

l)ekan,

,044-

iv

S.Si." M.Matli,Sc.. Ph D.)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 5: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

v

HALAMAN PERSEMBAHAN

“Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apapun juga, tetapi

nyatakanlah dalam segala hal keinginanmu kepada Allah dalam doa dan

permohonan dengan ucapan syukur (Filipi 4:6)”

Karya ini kupersembahkan kepada

Tuhan Yesus Kristus yang senantiasa menyertai dan

memberi kekuatan,

kedua orang tua tercinta dan adik-adik tersayang.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 6: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

vi

ABSTRAK

Panas merupakan salah satu elemen penting yang terdapat dalam dunia ini.

Energi panas dapat berpindah-pindah apabila di dalam suatu media terdapat

perbedaan suhu. Pada tugas akhir ini akan dibahas tentang proses perpindahan

panas pada penampang satu dimensi dan dua dimensi. Dalam penelitian ini objek

yang akan diteliti adalah penampang batang homogen untuk permasalahan satu

dimensi dan penampang lempeng persegi homogen untuk permasalahan dua

dimensi. Tujuan dari penelitian dan penulisan tugas akhir ini adalah menghitung

distribusi suhu pada penampang batang homogen satu dimensi dan menghitung

distribusi suhu pada penampang lempeng persegi homogen dua dimensi. Dalam

perhitungan distribusi suhu akan melibatkan persamaan diferensial parsial. Teknik

yang akan dipakai untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial adalah

metode numerik. Konduksi panas pada penampang batang homogen dan lempeng

persegi telah ditentukan oleh persamaan panas satu dimensi dan dua dimensi.

Secara matematis, kedua persamaan tersebut merupakan persamaan

diferensial parsial parabolik. Kedua persamaan tersebut akan diselesaikan dengan

menggunakan pendekatan metode beda hingga skema eksplisit. Perhitungan

distribusi suhu dilakukan dengan menentukan nilai-nilai syarat awal dan syarat

batas. Selanjutnya, perhitungan distribusi suhu tersebut akan disimulasikan

menggunakan program MATLAB, dengan demikian akan diperoleh hasil dan

kesimpulan.

Kata kunci: persamaan panas, metode beda hingga, penampang batang homogen,

penampang lempeng persegi.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 7: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

vii

ABSTRACT

Heat is one of the important elements found in this world. Heat energy can

move around if there is a temperature difference in a medium. In this final project,

the process of heat transfer in one-dimensional and two-dimensional cross

sections will be discussed. In this research, the object to be studied is a

homogeneous cross section for one-dimensional problems and a homogeneous

square plate section for two-dimensional problems. The purpose of this research

and final project is to calculate the temperature distribution on a one-dimensional

homogeneous cross section and calculate the temperature distribution on a two-

dimensional homogeneous square plate cross section. The calculation of

temperature distribution will involve partial differential equations. The technique

that will be used to solve partial differential equations is numerical method. Heat

conduction in a homogeneous cross section and square plate has been determined

by one-dimensional and two-dimensional heat equations.

Mathematically, the two equations are parabolic partial differential

equations. Both of these equations will be solved using the explicit finite

difference method. Calculation of temperature distribution will be done by

determining the values of the initial conditions and boundary conditions.

Furthermore, the calculation of temperature distribution will be simulated using

the MATLAB program, thus results and conclusions will be obtained.

Keywords: heat equation, finite difference method, homogeneous cross section,

square plate cross section.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 8: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

PERNYATAAI\ KEASLIAN KARYA

Saya rnenyatakan dengan sesunggulmya. bahu,a tugas akhir yang saya tulis ini

ticlak rlernuat karya atau bagian karya orang lain. kecuali yang disebutkan dalarn

Daftar Pustaka, sebagairnana layaknya karya ilrniah.

Yogyakalta, .-8.. o*,ooer 2018

Fransisca Amelia Putri Karina

viii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 9: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

PERNYATAAN PERSETUJ UAN

PUBLIKASI KAIIYA ILNIIAH UNTUK KEPENTINGAN

AKADENTIS

Yang bertanda tangan di barveh ini. saya nrahasiswa Universitas Sanata Dhaltna:

Nama : Fransisca Amelia Putri Kalina

NIM :13311-+015

Demi pengernbangan ilmu pcngetahuan. saya rnembet'ikan kepada Petpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilniah saya yang ber-judul:

PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIN,IENSI

DENGAN MENGGUNAI(AN NIETODE BEDA HINGGA

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan dernikian. saya memberikan

kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk tnenyimpan, urengalihkan

ke clalam bentuk rneclia lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,

mendistribusikan sccara terbatas dan mempublikasikannya cli Internet atau meclia

lain untuk kepentingan akadernis tanpa perlu meminta ijin dari saya traupun

memberikan royalti kepacla saya selarna tetap mencantumkan nalna saya sebagai

penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat clengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggaf , . . 8. ..Oktober 201 8

Yang menyatakan,

ix

Fransisca Amelia Putri Karina

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 10: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yesus Kristus, atas berkat dan rahmat

melimpah yang selalu diberikan kepada penulis sehingga penulis dapat

menyelesaikan tugas akhir ini. Tugas akhir ini disusun sebagai salah satu syarat

untuk mendapatkan gelar Sarjana Sains dari Program Studi Matematika, Fakultas

Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Dalam penulisan tugas akhir ini, banyak rintangan yang penulis hadapi.

Namun demikian, dengan penyertaan Tuhan dan dukungan yang diberikan dari

berbagai pihak pada akhirnya tugas akhir ini dapat diselesaikan. Oleh karena itu,

penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas Sains

dan Teknologi sekaligus dosen pembimbing,

2. Bapak YG. Hartono, S.Sc., M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Program Studi

Matematika, Universitas Sanata Dharma,

3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing Akademik,

4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si.,

Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan,

S.Si., M.Si. selaku dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan

ilmu-ilmu yang sangat berguna dalam penulisan tugas akhir ini,

5. kedua orang tua tercinta (Ignatius Triatmoko Ari Handoko dan Emiliana

Sriningsih) dan kedua adik tercinta (Cicilia Afira Putri Karina dan Aloysius

Andrian Herlambang H),

6. teman-teman tercinta, mahasiswa/i Program Studi Matematika angkatan 2013

yang selalu kompak dan mendukung satu sama lain, Novita Tania, S.Si. dan Ni

Luh Putu Stephanie S.Psi. yang selalu memberikan semangat tiada henti,

7. Benediktus Romario Anugerah Agung Gumelar atas dukungan dan

kesabarannya yang sangat luar biasa,

8. keluarga besar Alexander Triyanto dan keluarga besar Hadisusanto, atas doa

dan semangatnya, serta

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 11: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

9. seu-rua pihak yang ticlak dapiit disebutkan satu persatu.

Semoga segala bentuk dukungan. bantuan, clan perhatian .vang telah diberikan

ntendapat balasan dari Tr-Lhan Yesus Kristus. Penulis tnenyadari bahr,r,a tugas akhir

ini masih ban-vak rnemiliki kekurangan. Oleh kiirena itu. penulis mengharapkan

ktitik clan saran demi rnenyempurnakair tugas akhir ini. Scn"roga tugas akhir ini

clapat berrnanlaat bagi para pernbaca.

Yogyakarta, ..3... oktober 2018

Penulis

KarinaFrarilsisca Amelia

xi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 12: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .................................................................................................... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ................................................. ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ......................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN .................................................................................... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................................. v

ABSTRAK .................................................................................................................. vi

ABSTRACT ............................................................................................................... vii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ........................................................... ix

PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH .................................................... ix

KATA PENGANTAR ................................................................................................. x

DAFTAR ISI .............................................................................................................. xii

DAFTAR GAMBAR ................................................................................................ xiv

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................ 1

A. Latar Belakang .................................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ............................................................................................... 2

C. Batasan Masalah .................................................................................................. 2

D. Tujuan Penulisan ................................................................................................. 2

E. Metode Penulisan ................................................................................................ 2

F. Manfaat Penulisan ............................................................................................... 3

G. Sistematika Penulisan .......................................................................................... 3

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 13: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

xiii

BAB II FUNGSI, TURUNAN, DAN INTEGRAL ..................................................... 5

A. Turunan Fungsi .................................................................................................... 5

B. Persamaan Diferensial ......................................................................................... 6

C. Pendekatan Numeris untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial ....................... 8

D. Integral ............................................................................................................... 19

BAB III METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN PANAS SATU DIMENSI

............................................................................................................................... 22

A. Penurunan Persamaan Panas ............................................................................. 22

B. Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Satu Dimensi ........................... 25

C. Skema Eksplisit Persamaan Panas Satu Dimensi .............................................. 27

BAB IV METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN PANAS DUA DIMENSI

............................................................................................................................... 40

A. Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Dua Dimensi ............................ 40

B. Skema Eksplisit Persamaan Panas Dua Dimensi .............................................. 43

C. Hasil Simulasi untuk Persamaan Panas Dua Dimensi ....................................... 46

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .................................................................... 48

A. Kesimpulan ........................................................................................................ 48

B. Saran .................................................................................................................. 48

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................ 50

LAMPIRAN ............................................................................................................... 51

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 14: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Tiga pendekatan perhitungan turunan numerik ............................... 11

Gambar 3.1 Ilustrasi aliran panas dalam suatu ruang. (Sumber: Oneil,2014) ..... 22

Gambar 3.2 Kondisi suhu awal pada contoh 3.1. ................................................ 35

Gambar 3.3 Hasil simulasi dari penyelesaian contoh 3.1 dengan menggunakan

metode beda hingga dimana dan saat detik. ...................... 35

Gambar 3.4 Kondisi suhu awal pada contoh 3.2 ................................................. 38

Gambar 3.5 Hasil simulasi dari penyelesaian contoh 3.2 dengan menggunakan

metode beda hingga dimana dan saat detik. ...................... 39

Gambar 4.1 Hasil simulasi dari penyelesaian persamaan panas dua dimensi

dengan menggunakan metode beda hingga........................................................... 47

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 15: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

1

BAB I

PENDAHULUAN

Dalam bab ini akan dibahas mengenai latar belakang, rumusan masalah,

batasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan juga

sistematika penulisan yang akan dilakukan pada penulisan tugas akhir ini.

A. Latar Belakang

Panas adalah salah satu elemen penting yang dibutuhkan dalam kehidupan

manusia. Panas merupakan salah satu energi yang dapat berpindah-pindah.

Perpindahan panas merupakan masalah yang kompleks, karena di dalamnya

melibatkan banyak parameter. Perpindahan panas adalah ilmu yang menjelaskan

tentang perpindahan energi yang bisa terjadi karena adanya perbedaan suhu di

antara material. Proses perpindahan panas mengalir dari daerah yang memiliki

suhu lebih tinggi ke daerah yang memiliki suhu lebih rendah. Perpindahan panas

dapat terjadi dengan tiga cara, yaitu: konduksi, konveksi, dan radiasi. Konduksi

adalah proses perpindahan dari daerah yang bersuhu tinggi ke daerah yang

bersuhu rendah dalam satu medium (padat, cair atau gas) secara hantaran.

Konveksi adalah perpidahan panas yang terjadi karena adanya aliran. Radiasi

adalah proses perpindahan dari benda bersuhu tinggi ke benda yang bersuhu

rendah secara pancaran.

Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai proses perpindahan panas.

Benda yang akan dipakai untuk penelitian adalah sebuah batang homogen yang

pada batas-batas dan titik-titik tertentu telah diketahui suhunya. Penelitian ini

akan dilakukan untuk persamaan panas satu dimensi, yaitu

dan persamaan panas dua dimensi

(

)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 16: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

2

dengan adalah kepadatan batang, adalah konstanta panas spesifik pada batang,

adalah konstanta untuk konduktivitas termal batang, dan adalah variabel

bebas untuk domain ruang, adalah variabel bebas untuk waktu dan

adalah fungsi yang bergantung pada dan , serta adalah fungsi yang

bergantung pada dan .

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah dalam tugas akhir ini adalah:

1. Bagaimana memperoleh persamaan panas satu dimensi?

2. Bagaimana menyelesaikan persamaan panas satu dimensi secara numeris

dengan menggunakan metode beda hingga?

3. Bagaimana menyelesaikan persamaan panas dua dimensi secara numeris

dengan menggunakan metode beda hingga?

C. Batasan Masalah

Dalam tugas akhir ini akan dicari penyelesaian numeris dari persamaan

panas pada dimensi satu dan dimensi dua. Model yang berdimensi lebih tinggi

tidak dibahas. Penyelesaian numeris dari persamaan panas hanya menggunakan

satu metode numeris yaitu metode beda hingga.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah:

1. mencari persamaan panas satu dimensi beserta perluasannya untuk dua

dimensi,

2. mencari penyelesaian numeris dari persamaan model yang didapat dengan

metode beda hingga.

E. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam penyusunan tugas akhir ini

adalah studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku dan jurnal. Selain itu,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 17: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

3

dilakukan juga praktik simulasi numeris dengan menggunakan program

MATLAB.

F. Manfaat Penulisan

Manfaat penulisan tugas akhir ini adalah penulis mendapatkan

pengetahuan baru, dengan mengetahui bagaimana cara memperoleh persamaan

panas. Dengan adanya penulisan ini, diharapkan pembaca juga dapat lebih

memahami tentang masalah konduksi panas yang ada dalam dunia nyata.

G. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan dalam tugas akhir ini adalah:

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Metode Penulisan

F. Manfaat Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II FUNGSI, TURUNAN, DAN INTEGRAL

A. Turunan Fungsi

B. Persamaan Diferensial

C. Pendekatan Numeris untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial

D. Integral

BABIII METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN PANAS SATU

DIMENSI

A. Penurunan Persamaan Panas

B. Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Satu Dimensi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 18: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

4

C. Skema Eksplisit Persamaan Panas Satu Dimensi

BAB IVMETODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN PANAS DUA DIMENSI

A. Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Dua Dimensi

B. Skema Eksplisit Persamaan Panas Dua Dimensi

C. Hasil Simulasi untuk Persamaan Panas Dua Dimensi

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 19: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

5

BAB II

FUNGSI, TURUNAN, DAN INTEGRAL

Dalam bab ini akan ditulis landasan teori yang akan digunakan untuk

menulis tugas akhir ini. Bab ini akan terdiri dari 4 subbab, yaitu: Turunan Fungsi,

Persamaan Diferensial, Pendeketan Numeris, dan Integral.

A. Turunan Fungsi

Definisi 2.1

Fungsi adalah suatu relasi khusus antara elemen-elemen dalam suatu

himpunan dengan elemen-elemen dalam himpunan . Kekhususannya terletak

dalam dua hal, yaitu:

(1) Setiap elemen dalam himpunan berelasi dengan suatu elemen

dalam himpunan .

(2) Elemen dalam himpunan yang berelasi dengan elemen dari

himpunan itu adalah tunggal.

Definisi 2.2

Turunan fungsi didefinisikan sebagai berikut :

Aturan Rantai

Jika dan mempunyai turunan, maka fungsi komposisi juga

mempunyai turunan, yaitu

( )

Jika dan , maka dengan notasi Leibniz, dapat

diturunkan terhadap , yaitu

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 20: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

6

B. Persamaan Diferensial

Definisi 2.3

Persamaan adalah suatu relasi yang menyatakan dua kuantitas atau besaran

bernilai sama.

Contoh 2.1

(1) 5 – 3 = 1 + 1

(2)

Definisi 2.4

Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabel-variabel

tak bebas dan turunan-turunannya terhadap variabel-variabel bebas.

Contoh 2.2

Persamaan sistem pegas massa

dengan adalah massa, tetapan pegas, koefisien redaman, dan posisi

massa. Karena adalah fungsi dari , maka persamaan diatas dapat ditulis juga

sebagai

atau dalam bentuk yang lebih ringkas lagi,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 21: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

7

.

Definisi 2.5

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang melibatkan

turunan biasa beserta satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel

bebas.

Contoh2.3

(1)

(2) y’ =

(3)

+

(4)

(5)

Variabel bebas untuk contoh (1) sampai (5) adalah , sedangkan peubah (variabel)

terikatnya adalah , yang merupakan fungsi dari , atau ditulis sebagai .

Definisi 2.6

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang

melibatkan turunan parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih

dari satu variabel bebas.

Contoh 2.4

(1)

(yang dalam hal ini

(2)

(yang dalam hal ini

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 22: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

8

Variabel bebas untuk contoh (1) adalah dan , sedangkan peubah (variabel)

terikatnya adalah yang merupakan fungsi dari dan , atau ditulis sebagai

. Sedangkan peubah bebas untuk contoh (2) adalah , , dan ,

sedangkan peubah terikatnya adalah , yang merupakan fungsi dari , , dan ,

atau ditulis sebagai .

Persamaan diferensial parsial diklarifikasikan menjadi tiga jenis, yaitu

eliptik, hiperbolik dan parabolik. Diketahui persamaan diferensial parsial orde

dua, sebagai berikut:

dimana

Persamaan diferensial parsial tersebut dikatakan:

eliptik jika

hiperbolik jika

parabolik jika .

C. Pendekatan Numeris untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial

Definisi 2.7

Andaikan dan semua turunannya , kontinu di dalam selang

[ ] Misalkan [ ], maka untuk nilai-nilai disekitar dan

[ ], dapat dijabarkan (diekspansi) ke dalam deret Taylor:

.

Contoh 2.5

Tentukan ekspansi fungsi = ke dalam deret Taylor di sekitar =1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 23: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

9

Penyelesaian:

Tentukan turunan terlebih dahulu sebagai berikut:

= ,

= ,

= ,

= ,

= ,

dan seterusnya.

Berdasarkan Definisi 2.3, dihampiri dengan deret Taylor sebagai berikut:

Bila dimisalkan = , maka

.

Penurunan Numeris dengan Menggunakan Tiga Jenis Hampiran

Dipandang fungsi . Akan ditentukan hampiran untuk turunan

fungsi tersebut menggunakan hampiran beda maju, beda mundur, dan beda pusat.

1. Hampiran Beda Maju

Menggunakan beda maju, turunan terhadap variabel didefinisikan oleh

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 24: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

10

atau untuk tertentu,

.

2. Hampiran Beda Mundur

Menggunakan beda mundur, turunan terhadap variabel didefinisikan

oleh

atau untuk tertentu,

.

3. Hampiran Beda Pusat

Menggunakan beda pusat, turunan terhadap variabel didefinisikan oleh

atau untuk tertentu,

.

Tafsiran geometri dari ketiga jenis hampiran diatas diperlihatkan pada Gambar

2.1.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 25: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

11

(a) (b)

(c)

Gambar 2.1 (a) Hampiran beda maju. (b) Hampiran beda mundur. (c) Hampiran

beda pusat.

Penurunan Rumus Turunan dengan Deret Taylor

Misalkan diberikan titik-titik yang dalam hal ini

𝑦

𝑦

𝑦

𝑦 𝑓 𝑥

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

𝑦

𝑦

𝑦

𝑦 𝑓 𝑥

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

𝑦

𝑦

𝑦

𝑦 𝑓 𝑥

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 26: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

12

dan

kemudian akan dihitung yang dalam hal ini dengan

ketiga pendekatan yang telah disebutkan sebelumnya (maju, mundur, pusat).

1. Hampiran Beda Maju

Uraikan di sekitar :

(2.3)

yang dalam hal ini,

Untuk nilai-nilai di dan persamaan rumusnya menjadi :

(2.4)

yang dalam hal ini

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 27: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

13

2. Hampiran Beda Mundur

Uraikan di sekitar :

(2.5)

yang dalam hal ini,

Untuk nilai-nilai di dan persamaan rumusnya menjadi :

(2.6)

yang dalam hal ini

.

3. Hampiran Beda Pusat

Kurangkan persamaan (2.3) dan persamaan (2.5) :

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 28: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

14

yang dalam hal ini,

Untuk nilai-nilai di dan persamaan rumusnya menjadi :

yang dalam hal ini

Menentukan Orde Galat

Pada penurunan rumus turunan numerik dengan deret Taylor, rumus galat

dalam penurunan rumus turunan numerik dapat langsung diperoleh. Tetapi dengan

polinom interpolasi harus dicari rumus galat tersebut dengan bantuan deret Taylor.

Contoh 2.6

Tentukan rumus galat dan orde dari rumus turunan numeris hampiran beda

pusat:

Nyatakan (galat) sebagai ruas kiri persamaan, lalu ekspansi ruas kanan dengan

deret Taylor di sekitar :

(2.7)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 29: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

15

*(

)

(

)+

(

)

(2.8)

Jadi, hampiran beda pusat memiliki galat

, dengan

orde

Teorema 2.1 (Teorema Sisa)

Jika [ ] dan fungsi [ ] memenuhi syarat – syarat:

( i ) kontinu pada [ ]

( ii ) ada untuk setiap [ ], maka untuk setiap

[ ] ada titik yang terletak di antara dan sehingga

(2.9)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 30: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

16

atau dapat disingkat menjadi

dimana

dan

disebut polinomial Taylor dan disebut sisa, nilai koreksi atau kesalahan

Taylor. Bukti dari teorema sisa deret Taylor dapat dilihat pada buku karangan

Darmawijaya (2011).

Teorema 2.2 (Deret Taylor)

Jika [ ] dan fungsi [ ] memenuhi sifat – sifat:

( i ) Fungsi kontinu pada [ ]

( ii ) ada, [ ] maka untuk nilai – nilai di sekitar

dapat diperluas ke dalam deret Taylor:

[ ]

Jika di misalkan maka dapat juga ditulis sebagai

[ ]

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 31: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

17

Deret di dalam teorema (2.5) tersebut dinamakan deret Taylor fungsi di sekitar

titik disebut deret Maclaurin, yaitu

[ ]

Contoh 2.7

Deretkan fungsi ke dalam deret Taylor di sekitar titik

Penyelesaian:

Tentukan turunan terlebih dahulu sebagai berikut

oleh karena itu

Jika dimisalkan , maka

Contoh 2.8

Deretkan masing-masing fungsi dan

ke dalam deret Maclaurin

Penyelesaian:

a) Beberapa turunan sudah dihitung pada contoh 2.9. Deret Maclaurin dari

adalah

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 32: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

18

b) Untuk menentukan deret Maclaurin dari , kita harus menentukan

turunan terlebih dahulu sebagai berikut:

maka diperoleh

Sehingga deret Maclaurin dari adalah

c) Untuk menentukan deret Maclaurin dari

, tentukan terlebih dahulu turunan

dari

sebagai berikut:

sehingga deret Maclaurin dari

adalah

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 33: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

19

D. Integral

Definisi 2.8

Fungsi disebut suatu anti turunan dari pada interval jika untuk

semua dalam .

Contoh 2.9

Sebagai contoh definisi di atas, misalkan , maka

. Jadi, jika fungsi yang didefinisikan oleh , maka

dikatakan bahwa merupakan turunan dari , dan adalah anti turunan dari .

Anti turunan dinotasikan dengan sebagaimana digunakan oleh

Leibniz, kita seringkali akan memakai istilah integral tak tentu sebagai ganti anti

turunan (Purcell, 1981).

Contoh 2.10

Cari anti turunan dari

Penyelesaian:

1. Integral Tentu

Untuk menghitung luas di bawah kurva , dapat dilakukan dengan

aproksimasi, yaitu dengan membagi interval [ ] oleh partisi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 34: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

20

ke dalam subinterval yaitu [ ] [ ] [ ]

Panjang subinterval interval ke- ditulis dengan Selanjutnya

dipilih sebarang dari [ ] [ ] [ ]dengan . Total

luas di bawah kurva dapat dihitung dengan

yang disebut jumlahan Riemann fungsi pada

interval [ ], sebagai pendekatan luas daerah di bawah kurva dan di

atas sumbu . Semakin banyak subinterval seragam yang diguanakn artinya

, maka semakin baik pula aproksimasi luasan tersebut dan semakin dekat

dengan luasan yang sebenarnya. Dengan demikian, luas daerah =

Definisi 2.9

Misalkan suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [ ]. Jika

Ada, maka nilai limit tersebut dinamakan integral tentu dari ke , dan ditulis

sebagai

2. Teorema Dasar Kalkulus

Teorema 2.3(Teorema Nilai Rata-Rata)

Jika suatu fungsi kontinu pada interval [ ] maka ada µ di antara dan

sehingga

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 35: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

21

Teorema 2.4 (Teorema Dasar Kalkulus I)

Jika suatu fungsi yang kontinu pada selang tertutup [ ], maka fungsi

yang ditentukan oleh

dapat diturunkan pada [ ] dan merupakan suatu antiturunan , artinya

∫ [ ]

Teorema 2.5 (Teorema Dasar Kalkulus II)

Jika suatu fungsi yang kontinu pada selang tertutup [ ] dan suatu

anti turunan khusus, sehingga , maka

Ketiga teorema diatas telah di buktikan dan dapat dilihat pada buku karangan

Thomas (2010).

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 36: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

22

BAB III

METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN PANAS SATU DIMENSI

Dalam bab ini akan dibahas mengenai metode numeris untuk persamaan

panas satu dimensi. Subbab yang ada dalam bab ini, yaitu: Penurunan Persamaan

Panas, Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Satu Dimensi, dan Skema

Eksplisit Persamaan Panas Satu Dimensi.

A. Penurunan Persamaan Panas

Persamaan panas disebut juga sebagai persamaan difusi.Persamaan panas

bisa didapatkan dengan merumuskan persamaan aliran panas. Aliran panas

diilustrasikan pada Gambar 3.1.

Gambar 3.1 Ilustrasi aliran panas dalam suatu ruang. (Sumber: Oneil,2014)

Sebuah batang dengan massa jenis konstan, yaitu . Memiliki penampang

seragam dengan area A. Permukaan lateral dari batang tersebut terisolasi, jadi

tidak ada panas yang keluar di seluruh permukaan ini. Letakkan sumbu

sepanjang , pada batang dan asumsikan bahwa pada waktu yang diberikan,

suhunya sama sepanjang setiap penampang yang tegak lurus dengan sumbu ,

walaupun mungkin bervariasi dari satu penampang ke penampang lain. Akan

diturunkan persamaan untuk , suhu pada penampang dari batang pada ,

pada waktu . Dalam konteks difusi, disebut fungsi distribusi densitas.

Misal adalah konstanta panas spesifik pada material batang, yang

menyatakan berapa jumlah energi panas yang dibutuhkan untuk satuan unit massa

suatu benda dalam menaikkan suhu 1 derajat pada batang. Ruas batang antara

dan mempunyai massa . Jika suhunya akan dinaikkan dari ke

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 37: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

23

, maka energi yang diperlukan sebanyak . Jadi total energi

yang terbutuhkan adalah

.

Jumlah energi panas dalam ruas pada waktu dapat meningkat dengan dua

cara: energi panas mengalir ke dalam segmen sampai ujung batang (hal ini

mengubah fluks dari energi) dan atau ada sumber energi panas lain dalam ruas

batang. Tingkat perubahan dari suhu dalam ruas terhadap waktu adalah

Fluks=

.

Asumsikan untuk saat ini tidak ada sumber atau energi yang hilang dalam batang,

maka

Fluks =∫

(3.1)

Sekarang misalkan adalah jumlah dari energi panas per-satuan

daerah yang mengalir melintasi penampang melintang pada pada waktu , ke

arah yang meningkat. Maka fluks dari energi ke dalam ruas antara dan

pada waktu adalah tingkat aliran ke dalam ruas melintasi daerah pada ,

dikurangi tingkat dari aliran keluar ruas melintasi daerah pada (Gambar

3.1). Sehingga didapatkan

Fluks =

atau dapat ditulis sebagai berikut

Fluks= . (3.2)

Sekarang ingat kembali hukum pendingin Newton, yang menyatakan

bahwa energi panas mengalir dari daerah yang lebih hangat ke daerah yang lebih

dingin dan banyak energi panas berbanding dengan perbedaan suhu di antara

kedua titik. Hal ini berarti

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 38: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

24

Konstanta positif dari disebut juga konduktivitas panas dari batang. Tanda

negatif pada persamaan ini berdasarkan fakta bahwa energi mengalir dari ruas

yang lebih hangat ke ruas yang lebih dingin. Substitusi ke dalam

persamaan (3.2) untuk memperoleh

Fluks = (

)

Tulis persamaan di atas sebagai

Fluks =∫

(

)

. (3.3)

Dari persamaan (3.1) dan (3.3) untuk fluks, didapat

(

)

Ruas kanan pindah ke ruas kiri, sehingga didapat

(

)

Selanjutnya konstanta yang sama dikeluarkan

∫ [

(

)]

Bagi persamaan di atas dengan dan tulis persamaan tersebut sebagai

∫ [

(

)]

(

)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 39: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

25

dimana

merupakan koefisien difusi.

B. Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Satu Dimensi

Dalam mencari solusi suatu persamaan diferensial parsial, metode yang

sering digunakan adalah metode beda hingga. Hal ini disebabkan mudahnya

mendekati persamaan diferensial parsial dengan pendekatan deret Taylor-nya dan

diperoleh persamaan beda maju, beda mundur, dan beda pusat.

Misalkan dikethaui dan Dipandang persamaan panas

satu dimensi, yaitu:

(3.4)

atau

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 40: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

26

Persamaan diferensial parsial di atas akan ditentukan jenisnya dengan cara

klasifikasi persamaan diferensial parsial orde dua. Di sini dan dari

persamaan (3.4) adalah dan , diperoleh

sehingga persamaan (3.4) merupakan persamaan diferensial parsial yang berjenis

parabolik. Persamaan (3.4) sering disebut sebagai persamaan panas satu dimensi

karena hanya memiliki satu variabel ruang yaitu , dengan merupakan

konstanta positif, adalah variabel waktu, dan adalah fungsi yang

menyatakan suhu yang bergantung pada dan .

Turunan pertama variabel tak bebas terhadap variabel bebas

dinotasikan dengan

dan turunan kedua variabel tak bebas terhadap

variabel dinotasikan dengan

.

1. Keakuratan Skema Beda Maju

Dipandang deret Taylor di sekitar titik , yaitu

Karena

adalah bilangan yang sangat kecil,

sehingga dapat diabaikan dan diperoleh

(3.5)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 41: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

27

dengan

. Yang berarti rumus turunan

beda maju mempunyai keakuratan , yaitu memiliki keakuratan tingkat satu.

2. Keakuratan Skema Beda Pusat

Dipandang deret Taylor dan di sekitar titik ,

yaitu

(3.6)

(3.7)

Persamaan (3.6) dan (3.7) dijumlahkan

Karena

adalah bilangan yang sangat kecil, sehingga dapat

diabaikan dan diperoleh

(3.8)

dengan

. Yang berarti rumus turunan beda maju

mempunyai keakuratan , yaitu memiliki keakuratan tingkat dua.

C. Skema Eksplisit Persamaan Panas Satu Dimensi

Dipandang persamaan panas satu dimensi, yaitu:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 42: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

28

atau dapat ditulis

dengan syarat awal

dan syarat batas

Penampang batang homogen satu dimensi dengan panjang , akan dibagi

ke dalam interval dengan masing-masing panjang dan tiap -interval dari

panjang Domain diambil menjadi persegi (untuk persamaan

panas dan gelombang). Titik-titik menjadi

Sementara, untuk titik-titik menjadi

Terakhir, ditulis

(3.9)

Suatu diskretisasi beda hingga untuk persamaan panas tersebut dengan

menggunakan skema beda maju terhadap waktu dan beda pusat terhadap ruang,

yaitu:

(3.10)

Dengan menggunakan persamaan (3.9), skema eksplisit untuk persamaan panas

dapat dituliskan kembali menggunakan persamaan (3.10). Sehingga didapat

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 43: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

29

(3.11)

Perhatikan bahwa diubah menjadi dan .

Jadi,

[

]

[

]

Selanjutnya kedua ruas dikali dengan , diperoleh

[

]

[

] (3.12)

Misalkan

, maka persamaan (3.12) menjadi

[

] (3.13)

Kedua ruas dijumlahkan dengan , maka diperoleh

[

]

atau

(3.14)

dimana dan .

Dalam menyelesaikan persamaan panas, diperlukan syarat tambahan yaitu syarat

awal dan syarat batas. Persamaan (3.9) memenuhi syarat awal yaitu:

dimana , untuk

Persamaan (3.9) juga memenuhi syarat-syarat batas, yaitu:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 44: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

30

Syarat Kestabilan Metode Beda Hingga Skema Eksplisit (FTCS) untuk

Persamaan Panas

Dalam subbab ini akan di analisis skema eksplisit metode beda hingga

untuk persamaan panas yang sudah diperoleh dengan menggunakan skema beda

maju terhadap waktu dan skema beda pusat terhadap ruang. Disini .

Analisis Stabilitas Fourier-von Neumann

Ingat kembali persamaan (3.13), yaitu:

[

]

dengan syarat awal

dan syarat batas

dimana

Misalkan

(3.15)

Substitusikan persamaan (3.15) ke dalam persamaan (3.13), sehingga diperoleh

Selanjutnya kedua ruas dikalikan dengan

sehingga diperoleh

= [ ]

= [ ]

= [ ]

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 45: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

31

Perhatikan bahwa

sehingga

( )

( )

Solusi dari persamaan (3.13) dengan syarat-syarat batas dan

adalah

dimana

( (

))

dengan

Syarat Kestabilan Solusi

Solusi dikatakan stabil jika

| |

| ( (

))|

dengan menggunakan sifat nilai mutlak, diperoleh

( (

))

( (

))

( (

))

Perhatikan bahwa

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 46: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

32

(

)

sehingga

Jadi, syarat kestabilan solusi harus memenuhi pertidaksamaan

Sehingga jika diketahui, maka sebaiknya dipilih sedemikian sehingga:

Contoh 3.1

Diberikan untuk ,

{

Diambil dan

Hitunglah:

a)

b) Dengan rumus dan hasil yang diperoleh di a), hitunglah

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 47: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

33

Penyelesaian:

a) Pada saat detik

0

10(2) = 20

10(4) = 40

10(6) = 60

10(8) = 80

10(10) = 100

-10(12) + 200 = 80

-10(14) + 200 = 60

-10(16) + 200 = 40

-10(18) + 200 = 20

-10(20) + 200 = 0

b) Penyelesaian dengan menggunakan persamaan (3.14) dan jawaban pada a).

Dihitung terlebih dahulu untuk

. Di sini

Dengan demikian

. Saat diperoleh:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 48: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

34

= 20 +

(40 – 2(20) + 0) = 20

=

= 40 +

(60 – 2(40) + 20) = 40

=

= 60 +

(80 – 2(60) + 40) = 60

=

= 80 +

(100 – 2(80) + 60) = 80

=

= 100 +

(80 – 2(100) + 80) = 90

=

= 80 +

(60 – 2(80) + 100) = 80

=

= 60 +

(40 – 2(60) + 80) = 60

=

= 40 +

(20 – 2(40) + 60) = 40

=

= 20 +

(0 – 2(20) + 40) = 20

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 49: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

35

Gambar 3.2 Kondisi suhu awal pada contoh 3.1.

Gambar 3.3 Hasil simulasi dari penyelesaian contoh 3.1 dengan menggunakan

metode beda hingga dimana dan saat detik.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 50: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

36

Kondisi awal distribusi suhu ditunjukkan pada Gambar 3.2. Hasil simulasi

dari penyelesaian model konduksi panas pada batang homogen dengan metode

beda hingga menggunakan program MATLAB untuk contoh 3.1 ditunjukkan pada

Gambar 3.3. Hasil simulasi persamaan panas satu dimensi tersebut berhenti pada

saat akhirnya adalah detik, kurva suhu menuju secara seragam.

Contoh 3.2

Diberikan untuk 0 ,

,

.

Diambil dan .

Hitunglah:

a)

b) Dengan rumus dan hasil yang diperoleh di a), hitunglah

c) Dengan rumus dan hasil yang diperoleh di b), hitunglah

Penyelesaian:

a) Pada saat detik

b) Penyelesaian dengan menggunakan persamaan (3.14) dan jawaban pada a).

Dihitung terlebih dahulu untuk

. Di sini dan

. Dengan demikian

. Saat , diperoleh:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 51: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

37

= 100 +

(100 – 2(100) +100) = 100

=

= 100 +

(100 – 2(100) + 100) = 100

=

= 100 +

(100 – 2(100) + 100) = 100

=

= 100 +

(100 – 2(100) + 100) = 100

=

= 100 +

(100 – 2(100) + 100) = 100

=

= 100 +

(100 – 2(100) + 100) = 100

=

= 100 +

(100 – 2(100) + 100) = 100

=

= 100 +

(100 – 2(100) + 100) = 100

=

= 100 +

(100– 2(100) + 100) = 100

c) Untuk

= 100 +

(100 – 2(100) +0) = 75

=

= 100 +

(100 – 2(100) + 100) = 100

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 52: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

38

=

= 100 +

(100 – 2(100) + 100) = 100

=

= 100 +

(100 – 2(100) + 100) = 100

=

= 100 +

(100 – 2(100) + 100) = 100

=

= 100 +

(100 – 2(100) + 100) = 100

=

= 100 +

(100 – 2(100) + 100) = 100

=

= 100 +

(100 – 2(100) + 100) = 100

=

= 100 +

(0– 2(100) + 100) = 75

Gambar 3.4 Kondisi suhu awal pada contoh 3.2

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 53: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

39

Gambar 3.5 Hasil simulasi dari penyelesaian contoh 3.2 dengan menggunakan

metode beda hingga dimana dan saat detik.

Kondisi awal distribusi suhu ditunjukkan pada Gambar 3.4. Hasil simulasi

dari penyelesaian model konduksi panas pada batang homogen dengan metode

beda hingga menggunakan program MATLAB untuk contoh 3.2 ditunjukkan pada

Gambar 3.5. Hasil simulasi persamaan panas satu dimensi tersebut berhenti pada

saat akhirnya adalah tik, kurva suhu menuju secara seragam.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 54: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

40

BAB IV

METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN PANAS DUA DIMENSI

Dalam bab ini akan dibahas mengenai metode numeris untuk persamaan

panas dua dimensi. Subbab yang ada dalam bab ini, yaitu: Metode Beda Hingga

untuk Persamaan Panas Dua Dimensi, Skema Eksplisit Persamaan Panas Dua

Dimensi, dan Hasil Simulasi.

A. Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Dua Dimensi

Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang metode beda hingga untuk

persamaan panas satu dimensi. Dalam bab ini akan dibahas tentang metode beda

hingga untuk persamaan panas dua dimensi, dimana terdapat dua dimensi ruang

yaitu dan .

Dipandang persamaan panas dua dimensi, yaitu

(

) (4.1)

dengan dan adalah konstanta positif.

1. Keakuratan Skema Beda Maju

Dipandang deret Taylor di sekitar titik , yaitu

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 55: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

41

Karena

adalah bilangan yang sangat

kecil, sehingga dapat diabaikan dan diperoleh

(4.2)

dengan

. Yang berarti rumus

turunan beda maju mempunyai keakuratan , yaitu memiliki keakuratan

tingkat satu.

2. Keakuratan Skema Beda Pusat

Dipandang deret Taylor dan di sekitar titik

, yaitu

(4.3)

(4.4)

Persamaan (4.3) dan (4.4) dijumlahkan

Karena

adalah bilangan yang sangat kecil, sehingga dapat

diabaikan dan diperoleh

(4.5)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 56: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

42

dengan

. Yang berarti rumus turunan beda maju

mempunyai keakuratan , yaitu memiliki keakuratan tingkat dua.

Dipandang deret Taylor dan di sekitar titik

, yaitu

(4.6)

(4.7)

Persamaan (4.6) dan (4.7) dijumlahkan

Karena

adalah bilangan yang sangat kecil, sehingga dapat

diabaikan dan diperoleh

(4.8)

dengan

. Yang berarti rumus turunan beda maju

mempunyai keakuratan , yaitu memiliki keakuratan tingkat dua.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 57: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

43

B. Skema Eksplisit Persamaan Panas Dua Dimensi

Dipandang persamaan panas dua dimensi, yaitu:

( )

atau dapat ditulis

(

)

dengan syarat batas

dan syarat awal

Penampang batang homogen dua dimensi dengan panjang panjang dan

tinggi , akan dibagi ke dalam dan interval dengan masing-masing panjang

, dan tiap -interval dari panjang Domain diambil menjadi persegi

. Titik-titik menjadi

Titik-titik menjadi

Sementara itu, titik-titik menjadi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 58: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

44

Terakhir, ditulis

( ) (3.9)

Suatu diskretisasi beda hingga untuk persamaan panas tersebut dengan

menggunakan skema beda maju terhadap waktu dan beda pusat terhadap ruang,

yaitu:

(

)

(3.10)

Dengan menggunakan persamaan (3.9), skema eksplisit untuk persamaan panas

dapat dituliskan kembali menggunakan persamaan (3.10). Sehingga didapat

( )

( ( ) ( )

( ) ( )

)

(3.11)

Perhatikan bahwa diubah menjadi , diubah

menjadi , dan .

Jadi,

(

) (

)

Selanjutnya kedua ruas dikali dengan , diperoleh

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 59: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

45

(

) (

) (3.12)

Selanjutnya kedua ruas ditambahkan dengan , sehingga diperoleh

(

)

Kemudian kumpulkan variabel-variabel yang sejenis

(

)

((

) (

))

(

)

((

) (

))

dimana

(

)

Kedua ruas dikurangi

, didapatkan

(

)

Keluarkan variabel

(

)

Sehingga diperoleh syarat kestabilan

(

)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 60: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

46

Solusi akhirnya adalah

((

) )

((

) (

))

(3.13)

dimana , dan .

Dalam menyelesaikanpersamaan panas, diperlukan syarat tambahan yaitu

syarat awal dan syarat batas. Misalnya diambil syarat awal :

dan misalkan diketahui syarat-syarat batas :

dimana , untuk dan , untuk

C. Hasil Simulasi untuk Persamaan Panas Dua Dimensi

Dalam subbab ini akan diperlihatkan hasil dari permasalahan panas dua

dimensi, yang telah disimulasikan dengan menggunakan program MATLAB.

Hasil simulasi tersebut ditunjukkan dalam Gambar 4.1.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 61: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

47

Gambar 4.1 Hasil simulasi dari penyelesaian persamaan panas dua dimensi

dengan menggunakan metode beda hingga.

Gambar di atas merupakan penyelesaian dari persamaan panas melalui plat

dimensi 1x1 dengan material perak yang mempunyai , , dan

. Penyelesaian ini berdasarkan kondisi batas ,

, , dan nilai awal . Untuk

mencapai suhu steady, plat membutuhkan waktu setidaknya 1070 detik. Sebagai

catatan, dalam simulasi di atas, digunakan , , dan

. Di sini, titik A (0.25, 0.25) diberi warna merah, titik B (0.5, 0.5) diberi

warna hijau, dan titik C (0.75, 0.75) diberi warna biru.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 62: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

48

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

Bab ini merupakan bab terakhir dari tugas akhir ini. Dalam bab ini, subbab

yang ada yaitu kesimpulan dan saran.

A. Kesimpulan

Perpindahan panas merupakan suatu proses, dimana perpindahan energi

tersebut mengalir dari suhu yang tinggi ke suhu yang lebih rendah. Proses

perpindahan panas tersebut dapat diketahui dengan melihat distribusi suhunya.

Perhitungan distribusi suhu diperlukan persamaan diferensial, solusi persamaan

diferensial dapat dicari dengan berbagai macam metode. Namun demikian, pada

tugas akhir ini metode yang digunakan adalah metode beda hingga. Pada BAB III

dibahas tentang solusi dari permasalahan panas satu dimensi, dimana bahan

penelitiannya adalah batang homogen. Penampang batang homogen satu dimensi

ini memiliki panjang interval yang berhingga dan titik-titik tertentu telah diketahui

suhunya. Pada BAB IV dibahas tentang solusi dari permasalahan panas dua

dimensi, bahan penelitiannya adalah plat perak. Perhitungan pada BAB III dan

BAB IV dilakukan dengan cara mengolah nilai dari titik-titik yang telah diketahui,

untuk mendapatkan nilai di titik-titik selanjutnya. Perhitungan tersebut

selanjutnya disimulasikan menggunakan program MATLAB. Berdasarkan

perhitungan manual ataupun menggunakan program, hasil analisis yang diperoleh

adalah semakin banyak interval yang digunakan maka distribusi suhu semakin

akurat. Namun demikian, hal tersebut memerlukan selang waktu perhitungan

komputasi yang cukup lama.

B. Saran

Tugas akhir ini membahas tentang penyelesaian masalah konduksi panas

pada media homogen satu dimensi dan dua dimensi. Dalam tugas akhir ini,

penyelesaian masalah konduksi panas tersebut diselesaikan dengan menggunakan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 63: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

49

metode beda hingga. Untuk program MATLAB dua dimensi hanya dikerjakan

menggunakan metode beda maju terhadap waktu satu langkah (metode Euler).

Penulis mengharapkan pada waktu yang akan datang, akan ada yang melanjutkan

tugas akhir ini dengan menggunakan metode lain yang lebih akurat. Untuk

program MATLAB dua dimensi bisa dicoba menggunakan metode Runge-Kutta

orde kedua terhadap waktu.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 64: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

50

DAFTAR PUSTAKA

Darmawijaya, S. (2011). Barisan dan Deret. Yogyakarta: Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Gadjah Mada.

Mohamed, A.M. (2016). Heat Diffusion in 2D Square Plate Using Finite

Difference Method with Steady-State Solution. Numerical Analysis-Course

Project. (https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/55058-

2d-heat-equation-using-finite-difference-method-with-steady-state-solution)

Munir, R. (2008). Metode Numerik. Bandung: Informatika Bandung.

O’Neil, P.V. (2014). Beginning Partial Differential Equations. New Jersey: John

Wiley & Sons, Inc.

Purcell, E J. (1981). Kalkulus dan Geometri Analitis, edisi ketiga. Jakarta:

Erlangga.

Suparno, P. (2009). Pengantar Termofisika. Yogyakarta: Universitas Sanata

Dharma.

Tarwidi, D. dan Pudjaprasetya, S.R. (2013).Godunov Method for Stefan Problems

with Enthalpy Formulations.East Asian Journal on Applied Mathematics,

3(2): 107-119.

Thomas, G. B. (2010). Thomas’ Calculus Early Transcendentals. Boston: Pearson

Education.

Wou, K. K. T. (2018). Penyelesaian Masalah Konduksi Panas Pada Media

Heterogen Menggunakan Metode Beda Hingga.Yogyakarta.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 65: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

51

LAMPIRAN

Di bawah ini di lampirkan beberapa program MATLAB yang digunakan

pada saat mengerjakan tugas akhir ini

A. Program Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Satu Dimensi

dengan

1. Contoh kasus dimana ujung-ujung batang kawat homogen dipertahankan

pada suhu 00C.

clc

clear

dx=2;

x=0:dx:60;

n=length(x);

uL=0*x;

uB=0*x;

dt=0.0005*dx;

k=1;

s=k*dt/dx^2;

for i=1:n

if x(i)<=30

uB(i)=10*x(i);

else x(i)>30

uB(i)=-10*x(i)+600;

end

end

plot(x,uB)

hold on

ylim([0 300])

pause(0.1)

tFinal=1;

Nt=tFinal/dt;

for j=1:Nt

uL=uB;

for i=2:n-1

uB(i)=s*(uL(i+1)-2*uL(i)+uL(i-1))+uL(i);

end

uB(1)=0;

uB(n)=0;

plot(x,uB)

title('grafik persamaan panas satu dimensi')

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 66: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

52

xlabel 'x'

ylabel 't'

hold on

grid on

ylim([0 300])

pause(0.1)

t=j*dt;

end

2. Contoh kasus dimana ujung-ujung batang kawat homogen dipertahankan

pada suhu 00C, dengan kondisi suhu awal 100

0C.

clc

clear

close all

dx=2;

x=0:dx:20;

n=length(x);

uL=0*x;

uB=0*x;

dt=0.05*dx;

k=1;

s=k*dt/dx^2;

for i=1:n

uB(i)=100;

end

plot(x,uB)

ylim([0 200])

pause(0.1)

tFinal=100;

Nt=tFinal/dt;

for j=Nt;

uL=uB;

for i=2:n-1

uB(i)=k*s*(uL(i+1)-2*uL(i)+uL(i-1))+uL(i);

end

uB(1)=0;

uB(n)=0;

plot(x,uB)

title('grafik persamaan panas satu dimensi')

xlabel 'x'

ylabel 't'

hold on

grid on

ylim ([0 200])

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 67: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

53

pause(0.1)

t=j*dt;

end

B. Program Metode Beda Hingga untuk Persamaan Panas Dua Dimensi

clear;

close all;

clc;

%% 1-Inputs section

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% Please select your material, enter your parameters and your

initial conditions %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% %%% -- Aluminum -- %

** Uncomment if needed ** % name=('Aluminium'); %

Material name % conductivity = 204.3; %

thermal conductivity (j/m.C.sec) % spacific_heat = 910; %

specific heat (j/kg.C) % denisty = 2700.0; %

density (kg/m^3)

% %%% -- Copper -- %

** Uncomment if needed ** % name=('Copper'); %

Material name % conductivity = 401; %

thermal conductivity (W/m.K) % spacific_heat = 390; %

specific heat (J/kg K) % denisty = 8940; %

density (kg/m^3)

%%% -- Silver -- name=('Silver'); %

Material name conductivity = 629; %

thermal conductivity (W/m.K) spacific_heat = 233; %

specific heat (J/kg K) denisty = 10490; %

density (kg/m^3)

% %%% -- Custom Material -- %

** Uncomment and enter your values if needed **

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 68: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

54

% name=('Custom Material'); %

Material name % conductivity = ; %

thermal conductivity (W/m.K) % spacific_heat = ; %

specific heat (J/kg K) % denisty = ; %

density (kg/m^3)

%% Lx= 1; % plate width (m) Ly= 1; % plate length (m) Nx=40; % nodes in x direction Ny=40; % nodes in y direction

T_initial= 100;%0 % Initial temperature in all

nodes ( the whole plate ) T_east = 100;%150 % temperature on the upper

side ( at y=0 "Dirichlet Conditions" ) T_west = 100;%300 % temperature on the lower

side ( at y=Ly "Dirichlet Conditions" ) T_north = 100;%50 % temperature on the left

side ( at x=0 "Dirichlet Conditions" ) T_south = 0;%100 ; % temperature on the right

side ( at x=Lx "Dirichlet Conditions" )

t_end=100 ; % final time for visual

simulation (sec) dt=0.6 ; % time step (1 sec)

tolerence = 0.5; % tolerence for numerical

simulation (0.5 deg Celesius) tolerence_ss=0.001; % tolerence for steady state

section (0.1 deg Celesius)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% From here, You don't need to modify

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% 2- Constants Section

k=1;

% iteration counter err_SS_max(k)=1;

% initial error err_SS_min(k)=1;

% initial error dx=Lx/Nx;

% delta x dy=Ly/Ny;

% delta y

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 69: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

55

n_time=round(t_end/dt);

% number of iterrations for time alpha = conductivity/(spacific_heat*denisty);

% alpha (1/sec) T_max=max([T_east T_west T_north T_south T_initial]);

% Max T to set axes limits in plotting T_min=min([T_east T_west T_north T_south T_initial]);

% Min T to set axes limits in plotting Solution_type=questdlg('Which method you want to solve the time

derivative with ?','Question','Euler','2nd order Runge-

Kutte','Euler'); % solve with 2nd order

Runge Kutte in time or 2 to solve with Euler

if dt<= 1/(2*alpha*((1/dx^2)+(1/dy^2)))

% test the stability condition else fprintf('Error, the stability condition is not met\nPlease

return to "Inputs Section" and choose a "dt" smaller than %f

\n',1/(2*alpha*((1/dx^2)+(1/dy^2)))) return end message=msgbox('Your computer is now solving the problem, Please

wait..... '); % Busy message % ----------------- Initial Conditions for finite difference

section --------------- T=zeros(Nx+2,Ny+2,75000); % set max

iterations 75,000 due to memory limitations (T variable takes

maximum 1GB in memory) T(:,1,:)=T_south; T(:,Ny+1,:)=T_north; T(:,Ny+2,:)=T_north; % Redundant, it

has no effect in calculations but is required in plotting

section T(Nx+1,:,:)=T_east; T(Nx+2,:,:)=T_east; % Redundant, it

has no effect in calculations but is required in plotting

section T(1,:,:)=T_west; T(:,:,1)=T_initial; % ------------------- Initial Conditions for steady state

section ------------------- Tss=zeros(Nx+2,Ny+2); Tss2=zeros(Nx+2,Ny+2); Tss(:,1)=T_south; Tss2(:,1)=T_south; Tss(:,Ny+1)=T_north; Tss2(:,Ny+1)=T_north; Tss(:,Ny+2)=T_north; Tss2(:,Ny+2)=T_north; %

Redundant, it has no effect in calculations but is required in

plotting section Tss(Nx+1,:)=T_east; Tss2(Nx+1,:)=T_east; Tss(Nx+2,:)=T_east; Tss2(Nx+2,:)=T_east; %

Redundant, it has no effect in calculations but is required in

plotting section Tss(1,:)=T_west; Tss2(1,:)=T_west;

%% 3- Steady-State section

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 70: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

56

while err_SS_max(k)>=tolerence_ss || err_SS_min(k)>=tolerence_ss

for i=2:Nx %

looping for j=2:Ny Tss2(i,j)=0.25*(Tss(i+1,j)+Tss(i,j+1)+Tss(i-

1,j)+Tss(i,j-1)); end end k=k+1;

% update k err_SS_max(k)=abs(max(max(Tss2-Tss)));

% calculate error err_SS_min(k)=abs(min(min(Tss2-Tss)));

% calculate error Tss=Tss2;

% update T end

%% 4- Finite difference section (Using 2nd order Runge Kutte or

Euler in time)

k=1; switch Solution_type case'2nd order Runge-Kutte' err_R_k_max(k)=100; % initial

error err_R_k_min(k)=100; % initial

error while err_R_k_max(k)>=tolerence || err_R_k_min(k)>=tolerence for i=2:Nx for j=2:Ny k1=alpha*(((T(i-1,j,k)-

2*T(i,j,k)+T(i+1,j,k))/dx^2)+((T(i,j-1,k)-

2*T(i,j,k)+T(i,j+1,k))/dy^2)); Tk=T(:,:,k)+k1*dt; k2=alpha*(((Tk(i-1,j)-

2*Tk(i,j)+Tk(i+1,j))/dx^2)+((Tk(i,j-1)-

2*Tk(i,j)+Tk(i,j+1))/dy^2)); T(i,j,k+1) =T(i,j,k)+(dt/2)*(k1+k2); end end k=k+1; err_R_k_max(k)=abs(max(max(T(:,:,k)-Tss)));

%calculate error err_R_k_min(k)=abs(min(min(T(:,:,k)-Tss)));

%calculate error if round(err_R_k_max(k),5)==round(err_R_k_max(k-1),5) &&

err_R_k_max(k)~= 0 % Test solution convergence errordlg('The solution is not converging, Please choose a

larger tolerence','Tolerence Error'); close(message) return

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 71: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

57

end if round(err_R_k_min(k),5)==round(err_R_k_min(k-1),5) &&

err_R_k_min(k)~= 0 % Test solution convergence errordlg('The solution is not converging, Please choose a

larger tolerence','Tolerence Error'); close(message) return end end

case'Euler' err_E_max(k)=100; % initial error err_E_min(k)=100; % initial error while err_E_max(k)>=tolerence || err_E_min(k)>=tolerence for i=2:Nx for j=2:Ny T(i,j,k+1) =T(i,j,k)+dt*alpha*(((T(i-1,j,k)-

2*T(i,j,k)+T(i+1,j,k))/dx^2)+((T(i,j-1,k)-

2*T(i,j,k)+T(i,j+1,k))/dy^2)); end end k=k+1; err_E_max(k)=abs(max(max(T(:,:,k)-Tss)));

%calculate error err_E_min(k)=abs(min(min(T(:,:,k)-Tss)));

%calculate error if round(err_E_max(k),5)==round(err_E_max(k-1),5) &&

err_E_max(k)~= 0 % Test solution convergence errordlg('The solution is not converging, Please choose a

larger tolerence','Tolerence Error'); close(message) return end if round(err_E_min(k),5)==round(err_E_min(k-1),5) &&

err_E_min(k)~= 0 % Test solution convergence errordlg('The solution is not converging, Please choose a

larger tolerence','Tolerence Error'); close(message) return end end

case [] close(message) msgbox('Error, Please re-run the code and choose Euler or

2nd order Runge-Kutte to continue the solution') return end T=T(:,:,1:k); %

delete the unused assigned zero layers SStime=k*dt; %

steady state time close(message) %

close the busy message

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 72: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

58

%% 5- Printed results section

fprintf('This is the solution of the heat equation through out a

plate of diamensions %i X %i of material %s \n',Lx,Ly,name); fprintf('The solution is based on "Dirichlet Boundry

Conditions" with initial values \n') fprintf('T(x,0,t)=%i , T(x,%i,t)=%i , T(0,y,t)=%i , T(%i,y,t)=%i

, T(x,y,0)=%i \n',T_south,Ly,T_north,T_west,Lx,T_east,T_initial) fprintf('The plate takes %i seconds to reach steady-state

temperature with tolerence %0.2f \n',round(SStime),tolerence); fprintf('Now, Simulation is running with final time %i seconds

and step %0.2f second \n',t_end,dt)

%% 6- Plotting section

x=zeros(1,Nx+2);y=zeros(1,Ny+2); %Generate the plate for i = 1:Nx+2 x(i) =(i-1)*dx; end for i = 1:Ny+2 y(i) =(i-1)*dy; end

% %%% -------------- Constant plot ----------------

subplot(2,2,3) hold on title(sprintf('Temperature at steady state time : %i seconds

',round(SStime))) surf(x,y,Tss) plot3( Lx/4, Ly/4,T_max,'ko','markerfacecolor','r') % plot red

point plot3( Lx/2, Ly/2,T_max,'ko','markerfacecolor','g') % plot

green point plot3(3*Lx/4,3*Ly/4,T_max,'ko','markerfacecolor','b') % plot

blue point plot3( Lx/4, Ly/4,T_min,'ko','markerfacecolor','r') % plot red

point plot3( Lx/2, Ly/2,T_min,'ko','markerfacecolor','g') % plot

green point plot3(3*Lx/4,3*Ly/4,T_min,'ko','markerfacecolor','b') % plot

blue point cb=colorbar; caxis([T_min T_max]); view(90,-90); xlim([0 Lx+dx]); xlabel('Length'); ylim([0 Ly+dy]); ylabel('Width'); zlim([T_min T_max]); zlabel('Temprature'); drawnow hold off

subplot(2,2,4) hold on

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 73: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

59

title(sprintf('Temperature at steady state time : %i seconds

',round(SStime))) scatter(k,Tss(floor(Nx/4),floor(Ny/4)),'ko','markerfacecolor','r

'); val=(sprintf(' T = %0.2f ',Tss(floor(Nx/4),floor(Ny/4)))); text(k,Tss(floor(Nx/4),floor(Ny/4)),val,'HorizontalAlignment','L

eft'); scatter(k,Tss(floor(Nx/2),floor(Ny/2)),'ko','markerfacecolor','g

'); val=(sprintf(' T = %0.2f ',Tss(floor(Nx/2),floor(Ny/2)))); text(k,Tss(floor(Nx/2),floor(Ny/2)),val,'HorizontalAlignment','r

ight'); scatter(k,Tss(floor(3*Nx/4),floor(3*Ny/4)),'ko','markerfacecolor

','b'); val=(sprintf(' T = %0.2f

',Tss(floor(3*Nx/4),floor(3*Ny/4)))); text(k,Tss(floor(3*Nx/4),floor(3*Ny/4)),val,'HorizontalAlignment

','Left'); axis tight; xlabel('Time Iterations'); ylim([T_min T_max]); ylabel('Temperature'); legend('Red Point','Green Point ','Blue Point

','Location','northwest') drawnow hold off

%%% ------------ Animated plot ----------

for j=1:n_time

subplot(2,2,1) surf(x,y,T(:,:,j)) hold on title(sprintf('Temperature at time : %i seconds ',round(j*dt))) plot3( Lx/4, Ly/4,T_max,'ko','markerfacecolor','r') % plot red

point plot3( Lx/2, Ly/2,T_max,'ko','markerfacecolor','g') % plot

green point plot3(3*Lx/4,3*Ly/4,T_max,'ko','markerfacecolor','b') % plot

blue point plot3( Lx/4, Ly/4,T_min,'ko','markerfacecolor','r') % plot red

point plot3( Lx/2, Ly/2,T_min,'ko','markerfacecolor','g') % plot

green point plot3(3*Lx/4,3*Ly/4,T_min,'ko','markerfacecolor','b') % plot

blue point cb=colorbar; caxis([T_min T_max]); view(90,-90); xlim([0 Lx+dx]); xlabel('Length'); ylim([0 Ly+dy]); ylabel('Width'); zlim([T_min T_max]); zlabel('Temprature'); drawnow hold off

subplot(2,2,2) hold on

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 74: PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI … · PENYELESAIAN PERSAMAAN PANAS SATU DAN DUA DIMENSI DENGAN MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi

60

title(sprintf('Temperature at time : %i seconds ',round(j*dt))) scatter(j,T(floor((Nx+2)/4),floor((Ny+2)/4),j),'r.'); scatter(j,T(ceil((Nx+2)/2),ceil((Ny+2)/2),j),'g.'); scatter(j,T(ceil(3*(Nx+2)/4),ceil(3*(Ny+2)/4),j),'b.'); axis tight; xlabel('Time Iterations'); axis tight; ylabel('Temperature'); legend('Red Point','Green Point ','Blue Point

','Location','northwest') drawnow hold off

end

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI