BAB IV · Web viewPersamaan-persamaan pada contoh di atas selanjutnya dapat dikelompokkan ke dalam...
Transcript of BAB IV · Web viewPersamaan-persamaan pada contoh di atas selanjutnya dapat dikelompokkan ke dalam...
BAB VPERSAMAAN DIFFERENSIAL LINEAR TINGKAT TINGGI
5.1 Bentuk Umum
Persamaan differensial linear tingkat tinggi disebut pula sebagai
persamaan differensial linear tingkat-n. Secara umum dinyatakan dalam
bentuk:
P + P + P + P + ... + Pdxdy + P y = Q(x)
Dengan P 0, P , P , P , ... , P , P adalah fungsi atau konstanta.
karena dxdy = Dy, = D y, ..., = D y, = D y
maka persamaan
P + P + P + P + ... + Pdxdy + P y = Q(x)
dapat dinyatakan dengan
P D y + P D y + P 2 D 2n y + P 3 D y + ... + P Dy + P y = Q(x)
(P D + P D + P 2 D 2n + P 3 D + ... + P D + P ) y = Q(x)
F(D) y = Q(x)
Jika bentuk F(D)y = Q(x) dan Q(x) = 0, maka bentuk umumnya menjadi
P D y + P D y + P 2 D 2n y + P 3 D y + ... + P Dy + P y = 0.
Pada kasus Q(x) = 0 maka F(D)y = 0 disebut persamaan differensial
linear homogen tingkat tinggi, sedangkan jika Q(x) 0 maka F(D)y =
Q(x) disebut persamaan differensial linear tidak homogen tingkat tinggi.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 102
Contoh
1. + 2 - 15y = 0
(D + 2D – 15)y = 0
y’’ + 2y’ -15y = 0
2. ( -y)( -2y) = e
(D-1)(D-2) y = e
(y’-y)(y’-2y) = e
3. (D + 9) y = x Cos x
y’’ + 9y = x Cos x
+ 9y = x Cos x
4. (x+2) - (x+2) + y = (3x+4)
(x+2) y’’ - (x+2) y’ + y = (3x+4)
(x+2) D y - (x+2) Dy + y = (3x+4)
5. (x D + 3x D - 2xD + 2) y = 0
x y’’’ + 3x y’’ - 2xy’ + 2y = 0
x + 3x - 2x + 2y = 0
6. (x D + 2xD - 2) y = x Ln x + 3x
x + 2x - 2y = x Ln x + 3x
x y’’’ + 2x y’ - 2y = x Ln x + 3x
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 103
Persamaan-persamaan pada contoh di atas selanjutnya dapat
dikelompokkan ke dalam persamaan homogen dan tidak homogen.
Persamaan pada contoh 1 disebut persamaan differensial linear
homogen tingkat dua dengan koefisien konstan, persamaan pada
contoh 2 disebut persamaan differensial linear tidak homogen tingkat
tiga dengan koefisien konstan, persamaan pada contoh 3 disebut
persamaan differensial linear tidak homogen tingkat dua dengan
koefisien konstan, persamaan pada contoh 4 disebut persamaan
differensial linear tidak homogen tingkat dua dengan koefisien variabel,
persamaan pada contoh 5 adalah persamaan differensial linear
homogen tingkat tiga dengan koefisien variabel, sedangkan persamaan
pada contoh 6 adalah persamaan differensial linear tidak homogen
tingkat 3 dengan koefisien variabel.
5.2 Selesaian Umum Persamaan Differensial Linear Tingkat
Tinggi
Misal y = y (x) adalah selesaian persamaan
P + P + P + P + ... + Pdxdy + P y = Q(x)
Maka y = C y (x) adalah selesaian juga, dimana C adalah sebarang
konstanta.
Selanjutnya jika y = y (x), y = y (x) , y = y (x) , ... merupakan selesaian
umum
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 104
P + P + P + P + ... + Pdxdy + P y = Q(x),
maka
y = C y (x) + C y (x) + C y (x) + ... juga selesaian persamaan.
Himpunan selesaian y = y (x), y = y (x) , y = y (x) , ... y= y (x)
disebut bebas liner jika persamaan C y + C y + C y
+ ... C y = 0 dimana C adalah konstanta dan terjadi hanya apabila C
= C = C = ... = C = 0.
Syarat perlu dan cukup bahwa n selesaian merupakan bebas
linear yaitu jika diterminan matrik ordo n x n yang masing-masing
sukunya adalah selesaian dimaksud sampai turunan ke (n-1) 0.
Dengan kata lain y = C y (x) + C y (x) + C y (x) + ... + C y (x) adalah
primitif. Jika R(X) suatu selesaian khusus maka selesaian khususnya
persamaan differensial linear tingkat tinggi adalah
y = C y (x) + C y (x) + C y (x) + ... + C y (x) + R(x).
Untuk lebih memudahkan cara menentukan selesaian persamaan
differensial linear tinggi, maka dalam menentukan selesaian tersebut
dikelompok menjadi 1) persamaan differensial linear homogen tingkat
tinggi koefisien konstan, 2) persamaan tidak homogen dengan koefisien
konstan, 3) persamaan homogen dengan koefisien variabel, dan 4)
persamaan tidak homogen dengan koefisien variabel.
a. PD Homogen dengan Koefisien Konstan
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 105
Sebagaimana telah disebutkan pada awal bab V, bahwa
persamaan differensial linear homogen tingkat tinggi dengan koefisien
konstan dinyatakan dalam bentuk umum:
P + P + P + P + ... + Pdxdy + P y = 0
Atau
(P D + P D + P 2 D 2n + P 3 D + ... + P D + P ) y = 0
atau
F(D) y = 0, dengan P 0, P , P , P , ... , P , P adalah konstan.
F(D) disebut fungsi operator differensial.
Selanjutnya jika F(D) dapat difaktorkan, maka F(D) dapat
dinyatakan dalam bentuk (D-m )(D-m )(D-m ) ... (D-m ) = 0. sebaliknya
jika tidak dapat difakktorkan maka ditulis sebagai F(D) = 0.
Bentuk (D-m )(D-m )(D- ) ... (D-m ) = 0 dinamakan persamaan
karakteristik dengan m , m , m , ... m disebut akar-akar persaman
karakteristik. Perlu diingat bahwa tidak penting menulis persamaan
karakteristik, karena akar-akarnya dapat dibaca secara langsung dari
fungsi operator differensial.
Persamaan karakteristik f(m) = 0 setelah ditentukan akar-
akarnya, untuk menentukan selesaian umum persaamaan
P + P + P + P + ... + Pdxdy + P y = 0
ditentukan dengan y = Ce dimana m akar persamaan karakteristik
yang telah diketahui. Karena m , m , m , ... m adalah akar-akar
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 106
persamaan karakteristik, maka jenis bilangan real dan tidak real. Untuk
lebih jelasnya diberikan penjelasan sebagai berikut:
1. Andaikan m m m ... m bilangan real maka primitinya
y = C e + C e + C e + ... + C e
sehingga melibatkan n selesaian yang bebas linear dan n konstanta
sebarang.
Jika y = C e + C e + C e + ... + C e adalah selesaian
maka
y = C e , y = C e , y = C e , ... , dan y = C e juga selesaian.
Contoh
Tentukan selesaian umum persamaan differensial linear berikut.
a. + 5 + 6y = 0
Jawab
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
(D + 5D + 6)y = 0
Sehingga persamaan karakteristik m + 5m + 6 = 0
(m+2)(m+3) = 0
akar-akarnya m = -2 dan m = -3, keduanya berberda.
Primitif persamaan di atas adalah
y = C e + C e .
Karena Y = C e + C e adalah selesaian maka Y = C e dan Y
= C e
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 107
Juga selesaian.
b. - 4 + + 6 = 0
Jawab
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
(D - 4D + D + 6D) y = 0
Persamaan karakteristik m - 4m + m + 6m = 0
m(m - 4m + m + 6) = 0
m(m+1)(m-2)(m-3) = 0
Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik
m = 0, m = 1, m = 2, dan m = 3
Sehingga selesaian persamaan (D - 4D + D + 6D) y = 0 adalah
y = C e + C e + C e + C e
= C + C e + C e + C e
Karena y = C + C e + C e + C e selesaian umum, maka
y = C , y = C e , y = C e , dan y = C e juga selesaian.
2. Andaikan m = m = m = ... = m = m Real maka primitinya
y = (C1 + C2x + C x + ... + C x ) e
dalam hal ini selesaian persamaan melibatkan konstanta sebarang
dan m kali hubungan diantaranya.
Contoh
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 108
Selesaikan persamaan differensial linear berikut
a. - 4 + 4y = 0
Jawab
Persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk
(D - 4D + 4)y = 0
(D-2)(D-2)y = 0
Sehingga akar persamaan karakteristiknya (m-2)(m-2) = 0
Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m = m = 2 (sama)
Selesaian persamaan di atas adalah
y = (C + C x) e
Karena y = (C + C x) e maka y = C e dan y = C e juga
selesaian
b . + 6 + 9y = 0
Jawab
Persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk
(D 2 + 6D + 9)y = 0
(D+3)(D+3)y = 0
Sehingga persamaan karakteristik (m+3)(m+3) = 0
Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m = m = -3 (sama)
Akibatnya primitif persamaan di atas adalah
y = (C + C x) e
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 109
Karena y = (C + C x) e selesaian maka y = C e dan y = C xe
juga selesaian.
c. - 6 + 12 - 8 = 0
Jawab
Bentuk lain persamaan di atas adalah
D ( D - 6D + 12D – 8)y = 0
D ( D – 2) y = 0
Sehingga persamaan karakteristiknya
m ( m – 2) = 0,
Akar-akar persamaan karakteristiknya m = m = 0, dan m = m = m
= 2
Akibatnya selesaian umum persamaan differensial di atas adalah
y = (C + C x) e + (C + C x + C x ) e x2
= (C + C x) + (C + C x + C x ) e x2
Karena Y = (C + C x) + (C + C x + C x ) e selesaian, maka
y = C , y = C x , y = C e , y = C xe , dan y = C x e juga selesaian
persamaan.
3. Andaikan terjadi kombinasi hubungan antar akar persamaan
karakteristik dalam bentuk 1 dan 2 di atas yaitu:
m m = m = m ... m Real maka primitifnya
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 110
y = C e + (C + C x + C X )e + ... + C e .
Contoh
Tentukan selesaian persamaan
a. (D - D - 9D 2 - 11D – 4)y = 0
Jawab
Persamaan di atas mempunyai persamaan karakteristik
m - m - 9m 2 - 11m – 4 = 0
(m+1)(m+1)(m+1)(m-4) = 0
Akar persamaan karakteristik m = m = m = -1 dan m = 4
Sehingga selesaian umum persamaan di atas adalah
Y = (C 1 + C 2 x + C x ) e + C e
Karena Y = (C 1 + C 2 x + C x ) e + C e selesaian maka
Y = C1 e , y = C 2 xe , y = C x 2 e , dan y = C e juga selesaian.
b. - 6 + 12 - 8 = 0
Jawab
Bentuk lain persamaan di atas adalah
(D - 6 + 12D - 8D) y = 0
D(D-2)(D-2)(D-2)y = 0
Persamaan karakteristiknya m(m-2)(m-2)(m-2) = 0
Akar-akar persamaan karakteristik m = 0 dan m = m = m = 2
Sehingga selesaian umum diperoleh y = C 1 + (C 2 + C x +C x ) e
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 111
Karena y = C 1 + (C 2 + C x +C x ) e x2 maka
y = C1 , y = C 2 e x2 , y = C xe x2 , dan y = C x e x2 juga selesaian.
4. Jika akar-akar persamaan karakteristik tidak real , misal
m12 = a bi, maka diperoleh
y = C e C Ae
= e ( C e bix + C e )
Karena e = 1 + x + + ..., maka:
e
= 1 + (bix) + dan
e
sehingga
y = C e C Ae
= e
Contoh
a. (D - 2D + 5)y = 0
Jawab
Persamaan karakteristiknya m - 2m + 5 = 0
Akarnya =
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 112
= 1 2i
m = 1 + 2i dan m = 1 – 2i
Selesaian umum persamaan y = e (C Cos 2x + C Sin 2x)
b. (D + 1)(D + D +1)(D+3)y = 0
Jawab
Persamaan karakteristik persamaan di atas adalah
(m + 1)(m + m +1)(m+3) = 0
Akar-akarnya m = i, m = , m = 3
Selesaian umum persamaan
Y = (C Cos x + C Sin x) + e (C Cos + C Sin ) + C e
5. Akar-akar persamaan karakteristika gabungan real dan tidak real,
maka selesaian umumnya menggunakan perpaduan bentuk 1, 2, 3,
dan 4 di atas.
Contoh
Tentukan selesaian umum perasamaan differensial
a. (D + 4D )y = 0
Jawab
Persamaan karakteristik PD di atas adalah (m + 4m ) = 0.
m (m + 4) = 0
akar-akarnya adalah m = m = 0, dan m =
2i,
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 113
Diperoleh selesaian umum (D + 4D )y = 0 adalah
y = (C + C x) + (C Cos 2x + Sin 2x)
b. (D - 16)y = 0.
Persamaan karakteristiknya m - 16 = 0
(m-2)(m+2)(m + 4) = 0
Sehingga akar-akar persamaan karakteristik m = 2, m = -2 dan m
= 2i,
Primitif persamaannya adalah
y = (C + C x)e + (C Cos 2x + Sin 2x)
5.3 Soal-soal
Tentukan selesaian umum persamaan differensial linear di bawah ini
1. (y’’’ + y’’ – 2y) = 0
2. (D – 6D + 12D 2 – 8D) y = 0
3. (D 4 + D )y = 0
4. (D – 6D + 13D – 12D + 4)y = 0
5. (D + 9D + 24D + 16) y = 0
6. (D + D )y = 0
7. (y’’’ + 64y) = 0
8. (y - 15y + 85y’’’ – 225y’’ + 274y’ – 120) = 0
9. (y’’’ + y’’ + 4y’ + 4y) = 0
10. (D - 16) y = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 114
11. (D - 2D + 5) y = 0
12. (D + 5D - 36)Y = 0
13. y - 5y + 7y’’’ + y’’ – 8y’ + 4y = 0
14. y’’’ – 3y’’ + 3y’ – y = 0
15. (y’’ – 4y’ + 4y)(y’ + 3y) = 0
b. PD Tidak Homogen dengan Koefisien Konstan
Bentuk umum persamaan differensial linear tidak homogen
dengan koefisien konstan adalah
P + P + P + P + ... + Pdxdy + P y = Q(x)
Dimana P 0, P , P , P , ... , P , P adalah konstanta, dan Q(x) 0
Contoh
1. - 3 + 2y = 10e (PDLtH tingkat-2 derajat-1 koefisien konstan)
2. (D - 4D +4)(D+3) y = 5e (PDLtH tingkat-3 derajat-1, koefisiean
konstan)
3. (D + 2D)y = Cos 3x (PDLtH tingkat-2 derajat-1, koefisien konstan)
Selesaian persamaan differensial linear tidak homogen dinyatakan
dengan
Y = y(C) + y(p)
y(c) disebut fungsi komplemen dan merupakan selesaian dari F(D)y = 0,
y(p) disebut selesaian khusus (particular solution).
Dengan demikian untuk menentukan selesaian
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 115
P + P + P + P + ... + Pdxdy + P y = Q(x)
Dengan P 0, P , P , P , ... , P , P adalah konstanta, dan Q(x) 0
Tinggal mencari y(c).
Untuk mencari y(p) dibedakan menjadi beberapa jenis yaitu
1) Menggunakan metode invers fungsi operator,
2) Metode sebagai jumlah n pecahan parsial,
3) Metode variasi paramater,
4) Metode koefisien tak tentu, dan
5) Metode integral khusus dimana Q(x) mempunyai bentuk yang sangat
spesifik.
a) Metode invers fungsi operator
Misal F(D)y = Q(x) adalah persamaan differensial linear tidak homogen
dengan koefisien konstan, maka selesaiannya Y = y(C) + y(p).
Setelah ditentukan y(c), maka
F(D)y = Q(x)
y = Q(x)
misal F(D) = (D-m )(D-m )(D-m ) ... (D-m ), maka
y = Q(x)
misal u = ------(PDL tingkat-1)
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 116
v = --------(PD Linear tingkat-1)
.......................
Z = ----------(PD Linear tingkat-1) yang
selesaiannya telah dijelaskan pada bab III
(D-m )u = Q(x)
untuk m m m ... m
y(p) = e ... (dx)
Jika m = m = m = ... = m maka
y(p) = e ... (dx)
b) Metode penjumlahan n pecahan parsial.
y = Q(x)
dinyatakan dalam bentuk penjumlahan n pecahan parsial yaitu
y = ( + + + ... + ) Q(x)
y = Q(x) + Q(x) + Q(x) + ... + Q(x)
dan merupakan persamaan differensial linear tingkat 1 yang
selesaiannya sudah dibahas pada bab III.
c. PD Homogen dengan Koefisien Variabel
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 117
Bentuk umum persamaan differensial lineat homogen dengan koefisien
konstan adalah
P + P + P + P + ... + Pdxdy + P y = Q(x)
Dimana P 0, P , P , P , ... , P , P adalah fungsi, dan Q(x) = 0
Contoh
1. (x D + 3x D - 2xD + 2) y = 0
2. (x+2) - (x+2) + y = 0
d. PD Tidak Homogen dengan Koefisien Variabel
Bentuk umunya dinyatakan dengan
P + P + P + P + ... + Pdxdy + P y = Q(x)
Dimana P 0, P , P , P , ... , P , P adalah fungsi, dan Q(x) 0.
Contoh
1. (x+2) - (x+2) + y = (3x+4)
2. (x D + 3x D - 2xD + 2) y = 1-x
3. (x D + 2xD - 2) y = x Ln x + 3x
5.3 Soal-soal
Tentukan selesaian persamaan di bawah ini:
1. (D2 – 4D + 3) y = 1
2. (D + D – 2)y = 2(1 + x –x )
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 118
3. (D – 3D +2) y = sin e
4. (D – 1) y = sin x = ½ ( 1 – cos 2x)
5. (D2 – 1) y = (1 + e )
6. x y’’’ + xy’ – y = 3x
7. xy’’ – (x+2)y’ + 2y = 0
8. (1+x )y’’ – 2xy’ + 2y = 2
9. (2x+1) y’ – 2(2x+1)y’ – 12y = 6x
10. [(x+1) D + (x+1)D – 1]y = ln (x+1) + (x-1)
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 119