Penurunan Rumus Deret Fourier
6
Penurunan Rumus Deret Fourier Wikaria Gazali Universitas Bina Nusantara Abstrak Pada makalah ini penulis mengemukakan penurunan rumus Deret Fourier yang berasal dari Aljabar Linear Elementer, yaitu Penghampiran Terbaik ; metode kuadrat terkecil di mana rinciannya akan dijabarkan pada makalah ini hingga diperoleh rumus Deret Fourier : ∑ ∞ = + + = 1 0 sin cos 2 ) ( n n n L x n b L x n a a x f π π Pendahuluan Penurunan rumus Deret Fourier berasal dari Aljabar Linear Elementer, yaitu Penghampiran Terbaik (metode kuadrat terkecil) di mana terlebih dahulu dikenalkan beberapa dalil di bawah ini. Dalil Proyeksi Jika W ruang bagian linear berdimensi berhingga dari ruang berperkalian skalar V, maka setiap V v ∈ dapat dinyatakan dalam tepat satu cara dengan , 2 1 w w v + = , 1 W w ∈ 2 w orthogonal pada W. Dalil Penghampiran Terbaik Jika :( i) W ruang bagian linear berdimensi berhingga dari ruang berperkalian skalar V, dan (i i) V v ∈ dan w v proyeksi orthogonal v pada W, maka W w ∈ 2200 dengan w v w ≠ berlaku w - v < v v w - . Arti Ilmu ukur Penghampiran Terbaik di R 3 . Mencari titik dengan vektor posisi W v w ∈ (ruang bagian linear dari V ) yang jaraknya dengan titik dengan vektor posisi V v ∈ sekecil mungkin jaraknya terdekat itu ialah w v v - . Arti Penghampiran Terbaik pada Umumnya
-
Upload
deny-purwita-putra -
Category
Documents
-
view
383 -
download
6
Transcript of Penurunan Rumus Deret Fourier
Penurunan Rumus Deret Fourier
Wikaria Gazali Universitas Bina Nusantara
Abstrak
Pada makalah ini penulis mengemukakan penurunan rumus Deret Fourier yang berasal dari Aljabar Linear Elementer, yaitu Penghampiran Terbaik ; metode kuadrat terkecil di mana rinciannya akan dijabarkan pada makalah ini hingga diperoleh rumus Deret Fourier :
∑∞
=
++=1
0 sincos2
)(n
nn L
xnb
L
xna
axf
ππ
Pendahuluan
Penurunan rumus Deret Fourier berasal dari Aljabar Linear Elementer, yaitu Penghampiran Terbaik (metode kuadrat terkecil) di mana terlebih dahulu dikenalkan beberapa dalil di bawah ini. Dalil Proyeksi Jika W ruang bagian linear berdimensi berhingga dari ruang berperkalian skalar V, maka setiap Vv ∈ dapat dinyatakan dalam tepat satu cara dengan ,21 wwv += ,1 Ww ∈ 2w orthogonal pada W. Dalil Penghampiran Terbaik Jika :( i) W ruang bagian linear berdimensi berhingga dari ruang berperkalian skalar V, dan (i i) Vv ∈ dan wv proyeksi orthogonal v pada W,
maka Ww ∈∀ dengan wvw ≠ berlaku
w-v < vv w− .
Arti Ilmu ukur Penghampiran Terbaik di R3. Mencari titik dengan vektor posisi Wvw ∈ (ruang bagian linear dari V ) yang
jaraknya dengan titik dengan vektor posisi Vv ∈ sekecil mungkin jaraknya terdekat itu
ialah wvv − .
Arti Penghampiran Terbaik pada Umumnya
Mencari Wv ⊂ pada ruang bagian linear berdimensi berhingga W ⊂ V , V ruang berperkalian skalar, yang jaraknya dengan Vv ⊂ sekecil mungkin khususnya : Metode kuadrat terkecil Mencari fungsi dalam bentang linear himpunan fungsi [ ]baCn ,},...,,{ 10 ⊂ϕϕϕ yang
jaraknya dengan [ ]baCf ,∈ sekecil mungkin. Jarak diturunkan dari perkalian skalar
∫=><b
adxxgxfgf )( )( , .
Polinom penghampiran terbaik berpangkat ≤ 2 dengan metode kuadrat terkecil
untuk suatu fungsi [ ]baCf ,∈ ialah 2210)( xaxaaxp ++= dengan
[ ]∫ −b
adxxpxf 2)()( sekecil mungkin.
Mencari polinom penghampiran terbaik itu lebih efisien dengan mencari proyeksi ortogonal f pada P2 terhadap perkalian skalar
∫=><b
adxxgxfgf )( )( ,
Dibentuk dulu basis ortogonal P2 dengan Proses Gram-Schmidt mulai dengan { 1, x, x2}.
Polinom Fourier orde ≤ n adalah polinom Trigonometri penghampiran terbaik orde ≤ n )( nPT dengan metode kuadrat terkecil untuk fungsi f pada [-π,π] atau [0,2π].
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++= nxbxbxbnxaxaxaaxP nnn sin2sinsincos2coscos)( 21210
atau
)sincos()(1
0 ixbixaaxP iii
n ++= ∑∞
=
.
Fungsi f yang didefinisikan pada [-π,π] atau [0,2π] akan dihampiri dengan fungsi )(xPn pada selang itu. )(xPn membentuk ruang bagian linear dari ]2,0[ πC atau
],[ ππ−C , kalau daerah definisi )(xPn dibatasi pada selang-selang itu saja.
Basis orthogonal ruang bagian linear itu adalah B },sin,,2sin,sin,,cos,,2cos,cos,1{ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= nxxxnxxx karena B adalah himpunan orthogonal , maka menurut dalil B bebas linear, jadi merupakan basis untuk nPT , dan adalah basis orthogonal untuk nPT , terhadap perkalian
skalar ∫=><π2
0
)( )( , dxxqxpqp atau ∫−
=><π
π
dxxqxpqp )( )( , .
Untuk mendapatkan basis orthonormal , terlebih dahulu ditentukan panjang masing-masing vektor dalam basis orthogonal itu.
[ ] , 202)1(,1 20
2
0
2
0
2 πππππ
=−===== ∫∫ xdxdxqp
[ ]
[ ]
, )2(.2
1
)}0(0sin.0{cos)}2()2(sin).2({cos2
1
sincos2
1)(coscos 2
0
2
0
2
ππ
πππ
ππ
==
+−+=
+== ∫
ii
iiiii
ixixixi
dxixix
[ ]
[ ]
. )2(.2
1
)}0(0cos.0sin{)}2()2(cos)2(sin{2
1
cossin2
1)(sinsin 2
0
2
0
2
ππ
πππ
ππ
==
+−−+−=
+−== ∫
ii
iiiii
ixixixi
dxixix
Dengan demikian basis orthonormal untuk nPT adalah
,...},...,,,...,,...,,,{
,...sin
,...,2sin
,sin
,...,cos
,...,2cos
,cos
,2
1
21210 nn vvvuuuu
nxxxnxxx
=
=
πππππππ
Polinom Fourier untuk f(x) yaitu Polinom Trigonometri Penghampiran Terbaik untuk f(x) dengan perkalian skalar di atas, dengan memproyeksikan f(x) terhadap basis orthonormal untuk nPT adalah
, ,
,
,
,
,
,
,
,
,
, )( 1
11
11
11
10
00
0 ⋅⋅⋅+><><
+⋅⋅⋅+><><
+⋅⋅⋅+><><
+⋅⋅⋅+><><
+><><
= nnn
nn
nn
n vvv
vfv
vv
vfu
uu
ufu
uu
ufu
uu
ufxP
di mana :
( )
[ ] , 1 )02( 2
1
2
1
2
1
2
1 ,
20
2
0
2
0
22
0
20
2
0
0000
=−==
==
===>< ∫∫∫∫
πππ
πππ
ππππ
x
dxdxdxudxuuuu
( )
, 1 )( 1
cos 1
cos
ix cos
,
2
0
2
2
0
22
0
22
0
22
0
==
==
===><
∫
∫∫∫∫
πππ
πππ
ππππ
dxix
dxix
dxdxudxuuuu iiiii
( )
, 1 )( 1
s 1
s
ixsin
,
2
0
2
2
0
22
0
22
0
22
0
==
==
===><
∫
∫∫∫∫
πππ
πππ
ππππ
dxixin
dxixin
dxdxvdxvvvv iiiii
maka Polinom Fourier tersebut berubah menjadi
, 1
,
1
,
1
,
1
,
1
, )( 1
11
10
0 ⋅⋅⋅+><
+⋅⋅⋅+><
+⋅⋅⋅+><
+⋅⋅⋅+><
+><
= nn
nn v
vfv
vfu
ufu
ufu
ufxP
, ,,,,, )( 111100 ⋅⋅⋅+><⋅+⋅⋅+><⋅+⋅⋅+><⋅+⋅⋅+><+><= nnnn vvfvvfuufuufuufxP
∑∑∞
=
∞
=><+><+><=
1100 ,,, )(
iii
iii vvfuufuufxP ,
di mana :
∫∫ =
=><
ππ
ππ
2
0
2
0
0 )(2
1
2
1 )( , dxxfdxxfuf ,
, 22
)(1
)(2
1
2
1 )(
2
1, 0
2
02
0
2
0
00
adxxf
dxxfdxxfuuf ===
=><
∫∫∫
π
ππ ππππ
di mana , )(1 2
0
0 ∫=π
πdxxfa
πix
ui
cos= ,
, cos )(1
cos
)( ,2
0
2
0∫∫ =
=><ππ
ππdxixxfdx
ixxfuf i
( )
, cos
cos. cos )(1cos
cos )(1
,2
0
2
0
ixa
ixdxixxfix
dxixxfuuf
i
ii
=
=
=>< ∫∫
ππ
πππ
di mana , cos )(1 2
0∫=π
πdxixxfai
πix
vi
sin= ,
, sin )(1
sin
)( ,2
0
2
0∫∫ =
=><ππ
ππdxixxfdx
ixxfvf i
( )
, sin
sin sin )(1sin
sin )(1
,2
0
2
0
ixb
ixdxixxfix
dxixxfvvf
i
ii
=
=
=>< ∫∫
ππ
πππ
di mana . sin )(1 2
0∫=π
πdxixxfbi
Jadi , ,,, )(11
00 ∑∑∞
=
∞
=><+><+><=
iii
iii vvfuufuufxP
, sincos2
)(11
0∑∑
∞
=
∞
=++=
ii
ii ixbixa
axP
( )∑∞
=++=
1
0 sincos2
)(i
ii ixbixaa
xP di mana ni ,...,3,2,1= .
Polinom Fourier itu adalah
( )∑=
++=n
iiin ixbixa
axP
1
0 sin cos2
)(
di mana :
∫=π
π
2
0
0 )(1
dxxfa
∫=π
π
2
0
cos )(1
dxixxfai
∫=π
π
2
0
sin )(1
dxixxfbi , pada interval [ ]π2,0
atau
∫−
=π
ππdxxfa )(
10
∫−
=π
ππdxixxfai cos)(
1
∫−
=π
ππdxixxfbi sin )(
1 , pada interval [ ]ππ ,−
Ambil ππn
ni == dan penyebut L=π , maka
L
ni
π= dan intervalnya [ ]LL,−
sehingga
∫−
=L
L
dxxfL
a )(1
0
∫−
=L
L
n dxL
xnxf
La cos )(
1 π
∫−
=L
L
n dxL
xnxf
Lb sin )(
1 π , pada interval [ ]LL ,−
Dengan demikian Polinom Fourier berubah menjadi: Deret Fourier :
∑∞
=
++=1
0 sincos2
)(n
nn L
xnb
L
xna
axf
ππ di mana ∞= ,...,3,2,1n .
Simpulan
Rumus umum atau model matematika (rumus) dari DERET FOURIER adalah :
∑∞
=
++=1
0 sincos2
)(n
nn L
xnb
L
xna
axf
ππ di mana ∞= ,...,3,2,1n
di mana ∫−
=L
L
dxxfL
a )(1
0 , ∫−
=L
L
n dxL
xnxf
La cos )(
1 π, dan
∫−
=L
L
n dxL
xnxf
Lb sin )(
1 π , pada interval [ ]LL ,−
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Rorres.1994, Elementary Linear Algebra , seventh edition. John Wiley & Sons, Inc
Anton, Howard. 2000, Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 2 , edisi 7. Interaksara
