PENGOLAHAN SINYAL DIGITAL(PSD)

• Transformasi-Z,

• Invers Trans-Z,

• Representasi Sistem (FungsiTransfer, Respon Impuls, Persamaanselisih, Struktur Realisasi)

• Komponen dan Sifat Sistem,

• Analisis Kestabilan Sistem

Pengampu Matakuliah

• Anggunmeka (AGL)

• Ruangan: N203

• Email: anggunmeka@gmail.com

• No HP: 081221691337

• Ratna Astuti Nugrahaeni (NGE)

• Ruangan: N208

• Email: ratnaan@gmail.com

• No HP: 082119753906

Prodi S1-Sistem Komputer

Aturan Perkuliahan

• Keterlambatan kehadiran maksimal 15 menitsetelah kehadiran dosen.

• Keterlambatan pengumpulan tugas akanmengurangi nilai tugas.

• Bobot penilaian:

– Tugas 20%, Kuis 15%

– UTS 30%, UAS 35%

Preview

• Apa itu Transformasi-Z ?

• Kenapa/Kapan kita menggunakantransformasi-Z

• Apa itu Invers Transformasi-Z ? Kapan digunakan?

• Apa yang anda ketahui tentang sistem ?

TRANSFORMASI-Z

Latar Belakang

“Domains of representation ”Domain-n (discrete time) :Sequence, impulse response, persamaan beda

Domain- :Freq. response, spectral representation

Domain-z :Operator, dan pole-zero

Apabila suatu kasus sulit dipecahkan pada suatu domain tertentu, maka transformasi ke domain yang lain akan mudahmenyelesaikannya.

Transformasi-Z Langsung

• Transformasi-Z sinyal waktu diskrit 𝑥(𝑛) didefinisikan sebagaideret pangkat:

• Dimana z adalah variable kompleks.

• Karena transformasi-z adalah deret pangkat tak berhingga, transformasi hanya berlaku untuk nilai-nilai z yang deretnyakonvergen (jumlah dari deret berhingga).

• Daerah konvergensi (ROC) adalah himpunan nilai z agar X(Z) nilainya berhingga.

n

nznxzX )()(

Contoh 1

Tentukan transformasi-Z dari beberapa sinyal di bawah ini:

a. 𝑥1 𝑛 = 𝛿(𝑛)

b. 𝑥2 𝑛 = 𝛿 𝑛 − 𝑘 , 𝑘 > 0

c. 𝑥3 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 𝑘 , 𝑘 > 0

Solusi Contoh 1Jawab:

1.1)()(a. 01

zznzXn

n

k

n

n zzknzX

)()(.b 2

k

n

n zzknzX

)()(c. 3

Contoh 2

• 𝑥1 𝑛 = {1, 2, 5, 7, 0, 1}

𝑋1 𝑧 = 1 + 2𝑧−1 + 5𝑧−2 + 7𝑧−3 + 𝑧−5

• 𝑥2 𝑛 = {1, 2, 5, 7, 0, 1}

𝑋1 𝑧 = 1𝑧2 + 2𝑧1 + 5 + 7𝑧−1 + 𝑧−3

Contoh 3• Tentukan transformasi-Z dari sinyal 𝑥 𝑛 = 𝑢(𝑛)

Jawab:

1:1dimana,1

1

...1)()(

1

1

21

0

zROCzz

zzznuzXn

n

1:,1

1)()()(

1

zROC

zzXnunx

Masih ingat penulisan deret geometri?

a0 + a0.r + a0.r2 + a0.r3 + … = a0

1−r; |r|<1

Apa bedanya dengan deret aritmatika?

Apa ciri-ciri deret geometri?

Sukupertama

Rasio = suku keduadibagi suku pertama

Sukukedua

Rumusderet

geometri

ROC = Region of

convergence

Contoh 4• Tentukan transformasi-Z dari sinyal 𝑥 𝑛 = 𝛼𝑛𝑢(𝑛)

Jawab:

zROCzz

AAAAA

zznuzX

n

n

n

n

n

nn

:1dimana,1

1

1

1...1

)(

1

1

32

0

0

1

0

zROCz

zXnunx n :,1

1)()()(

1

Tabel Fungsi Dasar TZ

Sifat-Sifat TZ

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z

Linieritas

3:,31

1)(3)(

2:,21

1)(2)(

122

111

zROCz

zXnunx

zROCz

zXnunx

n

n

Tentukan transformasi Z dari sinyal

3:32:

651

1

31

4

21

3)()3(4)2(3

21

1

11

zROCzzROC

zz

z

zzZXnunx nn

)()()()()()( 2121 zXbzXazXnxbnxanx

Contoh 5:

)()3(4)2(3 nunx nn

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z

Pergeseran

1:,1

1111

zRROC

zZXnunx x

Tentukan transformasi Z dari sinyal

Jawab:

ZXznnxn0)( 0

Contoh 5:

)3( nunx

1:,1

31

3

13

zRROC

z

zZXzZXnunx x

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z

Time Reversal

1:,1

1111

zRROC

zZXnunx x

Tentukan transformasi Z dari sinyal

Jawab:

Contoh 6:

)( nunx

11:,1

1

1

111

zR

ROCzz

zXnunxx

)()( 1 zXnx

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z

Diferensiasi dalam domain z

Tentukan transformasi Z dari sinyal

Contoh 7:dz

zdXznnx

)()(

)()( nuannx n

azRROCaz

zXnuanx xn

:,

1

1)()()(

111

21

1

21

2

11

11

)(

1

1)()()()(

az

az

az

azz

azdz

dz

dz

zdXzzXnuannx n

21

1

1

)(

az

aznuan n

𝑢

𝑣𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛𝑛𝑦𝑎 =

𝑢′. 𝑣 − 𝑢. 𝑣′

𝑣2

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z

Konvolusi antara dua sinyal

Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n) dengan :

Contoh 8:

)()()()(*)()( 2121 zXzXzXnxnxnx

lainnya

nnxnx

,0

50,1)(1,2,1)( 21

543212

211 1)(21)( zzzzzzXzzzX

)1)(21()()()( 543212121

zzzzzzzzXzXzX

76121 1)()()( zzzzXzXzX

1,1,0,0,0,0,1,1)(*)()( 21 nxnxnx

Latihan Transformasi-Z

• Ubahlah persamaan di bawah ini menjadidomain Z!

• 3n.U(n+3)

• n2.U(n)

• 2-n.U(n-1)

• 10-n.(U(n)-U(n-2))

INVERS TRANSFORMASI-Z

INVERS TRANSFORMASI-Z

Definisi invers transformasi-Z

n

nznxzX )()( dzzzXj

nx n

1)(2

1)(

Cluardizbila

Cdalamdizbiladz

zfd

kdzzz

zf

j

o

o

zz

k

k

C ko

o

,0

,)(

)!1(

1

)(

)(

2

1 1

1

Teorema residu Cauchy :

Ekspansi deret dalam z dan z-1

n

nznxzX )(

Tentukan invers transformasi-z dari21

2

1

2

31

1)(

zz

zX

Jawab:

4321

16

31

8

15

4

7

2

31)( zzzzzX

,16

31,

8

15,

4

7,

2

3,1)(nx

Contoh 11:

Ekspansi fraksi-parsial dan tabel transformasi-z

)()()()(

)()()()(

2211

2211

nxnxnxnx

zXzXzXzX

KK

KK

21 5,05,11

1)(

zzzX

)5,0()1(5,05,1

)(

)5,0)(1(5,05,1)(

212

2

2

2

z

A

z

A

zz

z

z

zX

zz

z

zz

zzX

Tentukan invers transformasi-z dari

Jawab:

Contoh 12:

)5,0()1(5,05,1

)( 212

z

A

z

A

zz

z

z

zX

)5,01(

1

)1(

2)(

11

zzzX )(])5,0(2[)( nunx n

5,05,1

)5,0()(

)5,0)(1(

)1()5,0(2

212121

zz

AAzAA

zz

zAzA

1215,05,0

5,005,01

21111

122121

AAAAA

AAAAAA

5,05,1

)5,0()(

5,05,1

)(2

21212

zz

AAzAA

zz

z

z

zX

Pole-pole berbeda semua

N

N

k

k

pz

A

pz

A

pz

A

z

zX

1

1)(

N

Nkk

kk

pz

ApzA

pz

Apz

z

zXpz

)()()()(

1

1

kpz

k Az

zXpz

k

)()(

Contoh Soal 8.17

Jawab:

Tentukan zero-state response dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) = u(n) dandinyatakan oleh persamaan beda :

)2n(x8)1n(x28)n(x5)2n(y8)1n(y6)n(y

)z(Xz8)z(Xz28)z(X5)z(Yz8)z(Yz6)z(Y 2121

121

21

z1

1

z8z61

)z8z285()z(Y

1z1

1)z(X

1z

A

4z

A

2z

A

)1z)(8z6z(

)8z28z5(

z

)z(Y 321

2

2

1z

A

4z

A

2z

A

)1z)(4z)(2z(

)8z28z5(

z

)z(Y 321

2

146

84

)3)(2(

85620

)1z)(4z(

8z28z5

z

)z(Y)2z(A

2z

2

1

2010

200

)5)(2(

811280

)1z)(2z(

8z28z5

z

)z(Y)4z(A

4z

2

2

115

15

)5)(3(

8285

)4z)(2z(

8z28z5

z

)z(Y)1z(A

1z

2

3

1z

1

4z

20

2z

14

z

)z(Y

111 z1

1

z41

20

z21

14)z(Y

)n(u]1)4(20)2(14[)n(y nn

zs

Ada dua pole yang semua

N

N

k

k2

2

k

k1

1

1

pz

A

pz

A

)pz(

A

pz

A

z

)z(X

kpz

2

kk1

z

)z(X)pz(A

kpz

2

kk2

z

)z(X)pz(

dz

dA

Contoh Soal 8.18

Jawab:

Tentukan transformasi-Z balik dari :

211 )z1)(z1(

1)z(X

)1z(

A

)1z(

A

1z

A

)1z)(1z(

z

z

)z(X 3

2

21

2

2

4

1

)1z(

z

z

)z(X)1z(A

1z

2

2

1

4

3

)1z(

z2z

)1z(

)z)(1()1z)(z2(

)1z(

z

dz

d

z

)z(X)1z(

dz

dA

1z

2

2

2

2

22

3

)n(u]4

3n

2

1)1(

4

1[)n(x n

2

1

)1z(

z

z

)z(X)1z(A

1z

22

2

Pole kompleks

*pppp 21

211

11

11 z*ppz*ppz1

pz*A*Az*ApA

z*p1

*A

pz1

A

1

2

2

1

1

1

zp1

A

zp1

A)z(X

*AAAA 21

2

2

1

1

1

1o

21

1

zaza1

zbb

z*ppz*)pp(1

z)p*A*Ap(*)AA(

)ARe(2*AAb

)ARe(2)AIm(j)ARe()AIm(j)ARe(*AA

o

)pRe(2*)pp(a

)pRe(2)pIm(j)pRe()pIm(j)pRe(*pp

1

2

2

222 p*ppap)p(Im)p(Re

)]pIm(j)p)][Re(pIm(j)p[Re(*pp

)pIm()AIm(2)pRe()ARe(2

)]pIm(j)p)][Re(AIm(j)A[Re(

)]pIm(j)p)][Re(AIm(j)A[Re(p*A*Ap

*)ApRe(2)p*A*Ap(b

]pIm()ARe()AIm()p[Re(j)]pIm()AIm()pRe()A[Re(

)]pIm(j)p)][Re(AIm(j)A[Re(*Ap

1

Contoh Soal 8.19

Jawab:

Tentukan invers transformasi-Z dari :21

1

z5,0z1

z1)z(X

2

2

1

1

1

1o

21

1

zaza1

zbb

z5,0z1

z1)z(X

5,0)ARe(1)ARe(2bo

5,0)pRe(1)pRe(2a1

5,0*)ApRe(1*)ApRe(2b1

5,0)p(Im)p(Re5,0pa 222

2

5,0)p(Im25,0)p(Im)p(Re 222

5,0)ARe(5,0)pRe(

5,0j5,0p5,0)pIm(25,0)p(Im2

)5,0j5,0)](AIm(j5,0[*Ap

25,0j5,0A25,0)AIm(

5,0)AIm(5,025,0*)ApRe(

11

11

z)5,0j5,0(1

25,0j5,0

z)5,0j5,0(1

25,0j5,0

z*p1

*A

pz1

A)z(X

11 z)5,0j5,0(1

25,0j5,0

z)5,0j5,0(1

25,0j5,0)z(X

45j45j e707,05,0j5,0e707,05,0j5,0

n45sin)707,0(5,0n45cos)707,0(

)n45sinjn45)(cos707,0)(25,0(j

)n45sinjn45(cos)707,0)(5,0(

)n45sinjn45)(cos707,0)(25,0(j

)n45sinjn45(cos)707,0)(5,0(

)e707,0)(25,0j5,0()e707,0)(25,0j5,0()n(x

nn

n

n

n

n

n45jn45j

Latihan Invers Transformasi-Z

• Ubahlah persamaan di bawah ini menjadidomain n!

•𝑧

1+𝑧2, dg ekspansi deret

•2𝑧

𝑧2+4𝑧+3, dg ekspansi fraksi-parsial & tabel TZ

•2𝑧−2

𝑍+1, dg ekspansi fraksi-parsial & tabel TZ

SISTEM WAKTU DISKRIT

Deskripsi Input-Output

Ekspresi matematik :

Hubungan antara input dan output

x(n) = input (masukan, eksitasi)

y(n) = output (keluaran, respon)

= Transformasi (operator)

Sistem dipandang sebagai black box

)()(

)]([)(

nynx

nxTny

T

Representasi Sistem

Fungsi Sistem (Fungsi Transfer) = H(Z) = 𝒀(𝒁)

𝑿(𝒁)

Respon impuls = h(n) -> output sistem ketikadiberi masukan berupa impuls

Persamaan selisih (diferensial) = y(n)

Struktur = diagram blok = berupa gambarrangkaian sistem

Fungsi Sistem dari Sistem LTI

)(

)()()()()()(*)()(

zX

zYzHzXzHzYnxnhny

)()( zHnh Respon impuls Fungsi sistem

Persamaan beda dari sistem LTI :

)()()(01

knxbknyanyM

k

k

N

k

k

kM

k

kk

N

k

k zzXbzzYazY

)()()(01

kM

k

kk

N

k

k zzXbzzYazY

)()()(01

kM

k

kk

N

k

k zbzXzazY

01

)(]1)[(

)(

1)(

)(

1

0 zH

za

zb

zX

zY

kN

k

k

kM

k

k

Fungsi sistem rasional

)(

1)(

)(

1

0 zH

za

zb

zX

zY

kN

k

k

kM

k

k

Hal khusus I : ak = 0, 1 k N

kMM

k

kM

kM

k

k zbz

zbzH

00

1)( All-zero system

Hal khusus II : bk = 0, 1 k M

1

1

)(

01

o

kN

k

k

o

kN

k

k

o a

za

b

za

bzH

All-pole system

Pole-Zero system

Tentukan fungsi sistem dan respon impuls sistem LTI :

Jawab:

)(2)(2

1)( 1 zXzYzzY

)(2)1(2

1)( nxnyny

)(2)2

11)(( 1 zXzzY

1

2

11

2)(

z

zH )(2

12)( nunh

n

Contoh 1:

Tentukan respon impuls dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda/selisih :

Jawab:

)(5,9)(5,4)(2)(3)( 121 zXzzXzYzzYzzY

)5,95,4)(()231)(( 121 zzXzzzY

21

1

231

5,95,4

)(

)()(

zz

z

zX

zYzH

)1(5,9)(5,4)2()1(3)( nxnxnynyny

Contoh 2:

21

1

231

5,95,4)(

zz

zzH

23

5,95,4)(2

zz

z

z

zH

2

5,0

1

5

21

)( 21

zzz

A

z

A

z

zH

11 )2(1

5,0

)1(1

5)(

zzzH

)(])2(5,0)1(5[)( nunh nn

Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :

Jawab:

)z(Xz5,9)z(X5,4)z(Yz2)z(Yz3)z(Y 121

)1(5,9)(5,4)2()1(3)( nxnxnynyny

0)2(0)1( yy

dan mendapat input x(n) = (-3)nu(n) )()( nyny zs

)z5,95,4)(z(X)z2z31)(z(Y 121

Contoh 3:

11 31

1

)3(1

1)()()3()(

zzzXnunx n

)()5,95,4()231)(( 121 zXzzzzY

1

121

31

1)5,95,4()231)((

zzzzzY

)31)(231(

)5,95,4()(

121

1

zzz

zzY

)31)(231(

)5,95,4()(1213

12

zzzz

zz

z

zY

)3)(2)(1(

)5,95,4(

)3)(23(

)5,95,4()( 2

2

2

zzz

zz

zzz

zz

z

zY

)3)(2)(1(

)5,95,4(

)3)(23(

)5,95,4()( 2

2

2

zzz

zz

zzz

zz

z

zY

)3()2()1()3)(2)(1(

)5,95,4( 3212

z

A

z

A

z

A

zzz

zz

)3)(2)(1(

)23()34()65()( 23

22

21

zzz

zzAzzAzzA

z

zY

0236

5,9345

5,4

321

321

321

AAA

AAA

AAA

2

236

345

111

D

5,22

5230

345,9

115,4

1

D

A 12

2206

35,95

15,41

2 D

A

65,415,2 33 AA

)31(

6

)21(

1

)1(

5,2)(

)3(

6

)2(

1

)1(

5,2)(

111

zzzzY

zzzz

zY

)(])3(6)2()1(5,2[)( 2 nuny nnzs

Jawab:

Tentukan zero-state response dari suatu sistem LTI yang mendapatinput x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :

)2(8)1(28)(5)2(8)1(6)( nxnxnxnynyny

)(8)(28)(5)(8)(6)( 2121 zXzzXzzXzYzzYzzY

121

21

1

1

861

)8285()(

zzz

zzzY11

1)(

zzX

142)1)(86(

)8285()( 3212

2

z

A

z

A

z

A

zzz

zz

z

zY

Contoh 4:

142)1)(4)(2(

)8285()( 3212

z

A

z

A

z

A

zzz

zz

z

zY

146

84

)3)(2(

85620

)1)(4(

8285)()2(

2

2

1

zzz

zz

z

zYzA

2010

200

)5)(2(

811280

)1)(2(

8285)()4(

4

2

2

zzz

zz

z

zYzA

115

15

)5)(3(

8285

)4)(2(

8285)()1(

1

2

3

zzz

zz

z

zYzA

1

1

4

20

2

14)(

zzzz

zY111 1

1

41

20

21

14)(

zzzzY

)(]1)4(20)2(14[)( nuny nnzs

Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :

Jawab:

0])2()1()([2

])1()([3)(

22

1

zyzyzYz

zyzYzzY

)1(5,9)(5,4)2()1(3)( nxnxnynyny

5,7)2(5,8)1( yy

dengan input x(n) = 0 )()( nyny zi

Contoh 5:

21)2)(1(

175,10

23

175,10)( 212

z

A

z

A

zz

z

zz

z

z

zY

41

4

1

175,10)()2(

5,61

5,6

2

175,10)()1(

22

11

z

z

z

z

z

zYzA

z

z

z

zYzA

11 21

4

1

5,6

2

4

1

5,6)(

zzz

z

z

zzY

nnzi ny )2(4)1(5,6)(

Jawab:

Tentukan output dari suatu sistem LTI yang mendapat inputx(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :

3)2(4)1(

)2(8)1(28)(5)2(8)1(6)(

yy

nxnxnxnynyny

])2()1()([8])1()([28

)(5])2()1()([8

])1()([6)(

221

22

1

zxzxzXzzxzXz

zXzyzyzYz

zyzYzzY

]8285)[(

243224]861)[(

21

121

zzzX

zzzzY

Contoh 6:

]8285)[(

243224]861)[(

21

121

zzzX

zzzzY

1

21121

1

828532]861)[(

z

zzzzzzY

)1)(861(

82853232)(

121

2121

zzz

zzzzzY

)1)(861(

2445)(

121

21

zzz

zzzY

)1)(86(

2445)(2

2

zzz

zz

z

zY

)1z)(4z)(2z(

24z4z5

)1z)(8z6z(

24z4z5

z

)z(Y 2

2

2

4z

A

2z

A

1z

A

)1z)(4z)(2z(

24z4z5 321

2

115

15

)5)(3(

2445

)4z)(2z(

24z4z5A

1z

2

1

26

12

)3)(2(

24820

)1z)(4z(

24z4z5A

2z

2

2

410

40

)5)(2(

241680

)1z)(2z(

24z4z5A

4z

2

3

4z

4

2z

2

1z

1

z

Y

111 z41

4

z21

2

z1

1Y

)n(u])4(4)2(21[)n(y 2n

Representasi Diagram Blok

Penjumlah (adder)

Pengali dengan konstanta (constant muliplier)

Pengali sinyal (signal multiplier)

Elemen tunda (unit delay element)

Adder :

+

x1(n)

x2(n) y(n) = x1(n) + x2(n)

x(n)a

y(n) = a x(n)

Constant multiplier :

Signal multiplier :

Unit delay element :

x

x1(n)

x2(n) y(n) = x1(n)x2(n)

z - 1x(n) y(n) = x(n –1)

zx(n) y(n) = x(n +1)

Buat diagram blok dari sistem waktu diskrit dimana :

)1(2

1)(

2

1)1(

4

1)( nxnxnyny

Jawab :

+

0,25

x(n)+

0,5

z - 1

0,5

y(n)

z - 1

black box

Contoh 9:

)1(2

1)(

2

1)1(

4

1)( nxnxnyny

)]1()([2

1)1(

4

1)( nxnxnyny

black box

+

0,25

x(n)+

0,5

z - 1

y(n)

z - 1

Klasifikasi Sistem

Sistem statik dan dinamik

Time-invariant & time-variant system

Sistem linier dan sistem nonlinier

Sistem kausal dan sistem nonkausal

Sistem stabil dan sistim tak stabil

Sistem Statik (memoryless) :

Output pada setiap saat hanya tergantunginput pada saat yang sama

Tidak tergantung input pada saat yang laluatau saat yang akan datang

)()()(

)()(

3 nxbnxnny

nxany

]),([)( nnxTny

Sistem Dinamik :

Outputnya selain tergantung pada input saat yang sama juga tergantung input pada saat yang lalu atau saat yang akan datang

0

0

)()(

)()(

)1(3)()(

k

n

k

knxny

knxny

nxnxny Memori terbatas

Memori terbatas

Memori tak terbatas

Sistem Time-Invariant (shift-invariant) :

Hubungan antara input dan output tidak tergantung pada waktu

)]([)( nxTny

Time-invariant

Time-variant

)]([)( knxTkny

)]([),( knxTkny

)(),( knykny

)(),( knykny

Umumnya :

Tentukan apakah sistem-sistem di bawah ini time-invariant atau time-variant

+x(n)

y(n) = x(n) - x(n-1)

z - 1

-

Differentiatora)

)1()()(

)1()()]([),(

)1()()]([)(

knxknxkny

knxknxknxTkny

nxnxnxTny

Jawab :

)(),( knykny Time-invariant

Contoh 10:

Jawab :

x

n

x(n) y(n) = n x(n)Time multiplier

b)

)()()()()(

)()]([),(

)()]([)(

knkxknnxknxknkny

knnxknxTkny

nnxnxTny

)(),( knykny Time-variant

Jawab :

c)

)()]([)(

)()]([),(

)()]([)(

knxknxkny

knxknxTkny

nxnxTny

Time-variant

Ty(n) = x(-n)

x(n)

Folder

)(),( knykny

Jawab :

d)

)](cos[)()(

)cos()()]([),(

)cos()()]([)(

knknxkny

nknxknxTkny

nnxnxTny

o

o

o

Time-variant)(),( knykny

x

cos(on)

x(n) y(n) = x(n)cos(on)Modulator

Sistem Linier :

Prinsip superposisi berlaku

)]()([)( 22111 nxanxaTny

+

x1(n)

x2(n)

y1(n)

a1

a2

T

)]([)]([)( 22112 nxTanxTany

+

x1(n)

x2(n)

y2(n)

a1

a2

T

T

)()( 21 nyny Linier

Tentukan apakah sistem-sistem di bawah ini linier ataunonlinier

BnAxnyd

nxnyc

nxnyb

nnxnya

)()()

)()()

)()()

)()()

2

2

Contoh 11:

Sistem Kausal :

Outputnya hanya tergantung pada input sekarang dan input yang lalu

• x(n), x(n-1), x(n-2), …..

Outputnya tidak tergantung pada input yang lalu

• x(n+1), x(n+2), …..

]),2(),1(),([)( nxnxnxFny

Tentukan kausalitas dari sistem-sistem di bawah ini :

)()()

)2()()

)()()

)4(3)()()

)()()

)()()

)1()()()

2

nxnyg

nxnyf

nxnye

nxnxnyd

knxanyc

kxnyb

nxnxnya

n

k

a, b dan c kausal

d, e dan f nonkausal

g kausal

Contoh 12:

Sistem Stabil :

Setiap input yang terbatas (bounded input) akan menghasilkan output yang terbatas(bounded output) BIBO

xMnx )( yMny )(

Tentukan kestabilan dari sistem di bawah ini

nCny

Cy

Cy

Cy

2

4

2

)(

)2(

)1(

)0(

Jawab :

0)1()()1()( 2 ynxnyny

bila mendapat input x(n) = C (n), 1 < C <

Tidak stabil

Contoh 13:

Kestabilan sistem dapat diketahui melalui pole dan zero dari Fungsi Transfer

Pole : harga-harga z = pi yang menyebabkan H(z) =

Zero : harga-harga z = zi yang menyebabkan H(z) = 0

Tentukan pole dan zero dari21

1

5,05,11

5,12)(

zz

zzH

Jawab:

)5,0)(1(

)75,0(2

)5,0)(1(

75,02

5,05,1

75,02)(

22

1

zz

zz

zz

zz

zz

z

z

zzH

5,01:

75,00:

21

21

ppPole

zzZero

Contoh 9:

STABIL

21

1

5,01

1)(

zz

zzH

)]5,05,0()][5,05,0([

)1(

5,0

)1()(

2

jzjz

zz

zz

zzzH

*2121

21

5,05,05,05,0:

10:

ppjpjpPole

zzZero

Tentukan pole dan zero dari

Jawab:

Contoh 10:

STABIL ???

Contoh 11:

STABIL ???

Hubungan Antar Sistem

Sistem-sistem kecil dapat digabungkan menjadisistem yang lebih besar

Hubungan seri

T1x(n) y(n)

T2

y1(n)

)]([)]([)(

)]([)(

1212

11

nxTTnyTny

nxTny

)]([)(12 nxTnyTTT cc

2112 TTTT Umumnya :

Sistem linier dan time-invariant : 2112 TTTT

Pada sistem yang serial (dikalikan), jika terdapat sistem yang tidak stabil namun pole pembuat tidak stabil bisa dieliminasi dengan proses perkalian terhadap sistem yang

lainnya maka keseluruhan sistem bisa menjadi stabil.

+x1(n)

y(n)

y1(n)

T2

T1

y2(n)

Hubungan paralel :

)]([)]([)()()( 2121 nxTnxTnynyny

)]([)]()[()( 21 nxTnxTTny p

)( 21 TTTp

Pada sistem yang parallel (dijumlahkan) maka jika ada salah satu sistem tidak stabilmaka keseluruhan sistem menjadi tidak stabil.

Kuis

1. Diketahui input sistem adalah 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 𝛿(𝑛 − 1). Sistem tersebut merupakan sistem LTI yang memilikikeluaran (output) 𝑦 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 2𝛿 𝑛 − 1 + 𝛿(𝑛 − 2). Tentukan keluaran sistem jika inputnya sebagai berikut:

a. 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 + 2𝛿 𝑛 − 1 + 𝛿 𝑛 − 2

b. 𝑥 𝑛 = 𝛿 𝑛 − 1 − 𝛿(𝑛 − 3)

KUIS

2. Respon impuls suatu sistem adalah1

2

𝑛. 𝑈 𝑛 . Jika

sistem tersebut diberi sinyal masukan 2𝑛. 𝑈 𝑛 . Maka, tentukanlah persamaan sinyal keluaran dari sistemtersebut !

KUIS

3. Sistem LTI diskrit memiliki fungsi transfer

𝐻 𝑍 =2 + 𝑍−1

3 + 5𝑍−1 + 4𝑍−2

a) Gambarkan struktur realisasinya dg memori besar (3 delay)b) Gambarkan struktur realisasinya dg memori kecil (2 delay)c) Tentukan persamaan selisihnya

KUIS

4

a) Tentukan Fungsi Transfer sistem di atas!b) Tentukan Pole dan Zero dari sistem di atas!c) Apakah sistem tersebut stabil?

KUIS

5

a) Tentukan Fungsi Transfer sistem di atas!b) Tentukan Pole dan Zero dari sistem di atas!c) Apakah sistem tersebut stabil?