Pengantar Teori Ukuran Dan Probabilitas

UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL TAHUN AKADEMIK 2004/2005

Mata Kuliah : Pengantar Teori Ukuran dan Probabilitas

Waktu : 120 menit

Sifat : Buku Tertutup

Penguji : Prof. Dr. Subanar

1. Mata uang emas dan perak ditempatkan dalam tiga kotak I, II, III menurut tabel di

bawah:

Kotak Jumlah mata uang emas Jumlah mata uang perak

I

II

III

4

3

6

8

9

6

Sebuah kotak diambil secara random dan kemudian sebuah mata uang diambil dari kotak

terpilih. Berapa probabilitasnya mendapat mata uang emas.

2. Sebuah mata uang dengan P(A) = 0,4 dan P(G) = 0,6 dilemparkan tiga kali. Misal X

menyatakan G yang tampak. Tentukan Px dan Fx yang bersesuaian. Hitung juga E[X].

3. Diketahui xn ∞ Gamma (n,β), xn independen β > 0. Tentukan :

a. E [etXn

]

b. Distribusi limit dari 𝑥𝑛

𝑛

4. Misalkan Xi i i d dan Xi ∞ 𝑋(1)2 , I = 1, 2, …,n dan 𝑈𝑛 =

𝑥𝑖2

𝑛

𝑛𝑖=1

Tentukan fungsi pembangkit momen dari Un

Dari (a) tentukan distribusi Un dan selanjutnya buktikan 𝑈𝑛

𝑝 4 untuk n → ∞


Waktu : 120 menit



1. Diberikan tiga kejadian A1, A2, A3, dengan

P[A1] = 0,5 P[A2] = 0,60 P[A3] = 0,45

P[A1 ∪ A2] = 0,82 P[A1 ∪ A3] = 0,7525 P[A2 ∪ A3] = 0,78

P[A2 ∩ A3 | A1] = 0,20

a. Selidiki apakah A1, A2, A3 sepasang-sepasang independen

b. Apakah A1, A2, dan A3 independen

c. Hitung P[A1 ∪ A2 ∪ A3]

2. Misalkan kita mempunyai 10 mata uang sedemikian hingga bila mata uang ke i dilempar

maka P(G) = P (Gambar) = 𝑖

10 , i = 1, 2, …,10

Sebuah mata uang dipilih secara random kemudian dilemparkan. Bila lemparan

menghasilkan G tentukan probabilitas bersyarat bahwa G tersebut berasal dari mata uang

ke-5.

3. Misalkan (R, SB, m) ruang terukur Lebesque

A1 = [1,∞], A2 = [2,∞], A3 = [3,∞]

Tentukan :

a. 𝐴𝑛∞𝑛=1

b. 𝑚[lim𝑛 ∞ 𝐴𝑛]

c. lim𝑛 ∞ 𝑚[𝐴𝑛]

d. Apakah (b) dan (c) sama?

4. Misalkan S = {HH, TH, HT, TT}, A = 2 dan P equally-likely probabilitas

X : S → R dengan

X(HH) = u2 So

X(HT) = X (TH) = u d So

So = 4, u = 2, d = 1

2

Tentukan Px dan distribusi kumulatif Fx yang bersesuaian.

SOAL UJIAN SISIPAN


Tanggal : 28 Oktober 2002

Waktu : 120 menit



1. Apabila X sembarang himpunan dan A sembarang himpunan bagian dan X yang

tidak kosong sedang C = {ɸ, X, A, At} maka tunjukkan bahwa C merupakan σ

field terkecil yang memuat A.

2. Misal f : X→Y, apabila A ∁ Y dan B ∁ Y, maka tunjukkan bahwa :

(a) f-1

(A-B) = f-1

(A) – f-1

(B)

(b) f(f-1(B)) ∁ B

3. X adalah himpunan uncountable. C adalah koleksi semua himpunan bagian dari

X.Fungsi F didefinisan pada C sebagai berikut :

f(A) = 0 apabila A countable dan

f(A) = ∞ apabila A uncountable

Apakah (X, C, f) merupakan meansure space, buktikan pernyataan Saudara.

4. Buktikan

(a) lim inf(An) ∁ lim sup (An),

(b) (lim sup(An))t = lim int (An

t)

(c) Bila A1 = A3 = A5 = …=A dan A2 = A4 = A6 =…=B, carilah lim sup (An)

dan lim inf (An)

SOAL UJIAN SISIPAN


Tanggal : 29 Oktober 2001

Waktu : 120 menit


1. Tunjukkan σ (Ƒ) dengan Ƒ kelas himpunan merupakan σ fielad terkecil yang memuat Ƒ.

2. Misal f : X → Y, A ∁ X dan B ∁ Y, maka tunjukkan bahwa: f(f-1

(B)) ∁ B

(a) A ∁ f-1

(f(A)),

(b) f(f-1(B)) ∁ B

3. X adalah himpunan bilangan natural, C adalah koleksi semua himpunan bagian dari N.

Fungsi f didefinisikan pada C sebagai berikut:

f(A) = 0 apabila A countable dan

f(A) = ∞ apabila A uncountable

Apakah (X, C, f) merupakan meansure space, buktikan pernyataan Saudara.

4. Buktikan:

(a) lim inf(An) ∁ lim sup (An),

(b) (lim sup(An))t = lim int (An

t)

SOAL UJIAN AKHIR


Tanggal : 7 Januari 2002

Waktu : 120 menit

Sifat : Closed Book

1. Bila 𝜉 𝑑𝑎𝑛 𝜓 adalah fungsi sederhana dan 𝜍 = 𝜉 𝑑𝑎𝑛𝜓 tunjukkan bahwa

𝜍 𝑑𝜆 = 𝜉𝑑𝜆 + 𝜓𝑑𝜆

2. Misal f: X→Y. Apabila C adalah koleksi semua himpunan bagian dari X dan K = {E ∁ Y

:f-1

(E) 𝜖 C}, maka tunjukkan bahwa K adalah σ aljabar himpunan dari X.

3. Misal (Ω,𝐶)adalah ruang terukur dan pandangan P1,…,Pn yang merupakan koleksi ruang

probabilitas yang disefinisikan pada C. Bila a1,…,an adalah bilangan riil nonnegative

yang memenuhi 𝑎𝑖 = 1𝑛𝑖−1 , maka tunjukkan bahwa fungsi P

* yang didefinisikan pada C

yang memenuhi P*[E]= 𝑎𝑖𝑃𝑖[𝐸]𝑛

𝑖−1 adalah ukuran probabilitas dari C.

4. Pilih 2 dari 4 soal di bawah ini!

(a) Buktikan jika Pi monoton naik maka 𝑃[ 𝐸𝑖] = lim𝑛 ∞ 𝑃[𝐸𝑖]𝑛𝑖=1

(b) Buktikan (lim inf (An))’ = lim inf (An’)

(c) Buktikan f-1

(A-B) = f-1

(A) – f-1

(B)

(d) Buktikan teorema Bayes

SOAL AKHIR SEMESTER GANJIL TAHUN 2005/2006


Waktu : Senin 9 Januari 2006

Waktu : 120 menit

Sifat : Closed Book

1. Misalkan S = {(i, j):i, j Є {1, 2, 3, 4, 5, 6}} dan p(i,j) = 1

36. Definisikan variabel random X

dengan X (i,j) = i + j, 1 ≤ i,j ≤ 6. Tentukan Px dan Fx

2. Deketahui variebl random X mempunyai fungsi pembangkit momen

𝑀 𝑡 =1

15𝑒𝑡 +

2

15𝑒2𝑡 +

3

15𝑒3𝑡 +

4

15𝑒4𝑡 +

5

15𝑒5𝑡

(a) Tentukan P(X = 2) dan P(X=4)

(b) Selanjutnya tentukan E[X] dan Var[X]

3. (a) Diketahui X~Gamma (α, β) dengan E[X]= 6 dan Var (X) = 12. Tentukan densitas

(b) Misalkan u dan v variabel random yang saling independen dengan densitas

f(u) = 6u(u-1), 0 < u < 1 dan

g(v) = 2v, 0 < v <1

Dengan fungsi pembangkit momen tentukan densitas dari W=U2V

4. Misalkan 𝑋 mean sampel random, berukuran 36 dari fungsi kepadatan peluang

f(x) =𝑥3

4, 0 < x < 2, tentukan P[1.5 ≤ 𝑋 ≤ 1.65

UJIAN AKHIR SEMESTER II TAHUN AKADEMIK 2009/2010


Hari/Tgl : Jumat, 16 April 2010

Waktu : 120 menit


Penguji : Prof. Subanar, Ph. D.

1. Diketahui 𝛺={a, b, c, d, e} dan A = {2, 4, 5, 6}

f : 𝛺 A didefinisikan sebagai

f(a) = f(b) = 4; f(c)=2; f(d)=5 dan f(e) = 6

Bila 𝓐={{4}. {2,6}} tentukan σ(𝓐) dan f-1 (σ(𝓐)),

Selidikilah apakah f-1(σ(𝓐)) = σ(f-1(𝓐))

2. Misalkan untuk himpunan C kita definisikan fungsi 𝑄 𝐶 = 𝑓(𝑥)𝐶 dengan

𝑓 𝑥 = 2

3 (

1

3)𝑥 ,𝑥 = 0, 1, 2,…

Bila C1 = {x : x =0, 1, 2, 3} dan C2 = {x : x = 0, 1, 2, 3, ..}

Tentukan Q(C1) dan Q(C2)

3. Bila An = (-n-1

, 1) untuk n ganjil dan An = (-1, n-1

) untuk n genap, tentukan lim inf An

dan lim sup An

4. Misalkan A = {x : x3 + 2x

2 – 15x = 0} B={3, 5} C={1, 3, 5, 7, 9}

Tentukan A x (B∩C). Selanjutnya tunjukkan A x B(B∩C) = (A x B) ∩ (A x C)

Pengantar Teori Ukuran Dan Probabilitas

Documents

Transcript of Pengantar Teori Ukuran Dan Probabilitas